题号猜押07 河北中考数学20+21+22题解直角三角形应用，圆的综合应用，四边形图形变换，一次函数实际应用，跨学科结合应用（解答题）（河北专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押07河北中考数学20+21+22题（解答题） 考点1 解直角三角形实际应用 1.【新考法】（2026·河北邯郸广泰中学·一模）跳台滑雪要想取得好成绩，就必须在第一阶段达到高速度，所以大跳台必须达到一定的高度．如图1是首钢滑雪大跳台，是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，是世界首例永久性保留和使用的滑雪大跳台场馆，跳台造型设计融入了中国知名的世界文化遗产——敦煌壁画中的“飞天”元素．图2是其示意图，为登台梯，C为大跳台最高点，赛道由三段组成（平行于地面）． （1）数学兴趣一组已测得，，求平台与地面之间的距离．（，结果保留到个位）． （2）数学兴趣二组通过测量得到，，从E处看C的仰角为（即），并由计算器查得，，请问能否根据两个兴趣小组获得的这些数据求出大跳台最高点的高度？若能，请求出来；若不能，请说明理由．（结果保留到个位） 2.（2026·河北唐山·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量山的高度． 某学习小组设计了一个方案：如图，已知某座山的对面有一座小山，的顶部有一座通讯塔，且点，，在同一条直线上．从处测得塔底的仰角为，测得塔顶的仰角为，，又在处测得塔顶的俯角为． （1）求两座山之间水平距离的长（结果保留小数点后一位）； （2）求这座山的高度（结果保留小数点后一位）．参考数据：，． 考点2 圆的综合应用 1.【新考法】（2026·河北石家庄裕华区·一模）【必备知识】如图1，光的反射现象中，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角入射角，这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，某景区在半圆形观景台（半圆）旁设置镜面栈道，镜面与半圆相切于点，与为观景台上两条笔直的小路，延长直径与交于点，彩灯发射源点在上，PC为入射光线，为法线，反射光线与半圆交于点，，． （1）求的度数和的度数； （2）当反射光线与平行时，求的长度； （3）在点从（2）中位置开始沿向右运动到点的过程中（如图3），直接写出点的运动路径长． 2.（2026·河北邯郸邯山区·摸底）如图，已知是的直径，与相切于点B，D为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 3.【新考法】（2026·河北石家庄·摸底）某公园有一个圆形草坪，圆心为，半径为3米．公园内一条笔直的小路穿过草坪，与草坪边缘交于A、B两点，圆心到小路的距离为2.2米．有一辆遥控玩具车从点开始出发，沿草坪边缘以每秒的速度顺时针行驶一圈，设运动时间为秒． （1）求的长； （2）当秒时，求此时玩具车到小路的距离； （3）点是小路上的一点，连接，米，若玩具车所在位置看作点，连接，当恰好与草坪边缘相切时，直接写出此时玩具车行驶的路程． （参考数据：，，） 考点3 四边形图形变换 1.【新考法】（2026·河北石家庄裕华区·一模）阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 作矩形的最大内接菱形的方法 四个顶点都在同一个矩形的边上的菱形叫做矩形的内接菱形．在实践活动课上，数学老师提出来一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”．实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法． 方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形（如图1），则四边形是矩形的内接菱形． 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形，则四边形也是矩形的内接菱形．（如图2） 方法三：通过尺规作图，作矩形的对角线的垂直平分线，与边交于点E，与边交于F，连接，，则四边形是矩形的内接菱形． 实践小组通过对三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形． 任务： （1）图1菱形的面积与矩形的面积之比为 ； （2）请利用图2证明方法二中四边形AECF是菱形． （3）尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程．（保留作图痕迹，不要求写作法） （4）若在矩形中，，，请你根据日记中三种方法，通过计算求出此矩形的内接菱形的面积最大值． 2.（2026·河北邯郸邯山区·摸底）已知宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形作为一种美学比例，无论是建筑、绘画、设计还是自然现象，都能找到它的身影，这种比例不仅在视觉上给人以和谐、平衡和美感，还反映了人类对美的追求和自然界的奇妙规律．某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索． 实验操作： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中处； 第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出，得到矩形． 问题解决： （1）求证：矩形是黄金矩形； （2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形”．请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）； 拓展延伸： 淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明． 3.（2026·河北石家庄长安区·摸底）【主题研究】利用正方形或矩形纸片折叠出特殊度数的角． 【操作1】如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．在上选一点，沿折叠，使点恰好落在折痕上的点处．结论是：，请你说明理由． 【操作2】如图2，已知正方形的边长为4．按与【操作1】相同的步骤得到折痕，连接，将沿折叠，使点落在正方形内的点处． （1）尺规作图：在图2中画出点的位置，连接并延长交于点，连接，． （2）求的度数与的长． 考点4 一次函数的实际应用 1.【新考法】（2026·河北石家庄裕华区·一模）【背景】如图1是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图2为其信息图． 【主题】如何接到最佳温度的温水． 【素材】水杯容积：． 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量．即：开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度. 生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度最接近人体体温． 【操作】先从饮水机接温水秒再接开水，直至接满的水杯为止． （备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况．） 【问题】 （1）接到温水的体积是_______，接到开水的体积是_______；（用含的代数式表示） （2）若所接的温水的体积不少于开水体积的2倍，则至少应接温水多少秒？ （3）若水杯接满水后，水杯中温度是，求的值； （4）记水杯接满水后水杯中温度为℃，则关于的关系式是_______；若要使杯中温度达到最佳水温，直接写出的取值范围是_______． 2.（2026·河北廊坊广阳区·一模）【学科融合】生物科研人员正在研究人体对酒精（乙醇）的代谢过程（饮酒量相同）． 素材1：在酒精代谢阶段，每血液中的酒精浓度与饮酒后时间成一次函数关系； 素材2：代谢较快的甲类人群每血液中的酒精浓度与饮酒后时间满足； 素材3：代谢较慢的乙类人群每血液中的酒精浓度为，数据显示，当饮酒后时，，当饮酒后时，． 【问题解决】 （1）乙类人群饮酒后． ①求乙类人群每血液中的酒精浓度与饮酒后时间之间的函数关系式；（不必写自变量的取值范围） ②当饮酒后时，求每血液中的酒精浓度； （2）在两类人同时饮酒的情况下，是否存在一个x的值，使得比大？若存在，求出x的值；若不存在，请你通过计算说明理由． 3.【新考法】（2026·河北邢台第三中学·一模）某数学兴趣小组以“脚长与标准鞋码（欧码）的对应关系”为主题，开展综合实践活动，已知鞋子尺码（又叫鞋号）常见的有以下标法：国际、欧洲、美国和英国，国际标准鞋号表示的是脚长的毫米数，中国标准采用毫米数或厘米数为单位来衡量鞋的尺码大小，而欧洲码数（欧码）则以0~100之间的整数作为码数大小，活动小组同学通过收集数据、建立函数模型来研究该问题，过程如下： （ⅰ）收集数据 活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（欧码）与脚长（毫米）的对应关系，如表1： 鞋号（欧码） … 脚长（） … （ⅱ）整理数据 为方便研究，将表1中的数据进行了编号，如表2： 序号 … 鞋号（欧码） … 脚长（） … 脚长（） … 表中对脚长的数据增加定义，定义：对于任意正整数、，其中．若，则．如：表示，即． （ⅲ）建立模型 （1）通过观察表2，猜想出（不必证明）与序号之间的关系式，与序号之间的关系式； （2）在如图的平面直角坐标系中，描出这些数据对应的点，发现这些点大致位于同一个函数图象上，则这个函数最有可能是______（填“正比例函数”、“一次函数”或“反比例函数”）； （ⅳ）求解模型 （3）根据（ⅱ）所选择的函数类型，画出函数图象，求出关于的表达式； （ⅴ）解决问题 根据个人脚长，选择购买合适码数的鞋子； （4）直接写出鞋号为的鞋适合的脚长范围； （5）若脚长为，则应购鞋的鞋号大小为______． 考点5 跨学科结合应用 （2026·河北石家庄新华区·一模）某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图①，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． （1）把一定质量的水放入底面积为40容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； （2）实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围； （3）如图②，现将一个密度均匀的实心正方体金属块浸没在水中（水不溢出），容器内水与容器底面接触面积变为原来的，此时水对容器底部的压强比原来增加了．求原来容器的底面积． 1.（2026·河北邯郸邯山区·摸底）图1是某城建部门正在维修路灯的实物图片，可抽象为如图2所示的几何图形，经测量，路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点到地面距离是．（参考数据：） （1）求下折臂的长； （2）求路灯的高．（结果精确到） 2.（2026·河北石家庄高新区·一模） 数学课上，张老师带领数学兴趣小组用无人机测量教学楼的高度，小组给出的测量方案是：如图，教学楼用线段表示（点B表示楼顶），无人机从距离教学楼水平距离12米的点C处竖直起飞，上升到距离地面30米的点D处测得楼顶B的俯角为．（题目中涉及的点均在同一平面内，） （1）求教学楼的高度；（结果保留一位小数） （2）将无人机沿着水平方向向教学楼前进到点E处，测得楼顶B的俯角为α，满足，若无人机从点E处原路返回，无人机的速度在米/秒之间，请通过计算判断无人机能否在3秒内回到点C的位置． 3.（2026·河北石家庄裕华区·一模）【发现】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行（即点与点所在的直线与平行），层高为，坡角． （）要使身高的嘉淇爸爸（竖直站立）乘坐自动扶梯时不碰头，则之间的距离要大于多少米？ 【探究】该商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图中虚线所示．段和段的坡度相同，为保障安全其坡度不能超过，商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息． （）求出平台的最大长度（结果保留小数点后一位）． （参考数据：取，取，取） 4.（2026·河北石家庄新华区·一模）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在上，． （1）所在圆的圆心的坐标是 ； （2）所在圆的半径是 ； （3）求的长； （4）在网格中过点A作的切线，直接写出这条切线经过的格点坐标（点A除外） ． 5.（2026·河北廊坊广阳区·一模） 已知半圆O的直径，为半圆O的弦长，且，点C在射线上，以为直径作半圆D． （1）如图1，当点C与点O重合时，连接交半圆D于点P，连接． 的度数为_______；比较大小：_______（填“”“”或“”）； （2）如图2，若与半圆D相切于点G，当时，求半圆D的半径长； （3）射线交半圆D于点Q，若，当两个半圆的半径之间存在2倍关系时，直接写出劣弧的长． 6.（2026·河北邯郸广泰中学·一模）如图，，，，是以为直径的半圆上一动点，交直线于点，设． （1）当时，求的长； （2）当时，连接，求的外接圆的半径长． 7.（2026·河北邯郸临漳·一模） 如图，是半圆O的直径，点C，D是半圆O上的三等分点，过点D作半圆O的切线，与射线交于点E，连接． （1）求证：； （2）若，求弧的长； （3）若弦、弦与弧所围成的封闭图形的面积是，则 ①求半圆O的半径长； ②直接写出长． 8.（2026·河北邢台第三中学·一模）如图1，在中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且点到直线的距离为5． （1）求的长； （2）如图2，优弧上存在一动点，连接，线段从出发，绕点顺时针转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当线段运动到时，停止转动．过点作直线，直线与交于点． ①当直线与优弧相切时，的值为_____； ②当时，求阴影部分的面积． 9.（2026·河北石家庄长安区·摸底） 如图，在中，，，，点在射线上（点不与点重合）；过点作，垂足为，以点为圆心，为半径在上方画半圆，交射线于点，两点（点在的左侧），设． （1）当点为中点时，求的值； （2）如图2，当点与点重合时，连接，求弧及弦的长； （3）当半圆与边无交点时，直接写出的取值范围．（参考数据：取，取，取） 10.（2026·河北张家口·一模）如图1和图2，中，对角线，P是上一点（不与点A重合），以为直径作半圆，圆心为点O，交于点E． （1）如图1，若半圆与相切，点F为切点，连接并延长，交于点G，求证：． （2）如图2，若半圆与交于点M，N，且，，． ①求的长； ②连接，直接写出与长的大小关系．（注：取） 11.（2026·河北张家口·摸底）如图，中，，以上一点O为圆心过点A作，交于点D． （1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交、于点E、F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，求证：是的切线； （3）若，，求弧的长． 12.（2026·河北邯郸广泰中学·一模）如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）． （1）求m的值及l2的解析式； （2）求S△AOC﹣S△BOC的值； （3）一次函数y=kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值． 13.（2026·河北石家庄桥西区·一模）如图，直线经过点，，直线：与x轴交于点C，与直线交于点P． （1）求直线的表达式，判断点是否在直线上，并说明理由； （2）求的面积． 14.（2026·河北邯郸临漳·一模）有甲、乙两个运输队共同承担了清理运输A、B两个建筑工地施工土方的任务，在规定时间内，甲、乙两个运输队分别可以清运土方20万立方米和30万立方米，当前A、B两个建筑工地需要清运的土方分别是40万立方米和10万立方米，经评估测算，甲、乙两个运输队在A、B两个工地清运土方的单价费用如下表： 单价 运输队 在A工地清运土方费用单价（元/立方米） 在B工地清运土方费用单价（元/立方米） 甲运输队 40 35 乙运输队 38 36 设甲运输队在A工地清运土方x万立方米，清运完成A、B两个工地的土方所需的总费用为y万元． （1）用含x的代数式完成下表（不必化简），并求y与x的函数关系式；（不写自变量x的取值范围） 清运土方 运输队 在A工地清运土方（万立方米） 在B工地清运土方（万立方米） 甲运输队 乙运输队 （2）求总费用y的最大值； （3）在实际清运土方的过程中，甲运输队在A工地使用人工智能设备，使每立方米的清运费用减少a元，但仍高于甲运输队在B工地清运费用的单价，求如何分配甲、乙两个运输队的清运任务，使清理土方的总费用最小． 15.（2026·河北石家庄高新区·一模）为落实“双减”政策，某校开展课后兴趣小组活动，甲、乙两名同学分别从学校门口和学校操场出发，前往市中心的图书馆参加活动，甲步行，乙骑车，两人行驶路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，甲步行30分钟到达图书馆，乙骑车到达图书馆后停留5分钟，因有事需要立即按照原速返回学校． （1）求甲步行的速度和乙骑车的速度以及学校门口和操场的距离； （2）当乙追上甲时，求x的值； （3）求乙返回时行驶路程y与x的函数关系式（不必写出自变量的取值范围），并直接写出当乙到达学校门口时x的值． 16.【新考向】（2026·河北石家庄高新区·一模）【综合与实践】数学实践课上，同学们开展“将正方形裁拼成面积相等的矩形的问题探究”． 题目：“如何将一张边长为的正方形裁拼成面积相等的矩形？” 【理论支持】嘉嘉给出的裁剪作图理论是：“如图1，在边上截取点E（点E不与点B，C重合），连接，过点E作的垂线m，交于点M，过点A作的平行线交直线m于点F，过点D作的垂线，交的延长线于点G，四边形即为与正方形面积相等的矩形．” （1）求证：四边形为矩形； （2）试说明矩形的面积和正方形的面积相等； （3）【动手操作】淇淇按照嘉嘉的示意图，将正方形裁剪成、、四边形三部分，在拼接过程中发现拼接到或的位置都未能全部填满，于是，她把放到图2所示的的位置，然后在截取，过点K作于点J，并裁剪出，将其拼到的位置，恰好无缝拼接，然后将四边形拼到四边形的位置，恰好拼接成一个完整的矩形．求证：； （4）如图3，规定：两条邻边的长度比为的矩形为“开心矩形”，若拼出的矩形为“开心矩形”，求的长． 17.【新考向】（2026·河北石家庄新华区·一模） 矩形和正方形是特殊的平行四边形，我们可以通过如下方式获得矩形和正方形． 【操作1】有一张三角形纸片，顶点分别是，，．部分数据如图①所示．如图②，分别在，上取点，，再沿过点，分别与垂直的虚线剪开，得到①，②，③三块，若这三块能拼接成如图③所示的矩形． （1）的长为 ； （2）求点到的距离； 【操作2】 （3）如图④，将沿，折叠后，点和点在点处重合，点落在点处．若四边形为正方形，，，求的面积； 【操作3】 （4）如图，在四边形中，，点，，，分别为四条边的中点，与的和为与之间距离的2倍． 嘉嘉说：我可以将四边形分成三块图形，重新拼接，无重叠、无缝隙地组成一个正方形； 淇淇说：我可以将四边形分成四块图形，重新拼接，无重叠、无缝隙地组成一个正方形． 请你帮嘉嘉、淇淇设计裁剪方式，使裁剪后的图形能够拼成一个正方形．（用虚线在图中画出裁剪线，在剪出的每一部分图形上标注序号，并画出拼接后的正方形，在正方形相应位置标注对应的序号） 嘉嘉的做法： 淇淇做法： 18.【新考向】（2026·河北唐山·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点，对于点给出如下定义：将点向右（）或向左平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点关于点的“联络点”． （1）若点，点，则点关于点的“联络点”的坐标为______； （2）如图，若点与点关于原点对称，点关于点的“联络点”为点， ①求作：点和点（尺规作图，保留作图痕迹）； ②连接，在上取点，使轴，连接OT，求证：； （3）已知点是直线上的动点，点是直线上的定点，点关于点的“联络点”为点，若线段CE长的取值范围是，直接写出所有符合题意的点的横坐标的取值范围． 19.（2026·河北张家口·摸底）保定高新区某新能源材料公司生产锂电池电解液，需将甲、乙两种原料液按一定比例混合配制．已知每毫升甲、乙两种原料液的生产成本之比为．若使用20毫升甲原料液和30毫升乙原料液进行配制，总成本为360元． （1）设每毫升甲原料液的成本为a元，用含a的代数式表示：①每毫升乙原料液的成本为________；②取用x毫升甲原料液、y毫升乙原料液时的总生产成本为________． （2）求甲、乙两种原料液每毫升的成本各是多少元． （3）按照生产标准配制电解液150毫升时，要求甲原料液用量不少于40毫升，且乙原料液用量y满足．设甲原料液用量为x毫升，总成本为w元． ①求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ②当甲、乙两种原料液各取用多少毫升时，总成本最低？最低总成本是多少元？ 20.（2026·河北石家庄·摸底）动物园内的一条公路如图1所示，园内有观光班车，每隔10分钟有一辆班车从入口处发车，沿该公路开往熊猫馆，途中停靠海洋馆（上下车时间忽略不计）．张明假期到动物园游玩，到达入口处，发现班车发车时间还没到，于是沿该公路步行30分钟后到达海洋馆，张明与班车离入口处的路程（米）与时间（分）的函数关系如图2所示．（每一班车速度均相同，张明步行速度不变） （1）求张明步行的速度． （2）求第一辆班车离入口处的路程（米）与时间（分）的函数表达式． （3）张明在海洋馆游玩35分钟后，步行前往熊猫馆，则途中从他后方开来的班车追上他时，他距离熊猫馆还有多少米？ 21.（2026·河北石家庄·摸底）【情境】 在纸片折叠的过程中，我们可以发现很多有趣的结论，而这些结论均可借助相应的数学知识予以解释．在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题展开探究性数学实践活动．每位同学选取相同的矩形纸片，其中，． 【操作】 （1）如图1，对折矩形纸片，使点与点重合，展开纸片，产生折痕；再过点所在直线折叠纸片，使点落在折痕上的点处，连接． ①的长为_____； ②求的度数； （2）如图2，沿过点的直线折叠矩形纸片，使点落在边上的点处，折痕交边于点，请在图2中利用尺规作图作出折痕（保留作图痕迹，不写作法）； 【应用】 （3）沿过点的直线折叠矩形纸片，折痕为，交边于点．若点落在处，当的长度最小时，求的长； 【拓展】 （4）如图3，若点在边上，且．将矩形纸片沿折叠，使恰好落在直线上，点A，D的对应点分别为点，，嘉琪认为所在的直线恰好经过点，请通过计算判断嘉琪的说法是否正确． 22.（2026·河北石家庄长安区·摸底）四月份是草莓上市的旺季，某超市在四月份（30天）每天均以5元千克的进价购进草莓千克；按15元千克的价格在日场销售，没有售出的草莓在夜场都按一定价格降价销售． 已知四月份草莓夜场销售的总利润（元）是每天草莓购进量（千克）的一次函数，并且当时，；当时，．销售部门统计了整个四月份草莓的日场销售情况如下表所示： 日场销售量千克 30 40 50 天数天 6 15 9 （1）求与的函数关系式（不写的取值范围）； （2）设四月份销售草莓的总利润为元（总利润日场利润夜场利润）． ①求四月份草莓日场销售的日平均利润； ②直接写出与的函数关系式（不写的取值范围）． （3）超市通过总利润的大小对销售部门进行业绩考核，考核等级为： 当万元时，业绩不合格； 当万元万元时，业绩合格； 当万元时，业绩优良． 请通过计算判断该销售部门的业绩考核等级． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题号猜押07河北中考数学20+21+22题（解答题） 押题预测 。考点1解直角三角形实际应用 1.【小问1详解】 解：如图，过点E作EN⊥AB于点N, N 在RtaEBN中，由sinB=EV EB EN=BN sin B=20x=1014.114. 答：平台DE与地面AB之间的距离约为14m. 【小问2详解】 解：能求出大跳台最高点的高度 如图，在第(I)题答图的基础上连接CE,过点C作CM⊥AB于点M,延长ED交CM于点P, :∠CDE=146°，∠CDE+∠CDP=180°， .∠CDP=34°. :CM⊥AB,EN⊥AB, .∠CMN=∠ENM=∠ENB=90°. :DE∥AB, .∠CPD=∠CMN=90°，∠PEN+∠ENM=180°. .∠PEN=90°， .四边形PMNE是矩形. .PM =EN 1/49 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B M N 设CP=xm, 在RtACPD中，由tan∠CDP= CP PD 得PD= tan∠CDP 在Rt△CPE中，由an∠CEP=CP PE 得PE= tan∠CEp PE-PD=DE, 即Xx =62, 0.360.67 解得x≈48.24. CM=CP+PM=48.24+14=62.24≈62. 答：大跳台最高点的高度约为62m. 2.【小问1详解】 解：由题意知，∠BDC=∠ABD=90°，CE=30.6m,∠CBD=37°，∠EBD=48°， 在RtBDC中，tan∠CBD=CD BD ∠CBD=37°， .CD=BD.tan∠CBD=BD.tan37°， 在Rt△EBD中，tan∠EBD=ED ∠DBE=48°， BD .ED=BD.tan∠EBD=BD.tan48°， :CE=ED-CD=BD.tan48°-BD.tan37°≈1.11-0.75×BD=30.6, 解得：DB=85.0m, ∴.两座山之间水平距离BD约为85.0m; 【小问2详解】 解：过点E作EG⊥AB,垂足为点G, 2/49 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 45F G-45E C 8 B D ∴.∠EGB=90°， .∠ABD=∠EDB=∠EGB=90°， 四边形BDEG是矩形， .GE=BD,GB=ED=BD.tan48°， 由题意可知∠FAE=∠AEG=45°， 在RtAGE中，tan∠AEG=AG GE ∴.AG=GE.tan∠AEG=GE.tan45°=GE, .∴.AB=AG+GB=GE+GB=BD+BD.tan48°≈179.4m, 答：这座山AB的高度为179.4m. 考点2圆的综合应用 1.【小问1详解】 解：：AB是直径， ∠ACB=90°， :∠DAC=15°， .∠ABC=90°-∠DAC=75°， ,1与半圆0相切于点C, .∠ODC=90°， :∠DAC=15°， ∴.∠DOC=2∠DAC=30°， ∴.∠D=90°-∠DOC=60°， .∠ABC=75°，∠D=60°； 【小问2详解】 解：过点0作OE⊥CQ,则CQ=2CE, 3/49 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B D CQ‖AB, .∠QCA=∠DAC=15°， .:∠OCA=∠DAC=15°， .∠0CE=∠OCA+∠QCA=30°， .OC=OB=4, 1 .0E=0C=2, 由勾股定理得CE=V0C2-0E2=-2V5, ∴.CQ=2CE=4V5; 【小问3详解】 解：由题意得，点P从(2)中位置开始沿OB向右运动到点B的过程中，当点P与点B重合时，记反射光 线与半圆交于点Q',连接OQ、OQ',如图所示， P BPD 由(2)知∠OCE即∠OCQ=30°， 0Q=0C, .∠0C9=∠0QC=30°， ,∠C0Q=180°-30°-30°=120°， :0B=0C,∠DOC=30°， 4/49 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠0BC=∠0CB=180°-30 =75°， 2 .∠0Q'C=∠0CQ'=∠0CB=75°， .∠C00′=30°， .∠Q00'=∠C00-∠C0Q'=120°-30°=90°， ∴点0的运动路径长为：Q0=90rX4=2元. 180 2.【小问1详解】 证明：如图，连接OD, D .DE‖OC ∴.∠COB=∠DEO,∠COD=∠EDO, :0D=0E, ∴.∠DEO=∠EDO, .∠COB=∠COD, 在△BCO和△DCO中， OB=OD ∠COB=∠COD, OC=OC ∴.△BCO≌△CO(SAS, .∠CBO=∠CDO, .BC为⊙O的切线， BC⊥0B,即LCB0=90°， .∠CD0=90°， 又.OD为⊙O的半径， ∴.CD为⊙O的切线： 【小问2详解】 5/49 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解：由(1)可知，△BCO≌△DCO, ..CD=BC, 设CD=BC=x, :AD=2,AB=4, .AC=AD+CD=2+x, 在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2, 即(2+x)2=42+x2, 解得x=3, .CD的长为3. 3.【小问1详解】 解：如图，连接0A,作0C1AB,交AB于点C,则AC= AB, N 由题意可得：OC=2.2米，0A=3米， AC=04-0C 226米， .AB=2AC= 4N26米： 5 【小问2详解】 解：如图，将玩具车的位置看为点D,过点D作DE⊥OC,垂足为E, N D B E M 6/49 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当t=3.4秒时，∠AOD=3.4×5°=17°， .在Rt△AOC中，0A=3米，OC=2.2米， cos ZA0C= 0C11 0A15 11 c0s43°≈ 15 ∴.∠AOC≈43°， ∴.∠DOC=∠AOC+∠AOD=60°， ÷0E=0D-c0s∠C0D=3×=1.5米， 2 2.2-1.5=0.7米， ∴此时玩具车到小路MN的距离为0.7米； 【小问3详解】 解：如图，连接OA,作OC⊥AB,交AB于点C,当MP与⊙O相切于AB的下方时，连接OP,则 OP⊥MP, B 在RtsOPM中，cos∠POM=OP=3」 OM8' :c0s68°*8 3 .∠POM≈68°， 在Rt△0CM中，cos∠COM=0C-2.2_1山 0M840 11 .c0s74°≈ 40 .∠COM≈74°， 由(2)可得∠AOC≈43°， 此时玩具车行驶的路程为360-(68+74+43) x元x3=35π米， 180 12 如图，当MP与⊙O相切于AB的上方时，连接OP,则OP⊥MP, 7/49 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P.C B 同理可得：∠POM≈68°，∠COM≈74°， 360-74+43-68) 此时玩具车行驶的路程为 ×元x3=311米： 180 60 综上所述，此时玩具车行驶的路程 311元米或 5米. 60 12 摩考点3四边形图形变换 【小问1详解】 解：AB=HF,BC=EG, 1 ·S矩形ABCD=AB×BC,S菱形EHGr=)×HF×EG, :菱形EHGF的面积与矩形ABCD的面积之比为S菱彩EGE=2 ×HFx EG 1； S矩形ABCD ABxBC 2 【小问2详解】 解：如图2 M 图2 ,矩形ABCD,ANCM为两个大小一样的矩形纸片， .AD∥BC,AN∥CM,AM=CD,∠M=∠D=90°， '.四边形AFCE是平行四边形， ,∠AEM=∠CED, 8/49 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.△AME≌△CDE(AAS, .AE=CE, 四边形AECF是菱形. 【小问3详解】 解：先连接对角线AC,以点A为圆心，大于线段AC一半长度为半径画弧，以点C为圆心，同样长度为 半径画弧，两弧交于M,N两点，连接M,N两点，所得直线与AD边交于点E,与BC边交于点F,则四 边形AECF即为所求： E D 【小问4详解】 图3 解：方法一：如图 H O G 在矩形ABCD中，AB=6,BC=18, ·.S矩形ABcD=AB×BC=6×18=108, 由(1)可知，菱形EHGF的面积与矩形ABCD的面积之比为，， 1 .菱形EHGF的面积为×108=54； 方法二：如图 图2 设菱形AECF边长为x,即AF=CF=x, 9/49 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .AB=6,BC=18, .BF=18-x, 在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2, 即62+(18-x2=x2, 解得x=10, ∴.菱形AECF边长为10， ∴.菱形AECF的面积为CF×AB=10×6=60; 方法三：如图 E D 大 图3 由方法二可知，同理可得菱形AECF的边长为10， ∴.菱形AECF的面积为CF×AB=10×6=60: 54<60, .此矩形的内接菱形的面积最大值为60. 2.【详解】(1)证明：由操作过程可知，CD=BC=2CF. 设CF=k,则CD=2k, :DF=k2+(2k)2=5k, 由折叠的性质，得FN=DF=√k, .CN=FN-CF=(5-1)k, cw(5-k_5-1, CD 2k 2 .矩形CDPN是黄金矩形. (2)解：作图如图. 10/49 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 拓展延伸解：矩形ABNP也是黄金矩形. 证明：由问题解决(1)可得，AB=BC=CD=2k,CN=V5-1k, :BN BC+CN=(5+1)k, AB 2k 5-1 BN 5+1k 2 ∴.矩形ABNP也是黄金矩形. 3.【小问1详解】 解：由折叠可知：AE=BE=AB,AB=AM,∠AEM=90. Rt△AEM中，sin∠AME=AE-AE-1 AM AB 2 .∠AME=30°， ∴.∠BAM=90°-∠AME=60°. ∠BAP=∠PAM=支BAM=30, 【小间2详解】 解：(1)如图所示，点M即为所求； B (2)四边形ABCD是正方形， :AB=BC=CD=DA=4,∠BAD=∠B=∠C=∠ADC=90°， 由折叠可知：AD=AM,DF=MF=CD=2, ∠ADC=∠AMF=90°，∠DAF=∠MAF. 11/49 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .AB=AM,∠AMP=90°，CF=CD-DF=2, 又：AP=AP, .△ABP≌△AMP(HL, ∠BAP=∠MAP,BP=MP. ∠PMF=∠PAM+∠F4M=B4M+号DAM-BD=45, 设BP=x,则PC=4-x,PF=PM+MF=x+2, CF2+PC2=PF2, 22+(4-x)2=(x+22, 4 解得：x3即BP的长为4 摩考点4一次函数的实际应用 【小问1详解】 解：，温水水流速度为20mL/s,,接温水用时x秒， .接到温水的体积是20xmL, 又.共接水600mL, .接到开水的体积是600-20x)mL, 故答案为：20x,（600-20x); 【小问2详解】 解：根据题意得：20x≥2(600-20x), 解得：x≥20， .x的最小值为20， 答：至少应接温水20秒； 【小问3详解】 解：根据题意得：(100-50)(600-20x=50-30)×20x, 解得：x=150 150 答：x的值为 7 12/49 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【小问4详解】 根据题意得：(100-y)(600-20x=y-30)×20x, 7 8y=3x+100, ,饮水最佳温度是35°C~38C(包括35C与38C) 7 x+100≥35 3 3x+100s38 解得： 186195 -≤x≤ 7 186 .x的取值范围是 -Sxs 195 7 7 186 故答案为：y=3x+100, 195 1 ≤x≤ 2.【小问1详解】 解：①依题意，设yz=kx+b(k≠0)， 将2,170)，（6,110)代入表达式y2=kx+b, 「2k+b=170 得 6k+b=110 k=-15 解得 b=200 ∴.yz与x的函数关系式为yz=-15x+200; ②依题意，将x=10代入yz=-15x+200中， 得yz=-15×10+200=-150+200=50: 【小问2详解】 解：不存在；过程如下： 由(1)中的①得y2=-15x+200, ,y年=-20x+200, 依题意，得-15x+200-（-20x+200=60, 13/49 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得x=12, 当x=12时，年=-20×12+200=-40， 由题意得y年>20， .不存在一个x的值，使yz比y年大60mg. 3.【详解】(1)an=21+n [b]=160+5(n-1)=5n+155 (2)如图 脚长[b,](mm) 185…g………… 180 175 170 165 160 0222324252627欧码a, 这个函数最有可能是一次函数 (3)由an=21+n与[b]=5n+155解得： [b]=5an+50 (4)把an=42代入an=21+n得n=21 所以[b]=5×42+50=260 则得：260-2≤b1≤260+2，即258≤b1≤262 答：鞋号为42的鞋适合的脚长范围是258mm~262mm. (5)根据[b]=5n+155可知[b]能被5整除 而270-2≤271≤270+2 若脚长为268mm,所以[b,]=270 将[b,]=270代入[b]=5an+50中得an=44 故应购买44号的鞋. 14/49 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ●考点5跨学科结合应用 1.【小问1详解】 解：由题可知设P=太(k≠0)， 当S=40时，P=1500,代入得1500= 40 ∴.k=60000, P=60000 D 【小问2详解】 解：已知P= 60000 且25≤S≤50， S ,k=60000>0, ∴.P随S的增大而减小， 当S=25时，P=2400: 当S=50时，P=1200: .1200≤P≤2400. 【小问3详解】 解由己知得3P+200=6000 4 4.43P+×200S=60000y 5 .S=75. 答：容器原来的底面积为75cm2. 通关特训 1.【小问1详解】 解：过点E作EG⊥MN于点G,过点D作DH⊥EG于点H, 15/49 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A H-D MG C BN 则∠HGC=∠DCG=∠GHD=90°， ∴.四边形HGCD是矩形， .HG=DC=3m,∠HDC=90°， ,∠CDE=135°， ∴.∠EDH=∠EDC-∠HDC=45°， △EDH为等腰直角三角形，HE=HD, .'EH HD=EG-HG=6-3=3m, .在Rt△EHD中，ED=√EH2+HD2=√2EH=32m; 【小问2详解】 解：过点E作EK⊥AB,垂足为K. A E-------K H--D MG C BN 则EK∥HD, ∴.∠KED=∠EDH=45°. :∠AED=85°， .∴.∠AEK=∠AED-∠KED=40°. GC=HD=3m,BC=3m, ∴.BG=3+3=6m, 同理可得四边形EGBK是矩形， ∴.EK=6m,KB=EG=6m, 在RtAEK中，an40°=4K≈0.839， EK 16/49 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .AK=6×0.839≈5.034m. .AB=KB+AK=5.034+6≈11.0m. 答：路灯AB的高约为11.0m. 2.【小问1详解】 解：过点B作BG⊥CD,垂足为G, 则四边形ABGC是矩形， .AB=CG,BG=AC=12米， 由题意得∠BDG=90°-30°=60°，CD=30米， :tan∠BDG=tan60°=BC-5, DG DG=4V3米， .AB=CG=CD-DG=30-4V3≈23.1（米）， 答：教学楼AB的高度约为23.1米： 【小问2详解】 解：分别延长DE,AB交于点H, 则四边形BHDG是矩形， .DH=BG=AC=12米， 由题意得∠BHD=90°，∠BDH=30°，∠BEH=, 在RtBHD中，tan∠BDH= BH3 DH 3 BH=43米， BH 4 在RtaBHE中，tano= EH5 EH=5√3米， DE=DH-EH=(12-5V3米， ·DE+CD=42-5V3≈33.3（米）， .33.3÷10≈3.3（秒)， 3.3>3, 17/49 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :.无人机不一定能在3秒内回到点C的位置 D30 3. 【详解】解：(1)解：如图1，连接AB,过点B作BM⊥AB交AC于点M,则∠ABM=90°， A B小心碰头 m二楼地面 8 M 一楼地面 图1 :AB∥CD, .∠BAM=∠ACD=20°， tan ZBAM BM AB BM1.8 ∴.AB= tan∠BAM0.36 =5.0(米)， 答：A,B之间的距离要大于5.0米： (2)解：如图2，延长AE交CD于点N, A B小心碰头 rEErreme 二楼地面 8 F 一楼地面 D 图2 ,·AE段和FC段的坡度相同， ∴.∠END=∠FCN, .EN∥FC 又：EF∥DC, ∴.四边形CNEF为平行四边形， ∴.EF=CN, ,AE段和FC段的坡度i=1:2, .ND=2AD=16(米)， 18/49 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△ACD中，∠ACD=20°， AD .CD= 8 ≈22.22（米)， tan∠ACD0.36 .EF=CN=22.22-16≈6.2（米）， 答：平台EF最大长度约为6.2米. 4.【小问1详解】 由图可得：A1,3),B(5,5),D9,3), .点B在线段AD的垂直平分线上，圆心与点B的横坐标相同， 设圆心为M(5,y), .MA MB, (5-12+(y-3)2=(y-5)2, .16+y2-6y+9=y2-10y+25, ∴.4y=0, .y=0 .M5,0): 【小问2详解】 由题可得：MB为圆的半径， M(5,0),B(5,5), MB=5, .圆的半径为5. 【小问3详解】 如图， y米 M 圆心为M,连接BM,CM, 19/49 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAC=22.5°， ∴.∠BMC=2∠BAC=45°， c=m”-45rx55玩 1801804 小问4详解】 设切线经过的格点坐标为E(m,n, A1,3,M5,0, AE2=(m-1)2+(n-3)2,AM2=25,ME2=(m-52+n2, ·AE是切线， .AE2+AM2=ME2, .m2-2m+1+n2-6n+9+25=m2-10m+25+n2, ∴.-2m-6n+35=-10m+25, .∴.8m-6n=-10, .∴.4m-3n=-5, _3n-5 m=4 E为图中某一格点， .当n=3时，m=1,此时E(1,3),与A重合，不符合； 当n=7时，m=4,此时E(4,7),符合题意： 当n=11时，m=7,此时E(7,11),符合题意； 当n=15时，m=10,此时n超出格点，不符合题意； .满足条件的点有4,7，（7,11. 5.【小问1详解】 解：，点C与点O重合，OB是半圆D的直径， .∠OPB的度数为90°； .OP⊥BM, :BM是半圆O的弦长，点O是圆心，OP⊥BM, :BP=PM 20/49 函学科风网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【小问2详解】 解：如图1，连接ON,DG, :MN与半圆D相切于点G, .DG⊥MN. M N C O D B 图1 过点O作OH⊥MN于点H, :MN=4, HN -MH-ZMN-2. :⊙O的直径为AB=6, .ON-4B-3 ∴.OH=VON2-HW2=√5. :MN∥AB,OH⊥MN,DG⊥MN, DG=0H=√5， .半圆D的半径长为√5； 【小问3详解】 解：当半圆O的半径是半圆D的半径的2倍时，如图2，过点O作0H⊥MN于点H,连接OM,DQ M O(C D 图2 .AB=6, :OM=AB=3, 3 $0D=.0M才 21/49 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :0H⊥MN,MN=3√3， ·M=Mw=3V5 2 在RtAOHM中，OH=VOM?-HM=3 :0H=0M .∠OMN=30°. ,MN∥AB, ∴.∠M0A=∠0MN=30°， :∠MBA=∠MOA=150, .∠CDQ=2∠MBA=30°， 3 30π ∴劣弧CQ的长为02=元： 1804 当半圆D的半径是半圆O的半径的2倍时，如图3，过点O作0H⊥MN于点H,连接OM,DQ D(A) 图3 AB=6, :.OM=1AB-3,CD=AB=6, 2 :0H⊥MN,MN=33, w-w39 在RtAOHM中，OH=VOM2-HM2=3 :0H=1OM, 2 .∠OMW=30°. 22/49 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .MN∥AB, ∴.∠M0A=∠0MN=30°， .∠MBA=∠M0A=15, ∴.∠CD0=2∠MBA=30°， ∴劣弧C0的长为30m6_ 180 劣弧CQ的长为π， 综上，劣弧CQ的长为乃或元. 4 6.【小问1详解】 解：连接OD, D B a=240, .∠DOB=20=48°， .∠AOD=180°-∠DOB=132°， AB=6, .⊙0的半径为3， 132×元×311 AD的长为 180 5 【小问2详解】 解：如图，连接CE, E B ,AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=90°， =30°， 23/49 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠B=60°， :AC⊥AB,DE⊥CD, .∠CAB=∠CDE=90°， ∴.∠CAD=90°-a=60°， ∴.∠CAD=∠B, ,∠CDA+∠ADE=∠ADE+∠BDE=90°， .∠CDA=∠BDE, ∴.△ACD∽△BED, 能品 ,AB=6,0=30°， BD=14B-3. :AD=4B2-BD2=62-32=33. :5_35 BE 3 .BE=1, .AE=AB-BE=6-1=5, ÷CE=VAC2+AE2=V3+52=2万 :∠CAE=90°， ∴.CE是△ACE的外接圆的直径， ∴.△ACE的外接圆的半径长为√7 7.【小问1详解】 证明：如图，连接OC,OD, A B :点C,D是半圆O上的三等分点， 24/49 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·AC=CD=BD, .∠AOC=∠COD=∠BOD=60°， OC=OA, .△OAC是等边三角形， .∠OAC=60°， .∠OAC=∠BOD, .AE∥D0, :ED是半圆O的切线，点D是切点， :DO⊥ED, .AE⊥ED; 【小问2详解】 解：：CD=CD, :∠CAD=1∠C0D=30°. 2 ,AE⊥ED, .AD=2ED=6, 4C=CD. CO⊥AD,且AF=FD=3, 在Rt AFO中，LA0C=60°， A0=AF÷sim60°=2√3， “弧AC的长= 60×π×2V52√5 180 【小问3详解】 解：①，AE∥D0, .∴.∠CAF=∠ODF,∠ACF=∠DOF. AF=DF, ∴.△ACF≌△DOF(AAS, ∴.S.ACr=SDor, 25/49 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8 ∴封闭图形的面积=扇形COD的面积=二π， 3 60×π×CO28 360 了交， 解得C0=4,即半圆O的半径长为4： ②在Rt AFO中，AO=4,∠A0C=60°， AF=sin60°.AO=2√3， ∴.AD=45, 在Rt△AED中，∠EAD=30, AE=c0s30°.AD=6. 8.【小问1详解】 解：过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥OC于点F,如图， A EB :优弧COD与直线AB相切于点C, .0C⊥AB, DE⊥AB,DF⊥OC, .四边形DECF为矩形， .DE=FC=5 设OC=OD=x,则0F=x-5, .∠DOF=60°， ∴.∠FD0=30°， .OD=20F, .x=2x-5),解得：x=10 .OC=10; 【小问2详解】 解：①当直线1与优弧COD相切于点M时，点M在直线OC的左侧，连接OM,如图， 26/49 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M--- AE C B .OM⊥1， 由(1)知：0C⊥AB, .IllOC, .I⊥AB, ∴.四边形OMEC为矩形， ∴.∠COM=90°， ,OM从OC出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒15°， .t=90÷15=6(s. 点M在直线OC的右侧，连接OM，如图， ○ A C EB ∴.OM⊥l, 由(1)知：0C⊥AB, .IllOC, .I⊥AB, ∴.四边形OMEC为矩形， ∴.∠COM=90°， ∴.0M的旋转角度为270°. ,OM从OC出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒15°， ∴.t=270÷15=18(s. 综上，当直线1与优弧COD相切时，t的值为6秒或18秒. ②当t=3时，∠C0M=45°， 连接0N,过点O作OF⊥MN于点F,如图， 27/49 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AE B 由题意得：OM=OC=10, 由(1)知：0C⊥AB, .IllOC, .I⊥AB, ,OF⊥MN, 四边形OFEC为矩形， .LF0C=90°， ∴.∠FOM=∠FOC-∠COM=45°， ∴.MF=0F=5√2· .'OM=ON,OF⊥MN, .MF=NF=5V2,∠N0F=∠M0F=45°， .∠M0W=90°，MN=2MF=10V2, ∴阴影部分面积=扇形OMN的面积-△OMN的面积= 20Tx10x10N2x5N2=25r-50 360 所以，当t=3时，阴影部分面积为25π-50. 9.【小问1详解】 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,CB=6, AC=VAB2-BC2=V102-62=-8. 点O为AC中点， A0=AC=4. Γ2 .OD⊥AB, ∴.∠ADO=90°. ..∠ADO=∠ACB 28/49 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠A=∠A, .△AOD∽△ABC. OD。A0 即=4 BC AB 610 rs12 5 【小问2详解】 解：当点O与点C重合时，OD为AB边的高， .SAMe-74B-OD=AC.BC 10x=6x82 24 5 tand=BC-6_3 4C84,tan37° 4 ∴.∠A=37°， .∠ACD=90°-37°=53°， ∠FCD=180°-53°=127°. 24 127π× 弧DF的长度为： 5=254 180 75 过点D作DG⊥AC于G(如图)， B 0 E G C(O) ∴.∠DGO=∠ACB=90°. ∴.∠DCG+∠DCB=∠DCB+∠B=90°， ∴∠DCG=∠B. ∴.△DCG∽△ABC. DC DG GC 24 ,即5DGGC. AB AC BC 1086 72 ∴.DG= 25 ..GF=GC+CF= 2+24_192 25525 29/49 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .在Rt△DGF中，DF=VDG+GF2 96)2 1922 25 25 965: 25 【小问3详解】 解：①当点O在点C左侧，且与BC相切时，如图， 0 则OC=OD=x, ∴.AO=8-x, ,∠ADO=∠ACB,∠A=∠A, ∴.△AOD∽△ABC, ..40_OD AB BC ,AB=10,BC=6,A0=8-x, :8-xx 106 解得x=3, ∴.当半圆O在BC的左侧，且与BC无交点时，x的取值范围为：0<x<3; ②当点O在点C右侧，且与BC相切时，如图， D B A C 则OC=OD=x, ∴.AO=8+x, ,∠ADO=∠ACB,∠A=∠A, .△AOD△ABC, A0、0D ·ABBC :AB=10,BC=6,A0=8+x, .8tx_x 106 30/49 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得x=12, ∴.当半圆O在BC的右侧，且与BC无交点时，x的取值范围为：x>12; 综上，当半圆0与BC无交点时，x的取值范围是0<x<3或x>12 10.【小问1详解】 证明：如图所示，连接OF, D G E 半圆与BD相切，点F为切点， OF⊥BD, BD⊥AD, .AD∥OF, .∠DAG=∠OFA: .OA=OF, ∴.∠OAF=∠OFA, .∠DAG=∠OAF; ,四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD, ∴.∠DGA=∠OAF, ∴.∠DAG=∠DGA, :DA=DG: 【小问2详解】 解：①如图所示，过点O作OT⊥BD于点T, P B :OM⊥ON, .∠MON=90°， OM=ON, .∠ONM=∠OMN=45°； 31/49 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 设OT=3x, 在Rt△ON中，TN=OT 3x =3x, tan∠ONT tan45° 3 在RtAOTB中，tan∠OBT=tan∠ABD= 4 :0T3 BT 4 ∴.BT=4x; .BT=TN +BNBN=2, ∴.3x+V2=4x, ∴x=√2， ∴.TW=3√2； ,OT⊥MN, .MN=2TN=6√2： ②如图所示，由(2)①可得0T=TN=3√2， D PB ∴.0N=V0T2+TN2=6, :4P=20N=12,N的长为90x6-3x9.42. 180 AP是半圆O的直径， .∠AEP=90°，即AE⊥PE, :AD⊥BD, .PE∥BD, ∴.∠APE=∠ABD, tan∠APE=tan∠ABD=3 .AE 3 “PE=4 设AE=3m,PE=4m, 32/49 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在Rt△AEP中，由勾股定理得AP2=AE2+PE2, .122=(3m2+(4m2, 解得m=12或m=- 12 (舍去)， 5 48 .PE 5 =9.6, 9.42<9.6, ∴.MN的长小于PE的长. 11.【小问1详解】 解：如图，直线EF即为所求： 【小问2详解】 D 证明：连接OD, :0A=0D, ∴.∠OAD=∠ODA, :EF是BD的垂直平分线， :ED EB, .∠B=∠EDB, .△ABC是直角三角形，∠ACB=90°， .∠B+∠A=90°， .∠EDB+∠ODA=90°， ∴.∠0DE=180°-90°=90°， .OE⊥DE, .OD是⊙O的半径， DE是⊙O的切线； 【小问3详解】 33/49 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解：∠B=40°， ∴.∠A=90°-40°=50°， :0A=0D, ∴.∠OAD=∠ODA=50°， ∴.∠AOD=180°-50°-50°=80°， .OA=6, “AD的长为80rx68m 18031 12.【详解】解：(1)把C(m,4)代入一次函数y+5,可得 4-3m+5, 解得m=2, .C(2,4), 设Z的解析式为y=a,则4=2a, 解得a=2, .2的解析式为y=2x: (2)如图，过C作CDLAO于D,CE⊥BO于E,则CD=4,CE=2, y5+5,令x0则y5:令y0,则10， ∴A(10,0),B(0,5), AO=10,B0=5, SA40c-50cx10x4-)×5x2-20-5=15, E D A无 1:y-2+5 (3)一次函数y=a+1的图象为，且11,2，飞不能围成三角形， ⊙当6经过点C(2,4时，店)： 34/49 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当2,3平行时，-2： 当1,6平行时，： 3 故的值为)或2或号 2 13.【小问1详解】 解：设直线Z的表达式为y=kx+b, 将点A0,6),B1,4代入y=kx+b, b=6 得 k+b=4 「k=-2 解得b=6 ∴.直线1的表达式为y=-2x+6, 当x=-1时，y=-2×-1+6=8≠7， ∴.点M(-1,7)不在直线L上： 【小问2详解】 解：设l2与y轴交于点D,则点C(2,0),点D(0,-2), .AD=6--2)=8, y=-2x+6 由题意得 y=x-21 8 x=- 解得 3 y=3 点P 82 33 1 81 ∴.S△cPH=SAAPD-S△AcD 2×8×32 8x2=8 35/49 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B D 14.【小问1详解】 解：填表如下： 清运土方 在A工地清运土方（万立方米） 在B工地清运土方（万立方米） 运输队 甲运输队 20-x 乙运输队 40-x 10-(20-x 由题意，列函数关系式得，y=40x+35(20-x)+38(40-x)+36[10-(20-x)] .y=3x+1860. 【小问2详解】 解：由(1)可知，总费用y=3x+1860, :14≤x≤18,3>0 .当x=18时，y的最大值为3×18+1860=1914万元. 【小问3详解】 解：由题意可得，40-a>35, .a<5, y=(40-a)x+35(20-x+3840-x)+36[10-(20-x)], ∴.y=(3-ax+1860, ①当0<a<3时，3-a>0,y随x的增大而增大， .当x=14时，y有最小值， 此时，甲运输队在A工地清运土方14万立方米，在B工地清运土方6万立方米，乙运输队在A工地清运土 方26万立方米，在B工地清运土方4万立方米； 36/49 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②当a=3时，清运土方的总费用与x无关，均为1860万元； ③当3<a<5时，3-a<0,y随x的增大而减小， .当x=18时，y有最小值， 此时，甲运输队在A工地清运土方18万立方米，在B工地清运土方2万立方米，乙运输队在A工地清运土 方22万立方米，在B工地清运土方8万立方米； 综上所述，当0<a<3时，甲运输队在A工地清运土方14万立方米，在B工地清运土方6万立方米，乙运 输队在A工地清运土方26万立方米，在B工地清运土方4万立方米总费用最少： 当a=3时，清运土方的总费用与x无关，均为1860万元： 当3<a<5时，甲运输队在A工地清运土方18万立方米，在B工地清运土方2万立方米，乙运输队在A 工地清运土方22万立方米，在B工地清运土方8万立方米总费用最少. 15.【小问1详解】 1500 解：根据函数图象可知，甲步行的速度为 30 =50米分钟， 2000 乙骑车的速度为 =100米/分钟， 25-5 ,·甲从学校门口到图书馆的路程为1000米，乙从操场到图书馆的路程是2000米， .学校门口和操场的距离为：2000-1500=500米： 【小问2详解】 解：设甲的函数解析式为：y=kx(k≠0)，代入30,1500)， 1500=30k, .k=50, y=50x, 设乙的函数解析式为：y=kx+b(k≠0 代入(5,0)，（25,2000 [2000=25k+b 0=5k+b 「k=100 解得： b=-500 .y=100x-500, 37/49 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由题意，50x+500=100x-500, 解得：x=20, 故当乙追上甲时，x的值为20； 【小问3详解】 解：：乙骑车到达图书馆后停留5分钟，按照原速返回学校门口， :.乙返回时的行驶距离为2000-500=1500（米）， 1500 .乙到达学校门口时x的值为30+ 100 =45,y的值为2000+1500=3500， 设乙返回时行驶路程y与x的函数关系式为y=mx+n,代入(30,2000)，45,3500)， 2000=30m+n m=100 解得： 3500=45m+n n=-1000 :.y=100x-1000,当乙到达学校门口时x的值为45. 16.【小问1详解】 证明：DE∥GF,DG⊥DE,EF⊥DE, .DG⊥GF,EF⊥GF, .∠G=∠F=∠GDE=∠DEF=90°， ∴.四边形DEFG为矩形. 【小问2详解】 证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.∠ADC=∠DCB=∠CBA=∠BAD=90°， AB=BC=CD=DA, :∠ADG+∠ADE=90°，∠EDC+∠ADE=90°， .∠ADG=∠EDC, .∴.cos∠ADG=cos∠EDC, ..DG_Dc AD DE .DG.DE=AD·DC, SE形DErG=DG·DE,S正方形Bm=AD·DC, ·S矩形DEFG=S正方形ABD· 38/49 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【小问3详解】 证明：四边形ABCD是正方形，四边形DEFG为矩形. ∴.∠ADC=∠DCB=∠CBA=∠BAD=90°， ∴.∠G=∠F=∠GDE=∠DEF=90 .∠KDJ+∠DEC=90°，∠MEB+∠DEC=90°， .∴.∠KDJ=∠MEB, .∠B=∠F=90°，∠AMF=∠BME, ∠MAF=∠MEB, ∴.∠MAF=∠KDJ, 在△DKJ和aAMF中， [∠MFA=∠KJD ∠FAM=∠JDK, AM=DK .△DKJ≌△AMF(AAS. 【小问4详解】 解：S矩形DErG=S正方形BD’AB=12Cm, :S矩形DEFG=DG·DE,S正方形ABm=AD·DC=AB2, .DG.DE=122=144, 拼出的矩形为“开心矩形”， ∴.DG:DE=2:3或DE:DG=2:3, 当DG:DE=2:3时， 3pE14 解得DE=6√6， CE=VDE2-DC2-6v6-122=62(cm): 当DE:DG=2:3时， 3DE2=144, 解得DE=4√6， 39/49 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 此时斜边小于直角边，不成立，舍去： 故CE的长为62cm. 17.【小问1详解】 解：根据题意可知，这三块能拼接成如图③所示的矩形， 即CN=NB, ∴.BN=CN=5BC=6.5. 【小问2详解】 解：如解图，过点C作CE⊥AB于点E, 30 13 ③ ② P21 EOB 在Rt△ACE中，AC2-AE2=CE2; 在RtACEB中，BC2-BE2=CE2, ∴.AC2-AE2=BC2-BE2, 即202-AE2=132-(21-AE)2, 解得AE=16, ∴.CE=√202-162=12， 又：NQ⊥AB, .NOll CE, BN NO BC CE 即6.5N0 1312 .NQ=6, .点N到PQ的距离为6. 【小问3详解】 40/49 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解：由折叠的性质，得GA=GD,EB=EH,FH=FC, ∴.BC=2EF=2EH+HF）=2BE+FC), ,四边形AEFG为正方形，BE=3,FC=2, .∴.BC=2EF=2×3+2)=10, .AE EF=5, .平行四边形ABCD的面积为BC.AE=10×5=50 【小问4详解】 解：嘉嘉的方法： H D H D ② E G ① ② 淇淇的方法： A H D K, K ①② ①/③ E G G A ③ ④ ④ ② U F C 18.【小问1详解】 解：依题意，点M-2,0)向右平移一个单位得到M'-1,0, 点M'(-1,0)关于点P(1,1)对称点N(3,2) ∴.点M关于点P的“联络点”的坐标为(3,2)， 故答案为：(3,2). 【小问2详解】 ①以M为圆心，MO为半径，作弧交y轴于点G,分别以O、G为圆心，MO为半径作弧交于点H,连 接MH,交y轴于点M'(M'即为所求)， 41/49 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y N T K M- ②连接MP,以P为圆心，PM'为半径作⊙P,MP延长线与⊙P交于点N, 设MN交x轴于点K, Pa,b),M-a,-b),M'(0,-b), 至K为MP中点，即K(心 .PN=PM', .KP-MN :P为MN中点，PT∥x轴， .∴.TP‖MMOK, NT NP =1, TM PM' T是MN的中点， .TP=三MM=OK, 2 .四边形OKPT为平行四边形， :.OT=KP=-MN. 4 【小问3详解】 设Cm,m+2,D(n,-n), ∴.C'(m+n,m+2,点C关于点D对称点E(-m+n,-2n-m-2) :E始终在直线y=x-3n-2上运动 42/49 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CE >32 .直线y=x+2与直线y=x-3n-2之间的距离大于或等于3√2· 设直线y=x+2与y轴交于点G,则G0,2),过点G作GF⊥HE于点F,则△FGH是等腰直角三角 形， 直线y=x-3n-2与y轴交于点H,则H(0,-3n-2), ∴.-3n-2-2≥3V2×√2=6， 解得n≥2或n≤-10 3 即≥或x≤-10 2 3 3 E 19.【小问1详解】 解：①甲、乙每毫升成本比为3：4，甲为a元/毫升， ∴乙的成本为4元/毫升： ②，取用x毫升甲、y毫升乙， ∴.总成本为ax+。ay; 3 【小问2详解】 4 解：由题意得，20a+30×。a=360 60a=360 解得a=6, 43/49 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.甲原料液成本：6元/毫升；乙原料液成本： 号x6=8元/毫升 【小问3详解】 解：①甲用量为x毫升， .乙用量y=150-x毫升， .总成本w=6x+8y =6x+8(150-x =-2x+1200, .甲用量不少于40毫升，即x≥40；x≤y≤2x,即x≤150-x≤2x, ∴.x≤150-x 2x≤150 解得x≤75， 150-x≤2x 150≤3x 解得x≥50， .x的取值范围：50≤x≤75，函数关系式为w=-2x+1200; ②.在函数w=-2x+1200中，k=-2<0, .w随x的增大而减小， 要使总成本最低， ∴.取x的最大值x=75, 此时，甲用量：75毫升；乙用量：150-75=75毫升， 最低总成本：w=-2×75+1200=1050元. 20.【答案】(1)80米每分钟 (2)y=200x-5000 (3) 4000米 3 【解析】 【分析】(1)用路程除以时间可得速度； (2)用待定系数法即可求解； 44/49 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)分析当张明在海洋馆游玩35分钟后，步行前往熊猫馆，考虑哪辆班车在他后面即可求解. 【小问1详解】 解：由题可知，张明步行的速度为：2400÷30=80（米每分钟) 【小问2详解】 解：设离入口处的路程y(米)与时间x(分)的函数表达式为：y=x+b(k≠0)， 25k+b=0 将25,0)和45,4000代入得： 45k+b=4000 [k=200 解得： b=-50001 则函数表达式为：y=200x-5000, 【小问3详解】 解：由题可知，班车的速度为：4000÷45-25)=200（米每分钟） :每隔10分钟有一辆班车从入口处发车，则35,45,55,65分钟都有班车出发， 班车从入口到海洋馆的时间为：2400÷200=12（分钟） :当张明在海洋馆游玩35分钟后，步行前往熊猫馆时，55分的时候班车出发10分钟， 则距离张明：2400-200×10=400（米） 设张明与班车的相遇时间为t分钟， .200t=400+80t, 解得：1=10 则张明距离熊猫馆为：1600-10× 80=4000 (米) 3 3 21.【答案】(1)①8；②60° (2)见解析 3)J5 4 (4)嘉琪的说法不正确. 【解析】 【分析】(1)①由折叠的性质解答即可；②由折叠的性质得：EF垂直平分BC,可证明△PBC为等边三 角形，即可解答； (2)先以点B为圆心，AB长为半径画弧交CD于点F,再作∠ABF的平分线，即可求解： (3)根据勾股定理可得BD=17,由折叠的性质得：AB=AB=15,∠A'BE=∠ABE,可得点A在以B 45/49 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 为圆心，AB长为半径的圆上，连接DA',EA',点D,A,B三点共线时，DA'最小，此时 DA'=BD-A'B=2,在Rt△DEA'中，根据勾股定理解答即可； 《4)求出sin∠CEB=4，可得 DG=:,连接CF,由折叠的性质得： EG 5 DG=D'G,AF=A'F,A'D'=AD=8,∠D'=∠D=90°，∠FA'D'=∠BAD=90°，再求出 D'G=DG=4,EG=5,再由勾股定理可得D'E=3,从而得到AB=5,再由 sin/4FB=sin /EBC-CE待FA.MP=4碧从面得到amL4PB1B3 3 AF 4 ，tan∠BFC= 三C-可待∠BFC≠∠AFB,即可解答。 【小问1详解】 解：①，四边形ABCD是矩形，AD=8, .BC=AD=8, 由折叠的性质得：PC=BC=8; ②由折叠的性质得：EF垂直平分BC, .PC=PB, PC=BC, ∴.PC=PB=BC, ∴.△PBC为等边三角形， .∠PBC=60°； 【小问2详解】 解：如图，BE即为所求； E 【小问3详解】 A 解：四边形ABCD是矩形， .∠BAD=90°， .BD=AD2+AB2 =17, 由折叠的性质得：A'B=AB=15,∠A'BE=∠ABE, .点A在以B为圆心，AB长为半径的圆上， 如图，连接DA',EA', 46/49 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E B 点D,,B三点共线时，DA'最小，此时DA'=BD-A'B=2, 在Rt△DEA'中，EA2+DA2=DE2, AE2+22=(8-AE)2, 解得：4E=15 9 【小问4详解】 解：四边形ABCD是矩形， .∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，CD=AB=15,AD=BC=8, ,CE=6, :DE=9,BE=BC2+CE2 =10, ·sin∠CEB= BC 4 BE 5 ,∠GED'=∠CEB, sin∠GED'=sin∠CEB=4 ，即 D'G 4 如图，连接C℉， G B 由折叠的性质得：DG=D'G,AF=A'F,A'D'=AD=8,∠D'=∠D=90°，∠FA'D'=∠BAD=90°， DG 4 .∠BAF=90°， EG-5' ∴.D'G=DG=4,EG=5, D'E=EG2-D'G=3 ∴.BD=13, .A'B=13-8=5, 47/49 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠A'BF+∠A'FB=90°，∠A'BF+∠A'BC=90°， ∴.∠A'FB=∠EBC, ÷sin∠A'FB=sin LEBC=CE_3 BE 5 :A'B53 BFBF 5 .BF= 25 4'F=AF=20 .tan∠A'FB= A'B 3 在RtaCBF中， tan∠BFC=BC-8_24 BF=2525, 3 ∴.tan∠BFC≠tan∠A'FB,即∠BFC≠∠A'FB, ∴.FA'所在的直线不经过点C,即嘉琪的说法不正确. 22.【小问1详解】 解：设y=kx+b(k≠0)， 由题意得，当x=50时，y=540,当x=55时，y=840, 540=50k+b 840=55k+b [k=60 解得 b=-2460 .y=60x-2460; 【小问2详解】 解：①由题意得，四月份草莓日场销售的日平均利润为30×[15-5列×30x6+40x15+50×9列] =x×[10×180+600+450)] 30 =410元： ②由题意得，W=410×30+y =12300+60x-2460 =60x+9840: 48/49 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【小问3详解】 解：60>0， .当50≤x≤60时，W随x的增大而增大， ∴.当x=50时，W最小=60×50+9840=12840； 当x=60时，W最大=60×60+9840=13440， :.12840≤W≤13440，即1.284万元≤W≤1.344万元， 销售部门业绩考核等级为合格， 49/49 题号猜押07河北中考数学20+21+22题（解答题） 考点1 解直角三角形实际应用 1.【新考法】（2026·河北邯郸广泰中学·一模）跳台滑雪要想取得好成绩，就必须在第一阶段达到高速度，所以大跳台必须达到一定的高度．如图1是首钢滑雪大跳台，是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，是世界首例永久性保留和使用的滑雪大跳台场馆，跳台造型设计融入了中国知名的世界文化遗产——敦煌壁画中的“飞天”元素．图2是其示意图，为登台梯，C为大跳台最高点，赛道由三段组成（平行于地面）． （1）数学兴趣一组已测得，，求平台与地面之间的距离．（，结果保留到个位）． （2）数学兴趣二组通过测量得到，，从E处看C的仰角为（即），并由计算器查得，，请问能否根据两个兴趣小组获得的这些数据求出大跳台最高点的高度？若能，请求出来；若不能，请说明理由．（结果保留到个位） 【答案】（1）平台与地面之间的距离约为 （2）大跳台最高点的高度约为． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）过点E作于点N，在中，由，即可得出答案； （2）连接．过点C作于点M，延长ED交CM于点P，先证明四边形是矩形．得出，设，在中，由，得，列出，求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点E作于点N， 在中，由， 得． 答：平台与地面之间的距离约为． 【小问2详解】 解：能求出大跳台最高点的高度． 如图，在第（1）题答图的基础上连接．过点C作于点M，延长ED交CM于点P， ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴，． ∴， ∴四边形是矩形． ∴， 设， 在中，由， 得， 在中，由， 得， ∵， 即， 解得． ． 答：大跳台最高点的高度约为． 2.（2026·河北唐山·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量山的高度． 某学习小组设计了一个方案：如图，已知某座山的对面有一座小山，的顶部有一座通讯塔，且点，，在同一条直线上．从处测得塔底的仰角为，测得塔顶的仰角为，，又在处测得塔顶的俯角为． （1）求两座山之间水平距离的长（结果保留小数点后一位）； （2）求这座山的高度（结果保留小数点后一位）．参考数据：，． 【答案】（1）两座山之间水平距离约为 （2）这座山的高度为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）在中，由解直角三角形的知识得，，又，解出的长度即可； （2）过点作，垂足为点，证明四边形是矩形得，，由解直角三角形的知识得，最后根据即可得解． 【小问1详解】 解：由题意知，，，，， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 解得：， 两座山之间水平距离约为； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为点， ， ， 四边形是矩形， ，， 由题意可知， 在中，， ， ， 答：这座山的高度为． 考点2 圆的综合应用 1.【新考法】（2026·河北石家庄裕华区·一模）【必备知识】如图1，光的反射现象中，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角入射角，这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，某景区在半圆形观景台（半圆）旁设置镜面栈道，镜面与半圆相切于点，与为观景台上两条笔直的小路，延长直径与交于点，彩灯发射源点在上，PC为入射光线，为法线，反射光线与半圆交于点，，． （1）求的度数和的度数； （2）当反射光线与平行时，求的长度； （3）在点从（2）中位置开始沿向右运动到点的过程中（如图3），直接写出点的运动路径长． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角得，结合，根据直角三角形两锐角互余得的度数，由切线的性质得，由圆周角定理得，从而可求出的度数； （2）过点作，由得，得，由勾股定理得，由垂径定理得计算即可； （3）根据点的运动路径得点的运动路径长为的长即可得出结论． 【小问1详解】 解：是直径， ， ， ， 与半圆相切于点， ， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：过点作，则， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得， ； 【小问3详解】 解：由题意得，点从（2）中位置开始沿向右运动到点的过程中，当点与点重合时，记反射光线与半圆交于点，连接、，如图所示， 由（2）知即， ， ， ， ，， ， ， ， ， 点的运动路径长为：． 2.（2026·河北邯郸邯山区·摸底）如图，已知是的直径，与相切于点B，D为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为3 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握圆的切线的判定方法是解此题的关键． （1）连接，根据平行线和等腰三角形的性质得到，进而利用证得，得到，结合与相切于点B，即可证得结论； （2）由（1）可知，设，则，然后在中，利用勾股定理建立方程，即可求得答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为的切线， ，即， ， 又为的半径， 为的切线； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ， 设， ，， ， 在中，， 即， 解得， 的长为3． 3.【新考法】（2026·河北石家庄·摸底）某公园有一个圆形草坪，圆心为，半径为3米．公园内一条笔直的小路穿过草坪，与草坪边缘交于A、B两点，圆心到小路的距离为2.2米．有一辆遥控玩具车从点开始出发，沿草坪边缘以每秒的速度顺时针行驶一圈，设运动时间为秒． （1）求的长； （2）当秒时，求此时玩具车到小路的距离； （3）点是小路上的一点，连接，米，若玩具车所在位置看作点，连接，当恰好与草坪边缘相切时，直接写出此时玩具车行驶的路程． （参考数据：，，） 【答案】（1）米 （2）此时玩具车到小路的距离为米 （3）此时玩具车行驶的路程为米或米 【解析】 【分析】（1）连接，作，交于点，则由垂径定理可得，由题意可得米，米，由勾股定理可得米，即可得出结果； （2）将玩具车的位置看为点，过点作，垂足为，当秒时，，解直角三角形得出，求出，解直角三角形得出米，即可得出结果； （3）分两种情况：连接，作，交于点，当与相切于的下方时，连接，则；当与相切于的上方时，连接，则，分别利用弧长公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图，连接，作，交于点，则， 由题意可得：米，米， ∴米， ∴米； 【小问2详解】 解：如图，将玩具车的位置看为点，过点作，垂足为， 当秒时，， ∵在中，米，米， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴米， ∵米， ∴此时玩具车到小路的距离为米； 【小问3详解】 解：如图，连接，作，交于点，当与相切于的下方时，连接，则， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 由（2）可得， ∴此时玩具车行驶的路程为米； 如图，当与相切于的上方时，连接，则， 同理可得：，， 此时玩具车行驶的路程为米； 综上所述，此时玩具车行驶的路程为米或米． 考点3 四边形图形变换 1.【新考法】（2026·河北石家庄裕华区·一模）阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 作矩形的最大内接菱形的方法 四个顶点都在同一个矩形的边上的菱形叫做矩形的内接菱形．在实践活动课上，数学老师提出来一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”．实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法． 方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形（如图1），则四边形是矩形的内接菱形． 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形，则四边形也是矩形的内接菱形．（如图2） 方法三：通过尺规作图，作矩形的对角线的垂直平分线，与边交于点E，与边交于F，连接，，则四边形是矩形的内接菱形． 实践小组通过对三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形． 任务： （1）图1菱形的面积与矩形的面积之比为 ； （2）请利用图2证明方法二中四边形AECF是菱形． （3）尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程．（保留作图痕迹，不要求写作法） （4）若在矩形中，，，请你根据日记中三种方法，通过计算求出此矩形的内接菱形的面积最大值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 （4）此矩形的内接菱形的面积最大值为60 【解析】 【分析】（1）由矩形和菱形的面积公式计算即可； （2）先推导出四边形是平行四边形，进而证明，得到，则四边形是菱形，即可解答； （3）根据垂直平分线的尺规作图的方法，以线段的两个端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，连接两弧交点，即可画出垂直平分线； （4）方法一：根据（1）中结论，计算出的面积即可得菱形的面积；方法二：根据勾股定理求出菱形的边长，由底乘高计算菱形的面积即可；方法三：由方法二同理可求菱形的面积，比较三种方法菱形的面积即可得． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴菱形的面积与矩形的面积之比为； 【小问2详解】 解：如图2 ∵矩形为两个大小一样的矩形纸片， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问3详解】 解：先连接对角线，以点A为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，以点C为圆心，同样长度为半径画弧，两弧交于M，N两点，连接M，N两点，所得直线与边交于点E，与边交于点F，则四边形即为所求： 【小问4详解】 解：方法一：如图 在矩形中，，， ∴， 由（1）可知，菱形的面积与矩形的面积之比为， ∴菱形的面积为； 方法二：如图 设菱形边长为x，即， ∵，， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴菱形边长为10， ∴菱形的面积为； 方法三：如图 由方法二可知，同理可得菱形的边长为10， ∴菱形的面积为； ∵， ∴此矩形的内接菱形的面积最大值为60． 2.（2026·河北邯郸邯山区·摸底）已知宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形作为一种美学比例，无论是建筑、绘画、设计还是自然现象，都能找到它的身影，这种比例不仅在视觉上给人以和谐、平衡和美感，还反映了人类对美的追求和自然界的奇妙规律．某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索． 实验操作： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中处； 第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出，得到矩形． 问题解决： （1）求证：矩形是黄金矩形； （2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形”．请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）； 拓展延伸： 淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明． 【答案】问题解决：（1）见解析；（2）见解析；拓展延伸：矩形也是黄金矩形，见解析 【解析】 【分析】本题考查几何变换综合题，黄金矩形的定义，正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，翻折变换，二次根式的运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由操作过程可知，．设，则，表示，结合，计算，可得矩形是黄金矩形． （2）在线段的延长线上截取，过作的垂线交于，结合（1）的结论可得矩形是黄金矩形． （3）根据问题解决（1）可得，，求解，再进一步求解即可. 【详解】（1）证明：由操作过程可知，． 设，则， ， 由折叠的性质，得， ， ， 矩形是黄金矩形． （2）解：作图如图． 拓展延伸 解：矩形也是黄金矩形． 证明：由问题解决（1）可得，， ， ， 矩形也是黄金矩形． 3.（2026·河北石家庄长安区·摸底）【主题研究】利用正方形或矩形纸片折叠出特殊度数的角． 【操作1】如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．在上选一点，沿折叠，使点恰好落在折痕上的点处．结论是：，请你说明理由． 【操作2】如图2，已知正方形的边长为4．按与【操作1】相同的步骤得到折痕，连接，将沿折叠，使点落在正方形内的点处． （1）尺规作图：在图2中画出点的位置，连接并延长交于点，连接，． （2）求的度数与的长． 【答案】（1） （2），的长为 【解析】 【分析】操作1：先推导出，得到，求出，则，即可解答； 操作2：（1）以点A为圆心，为半径作弧，再以点F为圆心，为半径作弧，两弧的交点即为点M，连接并延长交于点，连接，，即可解答； （2）先推导出，得到，，进而求出，设，则，，根据勾股定理得到，代入求出，即的长为，即可解答． 【小问1详解】 解：由折叠可知：，，． 中，， ， ． ． 【小问2详解】 解：（1）如图所示，点M即为所求； （2）四边形是正方形， ，， 由折叠可知：，， ，． ，，， 又， ， ，． ， 设，则，， ∵， ， 解得：，即的长为． 考点4 一次函数的实际应用 1.【新考法】（2026·河北石家庄裕华区·一模）【背景】如图1是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图2为其信息图． 【主题】如何接到最佳温度的温水． 【素材】水杯容积：． 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量．即：开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度. 生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度最接近人体体温． 【操作】先从饮水机接温水秒再接开水，直至接满的水杯为止． （备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况．） 【问题】 （1）接到温水的体积是_______，接到开水的体积是_______；（用含的代数式表示） （2）若所接的温水的体积不少于开水体积的2倍，则至少应接温水多少秒？ （3）若水杯接满水后，水杯中温度是，求的值； （4）记水杯接满水后水杯中温度为℃，则关于的关系式是_______；若要使杯中温度达到最佳水温，直接写出的取值范围是_______． 【答案】（1）， （2）20秒 （3） （4）， 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用以及一次函数的应用； （1）利用接到温水的体积温水的水流速度接温水的时间，可用含的代数式表示出接到温水的体积；利用接到开水的体积整杯水的体积接到温水的体积，即可用含的代数式表示出接到开水的体积； （2）根据所接的温水的体积不少于开水体积的倍，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论； （3）利用开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （4）利用开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度，可找出关于的函数关系式，再结合饮水最佳温度是(包括与， 即可求出的取值范围. 【小问1详解】 解：∵温水水流速度为，接温水用时秒， ∴接到温水的体积是， 又∵共接水， ∴接到开水的体积是， 故答案为： ， ； 【小问2详解】 解：根据题意得： 解得：， ∴的最小值为， 答：至少应接温水秒； 【小问3详解】 解：根据题意得： 解得：， 答： 的值为； 【小问4详解】 根据题意得：， ， ∵饮水最佳温度是(包括 与 ， 解得：， ∴的取值范围是， 故答案为：，． 2.（2026·河北廊坊广阳区·一模）【学科融合】生物科研人员正在研究人体对酒精（乙醇）的代谢过程（饮酒量相同）． 素材1：在酒精代谢阶段，每血液中的酒精浓度与饮酒后时间成一次函数关系； 素材2：代谢较快的甲类人群每血液中的酒精浓度与饮酒后时间满足； 素材3：代谢较慢的乙类人群每血液中的酒精浓度为，数据显示，当饮酒后时，，当饮酒后时，． 【问题解决】 （1）乙类人群饮酒后． ①求乙类人群每血液中的酒精浓度与饮酒后时间之间的函数关系式；（不必写自变量的取值范围） ②当饮酒后时，求每血液中的酒精浓度； （2）在两类人同时饮酒的情况下，是否存在一个x的值，使得比大？若存在，求出x的值；若不存在，请你通过计算说明理由． 【答案】（1）①；② （2）不存在，见解析 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①理解题意，设，运用待定系数法求解，即可作答； ②理解题意，将代入计算，即可作答． （2）理解题意，建立，得，再代入，得出，又因为，故不存在一个x的值，使比大． 【小问1详解】 解：①依题意，设， 将，代入表达式， 得， 解得， ∴与x的函数关系式为； ②依题意，将代入中， 得； 【小问2详解】 解：不存在；过程如下： 由（1）中的①得， ∵， 依题意，得， 解得， 当时，， 由题意得， ∴不存在一个x的值，使比大． 3.【新考法】（2026·河北邢台第三中学·一模）某数学兴趣小组以“脚长与标准鞋码（欧码）的对应关系”为主题，开展综合实践活动，已知鞋子尺码（又叫鞋号）常见的有以下标法：国际、欧洲、美国和英国，国际标准鞋号表示的是脚长的毫米数，中国标准采用毫米数或厘米数为单位来衡量鞋的尺码大小，而欧洲码数（欧码）则以0~100之间的整数作为码数大小，活动小组同学通过收集数据、建立函数模型来研究该问题，过程如下： （ⅰ）收集数据 活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（欧码）与脚长（毫米）的对应关系，如表1： 鞋号（欧码） … 脚长（） … （ⅱ）整理数据 为方便研究，将表1中的数据进行了编号，如表2： 序号 … 鞋号（欧码） … 脚长（） … 脚长（） … 表中对脚长的数据增加定义，定义：对于任意正整数、，其中．若，则．如：表示，即． （ⅲ）建立模型 （1）通过观察表2，猜想出（不必证明）与序号之间的关系式，与序号之间的关系式； （2）在如图的平面直角坐标系中，描出这些数据对应的点，发现这些点大致位于同一个函数图象上，则这个函数最有可能是______（填“正比例函数”、“一次函数”或“反比例函数”）； （ⅳ）求解模型 （3）根据（ⅱ）所选择的函数类型，画出函数图象，求出关于的表达式； （ⅴ）解决问题 根据个人脚长，选择购买合适码数的鞋子； （4）直接写出鞋号为的鞋适合的脚长范围； （5）若脚长为，则应购鞋的鞋号大小为______． 【答案】（1），；（2）一次；（3）；（4）鞋号为42的鞋适合的脚长范围是；（5）应购买44号的鞋． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，描点法画函数图象，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）观察表格里的数据，可直接得出结论； （2）根据题意描点画图，即可求解． （3）把用含有的式子表示出来，代入化简整理， （4）根据鞋号为42对应的的值，代入求解即可； （5）首先计算，再代入求出的值即可． 【详解】（1） （2）如图 这个函数最有可能是一次函数 （3）由与解得： （4）把代入得 所以 则得：，即 答：鞋号为42的鞋适合的脚长范围是． （5）根据可知能被5整除 而 若脚长为，所以 将代入中得 故应购买44号的鞋． 考点5 跨学科结合应用 （2026·河北石家庄新华区·一模）某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图①，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． （1）把一定质量的水放入底面积为40容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； （2）实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围； （3）如图②，现将一个密度均匀的实心正方体金属块浸没在水中（水不溢出），容器内水与容器底面接触面积变为原来的，此时水对容器底部的压强比原来增加了．求原来容器的底面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法进行求解即可； （2）由反比例函数的性质，算出临界值，即可得出对应的取值范围； （3）根据题意列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：由题可知，设（）， 当时，，代入得， ∴k＝60000， ∴． 【小问2详解】 解：已知且， ∵， ∴随的增大而减小， 当时，； 当时，； ∴． 【小问3详解】 解：由已知得， ∴， ∴． 答：容器原来的底面积为75． 1.（2026·河北邯郸邯山区·摸底）图1是某城建部门正在维修路灯的实物图片，可抽象为如图2所示的几何图形，经测量，路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点到地面距离是．（参考数据：） （1）求下折臂的长； （2）求路灯的高．（结果精确到） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，先求出，求出，然后在中，利用勾股定理即可求解； （2）过点作，垂足为．先求出，在中，求出，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，过点作于点， 则， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ∴为等腰直角三角形，， ， 在中，； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为． 则， ． ， ． ，， ， 同理可得四边形是矩形， ，， 在中，， ． ． 答：路灯的高约为． 2.（2026·河北石家庄高新区·一模） 数学课上，张老师带领数学兴趣小组用无人机测量教学楼的高度，小组给出的测量方案是：如图，教学楼用线段表示（点B表示楼顶），无人机从距离教学楼水平距离12米的点C处竖直起飞，上升到距离地面30米的点D处测得楼顶B的俯角为．（题目中涉及的点均在同一平面内，） （1）求教学楼的高度；（结果保留一位小数） （2）将无人机沿着水平方向向教学楼前进到点E处，测得楼顶B的俯角为α，满足，若无人机从点E处原路返回，无人机的速度在米/秒之间，请通过计算判断无人机能否在3秒内回到点C的位置． 【答案】（1）教学楼的高度约为米； （2）无人机不一定能在3秒内回到点C的位置． 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，则四边形是矩形，得到米，由题意得，解直角三角形求出米，由即可求解； （2）分别延长交于点，则四边形是矩形，得到米，由题意得，在与中，解直角三角形求出米，再求出米，进而求出米，由路程除以速度等于时间即可解答． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， 则四边形是矩形， ∴米， 由题意得，米， ∴， ∴米， ∴（米）， 答：教学楼的高度约为米； 【小问2详解】 解：分别延长交于点， 则四边形是矩形， ∴米， 由题意得，，， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， ∴（米）， ∴（秒）， ∵， ∴无人机不一定能在3秒内回到点C的位置． 3.（2026·河北石家庄裕华区·一模）【发现】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行（即点与点所在的直线与平行），层高为，坡角． （）要使身高的嘉淇爸爸（竖直站立）乘坐自动扶梯时不碰头，则之间的距离要大于多少米？ 【探究】该商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图中虚线所示．段和段的坡度相同，为保障安全其坡度不能超过，商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息． （）求出平台的最大长度（结果保留小数点后一位）． （参考数据：取，取，取） 【答案】（）米；（） 【解析】 【分析】（）过点作交于点，由平行线的性质可得，进而由即可求解； （）延长交于点，可得四边形为平行四边形，得到，由坡度的定义可得米，解可得米，再根据线段的和差关系即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，平行四边形的判定和性质，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：（）解：如图，连接，过点作交于点，则， ， ， ， （米）， 答：，之间的距离要大于米； （）解：如图，延长交于点， ∵段和段的坡度相同， ∴， ∴ 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵段和段的坡度， （米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：平台最大长度约为米． 4.（2026·河北石家庄新华区·一模）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在上，． （1）所在圆的圆心的坐标是 ； （2）所在圆的半径是 ； （3）求的长； （4）在网格中过点A作的切线，直接写出这条切线经过的格点坐标（点A除外） ． 【答案】（1） （2）5 （3） （4）， 【解析】 【分析】（1）设圆心，根据求出即可；（2）计算的长度即可；（3）根据弧长公式计算即可；（4）设切线经过的格点坐标为，根据切线的性质和勾股定理列式求解即可； 【小问1详解】 由图可得：，，， 点在线段的垂直平分线上，圆心与点的横坐标相同， 设圆心为， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 由题可得：为圆的半径， ，， ， 圆的半径为． 【小问3详解】 如图， 圆心为，连接，， ， ， ； 小问4详解】 设切线经过的格点坐标为， ，， ，，， 是切线， ， ， ， ， ， ， 为图中某一格点， 当时，，此时，与重合，不符合； 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时超出格点，不符合题意； 满足条件的点有，． 5.（2026·河北廊坊广阳区·一模） 已知半圆O的直径，为半圆O的弦长，且，点C在射线上，以为直径作半圆D． （1）如图1，当点C与点O重合时，连接交半圆D于点P，连接． 的度数为_______；比较大小：_______（填“”“”或“”）； （2）如图2，若与半圆D相切于点G，当时，求半圆D的半径长； （3）射线交半圆D于点Q，若，当两个半圆的半径之间存在2倍关系时，直接写出劣弧的长． 【答案】（1）； （2）半圆D的半径长为 （3）劣弧的长为或 【解析】 【分析】（1）根据题意及圆周角定理：直径所对应的圆周角是直角，再根据垂径定理即可得答案； （2）首先，连接，，过点O作于点H，由与半圆D相切于点G，得，再根据，，得，再由，得，进而得，最后，整理可得结论； （3）根据题意分两种情况：当半圆O的半径是半圆D的半径的2倍时，如图2；当半圆D的半径是半圆O的半径的2倍时，如图3，进行“分类讨论”，添加辅助线，过点O作于点H，连接，，然后，根据，，得到，进而得到，再证得，最后，代入弧长公式计算即可；另一种情况与此类似可得答案． 【小问1详解】 解：∵点C与点O重合，是半圆D的直径， ∴的度数为； ∴， ∵是半圆O的弦长，点O是圆心，， ∴=； 【小问2详解】 解：如图1，连接，， ∵与半圆D相切于点G， ∴． 过点O作于点H， ∵， ∴， ∵的直径为， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴半圆D的半径长为； 【小问3详解】 解：当半圆O的半径是半圆D的半径的2倍时，如图2，过点O作于点H，连接，． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴劣弧的长为； 当半圆D的半径是半圆O的半径的2倍时，如图3，过点O作于点H，连接，． ∵， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴劣弧的长为． 劣弧的长为， 综上，劣弧的长为或． 6.（2026·河北邯郸广泰中学·一模）如图，，，，是以为直径的半圆上一动点，交直线于点，设． （1）当时，求的长； （2）当时，连接，求的外接圆的半径长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）连接，由圆周角定理得，即得，再根据弧长公式计算即可求解； （）证明，可得，即得，得到，根据圆周角定理可知是的外接圆的直径，进而即可求解； 本题考查了圆周角定理，弧长公式，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的半径为， ∴的长为； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵, ∴是的外接圆的直径， ∴的外接圆的半径长为． 7.（2026·河北邯郸临漳·一模） 如图，是半圆O的直径，点C，D是半圆O上的三等分点，过点D作半圆O的切线，与射线交于点E，连接． （1）求证：； （2）若，求弧的长； （3）若弦、弦与弧所围成的封闭图形的面积是，则 ①求半圆O的半径长； ②直接写出长． 【答案】（1）见解析 （2） （3）①4；② 【解析】 【分析】（1）由点C，D是半圆O上的三等分点，可得，证明，从而，根据是半圆O的切线，可证，进而可证结论成立； （2）由圆周角定理得，求出，由垂径定理求出，再求出，然后根据弧长公式计算即可； （3）①证明，可知封闭图形的面积=扇形的面积，然后根据弧长公式求解即可； ②先在中，求出，由垂径定理得出，再在中，得出即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵点C，D是半圆O上的三等分点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵是半圆O的切线，点D是切点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴，且， 在中，， ∴， ∴弧的长； 【小问3详解】 解：①∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴封闭图形的面积=扇形的面积， ∴， 解得，即半圆O的半径长为4； ②在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 8.（2026·河北邢台第三中学·一模）如图1，在中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且点到直线的距离为5． （1）求的长； （2）如图2，优弧上存在一动点，连接，线段从出发，绕点顺时针转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当线段运动到时，停止转动．过点作直线，直线与交于点． ①当直线与优弧相切时，的值为_____； ②当时，求阴影部分的面积． 【答案】（1）10 （2）①6秒或18秒② 【解析】 【分析】（1）过点D作于点E，于点F，利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理解答即可； （2）①利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：点M在直线的左侧，连接，利用矩形的判定与性质得到，则；点M在直线的右侧，连接，利用矩形的判定与性质求得的旋转角度为，则； ②连接，过点O作于点F，利用矩形的判定与性质得到，则，利用直角三角形的边角关系定理求得，再利用阴影部分面积＝扇形的面积的面积解答即可． 【小问1详解】 解：过点D作于点E，于点F，如图， ∵优弧与直线相切于点C， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：. ∴； 【小问2详解】 解：①当直线l与优弧相切于点M时，点M在直线的左侧，连接，如图， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒， ∴． 点M在直线的右侧，连接，如图， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴的旋转角度为． ∵从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒， ∴． 综上，当直线l与优弧相切时，t的值为6秒或18秒． ②当时，， 连接，过点O作于点F，如图， 由题意得：， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分面积＝扇形的面积的面积； 所以，当时，阴影部分面积为． 9.（2026·河北石家庄长安区·摸底） 如图，在中，，，，点在射线上（点不与点重合）；过点作，垂足为，以点为圆心，为半径在上方画半圆，交射线于点，两点（点在的左侧），设． （1）当点为中点时，求的值； （2）如图2，当点与点重合时，连接，求弧及弦的长； （3）当半圆与边无交点时，直接写出的取值范围．（参考数据：取，取，取） 【答案】（1） （2）弧的长度为：，弦的长度为 （3）或 【解析】 【分析】（1）证明，即可求解； （2）先对运用等面积法求解，然后求解的度数，即可求解，再由弧长公式求解弧；过点作于，证明，求出，，则，再对运用勾股定理求解即可； （3）找到两个临界位置，即①当点O在点C左侧，且与相切时；②当点O在点C右侧，且与相切时，然后通过求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ． 点为中点， ． ， ． ． ， ． ，即， ． 【小问2详解】 解：当点与点重合时，为边的高， ，即：， ． ，， ， ， ． 弧的长度为：． 过点作于（如图）， ． ， ． ． ，即． ，． ． 在中，． 【小问3详解】 解：①当点O在点C左侧，且与相切时，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴当半圆O在的左侧，且与无交点时，x的取值范围为：； ②当点O在点C右侧，且与相切时，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴当半圆O在的右侧，且与无交点时，x的取值范围为：； 综上，当半圆与无交点时，x的取值范围是或． 10.（2026·河北张家口·一模）如图1和图2，中，对角线，P是上一点（不与点A重合），以为直径作半圆，圆心为点O，交于点E． （1）如图1，若半圆与相切，点F为切点，连接并延长，交于点G，求证：． （2）如图2，若半圆与交于点M，N，且，，． ①求的长； ②连接，直接写出与长的大小关系．（注：取） 【答案】（1）见解析 （2）①；②的长小于的长 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质得到，则可证明，得到；进一步可证明；由平行四边形的性质和平行线的性质可得，则可证明，据此可证明； （2）①过点O作于点T，可证明；设，解直角三角形得到，；根据，，得到，解方程可推出，再由垂径定理可得答案；②求出，得到和的长；证明，得到，则；设，由勾股定理可得，解方程可推出，据此可得答案． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵半圆与相切，点F为切点， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图所示，过点O作于点T， ∵， ∴， ∵， ∴； 设， 在中，， 在中，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； ②如图所示，由（2）①可得， ∴， ∴，的长为； ∵是半圆O的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵， ∴的长小于的长． 11.（2026·河北张家口·摸底）如图，中，，以上一点O为圆心过点A作，交于点D． （1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交、于点E、F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，求证：是的切线； （3）若，，求弧的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用线段垂直平分线的尺规作图步骤画图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的两锐角互余得出即可； （3）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，根据弧长公式即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求： 【小问2详解】 证明：连接， ， ， 是的垂直平分线， ， ， 是直角三角形，， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， 的长为． 12.（2026·河北邯郸广泰中学·一模）如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）． （1）求m的值及l2的解析式； （2）求S△AOC﹣S△BOC的值； （3）一次函数y=kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值． 【答案】（1）m=2，l2的解析式为y=2x；（2）S△AOC﹣S△BOC=15；（3）k的值为或2或﹣． 【解析】 【分析】（1）先求得点C的坐标，再运用待定系数法即可得到l2的解析式； （2）过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=4，CE=2，再根据A（10，0），B（0，5），可得AO=10，BO=5，进而得出S△AOC﹣S△BOC的值； （3）分三种情况：当l3经过点C（2，4）时，k=；当l2，l3平行时，k=2；当11，l3平行时，k=﹣；故k的值为或2或﹣． 【详解】解：（1）把C（m，4）代入一次函数y=﹣x+5，可得 4=﹣m+5， 解得m=2， ∴C（2，4）， 设l2的解析式为y=ax，则4=2a， 解得a=2， ∴l2的解析式为y=2x； （2）如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=4，CE=2， y=﹣x+5，令x=0，则y=5；令y=0，则x=10， ∴A（10，0），B（0，5）， ∴AO=10，BO=5， ∴S△AOC﹣S△BOC=×10×4﹣×5×2=20﹣5=15； （3）一次函数y=kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形， ∴当l3经过点C（2，4）时，k=； 当l2，l3平行时，k=2； 当11，l3平行时，k=﹣； 故k的值为或2或﹣． 13.（2026·河北石家庄桥西区·一模）如图，直线经过点，，直线：与x轴交于点C，与直线交于点P． （1）求直线的表达式，判断点是否在直线上，并说明理由； （2）求的面积． 【答案】（1），点不在直线上，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设直线的表达式为，将点，代入，即可求得表达式，将代入表达式进行判断即可； （2）设与轴交于点，则点，点，由题意得，求出，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设直线的表达式为， 将点，代入， 得， 解得 直线的表达式为， 当时，， 点不在直线上； 【小问2详解】 解：设与轴交于点，则点，点， ， 由题意得， 解得， 点， ． 14.（2026·河北邯郸临漳·一模）有甲、乙两个运输队共同承担了清理运输A、B两个建筑工地施工土方的任务，在规定时间内，甲、乙两个运输队分别可以清运土方20万立方米和30万立方米，当前A、B两个建筑工地需要清运的土方分别是40万立方米和10万立方米，经评估测算，甲、乙两个运输队在A、B两个工地清运土方的单价费用如下表： 单价 运输队 在A工地清运土方费用单价（元/立方米） 在B工地清运土方费用单价（元/立方米） 甲运输队 40 35 乙运输队 38 36 设甲运输队在A工地清运土方x万立方米，清运完成A、B两个工地的土方所需的总费用为y万元． （1）用含x的代数式完成下表（不必化简），并求y与x的函数关系式；（不写自变量x的取值范围） 清运土方 运输队 在A工地清运土方（万立方米） 在B工地清运土方（万立方米） 甲运输队 乙运输队 （2）求总费用y的最大值； （3）在实际清运土方的过程中，甲运输队在A工地使用人工智能设备，使每立方米的清运费用减少a元，但仍高于甲运输队在B工地清运费用的单价，求如何分配甲、乙两个运输队的清运任务，使清理土方的总费用最小． 【答案】（1）见解析 （2）1914万元 （3）当时，甲运输队在A工地清运土方14万立方米，在B工地清运土方6万立方米，乙运输队在A工地清运土方26万立方米，在B工地清运土方4万立方米总费用最少；当时，清运土方的总费用与x无关，均为1860万元；当时，甲运输队在A工地清运土方18万立方米，在B工地清运土方2万立方米，乙运输队在A工地清运土方22万立方米，在B工地清运土方8万立方米总费用最少． 【解析】 【分析】（1）根据A、B两个建筑工地需要清运的土方分别是40万立方米和10万立方米，甲运输队可以清运土方20万立方米即可填写表格，结合甲、乙两个运输队在A、B两个工地清运土方的单价费用即可求得y与x的函数关系式； （2）根据一次函数的性质即可求解； （3）由题意得， ，根据函数的增减性分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：填表如下： 清运土方 运输队 在A工地清运土方（万立方米） 在B工地清运土方（万立方米） 甲运输队 乙运输队 由题意，列函数关系式得， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可知，总费用， ∵， ∴当时，y的最大值为万元． 【小问3详解】 解：由题意可得，， ∴， ∴， ∴， 当时，，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值， 此时，甲运输队在A工地清运土方14万立方米，在B工地清运土方6万立方米，乙运输队在A工地清运土方26万立方米，在B工地清运土方4万立方米； 当时，清运土方的总费用与x无关，均为1860万元； 当时，，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最小值， 此时，甲运输队在A工地清运土方18万立方米，在B工地清运土方2万立方米，乙运输队在A工地清运土方22万立方米，在B工地清运土方8万立方米； 综上所述，当时，甲运输队在A工地清运土方14万立方米，在B工地清运土方6万立方米，乙运输队在A工地清运土方26万立方米，在B工地清运土方4万立方米总费用最少； 当时，清运土方的总费用与x无关，均为1860万元； 当时，甲运输队在A工地清运土方18万立方米，在B工地清运土方2万立方米，乙运输队在A工地清运土方22万立方米，在B工地清运土方8万立方米总费用最少． 15.（2026·河北石家庄高新区·一模）为落实“双减”政策，某校开展课后兴趣小组活动，甲、乙两名同学分别从学校门口和学校操场出发，前往市中心的图书馆参加活动，甲步行，乙骑车，两人行驶路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，甲步行30分钟到达图书馆，乙骑车到达图书馆后停留5分钟，因有事需要立即按照原速返回学校． （1）求甲步行的速度和乙骑车的速度以及学校门口和操场的距离； （2）当乙追上甲时，求x的值； （3）求乙返回时行驶路程y与x的函数关系式（不必写出自变量的取值范围），并直接写出当乙到达学校门口时x的值． 【答案】（1）甲步行的速度为米每分钟，乙骑车的速度为米每分钟，学校门口和操场的距离为米 （2） （3），当乙到达学校门口时 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，用路程除以时间得出速度，两人的路程差即为学校门口和操场的距离； （2）根据题意，先根据待定系数法分别求得甲、乙去图书馆时y与x的函数关系式，再根据当乙追上甲时，乙的路程甲的路程操场到学校门口的距离列出方程，即可求解； （3）根据返回的速度相同，得出乙到达学校门口时x的值为，的值为，进而待定系数法求解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：根据函数图象可知，甲步行的速度为米/分钟， 乙骑车的速度为米/分钟， ∵甲从学校门口到图书馆的路程为1000米，乙从操场到图书馆的路程是2000米， ∴学校门口和操场的距离为：米； 【小问2详解】 解：设甲的函数解析式为：，代入， ∴， ∴， ∴， 设乙的函数解析式为： 代入， ∴ 解得： ∴， 由题意，， 解得：， 故当乙追上甲时，x的值为20； 【小问3详解】 解：∵乙骑车到达图书馆后停留5分钟，按照原速返回学校门口， ∴乙返回时的行驶距离为（米）， ∴乙到达学校门口时x的值为，的值为， 设乙返回时行驶路程y与x的函数关系式为，代入， ，解得： ∴，当乙到达学校门口时x的值为． 16.【新考向】（2026·河北石家庄高新区·一模）【综合与实践】数学实践课上，同学们开展“将正方形裁拼成面积相等的矩形的问题探究”． 题目：“如何将一张边长为的正方形裁拼成面积相等的矩形？” 【理论支持】嘉嘉给出的裁剪作图理论是：“如图1，在边上截取点E（点E不与点B，C重合），连接，过点E作的垂线m，交于点M，过点A作的平行线交直线m于点F，过点D作的垂线，交的延长线于点G，四边形即为与正方形面积相等的矩形．” （1）求证：四边形为矩形； （2）试说明矩形的面积和正方形的面积相等； （3）【动手操作】淇淇按照嘉嘉的示意图，将正方形裁剪成、、四边形三部分，在拼接过程中发现拼接到或的位置都未能全部填满，于是，她把放到图2所示的的位置，然后在截取，过点K作于点J，并裁剪出，将其拼到的位置，恰好无缝拼接，然后将四边形拼到四边形的位置，恰好拼接成一个完整的矩形．求证：； （4）如图3，规定：两条邻边的长度比为的矩形为“开心矩形”，若拼出的矩形为“开心矩形”，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）根据，证明，即可证明四边形为矩形； （2）先证明，继而得到，从而得到比例式 ，故，根据证明即可； （3）先证明，再证明，，然后根据角角边定理证明即可； （4）如图3，规定：两条邻边的长度比为的矩形为“开心矩形”，若拼出的矩形为“开心矩形”，求的长． 【小问1详解】 证明： ，， ， ， 四边形为矩形． 【小问2详解】 证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 证明：四边形是正方形，四边形为矩形． ， ， ， ， ， ， 在和中， ∵， ∴． 【小问4详解】 解：，， ， ， 拼出的矩形为“开心矩形”， 或， 当时， ， 解得， ； 当时， ， 解得， 此时斜边小于直角边，不成立，舍去； 故的长为． 17.【新考向】（2026·河北石家庄新华区·一模） 矩形和正方形是特殊的平行四边形，我们可以通过如下方式获得矩形和正方形． 【操作1】有一张三角形纸片，顶点分别是，，．部分数据如图①所示．如图②，分别在，上取点，，再沿过点，分别与垂直的虚线剪开，得到①，②，③三块，若这三块能拼接成如图③所示的矩形． （1）的长为 ； （2）求点到的距离； 【操作2】 （3）如图④，将沿，折叠后，点和点在点处重合，点落在点处．若四边形为正方形，，，求的面积； 【操作3】 （4）如图，在四边形中，，点，，，分别为四条边的中点，与的和为与之间距离的2倍． 嘉嘉说：我可以将四边形分成三块图形，重新拼接，无重叠、无缝隙地组成一个正方形； 淇淇说：我可以将四边形分成四块图形，重新拼接，无重叠、无缝隙地组成一个正方形． 请你帮嘉嘉、淇淇设计裁剪方式，使裁剪后的图形能够拼成一个正方形．（用虚线在图中画出裁剪线，在剪出的每一部分图形上标注序号，并画出拼接后的正方形，在正方形相应位置标注对应的序号） 嘉嘉的做法： 淇淇做法： 【答案】（1） （2） （3） （4）见解析 【解析】 【分析】（1）由图形的变化可得点N为BC中点，可得BN的长度； （2）过点作于点，由勾股定理可得方程，解出AE的长度，证明，得，解出NQ即可； （3）由翻折的性质，根据线段关系求出BC、AE长度，结合平行四边形的面积为即可得出结果； （4）根据题意作图即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，这三块能拼接成如图③所示的矩形， 即， ∴． 【小问2详解】 解：如解图，过点作于点， 在中，； 在中，， ∴， 即， 解得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴点到的距离为． 【小问3详解】 解：由折叠的性质，得，，， ∴， ∵四边形为正方形，，， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积为． 【小问4详解】 解：嘉嘉的方法： 淇淇的方法： 18.【新考向】（2026·河北唐山·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点，对于点给出如下定义：将点向右（）或向左平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点关于点的“联络点”． （1）若点，点，则点关于点的“联络点”的坐标为______； （2）如图，若点与点关于原点对称，点关于点的“联络点”为点， ①求作：点和点（尺规作图，保留作图痕迹）； ②连接，在上取点，使轴，连接OT，求证：； （3）已知点是直线上的动点，点是直线上的定点，点关于点的“联络点”为点，若线段CE长的取值范围是，直接写出所有符合题意的点的横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意得出点向右平移一个单位得到，再得出点关于点对称点 即可求解； （2）①根据新定义画出图形，即可求解； ②连接，以为圆心，为半径作，延长线与交于点 ．设 交轴于点，得出，，，则，证明四边形为平行四边形即可得证； （3）设，，根据新定义可得，即始终在直线上运动，根据题意可得直线与直线之间的距离大于或等于，直线与轴交于点直线与轴交于点，进而列出不等式，解不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，点向右平移一个单位得到， 点关于点对称点 ∴点关于点的“联络点”的坐标为， 故答案为：． 【小问2详解】 ①以为圆心，为半径，作弧交轴于点，分别以、为圆心，为半径作弧交于点，连接 ，交轴于点 即为所求， ②连接，以为圆心，为半径作，延长线与交于点 ． 设 交轴于点， ，，， 为中点，即． ， 为中点，轴， ， ∴, ∴T是的中点, ∴， 四边形为平行四边形， ． 【小问3详解】 设，， ，点关于点对称点 始终在直线上运动 直线与直线之间的距离大于或等于 设直线与轴交于点，则，过点作于点，则是等腰直角三角形， 直线与轴交于点，则， ∴， 解得或 即或 19.（2026·河北张家口·摸底）保定高新区某新能源材料公司生产锂电池电解液，需将甲、乙两种原料液按一定比例混合配制．已知每毫升甲、乙两种原料液的生产成本之比为．若使用20毫升甲原料液和30毫升乙原料液进行配制，总成本为360元． （1）设每毫升甲原料液的成本为a元，用含a的代数式表示：①每毫升乙原料液的成本为________；②取用x毫升甲原料液、y毫升乙原料液时的总生产成本为________． （2）求甲、乙两种原料液每毫升的成本各是多少元． （3）按照生产标准配制电解液150毫升时，要求甲原料液用量不少于40毫升，且乙原料液用量y满足．设甲原料液用量为x毫升，总成本为w元． ①求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ②当甲、乙两种原料液各取用多少毫升时，总成本最低？最低总成本是多少元？ 【答案】（1）①元；②元 （2）甲原料液成本：元毫升；乙原料液成本：8元毫升 （3）①；②甲取75毫升，乙取毫升时，总成本最低，为元 【解析】 【分析】（1）根据甲乙每毫升成本比为，甲成本为元毫升，由比例得乙成本为元毫升；取毫升甲、毫升乙，即可得到总成本； （2）根据20毫升甲、30毫升乙总成本360元，列方程，进行求解即可； （3）①根据题意得，甲用量毫升，乙用量毫升，则可得到总成本为，结合、，求出范围即可；②先判断出随增大而减小，再进行求解即可． 【小问1详解】 解：①∵甲、乙每毫升成本比为，甲为元毫升， ∴乙的成本为元毫升； ②∵取用毫升甲、毫升乙， ∴总成本为； 【小问2详解】 解：由题意得， 解得， ∴甲原料液成本：元毫升；乙原料液成本：元毫升； 【小问3详解】 解：①∵甲用量为毫升， ∴乙用量毫升， ∴总成本 ， ∵甲用量不少于40毫升，即；，即， ∴ 解得， 解得， ∴的取值范围：，函数关系式为； ②∵在函数中，， ∴随的增大而减小， ∵要使总成本最低， ∴取的最大值， 此时，甲用量：75毫升；乙用量：毫升， 最低总成本：元． 20.（2026·河北石家庄·摸底）动物园内的一条公路如图1所示，园内有观光班车，每隔10分钟有一辆班车从入口处发车，沿该公路开往熊猫馆，途中停靠海洋馆（上下车时间忽略不计）．张明假期到动物园游玩，到达入口处，发现班车发车时间还没到，于是沿该公路步行30分钟后到达海洋馆，张明与班车离入口处的路程（米）与时间（分）的函数关系如图2所示．（每一班车速度均相同，张明步行速度不变） （1）求张明步行的速度． （2）求第一辆班车离入口处的路程（米）与时间（分）的函数表达式． （3）张明在海洋馆游玩35分钟后，步行前往熊猫馆，则途中从他后方开来的班车追上他时，他距离熊猫馆还有多少米？ 【答案】（1）米每分钟 （2） （3）米 【解析】 【分析】（1）用路程除以时间可得速度； （2）用待定系数法即可求解； （3）分析当张明在海洋馆游玩35分钟后，步行前往熊猫馆，考虑哪辆班车在他后面即可求解． 【小问1详解】 解：由题可知，张明步行的速度为：（米每分钟） 【小问2详解】 解：设离入口处的路程（米）与时间（分）的函数表达式为：， 将和代入得：， 解得：， 则函数表达式为：， 【小问3详解】 解：由题可知，班车的速度为：（米每分钟） ∵每隔10分钟有一辆班车从入口处发车，则35，45，55，65分钟都有班车出发， 班车从入口到海洋馆的时间为：（分钟） ∴当张明在海洋馆游玩35分钟后，步行前往熊猫馆时，55分的时候班车出发10分钟， 则距离张明：（米） 设张明与班车的相遇时间为分钟， ∴， 解得：， 则张明距离熊猫馆为：（米） 21.（2026·河北石家庄·摸底）【情境】 在纸片折叠的过程中，我们可以发现很多有趣的结论，而这些结论均可借助相应的数学知识予以解释．在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题展开探究性数学实践活动．每位同学选取相同的矩形纸片，其中，． 【操作】 （1）如图1，对折矩形纸片，使点与点重合，展开纸片，产生折痕；再过点所在直线折叠纸片，使点落在折痕上的点处，连接． ①的长为_____； ②求的度数； （2）如图2，沿过点的直线折叠矩形纸片，使点落在边上的点处，折痕交边于点，请在图2中利用尺规作图作出折痕（保留作图痕迹，不写作法）； 【应用】 （3）沿过点的直线折叠矩形纸片，折痕为，交边于点．若点落在处，当的长度最小时，求的长； 【拓展】 （4）如图3，若点在边上，且．将矩形纸片沿折叠，使恰好落在直线上，点A，D的对应点分别为点，，嘉琪认为所在的直线恰好经过点，请通过计算判断嘉琪的说法是否正确． 【答案】（1）①8；② （2）见解析 （3） （4）嘉琪的说法不正确． 【解析】 【分析】（1）①由折叠的性质解答即可；②由折叠的性质得：垂直平分，可证明为等边三角形，即可解答； （2）先以点B为圆心，长为半径画弧交于点F，再作的平分线，即可求解； （3）根据勾股定理可得，由折叠的性质得：，，可得点在以B为圆心，长为半径的圆上，连接，，点D， ，B三点共线时，最小，此时，在中，根据勾股定理解答即可； （4）求出，可得，连接，由折叠的性质得：，，再求出，，再由勾股定理可得，从而得到，再由，可得，，从而得到，，可得，即可解答． 【小问1详解】 解：①∵四边形是矩形，， ∴， 由折叠的性质得：； ②由折叠的性质得：垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴点在以B为圆心，长为半径的圆上， 如图，连接，， ∴点D， ，B三点共线时，最小，此时， 在中，， ∴， 解得：； 【小问4详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 如图，连接， 由折叠的性质得：，， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴所在的直线不经过点，即嘉琪的说法不正确． 22.（2026·河北石家庄长安区·摸底）四月份是草莓上市的旺季，某超市在四月份（30天）每天均以5元千克的进价购进草莓千克；按15元千克的价格在日场销售，没有售出的草莓在夜场都按一定价格降价销售． 已知四月份草莓夜场销售的总利润（元）是每天草莓购进量（千克）的一次函数，并且当时，；当时，．销售部门统计了整个四月份草莓的日场销售情况如下表所示： 日场销售量千克 30 40 50 天数天 6 15 9 （1）求与的函数关系式（不写的取值范围）； （2）设四月份销售草莓的总利润为元（总利润日场利润夜场利润）． ①求四月份草莓日场销售的日平均利润； ②直接写出与的函数关系式（不写的取值范围）． （3）超市通过总利润的大小对销售部门进行业绩考核，考核等级为： 当万元时，业绩不合格； 当万元万元时，业绩合格； 当万元时，业绩优良． 请通过计算判断该销售部门的业绩考核等级． 【答案】（1） （2）①410元；② （3）销售部门的业绩考核等级为合格 【解析】 【分析】（1）设，根据题意可知当时，，当时，，将其代入求解即可； （2）①结合表格进行计算即可；②将日场和夜场利润结和起来计算即可； （3）分别计算当时和当时的利润，进而判断即可． 【小问1详解】 解：设， 由题意得，当时，，当时，， ， 解得， ； 【小问2详解】 解：①由题意得，四月份草莓日场销售的日平均利润为 元； ②由题意得， ； 【小问3详解】 解：， 当时，随的增大而增大， 当时，； 当时，， ，即万元万元， 销售部门业绩考核等级为合格． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $