广西桂林市2025-2026学年高三第二次适应性模拟考试数学试题

桂林市2025-2026学年度下学明期末质量检侧 高三年级第二次适应性模拟考试 数学 2026年5月 (考试用时120分钟，满分150分) 说明： 1。答题前，考生务必将答题卷密封线内的项目填写清楚，密封线内不要答题。 2.直接在答题卷上答题。（不在本试卷上答题）。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.集合M={1,2,4,6},N={x1<x<6,则M∩N= A.（2,4) B.（2,4,6} C.(1,2,4) D.(1,2,4,6) 2.已知向量a=(2,6),b=(-1入)，若ab,则入= A号 B.-3 C.-4 D.-5 3。下列区间中，函数r()=3(x-名)单调递增的区间是 ao到 B.( c. D.2) 4.在(x-1)°的展开式中，x项的系数为 A.120 B.-120 C.20 D.-20 5.在正四棱锥P-ABCD中，底面边长为2，侧棱长为V了，则侧棱PA与底面ABCD所成角的正弦 值为 A.V② B.V③ C.v6 3 D. 6 6过精圆芳+苦1与双曲线告一苦=1四个交点的圆的标准方程为 A.x+y2=15 B.x2+y2=16 C.x2+y2=17 D.x2+y2=20 7.把1、2、3、4四个数字随机排成一行，从左到右依次读取.从第二个数开始，每当读到的数字比 前面所有数字都大时，称该数为一个“新高”.记排列中“新高”的个数为随机变量.X,则E()= A.1 B吕 D. 数学试卷第1页（共4.页) 2e(x+c)x<0. 8.已知函数∫(x)= 对于正实数a.定义集合M。=(x∫(x-a)=f(x),且 xo'x≥0. M。⑦，则a的取值范围是 A.[2c] B.(2.c] C.[ce+] D.(2e+2】 二、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9、 已知数列{a,}的前n项和为S,若a,=-10,a1=a,+3,则下列说法正确的是 A、{a}是递增数列 B.10是数列{a。}中的项 C.数列{S,}中的最小项为S5 D.数列侣是等差数列 10.设函数f(x)=x-3x2+2,则 A.f(x)有三个零点 B.x=2是f(x)的极大值点 c当1<x时，-2<f2s-1k0 D.若过点(3，m)可以作三条直线与y=f(x)的图象相切，则m的取值范围为(-6,2) 11.如图，过点C(a,0)(a>0)的直线AB交抛物线y2=2px(p>0)于A,B两点，连接A0,B0并延 长，分别交直线x=-a于M,N两点，则下列结论一定成立的有 A.BM/IAN B.以AB为直径的圆与直线x=-a相切 C.SOB=S△woN D.SAMCN=4S AANCSABCM 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设(2+)(a+)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a= 13.记Sn为等比数列{a}的前n项和.若S2=4,S。=6,则S6= 14.一个不透明的盒子里装有2个红球、3个白球、4个黑球，这些球除颜色外完全相同.每次从中 随机摸出1个球，记录颜色后不放回，连续摸3次.设事件A为“三次摸球中，恰好有两次颜色相 同”，则P(A)= 数学试卷第2页（共4页) 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、 15.(13分)智能驾驶辅助系统是指利用车战传感器、控制器等装置、实现环境感知、规划决策与运 动控制，辅助驾驶员完成部分驾驶操作，提升行车安全性与舒适性的系统，驾驶员仍需全程监 管车辆并随时接管驾驶：驾龄是指初次领取机动车驾驶证至今的时间长度， 为研究智能驾驶辅助系统使用恃况与驾龄的关系，随机调查了200名私家车车主，得到如 下列联表： 经常使用智能驾 不经常使用智能 合计 驶辅助系统 驾驶辅助系统 驾龄≤5年 58 42 100 驾龄>5年 36 64 100 合计 94 106 200 (1)从这200名车主中随机抽取1人，已知该车主驾龄不超过5年，求该车主经常使用智能驾驶 辅助系统的概率； (2)根据小概率值α=0.010的独立性检验，分析智能驾驶辅助系统使用情况是否与驾龄有关 n(ad bc)2 附：X=a+bc+d(a+cb+d P(xk) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16.（15分)在△ABC中，内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,从条件①、条件②、条件③这三个 条件中选择一个作为已知，条件①6e含 =c-a00sB,条件②(2b-c)cosA=acosC,条件 3(sinB-sinc)2=sin2A-sinBsinC. (1)求角A的大小； (2)若△ABC是锐角三角形，且b=4,求△ABC面积的取值范围. 注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分. (15分)尼知精圆C答+古=1过点M(23),其左右焦点分别为R,,过点M的直线1与躺圆 交于另外一个点N. (1)求椭圆C的方程； (2)当直线的斜率为2时，求四边形F,MF,N的面积； (3)当直线平分∠F,MF,时，判断四边形F,MF2N是否为平行四边形，说明理由. 数学试卷第3页（共4页) 18.（17分)已知函数f(x)=alnx-2x(a>0),g(x)=-x-1. (1)若(x)不存在零点，求实数a的取值范围； (2)若g(x)2(x),求a的值； (3)已知数列o小满足a,=1+子记T=0,ara若对任意的正整数，不等式<m成立。 其中m为整数，求m最小值， 19.（17分)已知正三楼柱ABC-A1BC,如图，各楼长均为1，D为AA1上的动点. (当-时，求Dc,与Ba,的夹角余弦值； (2)楼AM,是否存在点D,使得二面角C-BC,-D的平面角的余弦值为√，若存在说明点D的 位置，若不存在，请说明理由； (3)记过点D与侧面对角线BC,的截面为与&，a与底面ABC和三个侧面ABBA1,ACC,A1, BCC,B1,所成的二面角依次为%1,42，，&，若cos%+cosc,=cos%+cos4,求截面三角形 △BCD的面积， D 帖堂试卷第4页（共4页） 《桂林市2025一一2026学年下学期期末质量检测高三年级第二 次适应性模拟考试》数学参考答案 题号 2 3 4 5 6 P 9 10 11 答案 0 B B D AD ACD ACD 一、单选题： 1.选A.解析因为集合M={1,2,4,6),N={x1<x<6),所以MnN={2,4),故选：A. 2.选B.解析：因为a/乃，所以21-6×(-1)=0→1=-3.故选：B. 3选A.解析：令-号+2kr≤x-名≤号+2km,kE2,得-+2km≤x≤+2km,k∈z.取k-0, 则-号≤x≤号因为(0，)=[-，1，所以(0，)是函数fx)的单调增区间. 4选D解析：因为T41=Cx6-*(-I),令6-k=3,则k=3,所以x3项的系数为 C2(-1)3=-20 5.选B.解析：连接AC,BD交于点O,连接PO,由正四棱锥的性质可知，PO⊥平面ABCD, 所以直线PA与平面ABCD所成角为∠PAO,又因为ABCD为正方形，AB=2,所以 0A=4C=+BC-反，则p0=Pn-40-g2-1,在aPi0中， sin∠PA0=P-↓=5 PA万3，故选：B, B 6.选C.解析：设所求圆的方程为：x2+4y2-20+2(x2-4y2-12)=0, 整理得(0+2)x2+(4-42)y2-121-20=0,则1+元=4-42，解得：元=3 代入圆的方程化简得：x2+y2=17 7.选B解析：X的取值为0,1,2,3.PX=0)=总=，PX=)= 244 24 P心X=2)=会-子P0=到=700=0+1+2 1 二+2×二+3× 1-13 2412 8.选D.解析：当x≥0，∫'(x)=e(x+1),"(x)=e(x+2)>0,.'(x)单调递增（凹 函数)，.如图所示：令k='(x)=e(x+)=2e,∴.∫'(I)=2e, :f0=e,∴令2d(x+e)=e,解出x=2e, (w,m=1--g=+e, 令f(x)=xe2=2e2,.f(2)=-2e2, 2e v=2e d,=e,d2=2,且d2<d, ∴.如图可知，(M)n>d2=2 .M.e.c v=e 二、多选题： 9.选AD.解析：a1=-10,an+1=an+3,∴数列{an}是首项为-10，公差为3的等差数列， ·an=-10+3(n-1)=3n-13,·{an}是递增数列，故A正确：令am=3n-13=10, 解得n=号E,故10不是数列a,冲的项，故B错误：a4=12-13=-1<0,a5=15- 13=2>0,且{an是递增数列，“数列Sn}冲的最小项为S4,故C错误：Sn=n@m= 2 0-1=则吧=2，…器-产=2-=号故数列产}是等差 2 2 n+1 2 2 数列，故D正确.故选：AD. 10.选ACD解析：由f(x)=x3-3x2+2,得∫'(x)=3x(x-2),∫(x)在(-o,0)上单调递增， (0,2)单调递减，(2，+∞)上单调递增：∫(-1)<0∫(0)=2>0，(-2)<0，f(3)=2>0所 以有三个零点，故4正确：对于8，x=2是极小值点，故B错误：当1<x<号时， 1<2x-1<2,且函数f(x)在区间(1,2)上单调递减，且∫（1)=0，∫(2)=-2， 故-2=∫(2)<f(2x-1)<∫(1)=0，故选项C正确：设切点为(xo,%),则切线的斜率 为k=∫'(x)=3x6-6x。,·.切线方程为y-%=(3x6-6x)(x-x), 即y-(x3-3x。2+2)=(3x6-6x)x-x).切线经过点(3，m), .m-(x3-3x2+2)=(3x-6x)3-),整理得m=-2x。3+12x,2-18x。+2. 由题意可知关于x。的方程m=-2x,+12x。2-18x。+2有3个不等的根， 令g(x)=-2x3+12x2-18x+2,则g(x)=-6x2+24x-18=-6(x-10(x-3). 令g'(x)<0,得x<1或x>3,令g'(x)>0,得1<x<3,g(x)在(-o,1)和(3，+o)上单调 递减，在(1,3)上单调递增，g(x)的极小值为g(1)=-6,极大值为g(3)=2,当 -6<m<2时，直线y=m与g(x)的图象有3个交点，即当-6<m<2时，过(3，m)可以作三 条直线与y=∫(x)图象相切，故D选项正确.故ACD正确 11.选ACD.解析：对于A,令AB:x=m+a,A(x,),B(x,2),联立 x=my +a y2=2px 消x可得y2-2py-2pa=0,则△=(2pm)2+8pa>0,yy2=-2pa,片+y2=2pm, x+为=m0+)+2a=2pm2+2a,则k4=4,0A:y=4x,M(-a,-必)， X 为+%为+2p0 故kBN=一 =2+2pC=0,同理kN=0,所以BM11AN,故A正确： x2+a x2+a y(x2+a) 对于C,设x=-a与x轴交于P,S.poN=S4oc,S.Mop=S.Boc, 则S.ow+Sop=S.oc+S.c,Sos=S△MoN,故C正确：对于D,S.c=支+a)M, S.xcu5.wc5.scuX+(m +2aXm:+2a -wyy.+2om.+y)+4oly).-n-2pa)+2om(2pm)+AdK-2pa) =pa(pm+2a),Scw=S.ure +Swre=2aly-yaly-y 所以S2Mcw=a20y-y2)2=a2[0y+)2-4yy2]=4pa2(pm2+2a)=4S.c·S.cw,故D正确： 对于B,4B中点Q3专2，”2)，即Qm+a,-pm),则卫到直线x=-a的距肉 2 d=pm2+2a,以AB为直径的圆的半径 14B1myym+pm+2pam+2pa. 22 所以-4公-+200a-pR,当a=号时相切，当a*号时不相切，放8错误。 2 故选：ACD. 三、填空题： 12.答案：3 解析：因为(2+)(a+)=(2a-1)+(2+a)i,且实部与虚部相等， 故2a-1=2+a,解得a=3. 13.答案：7 解析：因为Sn为等比数列{an}的前n项和，且S2=4,S4=6, 由等比数列的性质可知：S2,S4-S2,S6-S4成等比数列， 即4,2，S6-6成等比数列，所以22=4×(S6-6),解得：S6=7, 故答案为：7. 14.答案： 55 84 解析：为保证每次摸球结果的等可能性，把2个红球分别记为R1,R2:3个白球分别记为 W1,W2,W3:4个黑球分别记为B1,B2,B3,B4:9个球看成不同的元素.则样本空间 的样本点总数为9×8×7=504. “三次摸球中，恰好有两次颜色相同”分为“两次红球，一次非红球”、“两次白球，一次非 白球”、“两次黑球，一次非黑球”三种情况： 事件“两次红球，一次非红球”的样本点个数为：CC)A=42; 事件“两次白球，一次非白球”的样本点个数为：CC64=108; 事件“两次黑球，一次非黑球”的样本点个数为：CC5A=180; 所以P(A)= 42+108+18055 504 84 四、解答题： 15解：(1)设事件A为“车主驾龄不超过5年”，事件B为“车主经常使用智能驾驶辅助系 统”.由题意可知：n(4)=100,n(AB)=58…2分 根据条件概率公式得：P(B|A)= P(AB)n(AB)58 P(A)n(A)100 =0.58 所以该车主经常使用智能驾驶辅助系统的概率为058…6分 (2)提出假设H。：智能驾驶辅助系统使用情况与驾龄无关， …7分 根据表中数据可得： X2 n(ad-be)2 200×(58×64-42×36)2 …9分 (a+b)(c+d)(a+c)b+d)100×100×94×106 ≈9.715>6.635… …12分 根据小概率值a=0.010的独立性检验，推断H。不成立，即认为智能驾驶辅助系统使用情况与 驾龄有关，该推断犯错误的概率不超过0.010…13分 16解：（1)选条件1 由正弦定理得sinBsin2=sinC-sinAcosB.…2分 又A+B+C=π， sinBsin=sin(A+B)-sinAcosB=sinAcosB cosAsinB- sinAc0sB=cosAsinB… …4分 又sinB≠0，所以sin2=cosA=1-2sin22 解得sin会=子或sin号=-1… …6分 因为0<<受，所以=各即A=子 …7分 选条件2 由正弦定理得(2sinB-sinC)cosA=sinAcosC, …2分 所以2 sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C), 因为在△ABC中，A+C=π-B,所以sin(A+C)=sinB,… …5分 即2 2sinA=sinB,cosA=克 0<A<π，所以A= …7分 31 选条件3 (sinB-sinC)2 sin2B sin2C-2sinBsinC sin2A-sinBsinC, 整理得sin2B+Sin2C=sin2A+sinBsinC,…2分 由正弦定理得b2+c2=a2+bc,… …4分 由余弦定理得cosA=2+c2-a2=1. 2bc 2 …6分 0<A<π，所以A=…7分 3 (2)已知b=4,A=景则面积S=bcsinA=V3c… …8分 由正弦定理得c=sinC=sS其中C=π-A-B=红二B.…9分 sinB 化简得c=4咖受 9=4是os842n6 =23+2.… tanB …11分 sinB sinB △ABC是锐角三角形，且A-子， 0<B<8 所以 0<c=号-B< 得<B<…13分 6 所以tanB>0<品e<V3,即2<c<8,因此se(2v3,8v③) 所以△ABC面积的取值范围是(2V3,8V③).…I5分 17.解：(1)由 4+9=1,得d2=16,则椭圆C的方程为 2y2 +2 一十 =1…3分 612 (2)设点N(x,y),直线l的方程为y-3=2(x-2)…4分 x2 y=1之19y2+6y-189=0其两根为3，y 1612 y=2x-1 得男= 189 63 ∴.3y= …7分 19 19 又：E(-2,0),F(2,0),M(2,3) .MF2⊥FF2 六aFM为直角三角形，则S55w=)43=6 2 …8分 S型=3=3=19 得S6N=126 …9分 SAREN Iy 63 21 19 19 240 ÷SA边形M5N=SA5w+SaSv=19 …10分 (3)1MR=V(2+2)2+(3-0)2=5,lME=3 方法一：设I与x轴交于点P(x,0),由角平分线定理，由M-M到 EPIEPI 1 .53一，解得x0二 x0+22-x0 ∴.点P不是对角线FF的中点，故四边形MF,N不为平行四边形.…15分 方法二：在直角△FFM中，设∠FME=20,1所在直线倾斜角为a,则α+日= 2 己知tan20= 3’ 1-an2g3,解得tan6=1, 2tan0 4 .'tana= sina cos 1 5=2 cosa sin tan 1所在直线方程为y-3=2(x-2),令y=0,解得x=} 1与x轴交于点P(吃0) ∴.点P不是对角线FF3的中点，故四边形FMFN不为平行四边形.…I5分 方法三（反证法)：若四边形FMF,N是否为平行四边形，且1为∠FME,的角平分线，则 平行四边形FMF,N为菱形，得|ME日MF|与题意不符合，故不存在：…15 分 18.解：(1)由题意函数()=alr-2x(a>0),求导可得()=0-2，xe(0,+o), …l分 当a>0时，令∫(x)=0,得x= 72分 当xe(号+o)时，)<0，当xe0,9时，)>0， 所以了)在在(0，号上单调递增，（号，+o)上单调递减，…3分 所以fm=f学=alh号-a=aa号-)， 2 4分 所以只需e=am2-》<0,解得a<2e,故实数a的取值范围是(0,2e:…5分 (3)因为g(wfw)∴x-1-alx≥0，x>0,所以∫(=1-e=x-4,且∫(1)=0. xx …6分 方法一：当a>0时令∫"(x)=0,解得x=a, 所以y=∫(x)在(0，a)上单调递减，在(a,+o)上单调递增，…7分 若①a<l,则∫(x)在(a,l)上单调递增，所以x∈(a,)时∫(x)<f()=0矛盾： 若②a>1,则∫(x)在(L,a)上单调递减，所以x∈(1，a)时∫(x)<f()=0矛盾： 若③a=1,则∫(x)在(0，)上单调递减，在(1，+o)上单调递增，所以∫(x)≥∫)=0满足题 意： 综上所述a=1. …10分 方法二：当a>0时令∫'(x)=0,解得x=a, 所以y=f(x)在(0，)上单调递减，在(a,+o)上单调递增，即fx)mn=f(a),…8分 若a≠1，则f(a)<∫(1)=0，从而与f(x)≥0矛盾： …9分 所以a=l:… …10分 (3)a=1+子，工=aaa,=0+0+30+ 由(2)可知当a=1时f(x)=x-1-lnx>0,即nx≤x-1, 所以ln(x+)≤x当且仅当x=0时取等号，… …11分 …12分 l+++京…+h+子号+ 2 2 2 30-1 301 …14分 即+号X+30+)<e:… …15分 因为m为整数，且对于任意正整数m,0+0+京0+子<m成立。 当=2时，0+0+》->2。 …16分 所以m的最小值为3.… …17分 19解：(1)依题意作正三棱柱如图， …分 设AC的中点为O,建立空间直角坐标系如图， .2 8=子得D(0,.G(-01,B09.0)8,(0,9,1) DA DC=（-1,0),BB1=(00,1)…3分 设DC与BB的夹角为6，cosB= DC·BB,V1o …4分 DCBB 10 (2)假设存在点D满足圈意，由怨=入 则D(（G0,,B(0,2,0,C(0,1c(,0,1 设面BCC,的法向量为n=(x,,二) 西69小c-（） BD·BC -+x cos∠CBD= BD BC V1+x2√2 sin∠CBD= x2-x+4 V1+x2√2 点D到8G的能离为-丽m4G0--子 7 √2 Sw-Cd ⑤8c=4x2-4x+7 …14分 又△BC,D在底面ABC和三个侧面ABB,A1,ACC,A1,BCC,B,上的射影面积分别为 V32-x1+x2x-1 4’4,4,4 所以由面积射影定理得 5 2-x cosa= cosa2= √4x2-4x+7 V4x2-4x+7 1+x 2x-1 cos a3=- cosa = 4x2-4x+7 V4x2-4x+7 cosa+cosa2=cosa;+cosa3+(2-x)=(1+x)+(2x-1) …16分 解得x= 2+√5 4 …l7分 8 c-(5oc-(9 ∫n⊥BC 2- 2 =0 n⊥BC 1 2-2+a=0 令片=1得x=-√3，=0，从而n=（√51,0】 …6分 设面DBC,的法向量为m=(x2,y2,22) c(m传9 m⊥BD 2 2乃+2=0 m⊥BC 2 2为+32=0 令y2=5 解得x2= 3-3元 3 1+元 从而m= …8分 1+元 设二面角C-BC,-D的平面角为B -53-32+5 n·m 则cosB 1+2 1 √55 …9分 2 解得2=32 …10分 因为二面角C-BC,-D的平面角的余弦值为 则二面角C-BC,-D的平面角为锐角，故入2= 舍去， 综上得，存在满足题意的点D,此时 AD1 …11分 AA 3 (3)设AD=x,则AD=1-x,从而BD=V+x2,CD=V1+1-x乎，BC=V2,