山东滨州市2026届高三下学期二模数学试题

高三数学试题参考答案 2026.5 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.D2.B3.A4.B5.D6.B7.A8.C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.AC 10.BCD 11.BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 120 18-合149 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本题13分) 解：(1)由余弦定理c2=a2+b2-2 abcosC,得a2+b2-c2=2 abcosC,…1分 所以s=3(a2+b2一c2)=%abcosC.. …2分 又因为S=号-alsinC, 3分 所以abcoC=obsinC. 4分 由ab≠0，得sinC=√3cosC,即tanC=3. 5分 因为0<C<π，… 6分 所以C=交， 7分 (2)因为3A=C+B,C=号A+B+C=元， 8分 所以B-瓷A=竿 9分 因为CD为角平分线，所以∠BCD= 6 10分 所以∠BDC=音登-器 所以a=CD=4.… 11分 5元 4sin 由正弦定理可得b=asinB 2 sinA n 12分 =6+2 =2+23. 13分 高三数学试题答案第1页（共6页） 16.(本题15分) 4 解：(1)当a=2时，f(x)=x2-41nx,则'(x)=2x- ,…1分 所以f'(1)=2-4=一2.…2分 又f(1)=1, 800年0088400年0000年000008单48年00880084年08年0原年8年000年年年00880g 3分 所以曲线y=∫(x)在点A(1,(1)处的切线方程为y一1=一2(x一1)，即2x十y一3=0. …5分 (2)易知fx)=x2-2alnx的定义坡为(0.+c∞)，且f'(z)=2z-2g=2x-a 6分 因为a>0,令f'(x)=0,得到x=√a或x=一√a(舍去)， 当0<x<√a时，f'(x)<0,当x>√a时，f'(x)>0, 所以f(x)在区间(0，va)上单调递诚，在区间(W石，+∞)上单调递增，…7分 所以∫(x)≥∫(Wa)=a-2 alnVa=a-alna.…8分 又由题意知，存在xo∈(0，+∞)，使f(xo)<a2+lna, 所以a2十(a十1)na一a>0.…9分 令aa+(a+1lha-a(a>0),则A'a)=2a+la+后， 10分 p(a)=h'(a)=2a+lna+L(a>0), 划'(a)=24-↓=a+1)(2a-12 …11分 房以当a∈(0，之)时.g'(a)<0,当a∈（分，十∞)时，9'(a)>0,…12分 所以p(a)在区间a∈(0，号单阔递减，在区间aE(弓，十∞)上单调递增，…13分 所以p(a)≥p(2)=1-ln2+2=3-ln2>0, 所以h'(a)=p(a)>0, 所以h(a)在(0，十∞)上单调递增. 14分 又h(1)=0,所以当a>1时，h(a)>0, 枚a的取值范围为(1，十o∞).… 15分 17.(本题15分) 解：(1)由题意：b=1,cos∠AF0=S= 0 2 2分 又a2=b2+c2,所以a=2,… 3分 所以椭圆方程为号+y2-1. 5分 高三数学试题答案第2页（共6页） （2)由1蜘：F1.o,所以kw=君二月=-1 6分 因为F为△APQ的垂心，所以kr0·k心=一1且kn·k和=一1， 所以k阳=1.…7分 设直线PQ方程为y=x十m,P(x1y1),Q(x2y2).…8分 [y=x十m, 联立直线PQ与椭圆方程得， 2+y2-1. 消y得：3x2+4mx+2m2-2=0.…9分 令△>0，解得：一3<m<3,出韦达定理1+z=-织， 2m2-2 3 …10分 因为灰w…ko=-l所以2·2-l…业分一 所以x1x2一x1十y1y2一y2=0, 所以x1x2一x1十(x1十m)(x2十m)一x2-m=0, 整理得：(m一1)(z1十x2)+2x1x2十m2-m=0, …i2分 将24十=-智14=2代人上式。 3 化简得：3m2+m一4=0，解得m=1或-子 13分 当m=1时，直线PQ过点A,不符合题意，會去 当m=一专时，渊足一<m<原符合题意。…14分 所以所求直线PQ方程为：y=x 3 …15分 18.(本题17分) 解：())由Pi-号P心=xPi+P),得p可=号P心+xP所+zP, …1分 因为点1∈平面ABC,由共面向量定理知：号十z+x=1,解得x=合 …3分 (i)连接CD,PD. 因为x=合，所以Pi=子心+启Pi+P)=号P心+P币， 所以i-P元=-心+ò=号P市-P心， 所以=号ò. 4分 因为PA=PB=2a,D是AB的中点， 所以在△PAB中，PD=√PA2-AD=√4a2-b, …5分 在△ABC中，CD=√(2b)2-b2=3b. 高三数学试题答案 第3页（共6页） 所以D1 3CD= 3 b, 6分 所以P12=PD2-D12=（4a2-62)-号62=4a2-子6.… 7分 因为C1-cD-号6，∠PcD- 所以在△PCI中，tan∠PCD=P√/4知2 CI =√3， …8分 整理得6a2=56,即=3@ 5 9分 (2)因为P心-=PA+AB+BC, 所以P心·AB=(PA+AB+BC)·AB=PA,AB+AB2+BC.AB. 因为PA1AB,AB=AC=BC=2b,异面直线PC与AB所成角为号， 所以川P×2b×号=0+46+26×2b×(-宁). 所以|P=2b.… 10分 设PA与半面BC所成角为0，建立如图所示的空间直角坐标系， D(0,0,0),A(-b,0,0),B(b,0,0),C(03b,0),P(-b,2acos8,2a$in8),…11分 设面体P一ACD外接球的球心为0（一名受0，m）.… b3 2分 因为PC=2b,所以b(2acos0-√3b)'+(2asin0)2=4b2, 所以c0s=3e 3b 因为0<0<受，所以c00= 3b 2<1, 所以> a 3· 13分 因为n0=1一6o0=1- 36,且OD=OP=R, 所以6+m=号+(2aco0-0)r+om-2am9。 所以m= 0 2sin0 14分 高三数学试题答案第4页（共6页） 62+()2 3. 所=2=+m 2sing b b a ab ab ab 3b2-a Aab 12(2)2-4 362 04年00eg000040t00中0年g040000。。440年4 15分 所以尽、 令4=台则>吗 12r2-4 令f)=+22号>5 1222-443r2-1 3 f)=,36+ (32-1) 16分 由f'()>0得>， 11+√105 11+√105 24 由)0得< 24 所以得中)上调诚，在 11+√105 24 24 ,十∞)单调递增， 所以∫()在t=, 11+√05 24 时取到最小值，即= 11+√105 24 <1↓故ab.… a …17分 19.(本题17分) 解：因为ag=3,a=5gN 1分 所以数列{a.}不具有性质①. 2分 2因为Vi.jEN,>j号=2-，2-j∈N, 3分 所以=a效， 01 4分 所以数列{an}具有性质①. 5分 Vn∈N”,n≥3,3k=n-1,l=n-2, 6分 所以2=21-(2-0=2=0，四 7分 所以数列{an}具有性质②. 8分 (3)假设数列中的项均为正数： 首先利用性质@：取n=3,此时a,=三（>)， a 由数列的单调性可知a.>a1>0, 而a4=a4·兰>a4,故k<3, 高三数学试题答案第5页（共6页） & 此时必有k=2,l=1,即a2= a1 即a:,a2a3成等比数列，不妨设a2=a1q,a3=a1g2(g>l).…9分 然后利用性质①：取=3j=2,则a.=i= -=a1g3, a:a1 即数列中必然存在一项的值为a1g,下面我们来证明a,=a19.…10分 否则，由数列的单调性可知a,<a1q', 在性质②中，取n=4,则a=兰=a:二>a,从而k< 与前面类似的可知则存在{k,l)二{1,2,3}(k>),满足a,=兰.…11分 a 若k=3l=2,则a4= =a1g3,与假设矛盾； al 若k=3.l=1,则0，==01g>a1,与假设矛盾； a 若6=2.1=1，则1a,=-01g=a4,与数列的单调性矛盾， 即不存在满足题意的正整数k,l,可见a,<a1q3不成立，从而a,=a193.…12分 然后利用牲少0：取=4，=3，则数列中存在一项a。=a-ig as a1g =a1g1, 下面我们用反证法来证明a5=a1q‘.… 13分 否则，由数列的单测性可知a1q<a,<a1q, 在性质②中，取n=5,则a:-=a4兰>a4,从而k<5, a a L 与前面类似的可知则存在kd1,23,4>0,满足ag= …14分 a 唧由②可知：a,=经_ig- a1a1g=a1g24--1. 若2k一l一1=4，则as=a19’,与假设矛盾： 若2k一l一1>4，则as>a1g,与假设矛盾： 若2k一l-1<4,由于k,l为正整数，故2k一l-1≤3，则a,≤a1g3,与a193<as矛盾. 综上可知，假设不成立，则as=a1g‘. 15分 同理可得：a6=a1g5,a7=a1g,…,从而数列{an}为等比数列.…16分 同理，当数列中的项均为负数时亦可证得数列为等比数列. 由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数. 从而题中的结论得证，数列{a.}为等比数列.…17分 高三数学试题答案第6页（共6页）试卷类型：A 高三数学试题 2026.5 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准 考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在 试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. -八，中阻一1， p 4.考试结束后，请将答题卡上交 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 樊 项是符合题目要求的， 1.已知集合U=R,集合A={x|x≤1}，B={-2,-1,1,2,3},则集合(CRA)∩B= A.{-1,1,2,3) B.{-2,-1,1} C.{1,2,3} D.{2,3} 2已知1是虚数单位，则复数：=宁的虚部为 A.1 B.-1 人武你C是门直面，D.一i9签( 3.已知实数a,b,则“a>2且b>2”是“a十b>4”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 10九一9科页四5 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 名晒数f)=中老在[一K,可上的图象大致为 代融水 拟 B C D 5.某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小 1频率/组距 发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分.学 /5a 生得分的频率分布直方图如图所示，根据图中数据，估计得分 Aa 的第80百分位数为 3a A.78 B.82 C.85 D.88 05060708090100得分 高三数学试题4第1页（共4页） A 6.若sia,sin(a一)，sin(a十子)成等差数列，则cos2a= 3 1 心 A号 B- c±培 D.-4 7.已知一个无盖的圆柱形容器（忽略容器壁厚度），其底面半径为10厘米，母线长为30厘 米，现在将该容器盛满水并缓慢倾斜，设圆柱形容器的母线与水平面所成角为α，当剩下 的水为原来的时，tam A音 B号 c D号 8.在平行四边形ABCD中，E为边BC上的动点，O为△ABD外接圆的圆心，且 2Dò=DA+Di.若|D可1=|DA1=1,则Dò·D2的最大值为 A B.1 C. D.2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.已知曲线C:x2+y2cosa=1,其中a∈[0，x],则下列结论正确的是，△ A若a=0,则C是圆 且若a=受，则C是一条直线 C若a=号，则C是椭圆，其离心率为号 2 D若。=行，则C是双曲线，其渐近线方程为y=士号 10.已知A,o∈R,9∈[0,2a),若对任意实数x都有2sin(3x-子)=Asin(十p),则下列 结论正确的是 A.A=2 G,, B.w=士3 :亚图流·原心()（一出，一8 分年4不，>。，)分，8+9)一.金( C.cos2g=- 2 D.满足条件的有序实数组(A,w,P)的组数为4 11.已知无穷数列{an}的前n项和为Sn,且对于任意n∈N°，Sn十an=1(a∈R且入≠一1)， 则下列结论正确的是 A.存在入≠一1，使得{an}是常数列 B.任意λ∈(0，+∞)，{am}有最大项，无最小项 C.存在λ<0，使得{an}是周期数列 D.任意λ≠一1，{an}不是递增数列 高三数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分 17.(本 12.已知函数f(x)=x2e',x∈[一3,0]，则函数f(x)的最大值为 已 13.已知变量x和变量y的一组成对样本数据为(xy),(红1y,),…,(21y,),其中三= 8 其回归直线方程为=2x+只，当增加两个样本数据(-1,3)和(2,1后，经重新计算 cOS (1) 得到新回归直线的斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据(3，)所对应 (2) 的残差为」 ·(残差=观测值一预测值) 14.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中不放回地随机取球，每次取1个球。 若存在整数k满足1≤k≤3，使得标有数字2k一1和2k的球均被取出时，则停止取球， 记X为取出的球的个数，则X的数学期望E(X)= 18.( 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本题13分) 在△ABc中，角AB,C的对边分别为a6c,面积S=a2+6-e2),且3A=C+B, (1)求C； (2)若C的角平分线交AB于D,且CD=4,求b. 16.(本题15分) 已知函数f(x)=x2-2alnx,a>0. (1)若a=2,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1)处的切线方程； (2)若存在x。∈(0，+∞)，使f(xo)<a2+lna,求a的取值范围. 本长3的(9，心，)程0气9 之，/9年技生，之，4识的、 从的 烟水达天是 游出化的.00 0班预：、 高三数学试题第3页（共4页） 17.(本题15分) 已知椭圆c, 6一0)上顶点为A(0,1),右焦点为F coS∠AFO=V2 ，P,Q为椭圆上两个不同的点（均不与A重合）. (1)求椭圆C的方程； (2)若F为△APQ的垂心，求直线PQ的方程. 18.(本题17分) 如图，在四面体P一ABC中，PA=2a,△ABC是边长为2b的等边三角形，D是AB的 中点。 (1若PB=2a,1是点P在平面ABC内的投影，存在实数x满足立-号F元=x+P克. (i)求x的值； (若∠PCD=子，求会的值； (2)若PALAB,异面直线PC与AB所成角为行， 记四面体P一ACD外接球的半径为R,求证：当 取最小值时，a>b. 19.(本题17分) 已知(an)是无穷数列.给出两个性质： 0对于(a.)中任意两项a1a,(i>),在(a,)中都存在一项a,使 ②对于a,)中任意项a.n≥3)，在(a,中都存在两项a4a,(>1),使得a,- al (1)若an=2n一1(n∈N'),判断数列(an)是否满足性质①，说明理由； (2)若an=21-"(n∈N'),判断数列(an}是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (3)若(an)是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：(an)为等比数列. 高三数学试题第4页（共4页）