二轮复习-反比例函数解答题2025-2026学年苏科版九年级数学下册

**基本信息** 聚焦反比例函数核心考点，以“概念-综合-应用-几何-探究-数据”六级模块构建知识网络，强化抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|3题|定义应用与解析式求解|从反比例关系定义出发，通过待定系数法建立函数模型，夯实抽象能力| |函数综合|4题|交点、面积及不等式解集|结合一次函数，构建“求解析式-算交点-析图象”逻辑链，培养推理能力| |实际应用|3题|数据建模与决策问题|通过表格数据选择函数模型（一次/反比例），强化模型意识与应用能力| |k的几何意义|4题|图形面积与坐标关系|以正方形、菱形为载体，运用k值几何意义转化面积问题，深化数形结合| |性质探究|4题|性质分析与新定义|从函数增减性到图象特征探究，培养创新意识与批判性思维| |表格数据|3题|规律分析与函数关系|通过数据规律推导函数表达式，发展数据意识与逻辑推理|

二轮复习-反比例函数解答题2025-2026学年苏科版九年级数学下册 一、基础概念 1．已知y与x成反比例，且其函数图象经过点（﹣3，﹣1）． （1）求y与x的函数关系式； （2）求当y＝﹣4时，x的值． 2．已知y是x的反比例函数，并且当x＝2时，y＝6． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当x＝4时，求y的值． 3．已知y＝y1+y2，y1与（x﹣1）成正比例，y2与（x+1）成反比例，当x＝0时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝﹣1． （1）求y的表达式； （2）求当x时y的值． 二、反比例函数与一次函数综合 4．如图，已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于A（6，1），B（a，﹣3）两点，连接OA，OB． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出y1≥y2时x的取值范围． 5．反比例函数y与一次函数y＝2x﹣4的图象都过A（m，2）． （1）求A点坐标； （2）求反比例函数解析式． 6．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2，求： （1）一次函数的解析式； （2）△AOB的面积； （3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围． 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y（x＞0）的图象与直线y＝x﹣2交于点A（3，m）． （1）求k、m的值； （2）已知点P（n，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x﹣2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y（x＞0）的图象于点N． ①当n＝1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由； ②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围． 三、实际应用与建模类 8．一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系，部分数据如表： 脚长x（cm） … 23 24 25 26 27 28 … 身高y（cm） … 156 163 170 177 184 191 … （1）在图1中描出表中数据对应的点（x，y）； （2）根据表中数据，从y＝ax+b（a≠0）和y（k≠0）中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）； （3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 9．某商户购进苹果1575千克，为寻求合适的销售价格，进行了5天试销，试销情况如下： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价x（元/千克） 18 15 12 10 9 销售量y（千克） 50 60 75 90 100 （1）根据表中的数据，从一次函数和反比例函数中选择一个函数模型，使得它能近似地反映试销期间这批苹果每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系，并求出这个函数关系式（不要求写出x的取值范围）； （2）若在这批苹果的后续销售中，每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间都满足（1）中的函数关系．在试销5天后，该商户决定将这批苹果的售价定为10元/千克，但销售10天后，该商户为清空库存，计划用不超过2天的时间全部售完，则新的售价最高定为多少元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完？ 10．“人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成为社会热点问题．某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间2分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”y（%）与放学后时间x（分）的函数关系描述．如图，2～12分钟函数图象为抛物线，且在第12分钟达到该函数最大值100，12分钟之后为函数的图象的一部分． （1）求二次函数和反比例函数的表达式（需明确取值范围）； （2）若“拥挤指数”y≥36，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．请依据图象计算每天至少需要执勤的时间． 四、k 的几何意义 11．如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数y的图象与大正方形的一边交于点A（1，2），且经过小正方形的顶点B． （1）求反比例函数的解析式； （2）求图中阴影部分的面积． 12．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4）． （1）求过点B的反比例函数y的解析式； （2）连接OB，过点B作BD⊥OB交x轴于点D，求直线BD的解析式． 13．如图，A，B分别在反比例函数y，y（k＞1）图象上且在第一象限内，且AB∥x轴，AD⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别为点D，点C． （1）若AD＝2AB＝2，求k的值； （2）当k＝4时，求矩形ABCD的面积． 14．如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（1，0），点D（4，4）在反比例函数y（x＞0）的图象上，直线yx+b经过点C，与y轴交于点E，连接AC，AE． （1）求k，b的值； （2）求△ACE的面积． 五、函数性质探究与新定义类 15．已知反比例函数（a为常数）． （1）若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； （2）当x＞0时，y随x的值增大而减小，求a的取值范围． 16．我们已经学习过反比例函数y的图象和性质，请你回顾研究它的过程，运用所学知识对函数y的图象和性质进行探索，并解决下列问题： （1）该函数的图象大致是　 　 ． （2）写出该函数两条不同类型的性质： ①　 　 ； ②　 　 ； （3）写出不等式4＞0的解集． 17．有这样一个问题：探究函数的图象与性质并解决问题． 小明根据学习函数的经验，对问题进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）函数的自变量x的取值范围是x≠2； （2）取几组y与x的对应值，填写在下表中． x … ﹣4 ﹣2 ﹣1 0 1 1.2 1.25 2.75 2.8 3 4 5 6 8 … y … 1 1.5 2 3 6 7.5 8 8 7.5 6 3 m 1.5 1 … m的值为 　 　 ； （3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象； （4）获得性质，解决问题： ①通过观察、分析、证明，可知函数的图象是轴对称图形，它的对称轴是 　 　 ； ②过点P（﹣1，n）（0＜n＜2）作直线l∥x轴，与函数的图象交于点M，N（点M在点N的左侧），则PN﹣PM的值为 　 　 ． 18．画出函数的图象并探究性质，解决相关问题． 小红的探究过程如下，请补充完整： （1）函数的自变量x的取值范围是 　 　 ； （2）表中m＝ 　 　 ； x … ﹣3 ﹣1 0 0.5 1.5 2 3 5 … y … 1 2 4 8 8 m 2 1 … （3）在平面直角坐标系中，描出补全后的表格中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象； （4）通过观察分析函数的图象，解决问题： ①写出该函数的一条性质 　 　 ； ②根据图象写出不等式的解集为 　 　 ． 六、表格数据与规律探究 19．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A（﹣2，﹣3）、B（0，5）、C（m，2）三个点，且点C在第一象限． （1）求图象最高点的坐标及m的值； （2）若x＞3时，对于x的每一个值，函数（k为常数，且k＞0）均同时满足两个条件： ①函数的值大于函数y＝﹣x2+bx+c的值； ②函数的值小于2． 据此，请你求出k的值． 20．（1）在用描点法画二次函数y＝x2的图象时，小亮选取了7组x，y的对应值（如表所示），以表中每个有序实数对（x，y）作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点，并用平滑的曲线从左向右顺次连接各点，便得到了函数y＝x2的图象． x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y 9 4 1 0 1 4 9 请说明：二次函数y＝x2图象上A（2，4），B（3，9）两点之间的图象不是线段． （2）证明：反比例函数在第一象限内的图象满足y随x的增大而减小． 21．小明在研究矩形面积S与矩形的边长x，y之间的关系时，得到下表数据： x 0.5 1 1.5 2 3 4 6 12 y 12 6 4 3 2 1 0.5 结果发现一个数据被墨水涂黑了 （1）被墨水涂黑的数据为　 　 ． （2）y与x之间的函数关系式为　 　 ，且y随x的增大而　 　 ． （3）如图是小明画出的y关于x的函数图象，点B、E均在该函数的图象上，其中矩形OABC的面积记为S1，矩形ODEF的面积记为S2，请判断S1和S2的大小关系，并说明理由． （4）在（3）的条件下，DE交BC于点G，反比例函数y的图象经过点G交AB于点H，连接OG、OH，则四边形OGBH的面积为　 　 ． 参考答案与试题解析 1．【答案】（1）y； （2）x． 【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y， 又图象经过点（﹣3，﹣1），则k＝﹣1×（﹣3）＝3， y与x的函数关系式为y． 故答案为：y； （2）将y＝﹣4代入y，得到x， ∴当y＝﹣4时，x． 2．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）y是x的反例函数， 所以，设， 当x＝2时，y＝6． 所以，k＝xy＝12， 所以，； （2）当x＝4时，y＝3． 3．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵y1与（x﹣1）成正比例，y2与（x+1）成反比例， ∴y1＝k1（x﹣1），y2， ∵y＝y1+y2，当x＝0时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝﹣1． ∴， ∴k2＝﹣2，k1＝1， ∴y＝x﹣1； （2）当x，y＝x﹣11． 4．【答案】（1）y2，y1x﹣2； （2）8； （3）﹣2≤x＜0或x≥6． 【解答】解：（1）把A（6，1）代入y2中， 解得：m＝6， 故反比例函数的解析式为y2； 把B（a，﹣3）代入y2，解得a＝﹣2， 故B（﹣2，﹣3）， 把A（6，1），B（﹣2，﹣3）代入y1＝kx+b， 得，解得：， 故一次函数解析式为y1x﹣2； （2）如图，设一次函数y1x﹣2与x轴交于点C， 令y＝0，得x＝4． ∴点C的坐标是（4，0）， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC4×14×3＝8． 故答案为：8； （3）由图象可知，当﹣2≤x＜0或x≥6时，y1≥y2， 所以y1≥y2时x的取值范围是﹣2≤x＜0或x≥6． 5．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）将点A（m，2）代入y＝2x﹣4得： 2m﹣4＝2， 解得：m＝3， ∴点A的坐标为（3，2）； （2）将点A（3，2）代入y得：k＝6， ∴反比例函数解析式为y． 6．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意A（﹣2，4），B（4，﹣2）， ∵一次函数过A、B两点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为y＝﹣x+2； （2）设直线AB与y轴交于C，则C（0，2）， ∵S△AOCOC×|Ax|，S△BOCOC×|Bx| ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC•OC•|Ax|•OC•|Bx|6； （3）由图象可知：一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜4． 7．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）将A（3，m）代入y＝x﹣2， ∴m＝3﹣2＝1， ∴A（3，1）， 将A（3，1）代入y， ∴k＝3×1＝3， （2）①PM＝PN，证明如下： 当n＝1时，P（1，1）， 令y＝1，代入y＝x﹣2， x﹣2＝1， ∴x＝3， ∴M（3，1）， ∴PM＝2， 令x＝1代入y， ∴y＝3， ∴N（1，3）， ∴PN＝2 ∴PM＝PN， ②P（n，n），n＞0 点P在直线y＝x上， ∴M（n+2，n）， ∴PM＝2， ∵PN≥PM， 即PN≥2， ∵PN＝|n|， ||≥2 ∴0＜n≤1或n≥3 8．【答案】（1）见详解；（2）一次函数解析式为y＝7x﹣5．（3）脚长约为25.8cm估计这个人的身高为175.6cm． 【解答】解：（1）描点如图示： （2）∵y（k≠0）转化为k＝xy＝23×156≠24×163≠25×170≠•••， ∴y与x的函数不可能是y， 故选一次函数y＝ax+b（a≠0），将点（23，156）、（24，163）代入解析式得： ，解得， ∴一次函数解析式为y＝7x﹣5． （3）当x＝25.8时，y＝7×25.8﹣5＝175.6（cm）． 答：脚长约为25.8cm，估计这个人的身高为175.6cm． 9．【答案】（1）反比例函数解析式为y． （2）新的售价最高定为6元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完． 【解答】解：（1）根据表格数据可知：18×50＝900，15×60＝900，12×75＝900，10×90＝900，9×100＝900， 乘积恒为900，说明y与x成反比例函数， 设反比例函数解析式为y，代入x＝18，y＝50得：k＝18×50＝900， ∴反比例函数解析式为y． （2）根据题意，试销5天销售总量为50+60+75+90+100＝375， 剩余量1575﹣375＝1200（千克）， 后续销售10天，销量＝90×10＝900， 剩余量1200﹣900＝300（千克）， 设新售价为a元/千克，则每天的销量为千克，根据题意得： 2300， 解得a＝6． 答：新的售价最高定为6元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完． 10．【答案】（1）二次函数的解析式为y＝﹣（x﹣12）2+100（2≤x＜12），反比例函数的解析式为y（x≥12）； （2）每天至少需要执勤的时间为分钟． 【解答】解：（1）设该二次函数的解析式为y＝a（x﹣12）2+100， 把点（2，0）代入，得100a+100＝0， 解得：a＝﹣1， ∴所求二次函数的解析式为y＝﹣（x﹣12）2+100（2≤x＜12）， 把点（12，100）代入y得：k＝1200， ∴所求反比例函数的解析式为y（x≥12）； （2）由y＝﹣（x﹣12）2+100＝36解得：x1＝4，x2＝20（不合题意，舍去）， 由y36解得：x， 4， 故每天至少需要执勤的时间为分钟． 11．【答案】（1）反比例函数的解析式为y； （2）8． 【解答】解：（1）∵反比例函数y的图象经过点A（1，2）， ∴2， ∴k＝2， ∴反比例函数的解析式为y； （2）∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行， ∴设B点的坐标为（m，m）， ∵反比例函数y的图象经过B点， ∴m， ∴m2＝2， ∴小正方形的面积为4m2＝8， ∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，且A（1，2）， ∴大正方形在第一象限的顶点坐标为（2，2）， ∴大正方形的面积为4×22＝16， ∴图中阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积＝16﹣8＝8． 12．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）过点A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，垂足分别为E，F，如图， ∵A（3，4）， ∴OE＝3，AE＝4， ∴， ∵四边形OABC是菱形， ∴AO＝AB＝OC＝5，AB∥x轴， ∴EF＝AB＝5， ∴OF＝OE+EF＝3+5＝8， ∴B（8，4）， ∵过B点的反比例函数解析式为， 把B点坐标代入得k＝32， ∴反比例函数解析式为； （2）∵OB⊥BD， ∴∠OBD＝90°， ∴∠OBF+∠DBF＝90°， ∵∠DBF+∠BDF＝90°， ∴∠OBF＝∠BDF， 又∵∠OFB＝∠BFD＝90°， ∴△OBF∽△BDF， ∴， ∴， 解得DF＝2， ∴OD＝OF+DF＝8+2＝10， ∴D（10，0）． 设BD所在直线解析式为y＝k1x+b， 把B（8，4），D（10，0）分别代入得：， 解得． ∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+20． 13．【答案】见试题解答内容 【解答】解： （1）∵AD＝2， ∴A点纵坐标为2， ∵A点在反比例函数y的图象上， ∴2，解得x， ∴OD， ∵四边形ABCD为矩形， ∴BC＝AD＝2AB＝2CD＝2， ∴CD＝1， ∴OC＝1， ∴B点坐标为（，2）， ∵B点在反比例函数y（k＞1）图象上， ∴k2＝3； （2）如图，延长BA交y轴于点E， ∵k＝4， ∴过A、B两点的反比例函数解析式分别为y，y， ∴S矩形OEBC＝4，S矩形OEAD＝1， ∴S矩形ABCD＝S矩形OEBC﹣S矩形OEAD＝4﹣1＝3． 14．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由已知可得AD＝5， ∵菱形ABCD， ∴B（6，0），C（9，4）， ∵点D（4，4）在反比例函数y（x＞0）的图象上， ∴k＝16， 将点C（9，4）代入yx+b， ∴b＝﹣2； （2）E（0，﹣2）， 直线yx﹣2与x轴交点为（3，0）， ∴S△AEC2×（2+4）＝6； 15．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴2a+8＜0，解得a＜﹣4， ∴a的取值范围是a＜﹣4； （2）∵当x＞0时，y随x的值增大而减小， ∴2a+8＞0，解得a＞﹣4， ∴a的取值范围是a＞﹣4． 16．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵函数y0， ∴函数y的图象是：C 故答案为：C． （2）该函数的性质： ①在第三象限内，y随x的增大而减小， ②图象的两个分支分别 位于第三、四象限； 故答案为：在第三象限内，y随x的增大而减小，图象的两个分支分别位于第三、四象限； （3）当y＝﹣4时，4， 解得：x， 根据函数的图象和性质得，不等式4＞0的解集是：x或x． 17．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（2）由题意x＝5时，y2， ∴m＝2， 故答案为2． （3）函数图象如图所示： （4）①观察图象可知图象是轴对称图形，对称轴为直线x＝2． 故答案为x＝2． ②由题意，M（2，n），N（2，n）， ∴PN2+13，PM＝﹣1﹣（2）3， ∴PN﹣PM3﹣（3）＝6， 故答案为6． 18．【答案】（1）x≠1； （2）4； （3）①x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小．②x＜﹣1或x＞3． 【解答】解：（1）当x≠1时，分母都不为0， 故答案为：x≠1； （2）当x＝2时，m4， 故答案为：4； （3）画出函数的图象如图： ；（4）①当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小． 故答案为：x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小． ②观察图象，不等式的解集为x＜﹣1或x＞3 故答案为：x＜﹣1或x＞3． 19．【答案】（1）最高点的坐标为（1，6），m＝3； （2）k＝6． 【解答】解：（1）把点A（﹣2，﹣3）和B（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c， 得 解得， ∴y＝﹣x2+2x+5＝﹣（x﹣1）2+6， ∴抛物线顶点坐标为（1，6）， 当y＝2时，﹣（x﹣1）2+6＝2， 解得：x＝﹣1或3， 又∵点C（m，2）在第一象限， ∴m＞0． ∴m＝3； （2）函数的图象是双曲线， ∵点C（3，2）在抛物线上， 由①知，双曲线在第一象限的那一支经过点C或在点C的上方； 由②知，双曲线在第一象限的那一支经过点C或在点C的下方． ∴双曲线经过点C（3，2）， ∴k＝xy＝3×2＝6． 20．【答案】（1）见解答； （2）见解答． 【解答】（1）解：把x代入y＝x2得，y， ∴点（，）在二次函数y＝x2图象上， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， 由题意可知， ∴， ∴直线AB的解析式为y＝5x﹣6， 当x时，y＝56， ∴线段AB上的点（，）不在二次函数y＝x2图象上， ∴二次函数y＝x2图象上A（2，4），B（3，9）两点之间的图象不是线段． （2）证明：设点（m，），（n，）都是反比例函数在第一象限内的图象上的点，且n＞m＞0， ∵， ∴， 即反比例函数在第一象限内的图象满足y随x的增大而减小． 21．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）从表格可以看出xy＝6， ∴墨水盖住的数据是1.5； 故答案为1.5； （2）由xy＝6，得到y，y随x的增大而减少； 故答案为y；减少； （3）S1＝OA•OC＝k＝6，S2＝OD•OF＝k＝6， ∴S1＝S2； （4）∵S四边形OCBA＝OA•OB＝6，S△OCGOD•OG2＝1，S△OAHOA•OH2＝1， ∴S四边形OGBH＝S四边形OCBA﹣S△OCG﹣S△OAH＝6﹣1﹣1＝4； 故答案为4； 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $