广西南宁市第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

高二数学(5月) 参考答案 选择题 题号 1 2 3 6 8 9 10 11 答案 C B C D D B ABD ACD ABD 1.C【详解】因为抛物线标准方程为x2=y,焦点坐标为(o,马，准线方程为y=-1.故选：C 2.B【详解】因为y=x-2,所以y=x,所以yx=-1=-1, 所以曲线y=)-2在x=-1处的切线的斜率为-1，所以其倾斜角为3江故选：B, 3.C【详解】因为G=2CG,所以G死=2C,因为点E是AB的中点，所以酝=1AB,所以 丽-死+丽+丽-号死}丽+-(+酒}西- --4c++48+4-4c+4 6 故选：C 4.D【详解】设{a}的公差为d,则am4=an+4d=8+4d=12,解得d=1.又a2=6,所以4=5 所以a.=5+m-)×1=8解得m=4.所以a}的前m项和为S,=4+a)_45+8》-26.故 2 2 选：D 5.A【详解】先把5项工作分成3份有两种方式，即1,2,2与1,1,3.若是1,1,3则有C×A=60种不 同的派法，若是122，则有490种不回的分派法所以更有50神。故选 6D【详解】因为PA=04,所以P(④=1-P④=0.6，又P(S刀=Pa-0.1, P(A) 所以P(AB)=0.06,由全概率公式得P(AB)=P(B)-P(AB)=0.24, 故PAB)=PC4B)-024_4故选：D P(B)0.35 7.A【详解】因为⊙Pn与OP1相外切，所以，V(x,-x)+(.-y+)=y.+ya1， 即(x-x1}+(0y.-ya)}=（0+y1)', 所以(x,-x)2=（y.+ya+)2-(y.-ya)2=4yy1, 因为每个点均在函数y=x(x>0)的图像上，可得yn=x,y1=x1, 所以c-)广=4，即光-4=2x1,所以11=2， 所以数列 是等差数列，且公差为2， 高二数学答案第1页共8页 所以{0-x2+20业，则1中20-》5 X 此时数列{化}不是等比数列故选：A 8.B【详解】由f(x)≥g(x),则(2x-s)lnx≥2r-st, 即(2x-s)(hx-t)≥0对于x>0恒成立， 而函数y=2x-s和y=1x-t在(0，+o)上均为增函数， 则函数y=2x-s和y=x-t在(0，+o)上有共同的零点， 即氵=e,则s=2c,即-2E 设)-2空，t≠0，则W0)-2c- t2 令(t)<0,得t<0或0<t<1,令(t)>0,得t>1, 所以函数h(t)在(-n,0)和(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 又t<0时，h(t)<0,t>0时，h(t)>0,且h(1)=2e, 则h()∈(-∞，0U[2e,+o),即三的取值范围是(-∞，0)U[2e,+w).故选：B 11 9ABD【详解】对于A,由++m1得m=故A正确 23 对于B,00=01+×名放B正确 1 6 对于C,82X-)-28C)1子，故C错误 对于D.2心0-0-宁+-合-含兮器D正确版选AD 10.ACD【详解】对于A,f'(x)=x+1)e,当x∈(-m,-1)时，f'(x)<0,当x∈（-1，+o)时，f'(x)>0 所以f(x)的单调递减区间为(-0，一1)，单调递增区间为(-1，+o),故A 正确： 对于B,由A可知f()的极小值点为x=-1,极小值为f(1)=-1,故B 错误； 对于C,当x取向于-0时，f(x)趋向于0，当x取向于+o时，f(x) 趋向于+0，故C正确： 对于D,令f(x)=g(),当x=-1时，等式不成立，不是零点，当x≠-1 时，解得a=e 7-》,令时=e +7-0, 则有() e(x2+x+1D>0, (x+1)2 所以h(x)单调递增区间为(-o,-1)和(-1，+o),图像如右图所示，故D正确.故选ACD 高二数学答案第2页共8页 11.ABD 【详解】以D为坐标原点，DA、DC、DD,所在直线分别为x八z轴，建 立空间直角坐标系， D 正方体棱长为4，则D(0,0,0),A(4,0,0),C(0,4,0),A(4,0,4),B(4,4,4): B 点P在侧面CDDC1(含边界)上，设P(0y,)(0≤y≤4,0≤=≤4)· 选项A:4P=(-4,y,z-4),BD=(4,-4,4).若AP1BD,则AP.BD=0, 即16-4y-4(:-4)=0,化简得y+z=8. 在0≤y≤4,0≤：≤4范围内， y=4,z=4(即P与C重合)时满足，故存在点P,故选项A正确： 选项B:作出过A与平面AB,C平行的平面AC,D, TD 则点P的轨迹为平面ACD与侧面CDD,C的交线，即线段DC1,因为 △4CD为边长为4W2的等边三角形，所以线段AP的最小值为2√6，故 选项B正确： 选项C:因为AD/AD,所以AP与AD所成的角等于AP与AD所成的角， 即∠PAA-8 AD3,所以DP4 在Ra4DP中，4A=4,tam∠P4D=DP-5 则点P的轨迹为以D为圆心， 4y5为半径，圆心角为5的圆弧，所以点P的轨迹长度为 匹×4V3_23m,故选项C错误； 233 选项D:设球面与CC的交点为G,球面与CD的交点为F,可得交线为以D为圆心的FG的弧 长 由题知AD⊥平面CDD,C,则△DAG为直角三角形， IGDI-VAGF-DA- 42L-4_85,则∠GC 3 6 同理可得A5,所以<mD吾所以<0G-名 D 所以弧G= 8V3、元_4W3π 36 9 ,故选项D正确。 二、填空题 12.【答案】-160 通项公式为T1=C6(2x).(1y=(←1少·2-.C6x-r, 令6-r=3,解得r=3, 所以展开式中x的系数为：-160， 高二数学答案第3页共8页 13.【答案】-18 【详解】思路1：由题设可知f'(x)=(x-2)(x-3)+(x-2)x-a)+(x-3)c-a), 又x=3是f(x)的极值点，故f'(3)=(3-2)(3-a)=0,解得a=3, 故f"(0)=(0-1)×(0-3)2=-18 思路2：根据已知，2,3，a是f(x)=(x-2)(x-3)(x-a)的三个零点。 根据一元三次函数性质，当a≠2，a≠3时，如图所示，在靠近x=3的两侧函数取值时符号互 异，x=3不可能为极值点：当a=2时，同理x=3不可能为极值点， 所以a=3.故f'(0)=(0-1)×(0-3)=-18 14.【答案】+25【详解】设点F关于点A的对称点为B, 15.双曲线C的左焦点为F,则OA/FB, :OA⊥AF.有BF'LBF,如图， 令AF叫=m,则AF=m+2a,BF=2,BF1=2m-2a,又o=c, 在Rt△BF'F中，1BFP+|BFP=F'FP,即(2-2a)'+4m2=4c2, 在Rt△BFA中，|BF'P+|ABP=AF'P,即(2m-2a)+m2=(m+2a)2 (2m-2a)2+4m2=4c2 于是得 (2m-2a)°+m2=(m+2a),解得b=25a,即b=25, c2=a2+b2 所以双曲线C的渐近线的斜率为±2√3.故答案为：±2√5 三、解答题 15.(13分) 【详解】(1)由a1=2a,+1,n∈N.得aa1+1=2(a.+1,n∈N。 因为4+1=2，所以数列{an+1}是以2为首项、2为公比的等比数列，4+1=2×2=2”， a=2”-1.所以数列{a}的通项公式为a,=2”-1 (2)由(1)知a.+1=2代入得b.=(3-1)x2 T.=(3×1-1x2+3×2-1×22+(3×3-1)x23+…+3×n-1)x2① 2Tn=3×1-1)x22+3×2-1)x23+(3×3-1)x24+…+(3×n-1)×2+1② ①-②得：-Tn=4+3×22+3×23++3×2-(3×n-1)x21 -Tm=4+3×(22+23+…+2）3×n-1k2 7=4+3×2=2）-6xn-1k2 1-2 化简得Tn=(3n-4)x2n+8 故数列色n}的前n项和T=(3n-4)x2m++8 高二数学答案第4页共8页 16.（15分) 【详解】(1)设事件A表示“抽到隐藏款”，A,表示“抽到稀有款”，A,表示“抽到普通款”， 事件B表示“消费者给出好评”，事件B表示“消费者未给出好评”。根据题意A,A,A,两 两互斥，且4U4,UA,=2.根据题意得 P4)=,P4,)=3P4)=P4)=P4,)=7P武4)=5由全概率公式，得 P(B)=P(4 )P(B4)+P(4.)P(B42 )+P(4,)P(B4) =1×4+1×1+1x1-2 6532255 所以，消费者给出好评的概率为二 (2)由(1)知PBa)=名，因此P)=1-P)=1-2 5-5 振据强点，得P间4上1H1考 因为A,A,A,两两互斥，且AUA,UA,=2,由贝叶斯公式，得 1.4 P4,E)- P4)P@A,）2x3 2 PB 3-3 所以，若消费者未给出好评，其抽到晋通款的概率为专 17.（15分) 【详解】(1)证明：因为ABCD为菱形，AC∩BD=O, 所以O为AC中点，也为BD中点 在△PAC中，PA=PC,所以PO⊥AC, 在△PBD中，PB=PD,所以PO⊥BD, 又AC∩BD=O,AC,BDC平面ABCD, 所以PO⊥平面ABCD. 7 (2)由(1)得PO⊥平面ABCD,∴.PO⊥OA,PO⊥OB, 又OA⊥OB,所以如图以O为原点，OA为x轴正方向， OB为y轴正方向，OP为z轴正方向建立空间直角坐标系 由题意知，AB=BD=2,PA=√6，所以在RIAAOB中， OA2+OB2=AB2所以AC=2V3。在Rt4OP中， OA2+OP2=AP2,所以OP=V3 则AN3,00)CV3,0,0B(0,10bD(0,-1,0,P0,0,V3: 由PE:EC=1:2,得PE=PC 高二数学答案第5页共8页 因为元-(50-所以死}506)9-9 3 v丽正-（5a丽a-（号- 设平面ABE的一个法向量为=(：，，云)，则 AB.=0 -V3x+y=0 4W3.,23 AE·h=0 3x+33,=0 取x=1,则片=√5，，=2.则=1,5,2 设平面BDE的法向量为n=(x,y2,二2），则 BD=05 2y2=0 .,2W BE·n2=0 3+ 32s0 取x=2,则y=0,1=1.则2=(2,0,1， 设平面ABE与平面BDE的夹角为O,则 n'n 1×2+V3×0+2×1 2V10 cos0 V12+V32+22×V22+02+1P V105 所以平面ABE与平面BDE夹角的余弦值为√1d 5 18.(17分) 【详解】(1)由题意得2a=4,￡-5，则a=2,c=5,6=ac-1, a 2 所以椭圆c的标准方程为号1)1， (2)法一：由题意可得直线AB的斜率存在且不为0， 设直线AB的方程为x=y+1(m≠O),A(5,乃)，B(x2,),则D(,-), 少1得(0+4y产2m-3=0, x=y+1 联立x2 -2m -3 为+⅓+4,4 m2+4’ k=+出，则直线BD:y+男=+上(x-x) x2 x2- 高二数学答案第6页共8页 y=+出-x-（凸+⅓)(my+ m(y2-)n(y2-y) %为 m(y2-y) (y2+y)(x-)-2y2。-2m(x-4) m(2-) m(m2+4)(y2-) 所以直线BD恒过定点M(4,O) 法二：设D(5,),B(2,y2),则A(,-) 由4，B,P三点共线，得片十=0，即kD+k阳=0， x-1x2-1 把点2,0)平移到原点，得椭圆方程c++广=1， 4 化简，得x+2x+4y-3=0①，设平移后的直线1o:mx+y=1②， 由①②，得x2+4y2+2xx+y)-3x+y}=0, 整理，得4-3n3)+(2m-6m日)++2m-m0 2n-6nmn 所以kD+ka= 4-3n2 2=0,得m=3 故gw写+w=1经过定点(0)，平移回去得定点为4.0，所以直线BD恒过定点M4,0) (3》由题意知，PM=3,SwPM小-为 2m）2 124Vm2+3 -=0+}-42=+4+㎡+4 m2+4 34Wm2+3_6W2+3 S.M m4 m+4 ,令t=√m2+3,t>V3,m2=-3, 6t6 化简得，S中1十 1 令0-片当c5,0-1-,0因t0在=5+非单丙送端 所以∈0.33 2 所以BM面积的取值范围为0.35 ”2 19.(17分) 【详解】(1)①当a=0时，f(x)=xnx-x,其定义域为(0，+o), 又f'6x)=lr+x.-1=hm, 所以当0<x<1时，∫"(x)<0,所以f(x)在(0,1)上单调递减， 当x>1时，'(x)>0,所以f(x)在(L,+o)上单调递增， 所以f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间(1，+∞). 高二数学答案第7页共8页 (2)函数f(x)=(x-a)hx-x的定义域为(0，+o), 又了)=x+2-1=w-经 因为，。是f()的两个极值点，所以y-=0,,-“=0, 即a=x,lnr,=x,hr2,令g(x)=xhx,x∈(0，+oo),则g'(x)=lhnx+1, 当0<x<时g(x)<0,当x>1时g(x)>0, 所以8在(o日上单调递减，在上单调递增， 不妨假设0<<名5， 婴证5+烤名只尚证名5，因为0。所以尽气 1 e e e 因为在信上单酒送骑。 所以只需证8)》>怎-小 又因为g(=8,所以只带证8()>怎， 则如国=x+1n名小-1=n可名-+2。 因为0<所以<-小 则后小2，所以0， 所以4()在（日上单调递减，日）-0， 所以化)>怎小，即x+>足 (3)由(1)知，当a=0时，f(x)在x=1处取得极小值，也是最小值， f(x)n=f(1)=1xIn1-1=-1; 故当x>0时，f()=nx-x≥-1，即x-xhx≤1， 令=aeN。则是品1，则对+产1， n2 n 所以2Inn≤心-1，则血n≤1， n+12, 所以号g号号分1 2,得证 2 2 4 高二数学答案第8页共8页高二数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1.抛物线y=x2的准线方程是() A.x=-1 B.x=1 4 4 1 C.y=- 4 D.y=4 1 2.曲线y=}x-2在x=-1处的切线的倾斜角为() 2 B.3n 4 C. D. 6 3.在三棱柱ABC-AB,C中，E是AB的中点，GE=2CG,则用向量AB,AC,AA表示向量GB 应为() A.GB-14B+24C+ B.G丽=B-2AC+号4 6 3 c,丽-孤-号C+M 6 0.丽-孤+号C-双 4.在等差数列{a,}中，已知a2=6,am=8,am4=12,则{a}的前m项和为（） A.22 B.24 C.25 D.26 5.安排3名志愿者完成5项工作，每人至少安排1项，每项工作由一人完成，则不同的安排 方式共有() A.150种 B.120种 C.90种 D.60种 高二数学试卷第1页（共4页） ▣减▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣号 6.当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术.在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、 药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率.假设某实验用A[辅助新药分子筛选， 事件A是“AI模型筛选出候选分子M”,事件B是“AI模型筛选出候选分子N”.已知 P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(BA①=0.1，则P(B)=（) A易 B.9 0 c D. 5 7.如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点R(x,y),B(x22),,卫，(x,yn),nEN,每 个点P,均在函数y=x2(x>0)的图象上.已知以点Pn为圆心的⊙P均与x轴相切，⊙P与 ⊙P1外切，且x<xn,则（) A 是等差数列，且公差为2 B 是等差数列，且公差为4 C{]是等比数列，且公比为 D.}是等比数列，且公比为} 8.已知函数f(x)=(2x-s)lnx,g(x)=2r-st(t≠0)，若f(x)≥g(x)恒成立，则三的取值范 围是() B.（-o∞，0)U[2e,+o∞) C.(-∞，0)U[e+1,+o∞) D.（u[2e,ty 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.己知随机变量X的分布列为 X 0 2 2 m 3 则下列结论正确的是() B.E0n-君 c.2x-0=号 D.D(X)=216 174 高二数学试卷第2页（共4页） ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 10.已知函数f(x)=x,g(x)=a(x+1)(a∈R),则下列结论正确的有（) A.函数f(x)的单调递减区间为(-∞，-1)，单调递增区间为(-1，+∞) B.函数f()的极小值点是(-1- C.当-1<m<0时，f(x)与直线y=m有2个公共点 D.当a>0时，f(x)与g(x)的图像有2个公共点 11.在棱长为4的正方体ABCD-AB,CD中，点P是侧面CDDC(含边界)上的动点，则下 列结论正确的是() A.存在点P,使得AP⊥B,D B.若AP/1平面ABC,则线段AP的最小值为2√6 C.若AP与AD所成的角为工，则点P的轨迹长度为 2 D.若以4为球心，4N2I为半径的球面与侧面CDDG的交线长为4W5元 3 9 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(2x-1)的展开式中x3的系数为 (用数字作答)· 13.若x=3是函数f(x)=(x-2)(x-3)x-a)的极值点，则f(0)= 已知F为双曲线C:号1(>0，b>0)的石焦点，0为坐标原点，点A是 上的一点，且OA⊥AF.若点F关于点A的对称点也在双曲线C上，则双曲线C的渐近线 的斜率为一 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知数列{a,}满足a=1,a1=2a,+1,n∈N (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn=(3n-1)(an+1),求数列{bn}的前n项和Tn· 高二数学试卷第3页（共4页) Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效简 16.(15分)某系列盲盒中有隐藏款、稀有款、普通款三种玩偶，从中随机抽取一盒，每盒必 为其中一款。知抽照瑕款、稀有款、音通款的概率分别为。}者抽到隐藏款、翻 有款、普通款，则消费者给出好评的概率依次为 411 525 (1)求随机抽取一盒盲盒，消费者给出好评的概率； (2)若消费者未给出好评，求其抽到普通款的概率. 17.（15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，AC∩BD=O,且PA=PC, PB=PD」 (1)求证：PO⊥平面ABCD; (2)若AB=BD=2,PA=√6，点E在线段PC上，且PE:EC=1:2,求平面ABE与平面BDE 夹角的余弦值. 、 吸分)已知髓圆C名+>6>0的张箱长为4，离心率为，过点P心，0的直 线I与椭圆C交于A,B两点，过点A作AD⊥x轴，交椭圆C于另一点D(异于点A,B). (1)求椭圆C的标准方程； (2)证明：直线BD过定点M,并求点M的坐标； (3)求△ABM面积的取值范围. 19.(17分)己知函数f(x)=（x-a)lnx-x. (1)当a=0时，求f(x)的单调区间； (2)设，G<)是f(y)的两个极值点，求证：+， e (3)设neN,求证：+2+血3++nsn- 2+3+41 n+14 高二数学试卷第4页（共4页) Q。夸克扫描王 极速扫描，就是高效