23.4.2 选择方案（1）导学案 2025--2026学年人教版八年级数学下册

第二十三章 一次函数 23.4 实际问题与一次函数 第2课时 选择方案（1） 教学目标： 1. 能将方案选择等生活问题，抽象为一次函数模型； 2. 能通过解方程或观察图象，求出方案间的费用临界点； 3. 能根据不同区间，做出最优决策，体会数学应用的价值. 教学重点：理解不同方案的数学表达，掌握选择方案的策略方法，能将实际问题转化为一次函数模型； 教学难点：理解不同方案的数学表达，掌握选择方案的策略方法，能将实际问题转化为一次函数模型. 活动一、复习导入 问题1： 你还记得一次函数的表达式是什么？它的图像是一条直线，那当两个一次函数放在一起，我们能比较它们的大小吗？ （比如 y1=2x+1 和 y2=x+3，什么时候 y1＞y2？什么时候 y1＜y2？） 我们前面学习了一次函数，涉及到算数值、画图像等，其实它在生活里还有个超实用的技能 —— 帮我们做选择！ 比如同样买东西，不同商店的优惠活动，哪个更省钱？同样租车，不同车型的费用，哪个更划算？ 这些问题，都能通过一次函数解决。今天我们就来解锁一次函数的‘隐藏技能’—— 用它来选最佳方案. 活动二、探究新知1： 探究1.选择方案（游泳费用问题） 下表给出了某游泳馆A，B，C三种年卡套餐的收费标准. 回答下列问题： 1.三种收费标准有什么区别？ 2.在变化的收费标准中，游泳费用由哪些部分组成？ 3.影响超出套餐费用的因素是什么？ 4.这三种方式中有固定最优惠的方式吗？ 活动三、典例分析 例1（教材P132例题） 下表给出了某游泳馆A，B，C三种年卡套餐的收费标准. 问题：选取哪种年卡套餐能节省游泳费用？ 分析：设年游泳x次，则套餐A，B的游泳费用y1，y2都是x的函数，要比较它们，需在 x ≥ 0 的条件下，考虑何时(1)y1 = y2，(2) y1 < y2， (3)y1 > y2. 利用函数解析式，通过方程、不等式或函数图象能解答上述问题. 在此基础上，再用其中省钱的套餐与套餐C进行比较，则容易对年卡套餐作出选择. 在套餐A中，考虑游泳费用时，要把年游泳次数分为20次内和超过20次两种情况，得到刻画套餐A的游泳费用的函数解析式如下： y1＝ 化简，得y1＝ 类似地，可以得到刻画套餐 B，C 的游泳费用y2，y3关于年游泳次数x的函数解析式： y2＝ y3=（x≥0）. 在同一坐标系画出它们的图象： 当y1 = y2时，_______________ ∴当年游泳次数_______________时，选择套餐A最省钱. 当y2 = y3时，_______________. ∴当年游泳次数_______________时，选择套餐B最省钱. 当年游泳次_______________时，选择套餐C最省钱. 【练一练】某游泳馆夏季推出两种游泳付费方式． 方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费15元； 方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元．设小明计划今年夏季游泳次数为x次（x为正整数）． （1）根据题意，将表格填写完整； （2）设方式一的总费用为y1元，方式二的总费用为y2元，用x表示y1和y2； （3）通过计算说明，当x＝19和x＝21时，分别选择哪种付费方式较合算． 小结： 选择方案（游泳费用问题）步骤： 1. 建模：设游泳次数为自变量，总费用为因变量，分别列出各方案的函数解析式，注意区分固定与变动费用； 2. 比较：令不同方案的函数式相等，解方程求出费用相同的“决策临界点”； 3. 决策：根据自变量（如游泳次数）相对于临界点的大小，分类讨论各区间的最优方案，数形结合验证. 例2 某学校欲购置一批标价为4 000元的某种型号电脑，需求数量在6至15台之间．经与两家专卖店商谈，优惠方法如下： 甲店：购买电脑打八折； 乙店：先赠送一台电脑，其余电脑打九折． （1）分别写出两家专卖店的收费y(元)关于所购电脑数量x(台)的函数解析式； （2）对x的取值情况进行分析，说明该学校购买哪家专卖店电脑更合算？ 例3 某公司要印制产品宣传材料．甲印刷厂的收费方案是：收 1 500 元制版费，每份材料再收 1 元印制费；乙印刷厂的收费方案是：不收制版费，每份材料收 2.5 元印制费． （1）分别写出两家印刷厂的收费y（单位：元）关于印制宣传材料数量x（单位：份）的函数解析式； （2）选择哪家印刷厂比较合算？ 活动四、随堂检测 随堂练习1 如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价 y(元)与销售量 x（件）之间的函数图象．下列说法，其中正确的说法有    ．（填序号） ①售2件时甲、乙两家售价一样； ②买1件时买乙家的合算； ③买3件时买甲家的合算； ④买1件时，售价约为3元. 随堂练习2 如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y(元)与通话时间x(min)之间的关系，若通话时间超过200 min，则B方案比A方案便宜________元． 随堂练习3 李老师准备购买某款硬皮笔记本．经市场调研发现，这款笔记本各商店定价均为10元．李老师选定了甲、乙两家学习用品商店，准备选择其中一家购买笔记本，这两家商店均有优惠活动，如下： 甲店：购买数量超过30本，超过部分打九折出售； 乙店：购买数量超过50本，超过部分打八折出售． 设李老师购买x（x>0）本笔记本，在甲店购买所花费用为y1元，在乙店购买所花费用为y2元，其函数图象如图所示． (1) 求图中点M的坐标； (2) 当x>50时，根据图象直接写出李老师应选择哪家商店购买笔记本． 活动五、课堂总结 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 一次函数 23.4 实际问题与一次函数 第2课时 选择方案（1） 教学目标： 1. 能将方案选择等生活问题，抽象为一次函数模型； 2. 能通过解方程或观察图象，求出方案间的费用临界点； 3. 能根据不同区间，做出最优决策，体会数学应用的价值. 教学重点：理解不同方案的数学表达，掌握选择方案的策略方法，能将实际问题转化为一次函数模型； 教学难点：理解不同方案的数学表达，掌握选择方案的策略方法，能将实际问题转化为一次函数模型. 活动一、复习导入 问题1： 你还记得一次函数的表达式是什么？它的图像是一条直线，那当两个一次函数放在一起，我们能比较它们的大小吗？ （比如 y1=2x+1 和 y2=x+3，什么时候 y1＞y2？什么时候 y1＜y2？） 答：当y1＞y2时，即2x+1＞x+3，解得x＞2； 当 y1＜y2时，即2x+1＜x+3，解得x＜2. 我们前面学习了一次函数，涉及到算数值、画图像等，其实它在生活里还有个超实用的技能 —— 帮我们做选择！ 比如同样买东西，不同商店的优惠活动，哪个更省钱？同样租车，不同车型的费用，哪个更划算？ 这些问题，都能通过一次函数解决。今天我们就来解锁一次函数的‘隐藏技能’—— 用它来选最佳方案. 活动二、探究新知1： 探究1.选择方案（游泳费用问题） 下表给出了某游泳馆A，B，C三种年卡套餐的收费标准. 回答下列问题： 1.三种收费标准有什么区别？ 答：A套餐，B套餐收费会变化，C套餐收费不变. 2.在变化的收费标准中，游泳费用由哪些部分组成？ 答：游泳费用=年卡费用+超出套餐费用. 3.影响超出套餐费用的因素是什么？ 答：年游泳次数. 4.这三种方式中有固定最优惠的方式吗？ 答：没有，与年游泳次数有关. 活动三、典例分析 例1（教材P132例题） 下表给出了某游泳馆A，B，C三种年卡套餐的收费标准. 问题：选取哪种年卡套餐能节省游泳费用？ 分析：设年游泳x次，则套餐A，B的游泳费用y1，y2都是x的函数，要比较它们，需在 x ≥ 0 的条件下，考虑何时(1)y1 = y2，(2) y1 < y2， (3)y1 > y2. 利用函数解析式，通过方程、不等式或函数图象能解答上述问题. 在此基础上，再用其中省钱的套餐与套餐C进行比较，则容易对年卡套餐作出选择. 在套餐A中，考虑游泳费用时，要把年游泳次数分为20次内和超过20次两种情况，得到刻画套餐A的游泳费用的函数解析式如下： y1＝ 化简，得y1＝ 类似地，可以得到刻画套餐 B，C 的游泳费用y2，y3关于年游泳次数x的函数解析式： y2＝ y3=1 800（x≥0）. 在同一坐标系画出它们的图象： 当y1 = y2时，_x=35_. ∴当年游泳次数_0≤x≤35_时，选择套餐A最省钱； 当y2 = y3时，_x=65_. ∴当年游泳次数_35≤x≤65_时，选择套餐B最省钱； 当年游泳次数_x＞65_时，选择套餐C最省钱. 【练一练】某游泳馆夏季推出两种游泳付费方式． 方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费15元； 方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元．设小明计划今年夏季游泳次数为x次（x为正整数）． （1）根据题意，将表格填写完整； （2）设方式一的总费用为y1元，方式二的总费用为y2元，用x表示y1和y2； 解：由题意，得y1＝100＋15x（x＞0，且x为整数），y2＝20x（x＞0，且x为整数）. （3）通过计算说明，当x＝19和x＝21时，分别选择哪种付费方式较合算． 解：当x＝19时，y1＝100＋15×19＝385， y2＝20×19＝380， ∴y1>y2， ∴选择方式二较合算； 当x＝21时，y1＝100＋15×21＝415， y2＝20×21＝420， ∴y1<y2， ∴选择方式一较合算． 综上所述，当x＝19时，选择方式二较合算； 当x＝21时，选择方式一较合算． 小结： 选择方案（游泳费用问题）步骤： 1. 建模：设游泳次数为自变量，总费用为因变量，分别列出各方案的函数解析式，注意区分固定与变动费用； 2. 比较：令不同方案的函数式相等，解方程求出费用相同的“决策临界点”； 3. 决策：根据自变量（如游泳次数）相对于临界点的大小，分类讨论各区间的最优方案，数形结合验证. 例2 某学校欲购置一批标价为4 000元的某种型号电脑，需求数量在6至15台之间．经与两家专卖店商谈，优惠方法如下： 甲店：购买电脑打八折； 乙店：先赠送一台电脑，其余电脑打九折． （1）分别写出两家专卖店的收费y(元)关于所购电脑数量x(台)的函数解析式； 解：由题意可得y甲＝4 000×0.8x＝3 200x（6≤x≤15，且x为整数）． y乙＝4 000×0.9(x－1)＝3 600x－3 600（6≤x≤15，且x为整数）． （2）对x的取值情况进行分析，说明该学校购买哪家专卖店电脑更合算？ 解：当3 200x＝3 600x－3 600时，解得x＝9， 即当购买9台电脑时，在两家专卖店的购买费用相同； 当3 200x<3 600x－3 600时，解得x>9， 即当9＜x≤15时，买甲店电脑更合算； 当3 200x>3 600x－3 600时，解得x<9， 即当6≤x＜9时，买乙店电脑更合算． 例3 某公司要印制产品宣传材料．甲印刷厂的收费方案是：收 1 500 元制版费，每份材料再收 1 元印制费；乙印刷厂的收费方案是：不收制版费，每份材料收 2.5 元印制费． （1）分别写出两家印刷厂的收费y（单位：元）关于印制宣传材料数量x（单位：份）的函数解析式； （2）选择哪家印刷厂比较合算？ 解：y甲＝1500+x（x≥0，且 x为整数） y乙＝2.5x（x≥0，且 x为整数） ① 当两家费用相等时，即y甲＝y乙 ∴1500+x＝2.5x x＝1000 ∴当印制 1000 份 时，两家印刷厂的费用一样； ② 当乙厂费用更低时，即y甲＞y乙 ∴1500+x＞2.5x x＜1000 ∴当印制数量 小于 1000 份 时，乙印刷厂更合算； ③ 当甲厂费用更低时，即y乙＞y甲 ∴2.5x＞1500+x x＞1000 ∴当印制数量 大于 1000 份 时，甲印刷厂更合算． 活动四、随堂检测 随堂练习1 如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价 y(元)与销售量 x（件）之间的函数图象．下列说法，其中正确的说法有 ①②③ ．（填序号） ①售2件时甲、乙两家售价一样； ②买1件时买乙家的合算； ③买3件时买甲家的合算； ④买1件时，售价约为3元. 随堂练习2 如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y(元)与通话时间x(min)之间的关系，若通话时间超过200 min，则B方案比A方案便宜____12____元． 解：当x＞200 时，yA＝0.4x－18， yB＝0.4x－30 yA －yB＝（0.4x－18）－（0.4x－30）＝12 随堂练习3 李老师准备购买某款硬皮笔记本．经市场调研发现，这款笔记本各商店定价均为10元．李老师选定了甲、乙两家学习用品商店，准备选择其中一家购买笔记本，这两家商店均有优惠活动，如下： 甲店：购买数量超过30本，超过部分打九折出售； 乙店：购买数量超过50本，超过部分打八折出售． 设李老师购买x（x>0）本笔记本，在甲店购买所花费用为y1元，在乙店购买所花费用为y2元，其函数图象如图所示． (1) 求图中点M的坐标； (2) 当x>50时，根据图象直接写出李老师应选择哪家商店购买笔记本． 解：（1）当x>30时（且x为整数）， y1＝10×30＋10×0.9(x－30)＝9x＋30， 当x>50时（且x为整数）， y2＝10×50＋10×0.8(x－50)＝8x＋100， 令9x＋30＝8x＋100， 解得x＝70， 此时y1＝y2＝660， ∴点M的坐标为(70，660)． （2）当50<x<70时，应选择甲店购买； 当x＝70时，在两家商店购买所花费用相同，任选一家购买即可； 当x>70时，应选择乙店购买． 活动五、课堂总结 学科网（北京）股份有限公司 $