21.6 菱形（第1课时）（教学课件）数学新教材冀教版八年级下册

21.6 菱形 （第一课时） 第二十一章 四边形 【新教材】冀教版·八年级下册 章节导读 21.1多边形 21.2 平行四边形性质 21.4三角形中位线 四边形内外角和 多边形内外角和 性质定理一 性质定理二 21.5矩形 中位线定理 性质定理三 21.3 平行四边形的判定 判定定理一 判定定理二 判定定理三 矩形的性质 矩形的判定 21.6菱形 菱形的性质 菱形的判定 21.7正方形 21.8梯形 学 习 目 标 1 2 3 理解菱形的定义，掌握菱形的性质定理（四条边相等、对角线互相垂直且平分一组对角），能运用性质进行计算与证明 经历菱形性质的探究、猜想与证明过程，体会类比、转化、数形结合的数学思想，提升逻辑推理与几何分析能力 在动手操作与合作探究中感受菱形的对称性与数学美，培养严谨的几何思维，体会菱形在生活中的应用价值 情景导入 观察与思考 下列图片中包含了什么样的四边形. 观察这些图形,它们有什么共同特征呢? 通过观察和验证,三幅图中包含的四边形皆为平行四边形,而且有一组邻边相等. 新知探究 菱形的定义 我们把有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 菱形是中心对称图形，也是轴对称图形 平行四边形 菱形 有一组邻边相等 菱形是一种特殊的平行四边形，那么除了平行四边形的性质，菱形还有哪些独特的性质呢？ 新知探究 探究活动一 如图，将一张菱形纸片ABCD按图示方法折叠后，再展开. 对折 再对折 展开 A B C D A(C) B D A(C) O B(D) A B C D O 思考问题 两条折痕的交点 O 是菱形的对称中心吗？ 菱形是轴对称图形吗？有几条对称轴？分别是哪些直线？ 通过折叠我们可以发现，菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 O；同时它也是轴对称图形，有 2 条对称轴，分别是两条对角线所在的直线，即图中直线AC，BD。 新知探究 探究活动二 如图，四边形ABCD 是菱形， 通过观察与测量，回答下列问题. (1)菱形的四条边有怎样的数量关系？ (2)菱形的两条对角线有怎样的位置关系？ (3)对角线与对角有什么关系？ 通过观察和测量，我们发现： 菱形的四条边相等； 两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角 这些性质应该如何用数学定理严谨证明 新知探究 已知:如图，四边形ABCD 是菱形，AB=AD. 求证:(1)AB=BC=CD=DA. (2)AC⊥DB. (3)∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD， ∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA 证明:(1) 四边形ABCD 是菱形, AB=CD，AD=CB. 又 AB=AD， AB=BC=CD=DA. 菱形的性质一： 菱形四条边相等 新知探究 已知:如图，四边形ABCD 是菱形，AB=AD. 求证:(1)AB=BC=CD=DA. (2)AC⊥DB. (3)∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD， ∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA 证明:(2)在△ADO 和△CDO 中 DA=DC，DO=DO，AO=CO △ADO△CDO ∠AOD=∠COD 又 ∠AOD+∠COD=180° ∠AOD=∠COD=90° AC⊥DB 菱形的性质二： 菱形对角线互相垂直 新知探究 已知:如图，四边形ABCD 是菱形，AB=AD. 求证:(1)AB=BC=CD=DA. (2)AC⊥DB. (3)∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD， ∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA 证明:(3) △ADO△CDO， ∠ADB=∠CDB，∠DAC=∠DCA. AB//CD，AD//CB， ∠ADB=∠CBD，∠CDB=∠ABD， ∠DAC=∠BCA，∠DCA=∠BAC. ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD， ∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA. 菱形的性质三： 菱形每条对角线平分一组对角 新知探究 菱形的性质定理 菱形的四条边相等 几何语言： 如图，四边形ABCD是菱形 AB=BC=CD=AD 注意事项： 菱形是特殊的平行四边形，平行四边形仅 “对边相等”，而菱形在此基础上额外满足 “邻边相等”，因此推出 “四条边都相等”.解题时，可由 “菱形” 直接得出 “四条边相等”，无需再证明对边相等. 新知探究 菱形的性质定理 菱形的两条对角线互相垂直,且每条对角线平分一组对角. 几何语言： 如图，四边形ABCD是菱形 AC⊥BD ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD， ∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA. 注意事项： 性质包含两部分： ① 对角线互相垂直(得到直角，可用于勾股定理计算边长)； ② 每条对角线平分一组对角(可用于角的等量代换、证明等腰三角形 / 角平分线) 两者都是菱形特有的，平行四边形不具备 典例分析 例1 如图，菱形ABCD 的周长为16cm，∠ABC=120°. 求对角线BD和AC的长. 解: 四边形ABCD 是菱形, AB=BC=CD=DA，BD 平分∠ABC， AC⊥BD，AO=CO，BO=DO. AB+BC+CD+DA=16cm, AB=BC=CD=DA= ×16=4(cm). BD 平分∠ABC,∠ABC=120°, ∠ABD=60°. △ABD 是等边三角形. BD=AB=4cm. 在Rt△AOB 中,OB=2cm, . 先利用菱形四条性质，由周长求出边长。 利用菱形对角线平分一组对角的性质，结合∠ABC=120°，判断△ABD的形状，从而求出对角线BD的长度。 利用菱形对角线互相垂直平分的性质，在Rt△AOB中，通过勾股定理求出AO的长度，进而得到对角线AC的长度。 即学即练 方法技巧 菱形面积核心公式：菱形面积 = 对角线乘积的一半，这是最常用的方法，比底乘高更直接。 对角线与勾股定理的组合：菱形对角线互相垂直平分，将菱形分成 4 个全等的直角三角形，因此只要知道边长和一条对角线，就能用勾股定理求出另一条对角线。 已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm， 求这个菱形的面积. 设菱形为 ABCD，对角线交于点 O，已知边长 AB=2cm， 一条对角线BD=2cm 菱形对角线互相垂直平分， cm，且 ∠ AOB=90° 在 Rt△ABO中，由勾股定理： cm cm 菱形可被对角线分成 4 个全等的直角三角形，每个三角形的面积为： 因此菱形面积为： 即学即练 方法技巧 通过构造等腰直角三角形，利用勾股定理求出点C的坐标，再结合菱形对边平行且相等的性质，平移得到点B的坐标。 关键步骤：遇到 45°角时，优先想到等腰直角三角形，再用勾股定理计算边长，利用 “平行于x轴的线段，纵坐标不变，横坐标变化” 的规律，简化计算。 菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC=45°，OC= 2.求点B的坐标. 过点C作 CD⊥x 轴于点D，则 ∠CDO=90° ∠AOC=45°， △OCD 是等腰直角三角形，即 OD=CD 设 OD=CD=x， 在 Rt△OCD 中，由勾股定理： ， 因此，点C的坐标为 (, 2​)。 BC//OA（平行于 x 轴）， 点B的纵坐标与点C相同。 又 BC=OA=2， 点B的横坐标为点C的横坐标加上 2 故点B的坐标为 (, 2​) 课堂练习 1. 如图，在菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝25°，则∠2的度 数为（　B　） A. 25° B. 65° C. 75° D. 85° B 解：四边形ABCD是菱形， AB//CD ∠1=∠ACD，AC⊥BD ∠2=90°25°=65° 课堂练习 2. 如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝2， 则菱形ABCD的周长为（　B　） A. 24 B. 16 C. 8 D. 6 B 解：EF是△ABC的中位线 BC=2EF=4 菱形四条边相等 周长=4BC=16 课堂练习 3.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（12，13），则点C的坐标为（　A　） A. （0，－5） B. （0，－6） C. （0，－7） D. （0，－8） A 解:根据题意得AB=AD=13， 作AE⊥y轴， 根据勾股定理，得BE=5， 易得△ABE△DCO， OC=BE=5， C点坐标为. 课堂练习 4. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O. （1） 若∠BAD＝60°，则∠ADC的度数为 ；若按边分，则 △BAD是 三角形. 120°　 等边　 （2） E是线段BD上一点，试判断线段AE与CE之间的数量关系，并说 明理由. 解：AE＝CE　理由：∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ BD⊥AC，OA＝OC，∴ AE＝CE. 课堂小结 1.本节课我们学习到了哪些知识？还有哪些困惑？ 2.在学习的过程中，你学到了哪些数学方法？ 转化与化归 演绎推理 感谢聆听! 【新教材】冀教版·八年级下册 $