7.2.2 复数乘、除运算教案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

课题 7.2.2 复数的乘、除运算 教学目标 1.能描述复数乘法的运算法则及其运算律；能描述复数除法的运算法则，会利用共轭复数将复数除法运算转化为乘法运算；掌握复数乘、除的运算法则及其运算律. 2.在复数的乘、除运算的探究和发现中，感受化归与转化、类比等数学思想方法，提升逻辑推理、数学运算素养. 教学重点： 1.复数乘法的运算法则及其运算律. 2.复数除法的运算法则.教学难点： 复数除法的运算法则. 教学过程 一、复习回顾 引言：上节课我们学习了复数的加、减运算及其几何意义，请同学们回忆上节课的学习过程. 回顾：如何定义复数的加、减运算？学完了复数的加、减运算，还可以研究复数的哪些运算？ 师生活动：教师引导学生回忆复数的减法是加法的逆运算，明确接下来可以研究复数的乘、除运算，并利用信息技术展示本章前两小节的知识结构图. 设计意图：让学生了解已学内容与本节课的内容的关联，明确学习目标. 二、探索新知 1.复数的乘法运算及其应用 问题 1：如何规定复数的乘法法则呢？ 请同学们计算(a +b)(c +d)(a,b,c,d Î R), 并回忆多项式的乘法法则是什么？ 师生活动：学生计算上述式子，回忆多项式的乘法法则，教师利用信息技术展示. (a +b)(c +d) =(a +b)c +(a +b)d =ac +bc +ad +bd 设计意图：为后续学习复数的乘法法则做准备，引导学生将复数的乘法按多项式的乘法进行. 探究 1：设z1 =a +bi, z2 =c +di(a,b,c,d Î R) 是任意两个复数，请你试着计算它们的积 (a +bi)(c +di). 师生活动：学生自主探究，教师展示复数的乘法法则. 我们规定，复数的乘法法则如下： 设z1 =a +bi, z2 =c +di(a,b,c,d Î R) 是任意两个复数，那么它们的积 (a +bi)(c +di) =ac +bci +adi +bdi2 =(ac - bd) +(ad +bc)i. 追问：复数的乘法法则和多项式的乘法法则有什么共性和差异？ 师生活动：学生思考总结.学生通过类比，易得：将复数 a +bi 看成是关于i 的“一次二项式”，将复数的乘法按多项式的乘法进行，只要在所得的结果中把i2 换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可． 教师指出，复数的乘法法则类似多项式的乘法法则，也没有必要专门去记忆复数乘法的法则． 设计意图：通过类比，进一步加强数学知识间的联系. 问题 2：类比复数加法由运算法则到运算律的研究过程，你认为合理规定了复数乘法的运算法则之后，还应该继续研究什么？ 师生活动：学生类比复数加法的研究过程，容易想到接下来应该去研究复数乘法的运算律. 追问 1：你认为复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗？ 师生活动：学生类比多项式乘法，易得出复数的乘法满足交换律、结合律，乘法对加 法满足分配律的猜想. 即：对于任意z1 , z2 , z3 Î C, 有 ( 1 2 2 1 )z z =z z (z1z2 )z3 =z1 (z2 z3 ) z1 (z2 +z3 ) =z1z2 +z1z3 追问 2：怎样证明你的猜想？ 探究 2：证明复数的乘法满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律. 师生活动：让学生证明他们的猜想.教师重点展示其中一个结论的证明过程，另两个可以留作课后作业. 以复数乘法的交换律为例： 设z1 =a1 +b1i, z2 =a2 +b2i, 其中a1 , b1 , a2 , b2 Î R, 因为z1z2 =(a1 +b1i)(a2 +b2i) =(a1a2 - b1b2 ) +(a1b2 +b1a2 )i, z2 z1 =(a2 +b2i)(a1 +b1i) =(a2 a1 - b2b1 ) +(a2b1 +b2 a1 )i, 又因为a1a2 - b1b2 =a2 a1 - b2b1 , a1b2 +b1a2 =a2b1 +b2 a1 , 所以 z1z2 =z2 z1 设计意图：让学生经历猜想、证明的过程，感受数学的严谨性.通过严谨的证明，培养学生的逻辑推理素养和数学运算素养． 例 1.计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)． 师生活动：学生独立完成，教师利用信息技术反馈、评价，使学生明晰，依据复数乘法的结合律，这种连乘形式有意义，可以看成左到右依次相乘. 解：(1-2i)(3+4i)(-2+i) =(11-2i)(-2+i)=-20+15i. (教师要提醒学生注意(-2i)(4i)=8，而不是-8.) 设计意图：一是让学生明晰，依据复数乘法的结合律，这种连乘形式有意义，可以看成左到右依次相乘；二是让学生熟悉复数的乘法． 例 2.计算：(1)(2+3i)(2-3i)；(2) (1+i)2 . 师生活动：学生独立完成，教师引导学生观察两个式子的特点，进而指出计算时，可以用复数的乘法法则计算，也可以用初中学过的乘法公式计算． 探究 3：若z1, z2 是共轭复数，那么z1z2 是一个怎样的数？由例 2 的第(1)题，你得到什么启发？请证明你的结论. 师生活动：由例 2 的第(1)题，学生易得两个共轭复数相乘，得到一个实数.学生写出证明过程. 证明： (a +bi)(a - bi) =a2 - (bi)2 =a2 +b2 . 教师给出一般性结论，并指出这是共轭复数的一个重要性质. 设z =a +bi(a, bÎ R) ，则 zz 是实数，且zz =a2 +b2 . 设计意图：由特殊到一般，猜想得出共轭复数的性质，体会推广和一般化是得出数学结论的一种逻辑思维方法. 2.复数的除法运算及其应用 问题 3：类比复数减法运算法则的规定以及实数的除法是乘法的逆运算，你认为应该怎样来规定复数除法的运算法则？ 师生活动： 类比复数的减法是加法的逆运算以及实数的除法是乘法的逆运算，学生易得出可以由复数的除法是乘法的逆运算来探求复数除法的法则． 探究 4：请尝试由复数的除法是乘法的逆运算以及复数乘法的运算法则，来规定复数除法的运算法则. 师生活动： 教师指出把满足 (c+di) (x+yi)=a+bi(a,b,c,d,x,y∈R,且 c+di≠0)① 的复数 x+yi，叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商. 学生尝试推导. 由①计算可得(cx-dy)+ (cy+dx) i =a+bi. 根据复数相等的定义，有 cx -dy=a，cy+dx=b.由此得x =, y = . 于是i(a, b, c, d Î R , c +di 1 0). ②上面我们由待定系数法得到除法的运算法则，但比较繁琐. 在进行复数除法运算时，通常先把 (a +bi) ¸ (c +di) 写成 的形式，则②式可化为 i ③ 追问 1：观察③式两边的分母，复数 c +di 与实数c2 +d2 有何关系？一个复数可以通过怎样的运算得到实数？ 师生活动：引导学生发现可以利用共轭复数的性质，得到 (c +di)(c - di) =c2 +d2 . 追问 2：如何化简 -+1 (1)？上述两个运算过程的联系是什么？ 师生活动：学生思考回答，上述两个运算过程相似，第一个运算过程可以将复数转化为实数，与第二个运算过程二次根式的“分母有理化”类似. 追问 3：类比二次根式的“分母有理化”，观察③式，有没有更简单的求两个复数商的方法？ 师生活动：学生思考，教师引导学生可以将把分子分母都乘分母的共轭复数，即： 教师指出，这是求两个复数商的简便方法，类似于二次根式的“分母有理化 ”，只要把分子分母都乘分母的“实数化因式 ”(共轭复数)，就可以使“分母实数化”，化简后就能得出所求，因此无需记忆复数除法的运算法则. 设计意图：通过问题串的引导，让学生进一步经历研究问题的思路和方法，感受转化与化归的思想，发展逻辑推理素养. 例 3.计算(1+2i)÷(3-4i)． 师生活动：学生独立完成，教师利用信息技术反馈、评价. 设计意图：让学生及时掌握上述复数除法运算的过程. 例 4.在复数范围内解下列方程： (1)x2 +2 =0; (2)ax2 +bx +c =0，其中a, b, c Î R , 且a 1 0, D =b2 - 4ac <0. 师生活动：教师引导分析，学生自主完成. 师生共同利用信息技术反馈、评价. 教师指出在复数范围内，实系数一元二次方程ax2 +bx +c =0(a 1 0) 的求根公式为： (1)当 D ³ 0 时，x (2)当 D<0 时，x 设计意图：呼应本章章引言提出的问题，解决一元二次方程的求解问题，培养学生的运算求解能力，提升学生的数学运算素养. 我们已经研究完了复数的概念，复数的四则运算. 思考：根据复数的加法法则、乘法法则，你能说明实数系经过扩充后得到的新数集就是复数集 C 吗？ 师生活动：教师引导学生总结，扩充后的数系中规定的加法运算、乘法运算与实数系中的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律. 设计意图：通过引入复数的过程，体现数系扩充过程中理性思维的作用，提升学生的逻辑推理素养. 三.巩固练习 教科书第 80 页练习第 1 ，2 ，3 ，4 题 四.小结反思 (1)本节课所学的内容有哪些？ (2)我们经历了怎样的研究过程？你能不能画出研究过程的流程图？ 师生活动：教师提出问题，学生思考回答.教师进行点评，帮助完善研究过程的流程图. 设计意图：帮助学生梳理本节课的重点知识以及主要的研究思路和方法. 五.课后作业 A 级 复习巩固 教科书习题 7.2 第 3 ，4 题 B 级 综合运用 教科书习题 7.2 第 6 ，7 题 C 级 拓广探索 试探究共轭复数的性质： (1)如果z =z ，那么 z 为实数； (2)共轭复数的和为实数，即：设z =a +bi(a, bÎ R) ，则 z +z =2a ； (3) z1 +z2 =z1 +z2 ； (4) z1z2 =z1 2 ； (5)如果实系数一元多项式方程有虚根，那么虚根以共轭复数的形式“成对出现”． 学科网（北京）股份有限公司 $