2026届全国卷一卷适应性考试数学试题一

**基本信息** 高2026届全国一卷高考数学模拟预测卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合文化传承（如隙积术）与实际应用（如投篮比赛），适配高考命题趋势，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、统计、立体几何等|第6题高阶等差数列结合沈括隙积术，渗透文化传承| |填空题|3题15分|二项式定理、三角函数、数列|第14题数列递推与参数范围，考查逻辑推理| |解答题|5题77分|函数恒成立、概率期望、立体几何、双曲线、约数定义|第16题趣味投篮考概率期望，体现应用意识；第19题约数探究，培养创新思维|

高2026届全国一卷高考模拟预测试题一 数学参考答案 一.单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A A A D C D C 二.多选题 题号 9 10 11 答案 BC ABD ACD 三.填空题 12.-40 13.2 15.解：(1)当a=0时，函数f(x=xnx的定义域是(0，+o）,f'(x=lnx+1,…2分 令f"(<0,得1血x+1<0,解得0<x<。,故f(x)的单调递减区间是0，。 ……3分 令f川>0，得nx+1>0,解得x>。,故f到的单调递增区间是（很网，…4纷 1 综上，了八的单调淀减区间是Q),单调递塔区间是（怎+） 0……5分 (2)由任意xe(0,+o),f(x≤x2+2知xlnx≤x2+ax+2恒成立 2 因x>0,故a≥lnx-x-二，在xe(0,+o）上恒成立.… …7分 设刘=nx-x-2x>0,则h(=1-1+2-x-2x+ …8分 令h'x=0,得x=2,x2=-1(舍去)，… …9分 当x∈(0,2时，h'(x>0,h(x单调递增，… ………9分 当x∈(2，+0)时，h'x<0,h(x单调递减，…10分 故当x=2时，h(x取得极大值，也是最大值，且h(xx=h(2)=h2-3,…11分 所以若a≥h(x)在xe(0,+0)上恒成立，则a之h(xnx=lh2-3,…12分 故实数☑的取值范围是[ln2-3,+0.…13分 3211 16.解：(1)甲三次投篮都命中的概率为P=二×。×。 4324' …………1分 甲三次投篮只命中两次且总分不低于4分的概率为 …3分 所以甲未获得奖品的概率为P=1-R-B=及 ………5分 24 第1页，共2页 (2)设甲的投篮次数为X,则X的分布列为…。 ……7分 X n 200-2n 2 分 则0=是+20-2x个1- 3n-200-2n+200.…9分 2 令fm=3n,200-2n+20(aeN),则/a+1=3n,-197-2n+198,· 2" 所以f+1)-fm=203-3n-22 ，其中203-3n-2+2随n的增大而减小.…11分 2+1 当n≤5时，203-3n-2+2>0,f(n+1)>f(n),当n≥6时，203-3n-2*2<0f(n+)<f(m),…13分 所以f(I)<f(2)<f(3)<f(4)<f(5)<f(6)>f(7)>f(8)>f(9)>…,…14分 故当n=6时，甲投篮次数的期望最大.… ……………15分 17.(1)取AD中点0，连接P0、G0, 由E,F,G分别为PC,PD,CB的中点，底面ABCD是正方形， …2分 故EF/1CD、G0/1CD,则EF/0G,故E、F、O、G四点共面，·3分 因为GHn平面EFOG=G,GEEF,EFc平面EFOG,…… 0…4分 故直线EF与直线GH为异面直线；…… …5分 (2)由△PAD是正三角形，且O为AD中点，故P0⊥AD, 由CD⊥平面PAD,POc平面PAD,故CD⊥PO, 又AD∩CD=D,AD、CDc平面ABCD,故PO⊥平面ABCD,· …6分 故可以以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则0(0,0,0)、A(2,0,0、B(2,4,0)、G(0,4,0)、 P0,0,2V3、C(-2,4,0、D(-2,0,0,… …7分 由E,F分别为PC,PD的中点，故E(-l,2,⑤、F(-1,0,5, 则EF=(0,-2,0)、EG=(1,2,-5、AB=(0,4,0)、GA=(2,-4,0), 设AH=2AB=(0,42,0),1∈R,则G7=GA+AF=(2,42-4,0),… ··8分 设平面EFG的法向量为m=x,y,z),则有 m·EF=-2y=0 m·EG=x+2y-V3z=0 取x=√5，则y=0、2=1,即m=(5,0,1,…10分 有saa丽）-g别 GH 25 5 ……12分 V4+(42-4)2V3+124(2-12+1 设直线GH与平面EFG所成角为O, 则m0-丽2y号.当组收当-1时，夸号度，…1H粉 s 第1页，共2页 故sin9最大值为5，即直线GH与平面EFG所成角的最大值为…15分 18.解：1)设C的右焦点为F01,由P2,3在C上，且PF与x轴垂直，得c=2.公=3，…2分 a 又b2=c2-a2,a>0,b>0,所以a=1,b=√3，……3分 所以C的方程为x2-y 3=1八 (2)C的两条渐近线方程为y=±V3x, 设过P与C的右支相切的直线方程为y=k(x-2)+3,将此方程与C方程联立，消去y得， (k2-3x2+6k-4k2）x+4k2-12k+12=0, 则k2-3≠0，且△=6k-4k2)-4k2-3)4k2-12k+12)=0,解得k=2,… ····6分 所以切线方程为y=2x-1,句线与维交于点20】 3 由y=2x-1与y=±V3x分别联立，求出A,B的纵坐标分别为 2-5’2+5 ………8分 +5】 △40B的面积内22*T2-石+ =3.……9分 (3)设直线PM的方程为y-3=k(x-2),M(x,片)，由PM的方程与C方程联立， 得（k2-3x2+(6k-4k2)x+4k2-12k+12=0, 则k23≠0.△>0x+2,所以5=26+6 k2-31 设N(x2,y2),则x中的k换成-k,得x2= 2k2+6k+6 ,…………12分 k2-3 直线MN的斜率为-1=（名-2到+3-k(-2)-3_4-x+x) …14分 x2-x x2-x X2一X 4k-k 2k2-6k+6,2k2+6k+6 4k2+12 A k2-3 k2-3 4k-k× N k2-3 2k2+6k+62k2-6k+6 12k K2-3 k2-3 k2-3 4k3-12k4k3+12k-24k =2-3-3 k2-3 …··16分 12k 12k k2-3 k2-3 所以直线MW的斜率为定值-2. …17分 第1页，共2页 19.解：(1)a=3(n≥2，n∈N)的所有正约数为1,3,32，…，3”，共(n+1)项，它们构成等比数列， 于是数列{ka}的所有项的和S=1+2×3+3×32+…+n+1)×3”,…1分 所以3S=1×3+2×32+3×33+.+n×3”+(n+1×3+, 两式相藏，得-25=1+3+3+3+…+3”-n+3_10-n+×3-.2m+13+1,…2分 1-3 解得灯2n+3+1……3分 (2)由题意知，a=1,a=a,且a,ak=a,a,a-1=a,…,a,a14=a,…(1≤ik, a" a2 所以T=a,a2+a2a3+…+ak-ak= …5分 ak-ak akak aa, =a- 1+1++1 …6分 ax-ak ak-2a- 因为 1≤,-4-11 aa ax-iag ag-iak ag-ag 断r日g引日 ………7分 1 因为a1=1,a=a,则 a ak <1,所以T<a2.………8分 (3)当k≥3时，若a,a2,,a是a的所有正约数的一个排列，则a,a+a2,a2+a,,a-1+a不是另一 个正整数b的所有正约数的一个排列.…………9分 下面用反证法证明. 证明：假设a,a,+a2,a2+a3,…,ak-1+a是另一个正整数b的所有正约数的一个排列.·10分 由1是任意正整数的最小正约数及a,<a2<…<a,知， a<a+a2<a2+a3<…<ak-1+ak,其中a1=1, 由a=1,a,≥2(2≤j≤k,jeN),则a,+a1≥3i=1,2,,k-1, 所以2不是b的正约数，所以b是奇数，且任意偶数都不是b的正约数， 所以a+a2为奇数，a=1,故a2是偶数， 又a2是a的正约数，故a是偶数，…… …·13分 所以a的所有正约数中级大的两个为4，号即a-号，a=a, 第1页，共2页 则有a+05+a-号a=i=l2,t-, 回知b的最太正约数为9由任意正整数的最大正约数是其本身，故b=Q.+口，三%，…]4乡 因为a有(k≥到个正约数，且a=l,即a至少有3个正约数1，乞，a, 则b的衣大正约发风：+21：分号骨且6-知>号行 2 231 则b至少存在一个除本身外大于的正约数， 而由b是奇数，有除1外的最小正约数a+a2≥3，· ……………15分 可得b=(ak-2+a-)(a+a2）≥3(a-2+ak-）), b 则有a,+a13· b 即奇数b的所有正约数中，不存在除本身外大于二的正约数， 这与“b至少存在一个除本身外大于的正约数”矛盾. 因此假设不成立，………16分 即a1,a1+a2,a2+a,…,a-1+ak不是另一个正整数b的所有正约数的一个排列.…17分 第1页，共2页 高2026届全国一卷高考模拟预测试题一 数学 注意事项： 1． 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 2．考生必须保持答题卡的整洁。 3.满分150分，时间120分钟 第I卷 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集，集合，则 A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．复数满足，则的最大值为 A．7 B．6 C．8 D．5 4．已知两个线性相关变量与的统计数据如下表：其经验回归方程为，则 3 4 5 6 7 2.4 4 4.6 5.2 A．2.8 B．3 C．3.2 D．3.4 5．已知函数，当函数为奇函数时，为 A． B． C．0 D． 6．北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创隙积术，是研究某种物品按一定规律堆积起来求其总数问题.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，发展了隙积术的成果，对高阶等差数列求和问题提出了一些新的垛积公式.高阶等差数列的前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.现有二阶等差数列：、、、、、、、…则该数列的第项为 A． B． C． D． 7．已知正三棱锥的高，G是线段SO上一点，过点 G且与平面平行的平面分别与SA，SB，SC交于点 D，E，F，若三棱台的体积为，则SG= A． B．1 C． D．2 8．已知椭圆，过其右焦点作直线交椭圆于，两点，取点关于轴的对称点，若点为的外心，则 A． B． C． D．以上都不对 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知抛物线的焦点坐标为，斜率为2的直线与抛物线交于两点，则（    ） A．抛物线的准线方程为 B．若经过点，则线段的长为10. C．线段的中点在直线上 D．以线段为直径的圆一定与轴相交 10．已知函数与的定义域均为，且，，若的图象关于点对称，则 A． B． C．是奇函数 D． 11．在棱长为2的正方体中，为侧面正方形的中心，点为平面ABCD上的一点，则下列说法正确的有 A．若点P在棱BC上运动，则三棱锥的体积为定值 B．若点在棱BC上运动，则最小值为 C．若点满足，则动点的轨迹是一条直线 D．若点满足，则的面积最小值为 第II卷 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在的展开式中，的系数是______． 13．已知函数，且函数的相邻最高点与最低点之间的直线距离为，若，，则______． 14．在数列中，，且，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 16．（15分） 某学校举办趣味投篮比赛，选手需要在距离罚球线1米、2米、3米的A，B，C三个位置分别投篮一次（选手自行选择投篮顺序）．在A，B，C三个位置投篮命中分别可得1分、2分、3分，总分不低于4分就可以获得奖品，已知甲在A，B，C三处的投篮命中率分别为，且在这三处的投篮相互独立． (1)求甲未获得奖品的概率； (2)甲参加投篮训练，训练计划如下：在C处先投个球，若这n个球都投进，则训练结束，否则额外在C处投个球．试问n为何值时，甲投篮次数的期望最大？ 17．（15分） 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，且平面，若分别为的中点，点在直线上. (1)求证：直线与直线为异面直线； (2)求直线与平面所成角的最大值. 18．（15分） 已知是双曲线的右焦点，在上，且与轴垂直． (1)求的方程； (2)若过点与的右支相切的直线与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，求的面积； (3)设过点作两条直线与的右支分别交于（异于点）两点，且直线的斜率互为相反数，问直线的斜率是否为定值？若是，求出直线的斜率；若不是，说明理由． 19．（15分） 约数，又称因数，它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数有个正约数，即为，，，，． (1)若，求数列的所有项的和； (2)若，求证：； (3)当时，若是的所有正约数的一个排列，那么，，，，是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列？并证明你的结论． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $