精品解析：2026年安徽六安市/舒城县部分学校中考二模九年级数学试卷

数学 注意事项： 满分150分，时间为120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 根据国家电影局发布的数据，2026年春节档电影总票房为57.52亿元，总场次435万场，其中《飞驰人生3》以29.27亿元位居票房之首．数据57.52亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是一个长方体沿部分棱的中点切去两个三棱锥后得到的新几何体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的不等式组无解，则的值可以为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 5 6. 如图，在中，以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，点为的中点，连接，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8. 在的网格中，小正方形的初始位置如图所示，若将小正方形每次向左1个单位或向右1个单位或向上2个单位进行平移，则两次平移后小正方形位于大正方形内的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点是反比例函数图象上一点，连接，作交轴于点，若，，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 5 10. 如图1，将军饮马问题是一个经典的几何最值问题，源于古希腊时期，数学家海伦利用轴对称的知识成功地解决了这个问题，体现了早期数学家对路径优化的探索．如图2，在中，，，，点，，分别在边，，上，则周长的最小值为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：______． 12. 命题“若，则或．”的逆命题为______． 13. 如图，为的直径，，，若，则的长为________． 14. 已知抛物线． （1）无论取任何值，该抛物线经过定点，则该定点的坐标为________； （2）已知点，，若该抛物线与线段没有公共点，则的取值范围为________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 化简并求值：，其中， 16. 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：________________； （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并证明． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图：在由边长为1个单位长度的正方形网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的和格点． （1）将以点为旋转中心，顺时针旋转得到（其中与，与，与是对应点），请在网格中画出； （2）连接，，用无刻度的直尺作出的平分线． 18. 某校420名师生利用春假到皖南进行两天研学活动，客车公司有两种车型可以供选择： 车型 座位数（个/辆） 租金（元/天） 甲种 30 360 乙种 50 400 经计算，学校计划租用10辆客车，满足每辆车正好坐满，且每人都有座位，问学校需向客车公司支付多少元？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 2025年11月6日，世界首座公铁两用双层斜拉—悬索协作体系大桥铜陵长江三桥正式通车．某数学活动小组测量主桥塔顶到江面的距离，测量方案如下： 实物图 测量工具 卷尺、测角仪…… 测量示意图 测量方案及数据 在江边一点处观测桥塔顶端，测得仰角为，然后向桥塔方向前进到达点，点处有一高为4m的观测台，在观测台顶端处测得桥塔顶端的仰角为（点，，在同一水平直线上，且，均垂直于） 参考数据 ，， 请根据上表计算出主桥塔顶到江面的距离（即的长）（结果精确到）． 20. 如图，为的直径，四边形内接于，连接，，与交于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 六、（本题满分12分） 21. 安徽皖南某片区是我省优质水稻核心种植区，为对比该地区常规种植水稻与优质良种繁育试验田的水稻生长性状，某数学兴趣小组在农技人员指导下分别从常规种植稻田和良种繁育试验田中，各随机抽取50个采样点，测量水稻成熟株高（单位：，数据均为整数），并对数据进行分组、整理、描述和分析．部分信息如下： a．常规种植稻田水稻株高频数直方图： b．常规种植稻田水稻株高在这一组的具体数据（从小到大排列）； 70，72，74，75，76，76，77，77，77，78，79 c．两类稻田水稻株高的平均数、中位数如下表； 稻田类型 平均数 中位数 常规种植稻田 76.9 良种繁育试验田 79.2 79.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次抽样检测中，常规种植稻田水稻株高在以上（含）的有________个采样点；表中的值为________； （2）在这次抽样检测中，常规种植稻田采样点甲与良种繁育试验田采样点乙的水稻株高都是，请判断该采样点在各自稻田的抽样数据中排名谁更高，并说明理由； （3）若该片区常规种植稻田共有400个采样单元，若全部进行株高检测，请估计常规种植稻田中水稻株高超过平均数的采样单元数量 七、（本题满分12分） 22. 如图，点，是正方形边，的中点，与相交于点、连接，作交于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）求的值． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点，为该抛物线与轴的两个交点（在的左侧），求的值； （3）是该抛物线上任意一点，点也在该抛物线上（，与不重合），（为常数，且）：令，若的值为定值，求此定值是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 满分150分，时间为120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2， 故选：A． 2. 根据国家电影局发布的数据，2026年春节档电影总票房为57.52亿元，总场次435万场，其中《飞驰人生3》以29.27亿元位居票房之首．数据57.52亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：亿 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，故错误； 选项B：，正确； 选项C：，故错误； 选项D：，故错误． 4. 如图，是一个长方体沿部分棱的中点切去两个三棱锥后得到的新几何体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据主视图即为从正面看到的图象作答即可． 【详解】解：其主视图是． 5. 若关于的不等式组无解，则的值可以为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先分别解不等式组中两个不等式，得到各自的解集，再根据不等式组无解的条件得到的取值范围，最后结合选项得到正确答案． 【详解】解：， 解①得， 解②得， 不等式组无解， ， 解得， 结合选项可知，只有D选项满足条件． 6. 如图，在中，以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，点为的中点，连接，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用垂直平分线的性质与判定，得到，再利用直角三角形内角和为，和三角形的外角定理解出答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由作图方法知，线段是线段的垂直平分线， ∴， ∵点是线段的中点，， ∴线段是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 解得． 7. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式性质，当方程有两个相等的实数根时，判别式，代入方程系数即可求解的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 其中，，， 故 ， 故， 整理得， 解得． 8. 在的网格中，小正方形的初始位置如图所示，若将小正方形每次向左1个单位或向右1个单位或向上2个单位进行平移，则两次平移后小正方形位于大正方形内的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：用图表法表示小正方形平移的可能， 左移1个单位 右移1个单位 上移2个单位 左移1个单位 不在大正方形内 不在大正方形内 位于大正方形内 右移1个单位 不在大正方形内 不在大正方形内 位于大正方形内 上移2个单位 位于大正方形内 位于大正方形内 不在大正方形内 共有9种可能，小正方形位于大正方形N内的有4种可能， ∴小正方形位于大正方形N内的概率为． 9. 如图，点是反比例函数图象上一点，连接，作交轴于点，若，，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先设出坐标，根据求出横纵坐标关系以及关系，根据得到关于的方程，最后求解． 【详解】如图，过作轴于C， 设，则， ， ， 即， ，， ， ， ， ． 10. 如图1，将军饮马问题是一个经典的几何最值问题，源于古希腊时期，数学家海伦利用轴对称的知识成功地解决了这个问题，体现了早期数学家对路径优化的探索．如图2，在中，，，，点，，分别在边，，上，则周长的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据将军饮马模型的提示，分别作点关于的对称点，连接两个对称点，则对称点之间的线段的长度是周长的最小值，再利用已知条件求出答案． 【详解】解：如图1，过点作于点，， ， ， ， ． 如图2，过点作，垂足为点， 过点分别作，的对称点，， 连接，交于点，交于点， 则此时的周长最小，连接，， 由对称性可知： ，，， ， ， 是等边三角形， ， 此时的周长，， ， 周长的最小值为． 【点睛】本题主要考查了将军饮马模型的多对称拓展，解题的关键是两次对称，化折为直将三角形周长转化成一条线段的长度，利用点到直线垂线段最短求出答案． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义化简计算即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 12. 命题“若，则或．”的逆命题为______． 【答案】若或，则 【解析】 【分析】本题考查了命题和逆命题，将原命题的条件和结论互换即可求解，找出原命题的条件和结论是解题的关键． 【详解】解：命题“若，则或．”的逆命题为“若或，则”， 故答案为：若或，则． 13. 如图，为的直径，，，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点Ｃ作于点Ｅ，设，则，根据，，建立等式求解即可； 【详解】解：连接，过点C作于点E，如图所示， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 设， 则， ， ， ， ， ， ， ． 14. 已知抛物线． （1）无论取任何值，该抛物线经过定点，则该定点的坐标为________； （2）已知点，，若该抛物线与线段没有公共点，则的取值范围为________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】（1）整理抛物线的形式，提取，由此求解即可； （2）先由待定系数法求解直线的函数表达式，再求解直线与抛物线的交点的横坐标，根据没有公共点这一条件求解即可． 【详解】解：（1）， 令，解得，即当时，， 故该函数的图象经过的定点的坐标是； （2）设直线的函数表达式为：， 将点，代入， 则有，解得， 则直线的函数表达式为：， 把代入得， 即直线经过抛物线的定点， 令， 即，解得，， ∴直线与抛物线的交点的横坐标为3与． ∵该抛物线与线段没有公共点， ∴或，解得或． 综上，的取值范围为或． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 化简并求值：，其中， 【答案】， 【解析】 【详解】解：， 当时，原式． 16. 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：________________； （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并证明． 【答案】（1） （2）； 证明：左边，右边， 左边右边，等式成立． 【解析】 【详解】解：（1）． （2）第个等式：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图：在由边长为1个单位长度的正方形网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的和格点． （1）将以点为旋转中心，顺时针旋转得到（其中与，与，与是对应点），请在网格中画出； （2）连接，，用无刻度的直尺作出的平分线． 【答案】（1） 解：如图所示； （2） 解：如图所示（画法不唯一）． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可； （2）利用格子和勾股定理可以解得，利用等腰三角形三线合一可画出角平分线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 某校420名师生利用春假到皖南进行两天研学活动，客车公司有两种车型可以供选择： 车型 座位数（个/辆） 租金（元/天） 甲种 30 360 乙种 50 400 经计算，学校计划租用10辆客车，满足每辆车正好坐满，且每人都有座位，问学校需向客车公司支付多少元？ 【答案】7680元 【解析】 【详解】解：设学校租用甲种客车辆，乙种客车辆，由题意得， ， 解得． （元）． 学校需要支付的费用为7680元． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 2025年11月6日，世界首座公铁两用双层斜拉—悬索协作体系大桥铜陵长江三桥正式通车．某数学活动小组测量主桥塔顶到江面的距离，测量方案如下： 实物图 测量工具 卷尺、测角仪…… 测量示意图 测量方案及数据 在江边一点处观测桥塔顶端，测得仰角为，然后向桥塔方向前进到达点，点处有一高为4m的观测台，在观测台顶端处测得桥塔顶端的仰角为（点，，在同一水平直线上，且，均垂直于） 参考数据 ，， 请根据上表计算出主桥塔顶到江面的距离（即的长）（结果精确到）． 【答案】主桥塔顶到江面的距离为 【解析】 【分析】作于点，设，，可得，解即可． 【详解】解：如图，作于点， ∵，，，， 设，则， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，得， 解得． ∴主桥塔顶到江面的距离为． 20. 如图，为的直径，四边形内接于，连接，，与交于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：为的直径， ， 即， ， ， ∴平分弧， ； （2）的半径长为 【解析】 【分析】（1）由是直径推出，结合已知，推出，垂直于弦 ，所以，最后根据 “等弧对等弦”即可求证； （2）由 ，得， 设半径，则， 在中利用勾股定理列方程，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 设， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 即， 解得， 即的半径长为． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，弧弦关系，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活应用是解决本题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 安徽皖南某片区是我省优质水稻核心种植区，为对比该地区常规种植水稻与优质良种繁育试验田的水稻生长性状，某数学兴趣小组在农技人员指导下分别从常规种植稻田和良种繁育试验田中，各随机抽取50个采样点，测量水稻成熟株高（单位：，数据均为整数），并对数据进行分组、整理、描述和分析．部分信息如下： a．常规种植稻田水稻株高频数直方图： b．常规种植稻田水稻株高在这一组的具体数据（从小到大排列）； 70，72，74，75，76，76，77，77，77，78，79 c．两类稻田水稻株高的平均数、中位数如下表； 稻田类型 平均数 中位数 常规种植稻田 76.9 良种繁育试验田 79.2 79.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次抽样检测中，常规种植稻田水稻株高在以上（含）的有________个采样点；表中的值为________； （2）在这次抽样检测中，常规种植稻田采样点甲与良种繁育试验田采样点乙的水稻株高都是，请判断该采样点在各自稻田的抽样数据中排名谁更高，并说明理由； （3）若该片区常规种植稻田共有400个采样单元，若全部进行株高检测，请估计常规种植稻田中水稻株高超过平均数的采样单元数量 【答案】（1）23；77.5； （2） 解：采样点甲的排名更高． 理由：常规种植稻田的中位数为77.5，甲的株高，说明甲的株高在常规稻田中超过了一半的采样点；良种繁育试验田的中位数为79.5，乙的株高，说明乙的株高在良种繁育试验田中不足一半的采样点； 因此，甲在各自稻田的抽样数据中排名更高； （3）个 【解析】 【分析】（1）根据频数直方图可知常规种植稻田水稻株高在以上（含）的采样点个数，根据中位数的定义可知的值； （2）根据中位数作答即可； （3）用400乘以样本中水稻株高超过平均数的比例即可． 【小问1详解】 解：从频数直方图可知，组频数为15，组频数为8， 合计（个）． 样本共50个，中位数为第25，26个数据的平均数．前两组（、）累计频数， 因此第25，26个数据落在组． 该组数据为：70，72，74，75，76，76，77，77，77，78，79， 第25个数据为第9个，第26个数据为第10个：78， 故． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：样本中株高超过平均数的数量：（个）． 七、（本题满分12分） 22. 如图，点，是正方形边，的中点，与相交于点、连接，作交于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）求的值． 【答案】（1） 证明：∵正方形， ∴，， 点，是，的中点， ， ， ， ； （2） 证明：∵， ∴， ∵， ， ， ， 由得，， 又， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，进而得到，证明，即可得到； （2）证明，根据得到，进而得到，进而得到，根据得到，可证； （3）延长交的延长线于点，证明，进而得到，证明，得到，进而得到，根据平行线分线段成比例得到，进而得到，则，，证明，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长交的延长线于点． ∵， ∴， ∴， 即， ∴ ，，， ， ， ， ， ， ， 即， ，， ， ， ． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点，为该抛物线与轴的两个交点（在的左侧），求的值； （3）是该抛物线上任意一点，点也在该抛物线上（，与不重合），（为常数，且）：令，若的值为定值，求此定值是多少？ 【答案】（1） （2） （3）此定值是4 【解析】 【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，将代入，可得，即可得抛物线的函数表达式； （2）令，可得，，记与相交于点，可得，根据三角形的面积公式求解即可； （3）将，代入抛物线的函数表达式，可得，，结合已知可得，可得，根据题意可得的值与无关，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：设抛物线的函数表达式为， ∵抛物线与轴交于点， ∴，得， ∴抛物线的函数表达式为，即； 【小问2详解】 解：令，解得，， ∴，， 记与相交于点， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵，在抛物线上， ∴，， ∵， ∴ ， ， ∴ ， ∴， ∵，的值为定值，且点是抛物线上任意的一点， ∴的值与无关， ∴， ∴， ∴，即此定值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $