专题4 填选题强化训练（一）～（六）2026年重庆中考数学第二轮复习

**基本信息** 本专项聚焦初中数学填选高频考点，以题组形式系统覆盖实数、图形性质、统计概率、函数方程及几何综合，通过基础到综合的梯度设计，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实数与代数式|约6题/训练|考查相反数、倒数等概念及整式性质|从概念辨析到代数推理，构建数与式的内在联系| |图形性质|约4题/训练|涉及轴对称、中心对称及圆的性质|结合几何直观，强化图形性质的应用与推导| |统计与概率|约2题/训练|区分调查方式及简单概率计算|培养数据意识，建立统计方法与实际问题的关联| |函数与方程|约2题/训练|反比例函数图像及方程应用|从函数图像到方程建模，体现数形结合思想| |几何综合|约1题/训练|正方形翻折、旋转等综合应用|整合图形变换与几何性质，提升综合推理能力| |规律探究|约1题/训练|数列、图形规律归纳|发展归纳推理，培养数学抽象与创新意识|

填选题强化训练（一） 1、 选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 2．下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．要调查下列问题，适合采取全面调查的是（   ） A．调查黄河的水质情况 B．《河南新闻联播》的收视率 C．国产航空母舰入役前的零部件检查 D．调查一批新郑小枣的甜度情况 4．如图，点，，在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种有1个碳原子和4个氢原子，第2种有2个碳原子和6个氢原子，第3种有3个碳原子和8个氢原子，…，按照这一规律，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 6．已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A．-3 B．-2 C．2 D．3 7．下列四个数中，最大的是（   ） A． B． C． D． 8．已知某国产芯片企业月份营业收入为亿人民币，月份营业收入比月份营业收入高亿人民币．若该芯片企业月份到月份的月营业收入平均增长率为，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．如图，正方形中，点是对角线上一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得到，落在正方形内部，交于点，延长交于点，连接，若，则为（   ） A． B． C． D． 10．已知关于的整式，其中均为自然数，且，以下说法： 若，则方程的解为； 若，且方程有两个不等实根，则的最大值为； 若为整系数多项式，则这样的有个． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11．在学校举行的“读书节”活动中，提供了四类适合学生阅读的书籍： A． 文学类，B． 科幻类，C． 漫画类，D． 数理类． 小文同学从A，B，C，D四类书籍中随机选择一类，则选中A类书籍的概率为_____________． 12．如图，，直线分别与，交于点，．若，则的度数是________． 13．若为正整数，且满足，则___________． 14．若实数，同时满足，则的值为______． 15．如图，是的直径，点在上，连接，以为边作平行四边形，交于点，交于点，连接，交于点，连接、，若，，，则的长度为______． 16．对于一个四位自然数，若它的千位数字是个位数字的2倍还多1，十位数字比百位数字多1，称为“腾跃数”．则最大的“腾跃数”为___________，若一个“腾跃数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，若与均为整数，则符合条件的的值为___________． 填选题强化训练（二） 1、 选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1．的倒数是（   ） A． B． C． D． 2．中国传统纹样作为华夏文明的重要组成部分，是民族历史与祥瑞文化脉络赓续传承的生动体现．下列纹样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列调查中最适合采用全面调查的是（   ） A．调查某地水稻的生长情况 B．调查某品牌无人机的抗风能力 C．调查某市垃圾分类的情况 D．调查全班立定跳远的成绩 4．如图，点A，B，C均在上，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 5．蜜蜂构建的蜂巢展现出了正六边形的精巧设计．下图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的蜂巢结构平面图，第①个图案用了11根小棒，第②个图案用了19根小棒，第③个图案用了27根小棒，第④个图案用了35根小棒，……按此规律排列下去，第⑧个图案用的小棒根数是（    ） A．59 B．76 C．67 D．96 6．下列各点中，在反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 7．下列四个数中，值最大的是（   ） A． B． C． D． 8．中央经济工作会议正式定调：2026年国补“优化不退出”．某型号笔记本电脑发售时每台售价9860元，经补贴政策活动优惠后，这台笔记本电脑的售价下降两次，且每次降价百分率相同，现在每台售价为元，设每次降价的百分率为，则可以列出相关的方程（     ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，点是边上一点，交于点，以，为邻边构造平行四边形，连接，若，则等于（    ）． A． B． C． D． 10．已知整式，其中，为正整数，，为整数，且，，下列说法： ①当时，满足条件的单项式有3个； ②当时，满足条件的整式有8个； ③满足条件的二次二项式有10个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2、 填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11．一个不透明的袋子中有10个质地均匀、大小相同的球，其中3个红球，7个白球，随机摸出一个球是红球的概率为______． 12．如图，把一块三角板的直角顶点放在直尺的边上，如果，那么________． 13．若为正整数，且满足，则______． 14．若实数同时满足，则的值为_____． 15．如图，是等腰的外接圆，，．连接并延长交于点，的角平分线交于点，交于点，连接，则的长度为_____． 16．一个四位自然数（其中a，b，c，d为整数，且，，，），若满足，则称这个四位数为“十二和数”．例如：四位数3579，因，所以3579是“十二和数”．已知某个“十二和数”的十位数字为5，百位数字比千位数字小2，则这个“十二和数”是______；一个“十二和数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新数N，记．若与均为整数，则满足条件的M的最大值与最小值的差为______． 填选题强化训练（三） 1、 选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1．的倒数是（   ） A．2026 B． C． D． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列调查方式中合适的是（    ） A．调查一批灯泡的使用寿命，采用普查的方式 B．调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查的方式 C．调查文山州中学生喜欢上数学课的人数，采用普查的方式 D．调查中央电视台《新闻联播》收视率情况，采用抽样调查的方式 4．如图，已知圆心角，则圆周角的度数是（    ） A． B． C． D． 5．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有张黑色正方形纸片，第②个图中有张黑色正方形纸片，第③个图中有张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑦个图中黑色正方形纸片的张数为（    ） A． B． C． D． 6．反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为4，则k的值为（   ） A．8 B． C． D． 7．下列四个数中，最小的是（    ） A． B． C． D． 8．年中国建成全球最大碳纤维生产基地，实现了碳纤维国产化，碳纤维的价格由元/公斤经过连续两次降价后，价格为元/公斤，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在边长为2的正方形中，E在对角线上，且，连接并延长，交边于H点，过D作于F，连接．G为上一点，且，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 10．已知整式M：，其中，，，，为自然数，n，为正整数，且，．下列说法： ①当，时，M的最小值为6； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次整式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有2个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2、 填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11．不透明袋子中有2个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是______． 12．如图，直线，直线交直线于点．若，则_____． 13．若m为正整数，且满足，的值是_____ 14．若实数同时满足，则的值为___________． 15．如图，四边形内接于圆，为圆直径，、交于点，点是的中点，切圆于，交延长线于．若，点到的距离为1，则_____． 16．如果一个四位数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字之和为8，那么称这个四位数M为“能源数”．将一个三位数记作，M的十位数字作为三位数的百位数字，三位数的十位数字是0，的个位数字与M的个位数字相同，记，例如：四位数1634，，不是“能源数”．又如：四位数5349，，是“能源数”，．若A是最小的“能源数”，则是________；若对于“能源数”M，能被11整除，记，则当为整数时，“能源数”M的最大值是_______． 填选题强化训练（四） 1、 选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1．的绝对值是（    ） A． B． C． D．2026 2．中国新能源汽车发展迅速，下列各图是国产新能源汽车图标，属于轴对称图形的是（   ） A． B．C． D． 3．要调查下列问题，适合采用普查的是（   ） A．中央电视台《开学第一课）的收视率 B．河源市居民12月份人均网上购物次数 C．珠江里现有鱼的种类 D．即将发射的气象卫星的零部件质量 4．如图，内接于，连接，，若，则度数是（   ） A． B． C． D． 5．石墨烯是突破硅基芯片极限的关键材料．二维石墨烯的晶格结构如下图所示（黑色圆点表示碳原子）：第①个图中有14个碳原子，第②个图中有18个碳原子，第③个图中有22个碳原子，…，按照此规律，第⑥个图中碳原子的个数是（   ）      A．30 B．34 C．38 D．42 6．已知反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．图象与两坐标轴相交 C．y随x的增大而减小 D．图象经过点 7．下列四个数中，值最大的是（    ） A． B． C． D． 8．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（   ） A． B． C． D． 9．如图，正方形中，点是对角线上一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得到，落在正方形内部，交于点，延长交于点，连接，若，则为（   ） A． B． C． D． 10．已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次二项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有2个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2、 填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11．某社区为庆祝马年新春，开展围绕马年讲成语故事活动．小明从“龙马精神”“马到成功”“一马当先”“万马奔腾”四个成语中，随机抽取一个成语讲故事，抽到“龙马精神”的概率是______． 12．如图，已知，则___________． 13．若为正整数，且满足，则__________． 14．若实数同时满足，则的值为___________． 15．如图，是的直径，是⊙O的切线，点B为切点．连接交⊙O于点D，点E是⊙O上一点，连接，过点A作交的延长线于点F．若，则的长是________． 16．一个四位自然数M的各个数位的数字互不相等且均不为0，若千位数字与个位数字的差等于十位数字与百位数字的差，则称其为“骐骥数”．将M的千位与个位数字调换位置，百位与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，则________，若“骐骥数”（a，b，c，d均为整数，且，，，），记N的各个数位上的数字之和为，若为完全平方数，且为整数，则满足条件的所有N的值之和为________． 填选题强化训练（五） 1、 选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1．的相反数是（    ） A． B． C． D．6 2．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列调查中，适合采用全面调查方式的是（    ） A．了解某班学生“50米跑”的成绩 B．调查人们保护海洋的意识 C．了解全国六年级学生身高的状况 D．了解一批袋装食品是否含有防腐剂 4．如图，点，，在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有5朵太阳花，第②个图中有9朵太阳花，第③个图中有13朵太阳花，第④个图中有17朵太阳花…按照这一规律，则第⑧个图中太阳花的个数是（   ） A．21 B．25 C．29 D．33 6．下列各点中，在反比例函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 7．下列四个数中，最大的是（   ） A． B． C． D． 8．2025年辽宁省首届青少年数字阅读节在沈阳举办．某校为响应活动号召，开放校园数字图书馆．据统计，4月份访问数字图书馆的人次为150次，访问人次逐月递增，到6月份累计访问人次达546次，且访问人次的月平均增长率相同．访问人次的月平均增长率为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，，点，分别在边，上，将四边形沿直线翻折到正方形所在的平面，点，的对应点分别为，，与交于点，若点在边上，且为中点，与交于点，则的面积为（   ） A． B． C． D． 10．已知整式，其中为非负整数，均为正整数，若，下列说法： ①满足条件的整式中只有个单项式； ②当，且时，满足条件的整式共有个； ③当，且时，所有满足条件的整式的和为． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11．李明打算购买1张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择1个，则李明购买的车票座位刚好靠近窗户的概率是________． 12．如图，直线、被直线所截，且．若，则的大小为______． 13．已知，其中为正整数，则的值为______． 14．若实数，同时满足，，则的值___________． 15．如图，已知是圆O的直径，弦于点H，过点B作圆O的切线交的延长线于点E，连接，F为的中点，连接．若，，则_______，点O到的距离_______． 16．我们规定：一个四位数，若满足，则称这个自然数为“等和数”.例如：四位数3416，因为，所以3416是“等和数”按照这个规定，最小的“等和数”是___________；一个“等和数”，将其千位数字与百位数字调换位置，十位数字与个位数字调换位置，得到一个新的数，记,，若是11的倍数，则满足条件的M的最小值是_________． 填选题强化训练（六） 1、 选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1．的相反数是（　　） A． B． C． D． 2．下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列调查中，适合采用全面调查的是（  ） A．调查某种柑橘的甜度情况 B．调查某批次汽车的抗撞击能力 C．调查某班级学生的身高情况 D．了解一批某品牌电视机的使用寿命 4．如图，内接于，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 5．下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图中共有4个●，第②个图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第⑥个图中●的个数为（   ） A．34 B．36 C．40 D．43 6．已知点在反比例函数（k为常数且）的图象上，则下列不在该函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 7．下列四个数中，最大的是（    ） A． B． C． D． 8．某口罩厂9月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量增大，11月份的产量增加到121万只，则该厂第10月份和第11月份的口罩产量的月平均增长率为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，连接，以点旋转中心将线段顺时针旋转，得到线段，连接，交边于点，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 10．已知整式（，，均为整数，，，，），且，设；下列说法中： ①若，则的值可能为； ②的最小值为； ③（，，，）均为正整数，则最大值为． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11．小玉参加“阖家闹元宵，讲成语故事”活动，从卡片背面分别写着“老马识途”“守株待兔”“走马观花”“画龙点睛”的4张卡片中随机抽取1张卡片，则该卡片背面的成语含有“马”字的概率是_____． 12．如图，，若，则_____． 13．若为正整数，且满足，则_____． 14．若实数、同时满足，，则的值_____． 15．如图，直径，弦的平分线分别交、于点D，M，则线段的长为_____． 16．我们规定：若一个四位正整数能分解成，其中，均是正整数且，则称是“平方差6数”，将分解成的过程称为“平方差6分解”．例如：因为，所以1075是“平方差6数”，1075分解成的过程是“平方差6分解”．若在的所有“平方差6分解”中，当取得最小时，称是的“最佳分解”，此时规定：．则________；若一个“平方差6数”（，，均为整数），将的各个数位上的数字之和记为，且满足除以7的余数为3．则最大的________． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 填选题强化训练（一） 1、 选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数的直接求解即可． 【详解】解：与只有符号不同的数为， 的相反数是． 2．下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义逐项判断即可，将一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形叫做轴对称图形；将一个图形绕某一点旋转，能与本身重合，这样的图形叫做中心对称图形． 【详解】解：因为图A不是轴对称图形，是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图C是轴对称图形，也是中心对称图形，所以符合题意； 因为图D是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以不符合题意． 3．要调查下列问题，适合采取全面调查的是（   ） A．调查黄河的水质情况 B．《河南新闻联播》的收视率 C．国产航空母舰入役前的零部件检查 D．调查一批新郑小枣的甜度情况 【答案】C 【分析】根据调查是否具有破坏性，对结果精确度的要求判断即可； 【详解】解：A 、调查黄河水质情况，范围广，适合抽样调查； B 、调查电视收视率，工作量大，适合抽样调查； C 、国产航空母舰入役前零部件检查关乎航行安全，要求每个零件都合格，必须进行全面调查； D 、调查小枣甜度，调查具有消耗性，适合抽样调查； ∴适合全面调查的是C． 4．如图，点，，在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆周角定理可得． 【详解】解：∵，， ∴． 5．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种有1个碳原子和4个氢原子，第2种有2个碳原子和6个氢原子，第3种有3个碳原子和8个氢原子，…，按照这一规律，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】B 【分析】观察前面四幅图可知氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律求解即可． 【详解】解：第1种有4个氢原子，， 第2种有6个氢原子，， 第3种有8个氢原子，， …… 以此类推，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是． 6．已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将点坐标代入解析式即可计算出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ，解得． 7．下列四个数中，最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】比较科学记数法表示的数的大小，先比较的指数，指数越大，原数越大；指数相同时，比较乘号前的系数，系数越大，原数越大，按此规则比较即可得到结果． 【详解】解：∵四个选项中，A选项和B选项中，的指数都为；C选项和D选项中，的指数都为，， ∴A选项和B选项的数都小于C选项和D选项的数； ∵C选项为，D选项为，且， ∴． 综上，四个数中最大的是D选项的数． 8．已知某国产芯片企业月份营业收入为亿人民币，月份营业收入比月份营业收入高亿人民币．若该芯片企业月份到月份的月营业收入平均增长率为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为平均增长率应用题，根据平均增长率的变化关系列一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的负根即可得到结果． 【详解】解：∵月份营业收入为亿人民币，月平均增长率为， ∴月份营业收入为， 根据题意，月份营业收入比月份高亿人民币， 可得月份营业收入为亿人民币， 列方程得：， 解得，（舍去）． 9．如图，正方形中，点是对角线上一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得到，落在正方形内部，交于点，延长交于点，连接，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可通过正方形性质、翻折变换的性质，结合角度推导与三角形相似来求解．先利用正方形对角线性质证明 及相关角相等，再通过角度计算得到角的等量关系，最后证明三角形相似，结合边长比例求出 的值． 【详解】解：连接、， ∵ 四边形 是正方形， ∴ ，， 垂直平分 ，， ∴ ，， ∴， ∵, ∴, ∴． ∵ 沿 翻折得到 ， ∴ ，，． 设 , 则 ， ∴， ∴, ∴, 又 ， ∴， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵， ∴ ， ∴ ． 10．已知关于的整式，其中均为自然数，且，以下说法： 若，则方程的解为； 若，且方程有两个不等实根，则的最大值为； 若为整系数多项式，则这样的有个． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式，一元二次方程的根的判别式等知识，根据题意得，得，即可求出方程的解为；方程整理得，根据方程有两个不等实根，则且，所以且，然后分若，若， 若时，进行求解；求得，然后分四种情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，且，为自然数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 若，则， ∵方程， ∴， ∴， ∵方程有两个不等实根， ∴且， ∴且， ∵，为自然数， ∴， 若，则，不符合题意，舍去； 若，则，不符合题意，舍去； 若，则， 又∵， ∴，此时， ∴， ∵， ∴最大为， ∴最大为，故正确； ∵均为自然数，且， ∴均从最小的数取起，则（舍去）， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∵是整系数多项式， ∴， ∴时，或或，有个整系数多项式； 时，或，有个整系数多项式； 时，，有个整系数多项式； 故当时, 共个整系数多项式； 当时，， ∴时， ，或，有个整系数多项式； ，，有个整系数多项式； ，，有个整系数多项式； 时， ，，有个整系数多项式； ，，有个整系数多项式； 时， ，，有个整系数多项式； 故当时，共个整系数多项式； 当时，， 只有，，，，这种； 同理，当时，， 只有，，，，，这种； 综上，共有整系数多项式（个），故错误， 故选：C． 2、 填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11．在学校举行的“读书节”活动中，提供了四类适合学生阅读的书籍： A． 文学类，B． 科幻类，C． 漫画类，D． 数理类． 小文同学从A，B，C，D四类书籍中随机选择一类，则选中A类书籍的概率为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了求概率，熟练掌握树状图或列表法求概率和准确计算是解题的关键． 找到等可能情况总数，利用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意小文同学从A，B，C，D四类书籍中随机选择一类，共4种选择， 则选中A类书籍的概率为． 故答案为：． 12．如图，，直线分别与，交于点，．若，则的度数是________． 【答案】/度 【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补． 直接根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 13．若为正整数，且满足，则___________． 【答案】7 【分析】估算无理数的大小，确定其介于两个连续正整数之间，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 即， 因此． 14．若实数，同时满足，则的值为______． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质对的取值进行分类讨论，求出的值，最后计算. 【详解】解：∵， ∴， 当时，， ∴解得：， 把代入得，（舍）， 当时，， ∴，解得：， 把代入得，， ∴， 故答案为：． 15．如图，是的直径，点在上，连接，以为边作平行四边形，交于点，交于点，连接，交于点，连接、，若，，，则的长度为______． 【答案】 【分析】作的直径，交于于点Q，连接，，则，过点作于点M，证明四边形是矩形，过点作于点S，交于点T，证明四边形是正方形，根据勾股定理，求解即可． 【详解】解：作的直径，交于于点Q，连接， ， 为边作平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 连接， 则， 根据垂径定理，得， ， ， ， 过点作于点M， 根据题意，得， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 过点作于点S，交于点T， 四边形是矩形， ， 由平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 16．对于一个四位自然数，若它的千位数字是个位数字的2倍还多1，十位数字比百位数字多1，称为“腾跃数”．则最大的“腾跃数”为___________，若一个“腾跃数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，若与均为整数，则符合条件的的值为___________． 【答案】 9894 7893 【分析】根据“腾跃数”定义得数位关系：千位，十位，其中为个位数字，为百位数字，所有数位均为整数，可得，，即最大为，最大为，可得最大的“腾跃数”，分别化简与，可得为5的整数倍，为19的整数倍，即可求解． 【详解】解：根据题意，得，，其中，，，所有数位均为整数， ∴，， ∴，，即最大为，最大为， 此时，， ∴最大的“腾跃数”为：； 根据题意得：与均为整数， ∵，，， ∴ ， ∵为整数， ∴为整数，即为5的整数倍， 为整数，即为19的整数倍， ∴当，时，满足条件，此时，， ∴符合条件的为． 填选题强化训练（二） 1、 选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1．的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的倒数是． 2．中国传统纹样作为华夏文明的重要组成部分，是民族历史与祥瑞文化脉络赓续传承的生动体现．下列纹样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形； D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形． 3．下列调查中最适合采用全面调查的是（   ） A．调查某地水稻的生长情况 B．调查某品牌无人机的抗风能力 C．调查某市垃圾分类的情况 D．调查全班立定跳远的成绩 【答案】D 【分析】由全面调查适合范围小、易操作、无破坏性的调查；抽样调查适合范围大或具有破坏性的调查判断． 【详解】解：A、调查某地水稻的生长情况，调查范围比较大，适合抽样调查； B、调查某品牌无人机的抗风能力，调查具有破坏性，适合抽样调查； C、调查某市垃圾分类的情况，调查范围比较大，适合抽样调查； D、调查全班立定跳远的成绩，调查范围小、易操作、无破坏性，适合全面调查． 4．如图，点A，B，C均在上，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 5．蜜蜂构建的蜂巢展现出了正六边形的精巧设计．下图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的蜂巢结构平面图，第①个图案用了11根小棒，第②个图案用了19根小棒，第③个图案用了27根小棒，第④个图案用了35根小棒，……按此规律排列下去，第⑧个图案用的小棒根数是（    ） A．59 B．76 C．67 D．96 【答案】C 【分析】观察可知，后面一个图形比前面一个图形多8根小棒，据此规律求解即可． 【详解】解：第①个图案用了根小棒， 第②个图案用了根小棒， 第③个图案用了根小棒， 第④个图案用了根小棒， ．．．．．．， ∴第⑧个图案用的小棒根数是． 6．下列各点中，在反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用反比例函数的性质，反比例函数图象上的点，横纵坐标的乘积恒等于k，据此计算乘积即可判断. 【详解】解：∵ ∴在反比例函数图象上的是. 7．下列四个数中，值最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法和有理数大小比较，首先将用科学记数法表示的四个数还原成原数，再比较大小． 【详解】解：∵，，，，， ∴值最大的是， 故选：A． 8．中央经济工作会议正式定调：2026年国补“优化不退出”．某型号笔记本电脑发售时每台售价9860元，经补贴政策活动优惠后，这台笔记本电脑的售价下降两次，且每次降价百分率相同，现在每台售价为元，设每次降价的百分率为，则可以列出相关的方程（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵每次降价的百分率为 ∴第一次降价后的售价为 元 ∴第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降，售价为元 又∵现在每台售价为 元 ∴可列方程为 ． 9．如图，在正方形中，点是边上一点，交于点，以，为邻边构造平行四边形，连接，若，则等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质、平行四边形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等，熟练掌握全等的判定和性质是解题的关键． 先过点作，交延长线于点，通过正方形的性质和条件判定，得，再与平行四边形的性质结合推出，设，，那么，证明为等腰直角三角形，再运用勾股定理求解出、的值，最后进行求解即可． 【详解】解：过点作，交延长线于点， ∵正方形， ∴，． ∵平行四边形， ∴，． ∵，， ∴，即． ∵，， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， 设，， ∴，， ∴． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵，，，， ∴． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∴． 故选：B． 10．已知整式，其中，为正整数，，为整数，且，，下列说法： ①当时，满足条件的单项式有3个； ②当时，满足条件的整式有8个； ③满足条件的二次二项式有10个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题根据题目给出的整式系数条件，逐个验证三个说法的正确性，按分类讨论计算各类整式的个数，即可得到结果． 【详解】解：首先整理已知条件：为正整数，为整数，满足即，且对，． 验证说法① 当，为单项式，则，由条件得，又是正整数，故，共3个满足条件的单项式，因此①正确． 验证说法② 等式成立，说明所有同号，又为正，故所有，即，条件变为， ， 当：，，，计算得： 时，，共3个； 时，，共3个； 时，，共1个； 时无符合条件的解， 共个． 当：最小总和为，总和为，其余情况总和均大于6，故仅1个． ：最小总和为，无符合条件的解． 总共有个，因此②正确． 验证说法③ 二次二项式即，，恰好两个系数非零： 情况1：当时， ∵，， ∴，即，显然不成立，无解． 情况2：当时，得，，， 当时，有，， ， ， ∴， 解得此时，只有1个； 当时，由，且为整数， ∴则或或， 由，可知， ∴， ∵ ∴，恒满足， 当时，，则，共3个 当时，，则共3个 当时，，则，共3个 ∴当时，满足条件的二次二项式共有个，③正确． 三个说法都正确，正确个数为3． 2、 填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11．一个不透明的袋子中有10个质地均匀、大小相同的球，其中3个红球，7个白球，随机摸出一个球是红球的概率为______． 【答案】 【分析】根据概率公式，用红球的个数除以球的总个数即可得到结果． 【详解】解：∵袋子中共有10个质地均匀大小相同的球，其中3个红球， ∴随机摸出一个球是红球的概率为． 12．如图，把一块三角板的直角顶点放在直尺的边上，如果，那么________． 【答案】 【详解】解：如图 ， ． ， ． 13．若为正整数，且满足，则______． 【答案】 【分析】先估算的大小，再根据不等式的性质估算的大小，即可得解． 【详解】解：，，， ， ， 为正整数， ． 14．若实数同时满足，则的值为_____． 【答案】16 【分析】本题考查了绝对值的性质，解二元一次方程组，根据绝对值的性质分类讨论是解题的关键． 根据绝对值的性质，分情况讨论x和y的正负情况，代入方程求解，得到x和y的值，再计算x的y次方即可． 【详解】解：由和，分情况讨论： 当且时，方程化为和，矛盾，无解； 当且时，方程化为和，解得，，但，不成立，无解； 当且时，方程化为和，解得，，符合条件； 当且时，方程化为和，相加得，矛盾，无解． ∴当，时，． 故答案为：16． 15．如图，是等腰的外接圆，，．连接并延长交于点，的角平分线交于点，交于点，连接，则的长度为_____． 【答案】 【分析】先利用等腰三角形三线合一与勾股定理，求出外接圆半径与相关线段长度；再根据角平分线性质与圆周角定理，推导出弧相等，得到；最后利用三角形中位线定理求出，进而计算，再通过勾股定理求． 【详解】解：如图，设与交于点，连接交于，连接、， ∵，为的直径， ∴，．， 在中， ， 设的半径为，则，． 在中，即 解， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴，且为中点， ， ∵为中点，为中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中， ． 16．一个四位自然数（其中a，b，c，d为整数，且，，，），若满足，则称这个四位数为“十二和数”．例如：四位数3579，因，所以3579是“十二和数”．已知某个“十二和数”的十位数字为5，百位数字比千位数字小2，则这个“十二和数”是______；一个“十二和数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新数N，记．若与均为整数，则满足条件的M的最大值与最小值的差为______． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算的应用． 根据已知条件得到十位数字为5和百位数字比千位数字小2，结合“十二和数”的定义作答即可；根据题意得到，根据“十二和数”的定义可知，，即，，进而得到，求出，由题意可知与均为整数，即为11的倍数且为4的倍数，进而分别找出M的最大值与最小值，相减即可． 【详解】解：∵十位数字为5， ∴， ∵百位数字比千位数字小2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即这个“十二和数”是； ∵将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新数N， ∴， ∴ ， 由“十二和数”的定义可知，， ∴ ， ， ∴ ， ∵与均为整数， ∴与均为整数， 即为11的倍数且为4的倍数， ∵3与4无公因数， ∴为4的倍数， ∵， M取最大值：当时，不存在b使得为11的倍数且为4的倍数， 当时， ∵为11的倍数， ∴，此时，是4的倍数； ∴，， ∴最大值； M取最小值： ∵，，， ∴， 当时，不存在b使得为11的倍数且为4的倍数， 当时，不存在b使得为11的倍数且为4的倍数， 当时， ∵为11的倍数， ∴，此时，是4的倍数； ∴，， ∴最小值； 则满足条件的M的最大值与最小值的差为． 故答案为：，． 填选题强化训练（三） 1、 选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1．的倒数是（   ） A．2026 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倒数的概念计算即可得到结果。 【详解】解：乘积为的两个数互为倒数， 故的倒数为． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意． 3．下列调查方式中合适的是（    ） A．调查一批灯泡的使用寿命，采用普查的方式 B．调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查的方式 C．调查文山州中学生喜欢上数学课的人数，采用普查的方式 D．调查中央电视台《新闻联播》收视率情况，采用抽样调查的方式 【答案】D 【分析】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查． 【详解】解：A、调查一批灯泡的使用寿命，具有破坏性，适合采用抽样调查的方式；错误； B、调查你所在班级同学的身高，人数少，调查范围小，适合采用普查的方式；错误； C、调查文山州中学生喜欢上数学课的人数，总体数量大，普查工作量过大且成本高，适合采用抽样调查的方式；错误； D、调查中央电视台《新闻联播》收视率情况，调查范围大，工作量大，适合采用抽样调查的方式；正确． 4．如图，已知圆心角，则圆周角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据圆周角定理进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 5．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有张黑色正方形纸片，第②个图中有张黑色正方形纸片，第③个图中有张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑦个图中黑色正方形纸片的张数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式-图形类规律探究，从已有的图形中，概括出相应的数字规律，进行求解即可． 【详解】解：第①个图中黑色正方形纸片：， 第②个图中黑色正方形纸片：， 第③个图中黑色正方形纸片：， ∴第个图中黑色正方形纸片：， ∴第⑦个图中黑色正方形纸片的张数为：． 6．反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为4，则k的值为（   ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据轴，可得与的面积相等，可推出，解得：，再根据反比例函数的图象在第二象限，可得，从而得到答案． 【详解】解：连接， 轴， 与的面积相等． 即． ， ∵反比例函数的图象在第二象限， ． 7．下列四个数中，最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据的指数判断数的量级，再比较同量级数的系数即可得到结果． 【详解】解：， A、B对应的数都小于C和D对应的数； 指数相同时，系数， 最小的数是． 8．年中国建成全球最大碳纤维生产基地，实现了碳纤维国产化，碳纤维的价格由元/公斤经过连续两次降价后，价格为元/公斤，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设每次降价的百分率为，，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 根据题意，得，， 解得， ∴每次降价的百分率为． 9．如图，在边长为2的正方形中，E在对角线上，且，连接并延长，交边于H点，过D作于F，连接．G为上一点，且，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理；证明，则可得，证明，可得，设，则，利用解直角三角形和勾股定理即可得到和，即可解答，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键． 【详解】解：四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， ， ， 则， ， ， ， 故选：A． 10．已知整式M：，其中，，，，为自然数，n，为正整数，且，．下列说法： ①当，时，M的最小值为6； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次整式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有2个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题干给出的次数系数条件，按每个说法的要求分类枚举所有符合条件的整式，再逐一验证说法即可． 【详解】解：由题干条件可知，为正整数，，，，，为自然数，为正整数，满足，且． 验证说法①：， ， ，且． 当时，． ， ， 为正整数， 最小为，此时最小值为． 最小值不是，①错误； 验证说法②：， ， ，且 枚举所有符合条件的整式： ，得； ，得； ，得； 无其他符合条件的整式，求和得：，②正确； 验证说法③：二次整式即， ， ， ，且， 枚举所有整式并判断非负性： 时，，对任意实数都有，符合要求； 时，，当时，，不符合； 时，，当时，，不符合； 时，恒成立，符合要求； 满足条件的所有二次整式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有2个，③正确． 综上可知，② ③正确，正确的个数是2． 2、 填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11．不透明袋子中有2个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是______． 【答案】 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．本题中摸出红球的概率为红球数量与总球数的比值，据此即可求解． 【详解】解：袋中总球数为，红球有个, 因此摸出红球的概率为 故答案为：． 12．如图，直线，直线交直线于点．若，则_____． 【答案】 58 【分析】先由对顶角相等得到的度数，再根据两直线平行，同位角相等即可得到答案． 【详解】解：如图所示，∵， ∴ ∵直线， ∴． 13．若m为正整数，且满足，的值是_____ 【答案】16 【分析】本题主要考查了无理数的估算、有理数乘方等知识点，确定m的值是解题的关键． 通过比较与相邻整数的平方，确定m的值，再计算即可解答． 【详解】解：∵ ， ，且， ∴， ∵ ∴，即． 故答案为：16． 14．若实数同时满足，则的值为___________． 【答案】64 【分析】利用分类讨论求解方程得，，再代入即可， 【详解】解：∵， ∴，且 ∴； ∴， 把代入得， 又， 所以，当时，， ∴， 解得， ∴； 当时，，即， ∴， 解得， 又， 所以，此种情况不存在； ∴． 15．如图，四边形内接于圆，为圆直径，、交于点，点是的中点，切圆于，交延长线于．若，点到的距离为1，则_____． 【答案】 【分析】根据点是的中点得到，即可得到，根据点到的距离为1，得到，再证明即可得到答案； 【详解】如图所示，过点O作于H，连接， 为圆直径， ， 点是的中点， ， ， ， ， 点到的距离为1， ，， ， ， ， 切圆于， ， ， ， ， ， ， 【点睛】本题解题的关键是作出辅助线，算出，，． 16．如果一个四位数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字之和为8，那么称这个四位数M为“能源数”．将一个三位数记作，M的十位数字作为三位数的百位数字，三位数的十位数字是0，的个位数字与M的个位数字相同，记，例如：四位数1634，，不是“能源数”．又如：四位数5349，，是“能源数”，．若A是最小的“能源数”，则是________；若对于“能源数”M，能被11整除，记，则当为整数时，“能源数”M的最大值是_______． 【答案】 152 6298 【分析】根据题意可得，各数位非0且互不相等，要使最小，取则，最小取2，最小取3，得值，由定义可得，进而求出，将其代入求解即可；由得，进而可得，要使其被11整除，则需被11整除，列举得出有效的组合；再计算，筛选得整数解，进而即可得解． 【详解】解：由题意得，，且和， ∵A是最小的“能源数”， ∴千位最小取1， ∵， ∴， ∴十位最小取2，个位最小取3， ∴最小能源数， 由题意得，，， ∴ ， ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∴ ， ∵要让能被11整除， ∴必须也能被11整除， ∵， ∴的范围是，是的非零数字， ∴当，时， ， 当，时， ， ∴， ∴在到8之间，能被11整除的数有0、、、、、、， ∴当时，则， ∴，； 当时，则， ∴（舍去），时（舍去）； 当时，则， ∴时， 当时，则， ∴时（舍去），时（舍去）， 当时，则， ∴时（舍去），时（舍去）， 当时，则， ∴时（舍去），时， 当时，则， ∴时， ∴当，时，， ， ∴“能源数”M为； 当，时，， ∴“能源数”M为； 当，时，， （不是整数，舍去）； 当，时，， ， ∴“能源数”M为， ∴， ∴最大的“能源数”为时， ∴． 【点睛】本题以“能源数”新定义为载体，结合数的整除性、代数式化简与整数性质，通过列举筛选与最值分析推导结果，体现了代数建模、分类讨论与逻辑推理的核心数学思想． 填选题强化训练（四） 1、 选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1．的绝对值是（    ） A． B． C． D．2026 【答案】D 【详解】解：， 故选：D ． 2．中国新能源汽车发展迅速，下列各图是国产新能源汽车图标，属于轴对称图形的是（   ） A． B．C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A：是轴对称图形，符合题意； B：不是轴对称图形，不符合题意； C：不是轴对称图形，不符合题意； D：不是轴对称图形，不符合题意． 3．要调查下列问题，适合采用普查的是（   ） A．中央电视台《开学第一课）的收视率 B．河源市居民12月份人均网上购物次数 C．珠江里现有鱼的种类 D．即将发射的气象卫星的零部件质量 【答案】D 【分析】根据普查的特点判断选项，普查结果准确但工作量大，仅适合精度要求高，事关安全必须全面检查的调查问题． 【详解】A 、调查节目收视率，调查范围大，工作量大，适合抽样调查，不符合题意； B 、调查居民网上购物次数，调查对象数量多，适合抽样调查，不符合题意； C 、调查珠江现有鱼的种类，范围广，无法完成全面调查，适合抽样调查，不符合题意； D 、气象卫星零部件质量关乎发射安全，必须逐一检查每个零件，适合采用普查，符合题意． 4．如图，内接于，连接，，若，则度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆周角定理可直接得出． 【详解】解：∵， ∴． 5．石墨烯是突破硅基芯片极限的关键材料．二维石墨烯的晶格结构如下图所示（黑色圆点表示碳原子）：第①个图中有14个碳原子，第②个图中有18个碳原子，第③个图中有22个碳原子，…，按照此规律，第⑥个图中碳原子的个数是（   ）      A．30 B．34 C．38 D．42 【答案】B 【分析】根据前三个图形可得第n个图形中，碳原子的个数为个，再进一步求解即可． 【详解】解：第1个图形中有个碳原子， 第2个图形中有个碳原子， 第3个图形中有个碳原子， 按这样的规律，第n个图形中，碳原子的个数为个， 当时，． 6．已知反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．图象与两坐标轴相交 C．y随x的增大而减小 D．图象经过点 【答案】A 【分析】根据的符号判断反比例函数的图象位置和增减性，再结合反比例函数图象上点的坐标特征逐一判断选项即可． 【详解】解： 反比例函数为， ， 反比例函数的图象位于第二、四象限，故A符合题意； 反比例函数中，， 图象不可能与坐标轴相交，故B不符合题意； ， 只有在每个象限内，随的增大而增大，故C不符合题意； 当时，， 图象不经过点，故D不符合题意． 7．下列四个数中，值最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查把一个用科学记数法表示的数还原成原数，首先将用科学记数法表示的四个数还原成原数，再比较大小． 【详解】解：A、； B、； C、； D、． ∴ 故选：C． 8．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：，即可求解； 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：， ∴， 故选：A 9．如图，正方形中，点是对角线上一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得到，落在正方形内部，交于点，延长交于点，连接，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可通过正方形性质、翻折变换的性质，结合角度推导与三角形相似来求解．先利用正方形对角线性质证明 及相关角相等，再通过角度计算得到角的等量关系，最后证明三角形相似，结合边长比例求出 的值． 【详解】解：连接、， ∵ 四边形 是正方形， ∴ ，， 垂直平分 ，， ∴ ，， ∴， ∵, ∴, ∴． ∵ 沿 翻折得到 ， ∴ ，，． 设 , 则 ， ∴， ∴, ∴, 又 ， ∴， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵， ∴ ， ∴ ． 10．已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次二项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有2个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查整式的概念与性质，整式的加减运算，需根据系数和条件分类讨论．说法①中，单项式有多个；说法②中，当时，得到所有整式再求和可得答案；说法③中，根据②的结果可得二次二项式，再进一步判断非负性即可． 【详解】解：当时，， 当，时，整式M为， 当时，整式M不可能为单项式， 当时，， 当，，整式为， ∴满足条件的所有整式M中单项式不只1个，①错误； 当时，，满足， ∴可能整式有：，，，，，， ∴，②正确． ③∵为自然数，为正整数，且， 当时，，没有二次二项式， 当时，由②得：二次二项式有：，，，， 当时，不存在二次二项式， ∴二次二项式中，恒非负． 故有2个整式恒非负，③正确． 综上，正确个数为2． 故选：C． 2、 填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11．某社区为庆祝马年新春，开展围绕马年讲成语故事活动．小明从“龙马精神”“马到成功”“一马当先”“万马奔腾”四个成语中，随机抽取一个成语讲故事，抽到“龙马精神”的概率是______． 【答案】 【详解】解：由题意可知，随机抽取成语时，所有等可能的结果共有种，抽到“龙马精神”的结果有种， 则抽到“龙马精神”的概率． 12．如图，已知，则___________． 【答案】 【分析】根据对顶角与平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 13．若为正整数，且满足，则__________． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，通过平方法估算的范围即可． 【详解】解：计算 ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为6． 14．若实数同时满足，则的值为___________． 【答案】64 【分析】利用分类讨论求解方程得，，再代入即可， 【详解】解：∵， ∴，且 ∴； ∴， 把代入得， 又， 所以，当时，， ∴， 解得， ∴； 当时，，即， ∴， 解得， 又， 所以，此种情况不存在； ∴． 15．如图，是的直径，是⊙O的切线，点B为切点．连接交⊙O于点D，点E是⊙O上一点，连接，过点A作交的延长线于点F．若，则的长是________． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，根据勾股定理求出，从而得到，再结合切线的性质得到，从而得到，解直角三角形即可求出；连接，然后结合平行线的性质得到，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵是⊙O的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的判定等，证明是解题的关键． 16．一个四位自然数M的各个数位的数字互不相等且均不为0，若千位数字与个位数字的差等于十位数字与百位数字的差，则称其为“骐骥数”．将M的千位与个位数字调换位置，百位与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，则________，若“骐骥数”（a，b，c，d均为整数，且，，，），记N的各个数位上的数字之和为，若为完全平方数，且为整数，则满足条件的所有N的值之和为________． 【答案】 【分析】根据新定义直接得出的值，根据，分别求得的值，设千位，百位，十位，个位，得出，根据为完全平方数，得出，则，根据为整数，得出为整数，结合，且数位互不相等，得出，或，，进一步计算，即可求解． 【详解】解：，调换后，则： 已知，且，所有数位数字互不相等且不为0： 若：，十位为，不符合各个数位的数字均不为0的要求，舍去； 若：，设千位，百位，十位，个位，满足，，均不为0． 骐骥数满足，即 对任意四位数，调换后， ∵ ∴ ∴ ∴ 数位和，， 范围内的完全平方数只有， ∴ ∴ ∵为整数， ∴， ∴，即为整数， 又∵结合数位互不相等， 当，时，数位为，符合条件，； 当，时，数位为，符合条件，； 所有满足条件的的和为 填选题强化训练（五） 1、 选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1．的相反数是（    ） A． B． C． D．6 【答案】D 【详解】解：的相反数是6． 2．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3．下列调查中，适合采用全面调查方式的是（    ） A．了解某班学生“50米跑”的成绩 B．调查人们保护海洋的意识 C．了解全国六年级学生身高的状况 D．了解一批袋装食品是否含有防腐剂 【答案】A 【分析】根据调查范围大小，调查是否具有破坏性判断合适的调查方式．范围小，无破坏性的调查适合采用全面调查． 【详解】解：A选项中，调查对象为一个班的学生，范围小，易开展，适合全面调查； B选项中，调查对象范围大，适合抽样调查； C选项中，调查覆盖全国，人数多范围大，适合抽样调查； D选项中，检测食品是否含防腐剂具有破坏性，适合抽样调查． ∴本题选A． 4．如图，点，，在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 5．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有5朵太阳花，第②个图中有9朵太阳花，第③个图中有13朵太阳花，第④个图中有17朵太阳花…按照这一规律，则第⑧个图中太阳花的个数是（   ） A．21 B．25 C．29 D．33 【答案】D 【分析】观察图形得出第个图中太阳花的个数是，再代入，计算即可得出结果． 【详解】解：由所给图形可知： 第①个图中太阳花的个数是：； 第②个图中太阳花的个数是：； 第③个图中太阳花的个数是：； …， ∴第个图中太阳花的个数是：， ∴第⑧个图中太阳花的个数是． 6．下列各点中，在反比例函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， A．∵， ∴点不在该反比例函数图象上，不符合题意． B．∵， ∴点不在该反比例函数图象上，不符合题意． C．∵， ∴点不在该反比例函数图象上，不符合题意． D．∵， ∴点在该反比例函数图象上，符合题意． 7．下列四个数中，最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】比较科学记数法表示的数的大小，先比较的指数，指数越大，原数越大；指数相同时，比较乘号前的系数，系数越大，原数越大，按此规则比较即可得到结果． 【详解】解：∵四个选项中，A选项和B选项中，的指数都为；C选项和D选项中，的指数都为，， ∴A选项和B选项的数都小于C选项和D选项的数； ∵C选项为，D选项为，且， ∴． 综上，四个数中最大的是D选项的数． 8．2025年辽宁省首届青少年数字阅读节在沈阳举办．某校为响应活动号召，开放校园数字图书馆．据统计，4月份访问数字图书馆的人次为150次，访问人次逐月递增，到6月份累计访问人次达546次，且访问人次的月平均增长率相同．访问人次的月平均增长率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设访问人次的月平均增长率为，则5月份访问的人次为次，6月份访问的人次为次，依题意列出方程，求解即可． 【详解】解：设访问人次的月平均增长率为，则5月份访问的人次为次，6月份访问的人次为次，依题意得： ， 解得：，（舍去）， ∴访问人次的月平均增长率为． 9．如图，在正方形中，，点，分别在边，上，将四边形沿直线翻折到正方形所在的平面，点，的对应点分别为，，与交于点，若点在边上，且为中点，与交于点，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的折叠问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键． 由折叠前后对应边、对应角相等，可得，，，设，利用勾股定理解，求出．再证，根据对应边成比例求出，再设，利用勾股定理解求出，再证，求出相似比为3，根据相似三角形对应边的高的比等于相似比，可得，最后根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：在正方形中，，为中点， ，，， 由折叠得，，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． ， ， ， 又， ， ，即， 解得， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， 在正方形中，， ，， ， 与的相似比为， 如图，过点G作于点M，交于点N， 则是中边上的高，是中边上的高， ， ， ， 故选：C． 10．已知整式，其中为非负整数，均为正整数，若，下列说法： ①满足条件的整式中只有个单项式； ②当，且时，满足条件的整式共有个； ③当，且时，所有满足条件的整式的和为． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的规律类探索，理解题意后准确找出变化规律，并运用分类讨论的思想是解题的关键． 根据每个说法所给的条件，利用规律逐项讨论并判断即可解答． 【详解】对于①， 均为正整数，整式要为单项式， ，则， 可以取1，2，3，4共4个，故①正确； 对于②，当，且， 又，即， 时，，共3个； 时，，共2个； 综上，时，且时，满足条件的整式共有5个，故②正确； 对于③，，且时， 当时，，，， 此时，当时，或；当时，； 当时，则，，即， ∵均为正整数， ∴当时，不符合题意； 综上，整式可以为或或， 所有满足条件的整式的和为，故③正确． 故选：A． 2、 填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11．李明打算购买1张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择1个，则李明购买的车票座位刚好靠近窗户的概率是________． 【答案】 【分析】根据选择座位的方法共有5种，购买的1张票靠窗选法有2种，列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，选择座位的方法共有5种，购买的1张票靠窗选法有2种， 则李明购买的车票座位刚好靠近窗户的概率是． 12．如图，直线、被直线所截，且．若，则的大小为______． 【答案】/度 【详解】解：， ， ∵ ， ． 13．已知，其中为正整数，则的值为______． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，进而得到的取值范围，结合已知条件即可求出正整数的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∵，为正整数， ∴． 14．若实数，同时满足，，则的值___________． 【答案】 【分析】根据得出，当时，得出，与，不符合题意；当时，得出，解方程组求出、的值，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 当时，，与矛盾，此种情况不存在， 当时，， ∴， 解得：， ∴． 15．如图，已知是圆O的直径，弦于点H，过点B作圆O的切线交的延长线于点E，连接，F为的中点，连接．若，，则_______，点O到的距离_______． 【答案】 8 【分析】如图所示，连接，过点作，根据垂径定理得出，根据，求出，根据与相切，得出，从而求出，，即可得，证明是等边三角形，得出，根据F为的中点，得出，证明是直角三角形，勾股定理求出，等面积法即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作， 是的直径， ， ∵， ∴， ∵与相切， ， ，， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴． 即点O到的距离． 故答案为：8，． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，垂径定理，等边三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形等知识点，解题的关键是掌握以上性质． 16．我们规定：一个四位数，若满足，则称这个自然数为“等和数”.例如：四位数3416，因为，所以3416是“等和数”按照这个规定，最小的“等和数”是___________；一个“等和数”，将其千位数字与百位数字调换位置，十位数字与个位数字调换位置，得到一个新的数，记,，若是11的倍数，则满足条件的M的最小值是_________． 【答案】 1001 3580 【分析】本题考查了新定义，整式加减的应用，理解新定义，能熟练利用整式加减及分类讨论思想进行求解是解题的关键． 对于最小的“等和数”，需满足且，取最小四位数，可得数字1001，先表示M和，计算和，化简得，由是11的倍数，得是77的倍数，即，结合a和c的数字范围，只有时成立，即可解答． 【详解】解：一个四位数，满足， 要求最小“等和数”，则可取，， ，则可取，得， 由题意，， ， ， 设， ， ， 由，得，由，得， 代入得， 需为11的倍数，即是77的倍数。 设，因左边为偶数，k为偶数， 令，得， 根据，故， 十位恒为0， 则只有时满足，故， 由，得，即， 取最小值，则取最小，则，得， 故答案为：1001；3580． 填选题强化训练（六） 1、 选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1．的相反数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 相反数的定义为：只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是， ∴的相反数是. 2．下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、这个图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意； B、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意； C、此图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意； D、此图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 3．下列调查中，适合采用全面调查的是（  ） A．调查某种柑橘的甜度情况 B．调查某批次汽车的抗撞击能力 C．调查某班级学生的身高情况 D．了解一批某品牌电视机的使用寿命 【答案】C 【分析】本题考查全面调查的适用场景，根据定义，全面调查适用于调查范围小、无破坏性、要求结果准确的调查，具有破坏性或范围较大的调查适合抽样调查，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵A调查柑橘甜度，B调查汽车抗撞击能力，D调查电视机使用寿命，这三项调查都具有破坏性，且调查对象数量多，适合抽样调查； C调查某班级学生身高，调查范围小，对象数量少，适合全面调查． 4．如图，内接于，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆周角定理进行求解． 【详解】解：∵内接于，， ∴． 5．下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图中共有4个●，第②个图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第⑥个图中●的个数为（   ） A．34 B．36 C．40 D．43 【答案】A 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出图n中点的个数为．根据已知图形得出图n中点的个数为，据此可得． 【详解】解：因为图①中点的个数为， 图②中点的个数为， 图③中点的个数为， 图④中点的个数为， …… 图n中点的个数为， 所以图⑥中点的个数为， 故选：A． 6．已知点在反比例函数（k为常数且）的图象上，则下列不在该函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知点坐标求出反比例函数的值，再根据反比例函数的性质，图象上任意点的横纵坐标乘积等于，计算各选项点的横纵坐标乘积，即可判断出结果． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴把代入得， 即该反比例函数图象上的点满足， 依次验证各选项： A、，满足条件，点在图象上； B、，不满足条件，点不在图象上； C、，满足条件，点在图象上； D、，满足条件，点在图象上． 7．下列四个数中，最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法表示的数的大小比较，根据10的指数可判断数的位数，位数越多的数越大，位数相同时再比较系数大小即可得到结果． 【详解】解： ∵和展开后是7位数，和展开后是8位数， ∴ 7位数小于8位数，只需比较和， 又∵， ∴最大， 故选：C． 8．某口罩厂9月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量增大，11月份的产量增加到121万只，则该厂第10月份和第11月份的口罩产量的月平均增长率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．设第10月份和第11月份的口罩产量的月平均增长率为，根据9月份的口罩产量为100万只，11月份的产量增加到121万只，列出方程即可求解． 【详解】解：设第10月份和第11月份的口罩产量的月平均增长率为， 根据题意，得， 解得或（不符合题意，舍去）， 则该厂第10月份和第11月份的口罩产量的月平均增长率为． 故选：A． 9．如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，连接，以点旋转中心将线段顺时针旋转，得到线段，连接，交边于点，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点分别作、的垂线，交的延长线于点，交于点，容易证明，则，．容易证明四边形是正方形，则，．通过证明可得，利用平行可证明，则，计算得，最后相加即可． 【详解】解：如图，过点分别作、的垂线，交的延长线于点，交于点， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．已知整式（，，均为整数，，，，），且，设；下列说法中： ①若，则的值可能为； ②的最小值为； ③（，，，）均为正整数，则最大值为． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据整式加法合并同类项，得到系数和的关系，再逐一分析三个说法即可． 【详解】解：∵整式（，，均为整数，，，，）， 又∵ ∴，，， ①取，，，，满足， ∴， 即的值可能为，故说法①正确； ②设，则， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； ∴的最小值为，故说法②正确； ③设（为定值，、为正数）， 则， ∴当时，取得最大值， 此时， 即两个正数的和一定时，当它们相等时，这两个数的积最大； 按同样的方法可知：几个正数的和一定时，当它们相等时，这几个数的积最大； ∵，，，均为正整数，且， 当时，， ∴最大值为，故说法③正确； 综上所述，三个说法都正确，正确个数是． 2、 填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11．小玉参加“阖家闹元宵，讲成语故事”活动，从卡片背面分别写着“老马识途”“守株待兔”“走马观花”“画龙点睛”的4张卡片中随机抽取1张卡片，则该卡片背面的成语含有“马”字的概率是_____． 【答案】 【分析】确定所有等可能的结果总数，再找出符合成语含有“马”字条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，从4张卡片中随机抽取1张，所有等可能的结果总数为， 其中成语含有“马”字的结果有种，分别为“老马识途”和“走马观花”， ∴该卡片背面的成语含有“马”字的概率是． 12．如图，，若，则_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 13．若为正整数，且满足，则_____． 【答案】10 【分析】先化简给定的二次根式表达式，再估算无理数的大小，确定表达式介于两个连续正整数之间，即可求解． 【详解】解： 即 ∴ 即 为正整数，且满足 14．若实数、同时满足，，则的值_____． 【答案】 【分析】根据、的正负，分情况求出，，然后代入求值即可． 【详解】解：∵实数、同时满足，， ∴当，时，，解得：，与矛盾，故无解； 当，时，，解得：，符合题意； 当，时，，解得：，与矛盾，故无解； 当，时，，解得：，与矛盾，故无解； 综上，，，则． 15．如图，直径，弦的平分线分别交、于点D，M，则线段的长为_____． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，由圆周角定理得，由勾股定理求出，判定是等腰直角三角形，求出，判定是等腰直角三角形，求出，证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：连接，过点作于点， 是圆的直径， ， ，， ， 平分， ， △BCH是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16．我们规定：若一个四位正整数能分解成，其中，均是正整数且，则称是“平方差6数”，将分解成的过程称为“平方差6分解”．例如：因为，所以1075是“平方差6数”，1075分解成的过程是“平方差6分解”．若在的所有“平方差6分解”中，当取得最小时，称是的“最佳分解”，此时规定：．则________；若一个“平方差6数”（，，均为整数），将的各个数位上的数字之和记为，且满足除以7的余数为3．则最大的________． 【答案】 615 3226 【分析】①根据，得，得出当取得最小时，，则，即可求解．②根据“平方差6数”，得出千位为、百位、十位、个位，求出数位和：，从而得，根据除以7的余数为3，得出为整数，故整除 35 ，结合，得出或：结合，分两种情况分别求解即可． 【详解】解：根据定义：， 由平方差公式得：， 设，， 则，， ∴． ①∵，则， ∵，均是正整数且， ∴s和t必须同奇同偶， ∴当取得最小时，，则，s和t同奇，满足， ∴． ②∵“平方差6数”， ∴这个四位正整数M的千位为、百位、十位、个位， ∴数位和：， ∴， ∵除以7的余数为3， ∴为整数，故整除 35 ， ∵， ∴或： ∵， 故时：除以7余3，得，对应； 时：除以7余3，得，对应； ∵在的所有“平方差6分解”中，当取得最小时，称是的“最佳分解”，此时 又时最小， ∴此时，， ∴． ∴， ， 因此最大的． 学科网（北京）股份有限公司 $