2026届 高三数学一轮复习专题-三角函数与解三角形讲义

三角函数与解三角重点考点 【1.三角函数概念与公式】 考点一扇形的弧长与面积公式 例1若扇形的面积是100，当它的半径和圆心角分别取何值时，该扇形的周长最小？ 【解】设圆心角是0，半径是，则5=山→1=2 又C=1+2r=2+2r≥45，当且仅当25=2即r=5=100=10时取到最小值， 、此时1-2丝、-20020,6=0=2，C=4=40 r10 练1已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？ 【解】设圆心角是0，半径是r,则2r+r0=40. 又s=r2=40-2）=--102+100≤100. 2 当且仅当r=10时，Smx=100,此时2×10+100=40,0=2.所以当r=10,0=2时，扇形的面积最 大 考点二三角函数的定义 角9的降边经过点P4川，且sm0=-子，则an0:(C) 4 3 B. 3 D. 3 、3 4 【详解】 :角9的终边经过点P(4,),且sin0=-3= 516+y2 y=-3,则tan0=上--3 4，故选C 练2已知是第二象限角，Pv5}为其终边上-一点且cosa= x,则x的值为」 【-√3】 4 考点三同角三角函数的基本关系 5 例3若sino= 13， 且o为第四像限角，则tana的值等于（D) 12 A.5 B.、2 5 C.2 级已知a是第四象限角，ama:-y6 求cosa,sina. 3 【解：cosu= V 5sina=- 01 例4若tana=2,则 2sin a-3cosa (1) _；【-1】 4sin a-9 cosa (2)4sin2a-3sin a cos a-5 cos2a = 【1】 练4已知tana= 3,求 sin a-4cosa (1) 的值；【87】 5sin a +2cosa 1 (2) 的值；【-257】 cos2a-sin2a (3)sin2a+2 sin a cosa的值.【-825】 练5（选做）cosa+2sina=-V5则tana=（B） 1 A2 B.2 c月 D.-2 5(多选圆)已如0e0),sn0+cos0=写，下列结论正确的是(ABD) A. π B0s0=-3 C.tan0=_3 D.sin0-cos0= 5 练6若sin6,cos0是方程4x2+2mx+m=0的两根，则m的值为（B） A.1+√5 B.1-V5 C.1±V5 D.-1-√5 考点四诱导公式 sinlπ+oa)-sin 0 2 例6已知tana=2,则 的值是 【-3】 3π cos 2 +0 +cosπ- 练7已知sina=-12 且tana<0 13 2sin(π+a)+cos(2π-a) (1)求tanu;(2)求 3π sin +a 的值 cos a- 2 2 【详解】 12 (1)因为sina= 13, 且tana<0, 所以ana=-12 2sin(π+a)+cos(2π-a) 24 1+ -2sina cosa 1-2tana =5 29 2 cosl a-)-sin 3π sina +cosa 1+tano 11② 7 5 3 例7 已知tan(径-a)= π 6 3,则an( 【-3)3】 6 -a=(B) 4 1 A. 9 B. 3 c.g D.- 9 翻储测E湖m时合+aa引则com侣a于(D) 2V2 B.3 c.-3 1 D 2W2 3 3 练10（选做）如图，在平面直角坐标系xOy中， 2’2 为单位圆上一点，射线OA绕点O按逆时针方向旋转 θ后交单位圆于点B,点B的纵坐标y关于O的函数为y=∫(0). (0)求通数y=@的解折式，并球()+行) @若0)-号，求o0-引n(0+)的道 【详解】 解： (1)因为A 所以01=， 由三函定义，得0)=0+君)所以/侣}（得）smg+s血惩-9片5 3 6222 因为0)所以n05 4 2.三角恒等变换 考点一两角和与差公式的直接应用 例1E 4 2若sinx+sin y cosx+c0sy=5求cos(x-)的值为 【 答案： 解析： (sinz+sin y)2=sin2x+cos2y+2sin x siny= 9 25 16 (cosa+cosy)2=cos2z+cos2y+2cos a cosy= 25 两式相加可得如：血y十cs:6osy=一名即cas口-)=—号 1 Icos(c+)cos(a-)=·则f的值 4 A.0 .5 c0号 D.0或± 5 例3tan20°+tan40°+√3tan20°tan40°=_. 【3】 5 练3下列式子结果为√3的是（C) @tan25+tan35°+5tan25°tan35°；②2(sin35"cos25°+c0s35'cos65":o+ian15 1-tan15 1-tan15' 1+tan15' A.①② B.③ C.①②③ D.②③④ 考点二和与差的配凑 EaBe(晋，ma+)=子mB-孕-号则eoa+孕-一【- 65 解析： ae(程a+e(罗2（但-）（侵） a+年=a+)-(B-) casa+月=o(g-)=品oa+7=cf[a+m-(-】 4 -cos()cos()+sin()sin) -×()+()- 练4已知cos(a+B)=- sin日-号a,B均为税角 5 (1)求cos(a+2B)值；(2)求sina的值 解：)由题意知：m(e+)=号 0m0- .'.cos (a+28)=cos[(a+B)+B=cos (a )i+》sns-官×g号×号 56 65 (2)sina=sin (a+B)-B=sin (a )c0o(a+月s血&-岩×号官×号 63 65 6 3π 练（选做）(1)已知下<B<a< 2 ,cos(d-B)=12,sim(a+B)=-5,求sin2a的作 @已知受a,0<B<至，ana=子，coB-a)=高求mB的值 3 5 答案：（1)_56 5 (2)63 651 解析： 1):osa-)=是>0.<B<a< 12 3π 4 ∴.0<a-B< 4 5 .sin(a-)= 3元 ∴.T<a+B< 3 又sin(a+)= 4 .cos(a+)=-5 ∴，sin2a=sin[(a+)+(a-] =sin(a+B)cos(a-B)+cos(a+B)sin(a-B) (2) 3 2<a<m且tana=-4 3 4 sima=写，cosa=5 :<a<x,0<B< 六-m<-a<-2;-m<月-a<0. 又cos(B-a)=13 ..sim(8-a)=13' 12 .'sin B=sin[(B-a)+a] =sin(B-a)cos a+cos(B-a)sin a -品×()+品×君需 53_63 练6如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角，阝，它们的终边分别与单位圆相交于 A、8两点，已知4、B的横坐标分别为V22V5 10’5 (1)求tan(o+B)的值； B (2)求+2β的值. 【回平】 考点三二倍角公式 且2cos2a+15sin+2=0,则tana=(A) A.-5 B.5 c.V15 D.5 15 15 练7已知a∈(0，π)，且3cos2a-8cosa=5,则sina=(）【4】 A.⑤ D. 5 3 9 解析：由二倍角公式cos2a=2cos2a-1,原方程即为3cos2a-4cosa-4=0,解得 cosa=- 或cosa=-2(舍去)，由sin2a十cos2a=1,且a∈(0，m解得 3 sina= v6 3 7 A.- B. 1 9 c.、2 练s已知sin 小则w A 8.1 c. 8 例7。 包知tan-)=3则cos2C 4 1-sin 2a 【3】 解已知am(行-)=君m 1 .'.tana= cos 2a 则 cos2a-sin2a 1-tan2a 1、 4 cos'a-2sina cosa+sina 1-2tana+tan a 1-1+ =3, 1-sin 2a 1 4 故答案为：3. 练9已知 1+sin 2a -=2,则tan2a=(A) 2 cos2a sin 2a A c 0.1 例8 2cosl0°-sin20° 的值是」 .【5】 sin70° 练104c0s50°-tan40°=一. 【V3】 考点四辅助角公式 例9函数y=2sin2x-23 sin xcosx(0≤x≤匹)的值域为一， 【[-1,2]】 练I1已知函数f()=2V5c0 sxsin x+2cos2x(x∈R),则在区间[0，]上的最小值为()【D】 A.-3 B.-2 c.-1 D.0 解析：f(z)=2V3 cos x sinx+2cos2x =V3sin 2x cos 2x+1 =2sin(2红+8)+1， 当ze引时，2z+君e[后 m(e+) f(x)∈[0,3，则fx)min=0. 本题正确选项：D 例10当函数y=sinx-√3c0sx(0≤x<2π)取得最大值时，x=一· 【r】 6 练12设当x=0时，函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值，则cos0=一. 9, 10 3.三角函数图像性质 考点一三角函数如的定义域 例1函数y=Cosx- 3 的定义域为(C) 4 B[x-，k+1,keZ 6 6 C.22e D.R 6 练1函数y=ln2sinx-1定义域是」 练蜘函数y=tam2x- 的定义域为(A) 考点二三角函数的最值 例2函数y=cos2x-2sinx的最大值与最小值分别为(D) A.3,-1 B.3,-2 C.2,-1 D.2,-2 练3函数y=cos2x+2sinx-5,x∈ 的最小值为(D) 64 A.-3 C.1 4 D.- 21 11 当x0 时， 函数f=sn2x-25sn-m任+} 的值域是(C) A.[-5,5] B.[-l,5 c.[-V3,2] D.【-1,2] 2+引引的【-】 储圣数=oo:香》o>0在0引上值 则⊙的取值范围为(A) [剖 c制 s储曲若数f(=snor-引。>0)在0，上的值域为， 则O的最小值为（A) A B.4 3 c 考点三三角函数的单调性 y=s2x+的单调递增区间为 递减区间为」 音+28+灯]e4[B+2晋+]ke】 12 练6函数y=-c0s( _兀)的单调递增区间是(C) 23 42-g,2a+ 4 3 C. 4k元+3 .2 87 π，4kπ+ [2a+号2+ke 练7（选做）函数y=2cos(匹-2.x,x∈[0，π的单调增区间是 6 娜（储幽已知o>0,函数f到-smox+在（行 上单调递减，则⊙的取值范是 【f154)】 德)若配知a>0,做f=cox+号引在侵上单明院 则⊙的取值范围 是 f374)】 考点四三角函数的周期性 例7求下列函数的周期 (1)f(x)=sin2x (2)f(x)=2sinx (3)f(x)=sinxcosx (1)【π】(2)【2π】(3)【π】 13 练9已知函数f(x)=sin(ox-oπ)(o>0)的最小正周期为π，则f 12 等于(A) A. 2 c. D. 2 2 解（储做）已知证数e)-=cos,则f0+2+了6)++f2017)- 练10（选做）已知函数/()=s血，则f0)+1(2)+f3)++f2017)=B) A.2017 B.3 C.C D.-5 考点五三角函数的奇偶性、对称性 例9判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=2sinx (2)f(x)=xsinx (3)f(x)=sinx (4)f(x)=sin2x (1)【奇】(2)【偶】 (3)【偶】(4)【偶】 练11判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=2cos2x (2)f(x)=x'cosx (3)f(x)=xcosx (4)f(x)=sin'x (1)【偶】(2)【偶】(3)【奇】(4)【偶】 14 已知函数f()=si(ox+,(o>0)的最小正周期方π，则该函数的图象 1关于夸0对标 B.关于直线x=乃对称 4 c.关于（匠0对称 D.关于直线x=T对称 3 练12函数y=2sin 2r- π 的图象(C) 6 A.关于原点成中心对称 B.关于y轴成轴对称 c.关于点50 成中心对称 D,关于直线x=2成轴对称 π 1函数f冈-3sn2x-子+p小pe0a)满起0D=f树，则P的造为 【5π6】 练13把函数y=-3c0s(2x+乃)的图象向右平移m(m>0)个单位，设所得图象的解析式为y=f(x),则当 y=f(x)是偶函数时，m的值可以是(B) C. D. 元 3 6 4 12 考点六图像的变换和解析式 例12为了得到函数y=sin(2x-匹)的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点D) 4.向左平行移动弩个单位长度 B.向右平行移动背个单位长度 C.向左平行移动兀个单位长度 D.向右平行移动汇个单位长度 6 6 15 练14将函数y=six的图像上所有的点向右平行移动云个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 10 倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是(C) A.y=sin 2x 10 B.y=sim2x-写 C.y=sin 例13为了得到函数y=$i(2x-)的图象，可以将函数y=cos2x的图像(B) 6 A.向右平移”个单位长度 6 B.向右平移了个单位长度 C.向左平移”个单位长度 6 D.向左平移号个单位长度 练15为得到函数y=c0sx+ 的图象，只需将函数y=sinx的图像(C) 3 4.向左平移个单位 B.向右平移个单位 6 6 5π C.向左平移二个单位 5元 D.向右平移个单位 6 6 例14函数=Asin(ox+p4>0,o>0,o小<受的部分医袋如圈所示，则f2)的值为o) B. √2 C D.-1 2 2 2 16 练16函数y=A sin (ox+0 1>0>0< 的部分图像如图所示，则函数fx)的解析式是(B) 4.f(x)=2sin x- B.f(x)=2si 2- C.f(x)=2sinx+ 2 D.=2s2- 例15已知函数f(x)=Atan(ox+p) o>0<号 的部分图像如图所示，若f(x)=V5,则x,等于(B)】 A.π 24 B. k+，keZ 224 C.kr+T,k∈Z D. 3 k虹+T,keZ 231 1π 3π 8 练7已知函数f()=Atan(wX+u>0,14k受，y:f(冈的部分图象如图所示，则/ 24 等于(B) y A.2+V3 B.3 C. 3 D.2-√5 8 0 8 17 考点七三角函数综合性质 例8关于函数fx)=sin2x+V5cos2x有下列命题：@y=fx的最大值为2：®x=13沉 是y=fx)的一 12 条对称轴； @(及0是y=的一个对称中心，其钟正确的命题醇号是 (把你认为正确命 题的序号都写上)【①②】 练13已知函数fx)=√3sin2x+2cos2x,下列结论正确的是(C) A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)在区间 π，元 上单调递增 124 C.函数f(9)的图像关于直线x=严对称 6 D.函数f(x)的图像关于点-云，0对称 12 例p已知函数f)=2sin0xc0sor-2c0s2ox(x∈R,w>0),相两条对称轴之间的距离等于 ()求f()的值： (2)当x∈ 0,2 时，求函数∫(x)的最大值和最小值及相应的x值. 解：(1)0 (2) X=0时ym二-2x=晋wax=V5-1 18 练14 已知函数f(x)=sin sinx-v3 cos2x (1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论f(x)在 π2π 63 上的单调性. 解：)T=元，最大值：1- 2 π5π (2)当x∈ 6’12 时，f四为增函数：x∈[竞，等]时，f(o为减函数。 例10已知函数f(x)=2V3sinx·cosx+2cos2x-1. (1)求f(x)的最小正周期； 5π ②)若sina+cosa=2,求fa+ 12 的值 解：(1)π (2)昌 你15已知3数f)=5mx+25snc0sx-0s2,xeR, (1)求f(x)的最小正周期和单调减区间； π 5π +kπ， +kπk∈Z 【答案】(1)T=元，单调递减区间为3 6 19 4.解三角形 考点一正余弦定理的直接应用 例1在△ABC中，A=60,b=1,SA48c=V3,则△ABC外接圆的面积是 131 3 练1在△ABC中，B=30°，AB=2N3,AC=2,则△ABC的面积是(C) A.3 B.2V5 C.V3或2V3 D.2V5或4v3 伽在△1BC,已知a比b长2，b比c长2，目最大角的正弦值为V ,则△ABC的面积是(B) 15 A.4 5 B. 4 43 c. D. 4 4 练2已知三角形A18C的三边长是公差为2的等差数列，目最大角的正弦值为√5 则最小角的余弦值是(4) 13 11 A:14 B.4 C.v3 1 2 D.2 例3在△ABC中，A=60°，且最大边和最小边是方程x2-7x+11=0的两个根，则第三边长为(C) A.2 B.3 C.4 D.5 20 例4在锐角A1BC中，c0s4=5 sin B=. 3v10 10 (1)求角C; (2)设AB=√2，求△ABC的面积 【解】 解：(I):c0sA= sin B= 3W10 5 10 sin A=25 5 ，cosB= 10 3分 .sin C sin[-(A+B)]=sin(A+B)=sin A cos B+cos Asin B= 2 2 ,4分 由ce0孕，c -5分 (Ⅱ)根据正弦定理得 AB AC →AC=AB-sin B。6 一8分 sinC sin B sinC 10 1 6 := AB·AC.sinA= --10分 5△4BC的内角A,B,C的对边分别为“，力，C,若a=1,4。石，B=” =i2,则c=() A.1 B.√2 c.5 D.3W2 【详解】解：依题意sinC=sin[π-(4+B]=sin(4+B=sin二=2 42 c I 由正弦定理 inC"sind,即迈，解得c=2:故选：B a 22 练在AM8C中，若c=1,B=450,Qos4,则b=() D.52 14 【详解解：在48C中，因为0s4,所以n4- 4 sin C=sin[a-(4+B)-sin(+B)=sin Acos B+cosinB 25x2=10 5 T 物C“n分得6=m分12 由、 b 2-5 sinC77,故选：C 10 21 考点二解的个数 例6在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是(D) A.b=10,A=45°，C=70° B.a=60,b=48,B=60° C.a=7,b=5,A=80° D.a=14,b=16,A=45° 练4（多选）在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有唯一解的有(4B) A.b=20,A=45°，C=80 B.=30,c=28,B=60 C.a=14,b=16,A=45 D.a=12,c=15,A=120° 练5在△ABC中，已知a=x,b=2,B=45°，如果三角形有两解，则x的取值范围是(4) A.2<x<2V2 B.x<2v2 C.√2<x<2 D.0<x<2 考点三正余弦定理在几何图形中的运用 例7法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对△ABC而言，若其内部的点P满足 ∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则称P为△ABC的费马点.如图所示，在△ABC中，已知 ∠BAC=45°，设P为AABC的费马点，且满足∠PBA=45°，PA=2· (1)求△PAC的面积； (2)求PB的长度. 解答 (2②)：n15°=im(45°-30）= 2 (1)由已知可得 ∠PAB=180°-120°-45°=15°， ×9竖x号6： 4 sin46°=V2 2 .在△PAB中，由正弦定理 PB PA sin15°= sin45°，可得 .·.∠PAC=45°-15°=30°， 2sin15° 2×V6-v2 PB= 4 在△PAC中， sin45° v② =V3 ∠PCA=180°-120°-30°=30°， .PA=PC=2 2 ,.△PAC的面积 -1 S=PA,PCsi血∠PAC= 2×2×2 x- 22 练6如，在四边形4BCD中，4B/CD,AB=2V6,CD=6,c0sA=后，c0s∠ADB- 3 3 (1)求cos∠BDC; D (2)求BC的长. 解答 (O因为AB∥CD CosA=v6 BD AB (仙)由已知及正弦定理 cOS∠ADB inA=sinLADB =3 ，可得BD2V6 25,解得BD=3, 3 3 所以sinA=V1-eos1=y5 3 sin LADB-V1-co LADB=2 oBDC=写CD=VG 3 在△BCD中，由余弦定理可得 BC cos∠BDC=cosπ-(A+∠ADB)]= -cos(A+∠ADB)=sin Asin∠ADB =VCD2+BD2-2CD·BD·cos/BL -c0s Acos ZADB= 3大 33 =/6+9-2×V6x3×6 ×有- 23 练7如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,∠DAC=30°，LCAB=45°，CD=√6-√2 (I)求AD的长； 0 (2)若BC=√10，求△ABC的面积. (I)因为AB∥CD 所以∠DCA=∠CAB=45,,(1分) AD DC 因为m2AcD-n20aC.2分） 所以 4D=（V6-V)×sim45 sin 30 .=23-2..(4 【解】 分) (1 )∠ADC=180°-(30°+45)=105°， 所以 ,sin∠ADC=sim(45°+60) =sim45°cos60°+cos45°sin60 =6+2 4 .(6 AC DC 因为n乙ADC=sin ZDAC' 所以AC=2,,(7分) 设AB=x, 因为 ,BC2=AC2+AB2 -2AC.ABcos ZCAB 可得：x2-2V2x-6=0, 所以，AB=3vV2,..(10分)】 所以 1 ,S△ABG=交AC,ABsi∠CAB=3..(12 分) 24 考点四边角互换求值 例8在①2 a cos A=bcosC+ccosB;②cosA+cos2A=0;③sinB-sinC=sin(A-C),这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中，并解答 问题：已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C, (1)求A; (2)若a=2,△ABC的面积是√5，求△ABC的周长. 【详解】(1)若选择条件①：因为2 a cos A=bcosC+ccosB,由正弦定理得： 2 sin A cos A sin B cos C+sin C cos B,2 sin A cos A sin(B+C)=sin A. 为s迎A0,所以c0sA=)因为A∈0，，所以4若选择条件②：c0s4+c0s24=0厕 2cos4+c0s1-1=0,解得：cos1=-1或o1=因为4e(0,所以os1=5所以4 若选择条件③：因为sinB-sinC=sinA-C),则sin(A+C-sinC=sinA-C), 所以2 cos A sin C=sinC因为sinC>0,所以cos4行，因为AeQ,,所以4 （回因为Sc号csn于6，所以bc=4因为a=2,由余滋定理回知：。=6+。-2hcos号 所以4=(b+c-3bC,所以b+c=4,所以△ABC的周张为6. 练8设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2 cos C(a cos B+bcos A=c. (1)求∠C； (2)若c=√7，△ABC的面积为 3W3 求△ABC的周张. 2 (1)已知等式利用正弦定理化简得： (2)油余弦定理得7=d2+}-2b. 2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C, .(a+b-3ab=7, 整理得：2 cos Csin(A+B)=sinC, s=号bsin C=y3 3v3 4 ab= 2 .'sinC≠0，sin(A+B)=sinC w0-, ∴.ab=6, .(a+b-18=7, 又0<C<n, ∴.a+b=5, 0=3 ∴.△ABC的周长为5+、 00 综上所述，答案为：零 综上所谜，答案为：5多 25 9在@2 ccos B=2a-b,②A4BC的面积为a+62-c2,®c0s4-c0s2C=sin2B-sin4sinB 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.（如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条 件给分) 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且 (1)求角C的大小； (2)若c=2且4 sin Asin B=3,求△ABC的面积. 【详解】()若选条件@2cc0sB=2a-b,则2c+c-b =2a-b, 2ac 即a+-c2=b,m以cosC因为Ce0m,所以C= 0)若选条件@48c的面职为9(g+6-c),则。+-c)-bsnC 即sinC=5cosC,所以tanC=V5,又因为Ce(0,π)，所以C=T 3· (1)若选条件③cos2A-cos2C=sin2B-sin Asin B,则1-sin2A-(1-sin2C=sin2B-sin Asin B, 即sim4+n2B-sinC=sn4snB,即d+6-c2=ab,所以cosC-号，又因为Ce0x),所以C- 3 =24 (2)因为c=2,所以sin A sin B sinC 方，所以mA=5。,如B56, 4 3 又因为4sin4sinB=3,所以ab=4,△ABC的面积为)absin C=V5 【点睛】思路点睛： (1)在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系； (2)题中若出现边的一次式般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理； (3)应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用； (4)解决三角形问题时，注意角的限制范围， 26 练9在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,已知2b-C=2 a cos C. (1)求A; (2)若a=V3,sinB+sinC=6√2 sin Bsin C,求△ABC的面积 【来源】2019届福建省厦门市高中毕业班第二次质量检查理科数学 【详解】解法一：()在ABC中，由余弦定理得，cosC=。+-c 2ab 又因为2b-c=2 a cosC,所以b2+c2-a2=bc, 所以ws4.-,又因为4列，所以4号 2bc 3 b (2)在△ABC中，由正弦定理得 'sin B sin C sin A' 因为a=5,A-号，m以smB=多， sinc= 又因为sinB+sinC=6√2 sin Bsin C,所以b+c=3√2bc, 因为a2=b2+c2-2 becos A,即a2=(b+c2-3bc, 所以6c-e-10,解得c=或c=号（含去)， ,aABc的面积3 sebesin4.ds的 1 8 b C a 解法二：(I)在△ABC中，由正弦定理得 sin B sin C sin A' 又因为2b-c=2 a cosC,得2sinB-sinC=2 sin AcosC, 即2sinA+C)-sinC=2 sin AcosC,所以2 cos Asin C=sinC, 因为sinC>0,所以cosA=方，又因为Ae0,,所以4=号(@)同解法 1 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式和三角恒等变换等基础欪知识；考查运算求解能力、推理 论证能力；考查数形结合思想、函数与方程思想属于中档题， 27 例10已知在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,在条件@V5BA·BC=2SMC;② π (2a-c)cos B=bcosC;3bsin A=asinB+ 中任选一个，做出解答 3 (1)求角B的大小； (2)若a+c=√3b,试判断△ABC的形状. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【详解】()选0V3BA.BC=2S.c,V5 accos B=2)acsin B,sinB=5cosB, 2 :B∈(0，x,sinB>0,则cosB>0,B=T 3 选②2a-c)cosB=bcosC,由正弦定理得：2 sin Acos B-sin C cosB=sin B cosC,2 sin Acos B=sinA, 1 :A∈0，π，sinA>0,.cosB= ,Be(0,x,∴B= Γ3 选⑥由6snA=asnB+写)，根据正弦定理，有sin8sinA=sin4snB+写， 2cosB,则有anB=V5,又0<B<π，所以，B= (2)法一：因为a+c=√3b,所以sinA+sinC=√3sinB,所以sinA+sin 小 2-2 则4=云，或号，所以4-名时，C-受：4-时C-石：所以4C为直角三角形 法二：因为a+c=5b,所以a2+c2+2ac=36,因为b2=a2+c2-2 ac cos5=d2+c2-ac, 3 所以2a+2-c=-0即日-92-0，用ug-2z n c 2 当：2时，解号4-受：当是时，C=号：所以48c为直确三角形 28 练10在△ABC中，角A,B,C对的边分别为a,b,c,设(sinB-sinC)2=sin2A-sin BsinC. (1)求A; (2)若V2a+b=2c,求sinC. 解：(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin B sin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc. 由余弦定理得c0sA-2+c-4-.因为0<A<180,所以A=60. 2bc 2 (2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得V2sinA+sin120°-C=2sinC, 即v6V5 22 cosC+sinC=2sinC,可得cosC+60)=-2 2 2 面于0cC<12w,m1C4)-9故 sinC=sin(C+6060)=sin(C+60)co6cos(C+60)si60 29 考点五三角形中最值或取值范围问题 例11在△ABC中，角A,，B,C所对的边分别为a,b,C,设S为△ABC的面积，满足 ￥a2+b2-c. (1)求角C的大小； (2)求sinA+sinB的最大值 (②)由已知sinA+snB 0油题意可知206snC-厚、 1 4 ×2 abcosC =sinA+sin(-C-A) 所以tanC'=3 =smA+sm管-A 因为0<C<π =sinA+B 融音 c0sA+号sinA =子nA+esA=尽nA+}B 综上所述：结论为 - 当△ABC为正三角形时取等号， 所似simA+sinB的最大值是3 综上所述：结论为sinA+sinB的最大值是B. 练11在锐角△4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△MBC的面积S=5a+c2-b. 12 (1)求角B的大小： (2)求sin Asin C的取值范围 【答案】(1)B=30°；(2) (515 224 经)在a4Bc中，Sa+6,又Scs,cs8=a+ 2ac 所以52 accosB=5ac-sinB,所以anB=5 12 2 号，又锐角a1BC,0°<8<90，所以B=30 (2)由(1)得，A+C=150°，又是锐角三角形，得60°<A<90°， 所以sin Asin C=sin Asin150°-A)=sin A(sin150°cosA-cosl50°sinA sin24-co 42im(24-60)+ 4 由60°<24-60°<120°，所以5<6in2A-601s1, 31,5 所以sin Asin C的取值范围是 224 30 例12在①2sinA-sinB=2 sin C cos B,②(a+c(sinA-sinC)=sinB(a-b),③ 1 SMABC=)c(asin A+bsin B-csinC)这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答. 2 问题：在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、C,且 (1)求角C; (2)若c=2,求2a-b的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分， 【详解】(1)选择条件@：解法一：因为2sinA-sinB=2 sin C cosB,所以2sin(B+C)-sinB=2 sin Ccos B, 即2n8casC=sn8.因为nB0,所以cosC-号又Ce0,a列，所以C=背 解法二：因为2sin1-sin8=2 sinC0sB,所以2a-b=2ca+c2-b 2ac 即e:+6-ab,所以osC=+-c-h=号又Ce(0,x,阴以C= 2ab 2ab 2 3 选择条件②：因为(a+c(sinA-sinC)=sinB(a-b),所以a+c(a-c=ba-b), 即e:0+-,所以osC=+c-助-又Ce0,所以C=号 2ab2ab 2 选择条件③：因为S△Bc= c(asin A+bsin B-esinC)absinCe(asin d+bsin B-esinC) 从而ab=d+2-c,所以cosC=。+-c-h-号又C∈0，x,所以C=号 2ab 2ab 2 3 =2-43 回因为e=2,所以Cm区号，从而20-b=n 3sin 4-43 -4sm4+ 3 =23 sin 4-2cos 4=4sin 6 。4<2江，以-2<A-62·从m一2CA—之、】 1 < 6 6/1, 所以2a-b的取值范围为-2,4) 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一 般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理.应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用.解决三角形问 题时，注意角的限制范围. 31 练12在锐角三角形ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、C,且 2csin C=(2b-a)sin B+(2a-b)sin A. (1)求角C; (2)若c=2V3,求△ABC的周张I的取值范围. 【详解】(0)由已知及正弦定理可得2c2=(2b-ab+(2a-b)a,即c2=2+a2-b,则cosC-+a-c- 2ab21 因为0<C<交，所以C 3 2)因为c=2W5,C=T ,所以由正弦定理得4-6。c sin4 sinBsinc=4,则 a=4sin A.b=4sin B=4sin( △MBC的周长1=a+b+c=4sinA+4sin(2-A0+2W5=4V5sin(4+)+2V5, 3 0<A<元 在锐角三角形ABC中 2得262 6 3 63 2 所以 2<sin(4+)s1,所以6+2V5<4V3sin(A+)+2V3s65, 6 所以△4BC的周长1∈(6+2V5,6V5] 【点睛】本题考查正、余弦定理在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能力、化归与转化能力，关键在于 三角形的周长转化为关于三角形内角的三角函数，属于中档题 A+C 例13（选做）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知asin =bsin A. 2 (1)求B; (2)若△ABC为锐角三角形，且c=1,求△ABC面积的取值范围. A+C 解：(1)由题设及正弦定理得sin Asin sin Bsin A. 2 因图为snA=0,所以sm4C=snB,由A+g+C-180,司gsn4+C 。B ,故 -=c0s。 2 2 cos8=2sin号cos月.因为cos号+0，故sin9 B in)=7,因此B=60, 2 2 3 (2)由题设及(1)知△ABC的面积S△MBc= 4 32 由正弦定理得a= csinA sin(120°-C） 3 1 sinC sin C 2tanC 2 由于A1BC为锐角三角形，故0°<A<90,0°<C<90,由(1)知A+C=120,所以30<C<90,故2<a<2, 从而3 P 练13（选做）锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知(sinB-sinC)2=sin2A-sin BsinC. (1)求A; (2)b=2,求△ABC面积的取值范围 【详解】(1)因为sinB-sinC)=sin2A-sin B sinC,所以sin2A=sinB+sin2C-sin BsinC, 所以a=b2+c2-bc,又a2=62+c2-2 becos A,所以cosA=} 2·又Ae0, 2,所以A=π 3 ②A8c的面积5esinA=5。 2sin+B 2c. 由正弦定理得。bsinC “(3 +1 sin B sin B tan B 0<B<T 2 因为△ABC为锐角三角形，所以 解得T<B< <2-B< 6 0< 2 3 则■8>号，则I<e<4,故ABC面积的取值范国园 3 2V5 例14在@(sin8+sinC)2=sin2A+3 Bsin Bsin C,®cos2B,C 2 -cos B cos C=号，③2 a cos C+c=2b,这三个条 件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答。 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 (1)求角A的大小； (2)若a=2,求△ABC面积的最大值 【详解】(1)选①，因为(sinB+sinC)2=sin2A+3 sin BsinC, 所以sin2B+sin2C+2 sin Bsin C=sin2A+3 sin BsinC,即sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,所以由正弦定理得 +c=c由余蒸定理知coAc一，因为A∈(0，所以4 选⊙，因为cosB,C-cosBcosC-1+co(B-Q-cos BcosC=1-cosBcosC+-sin BsinC_l-cos(B+C_3 2 2 2 2 4 π 所以cos(B+C=-2,csA=-co(B+9=2,因为A∈(0，x),所以A=3: 选③，由正弦定理得2 sin AcosC+sinC=2sinB, 3 2sin AcosC+sinC=2sin(4+C)=2(sin AcosC+cos Asin C), 即sinC=2 cos A sin C,即sinC(2cosA-l)=0,又Ce(0,π)， 阴以nC>0,所以os4行，又4e@),从而得4- ②由（①）得4-胥，又0=2，由余弦定理 a2=b2+c2-2 becos A=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,所以bc≤4，当且仅当b=c=2时取得等号， 故S-bcsn4s×4x5-5,当且仅当6=C=2时取得等号， 2 2 所以aABC面积的最大值为√5， 练14在△ABC中，内角A、B、C对应的边分别为a、b、C,若bcosC+(2a+c)cosB=0 (1)求内角B的大小： (2)若b=2,求△ABC面积的最大值. 解：(1)利用正弦定理化简已知的等式得：sinBcosC+-(2sinA+sinC)cosB=0, 整理得：sinBeosC+-cosBsinC=.2 sinAcosB,即sin(B+C)=sinA=-2 sinAcosB, :A为三角形的内角，即sinA0, cosB-1, 又B为三角形的内角， “8=20, 3 1 (2)b-2,cosB= 由余弦定理b2=a2+c2.2acc0sB得：4=a2+c2+ac=(a+c)2-ac24ac-ac=3ac, (当且仅当a=c时取等号)， ∴acs4, ÷5 AABCacsin吃行宁 1 Bx4xEE】 则△ABC面积的最大值为， 3 34 例15在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、C,且满足sin2B+sinC-sin BsinC=sin2A. (1)求角A; (2)如图，若b=c,点D是△ABC外一点，DA=3,DC=√5，设∠ADC=0,求平面四边形ABCD面积 的最大值及相应的O值 【详解】(1)，'sin2A-sin2B-sin2C+sin BsinC=0,由正弦定理知， a2-b2-c2+bc=0, 由会孩定阳s4:“会-片04昏 3 (2)由(1)以及b=c,得△ABC是等边三角形 设∠4DC=00<0<.D4=3.Dc=5,则3x-x5x3xsm0 3v -sin0 余弦定理可得：AC2=12-6V3c0s0, 2 4 下AC2=302-63c0s0)=3V3-2cos8 故边影8c0画限s-m0-号0：w5-35n0-到引+35 2 0<9<,元<0-<3，当0-3=)时，S取得最大值为6W5 3 32 故平面四边形ABCD面积的最大值为6√5，此时9=5 6 练15如图，某市拟在长为8km的道路0P的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为 函数y=Asin ox(A>0,0>0),x∈[0,4的图象，且图像的最高点为S3,2√3，赛道的后部分为折线段 MWP,为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°. (1)求A,O的值和M,P两点间的距离； (2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？ 23 35 )依题意，有A=2V8,子=3，又T=二所 以w=石所以y=2v8m名 当r=4时，y=2V3=m誓=3，所以M43.又 p(8,3),所以MP=√42+3=5。 (II)在△MNP中∠1MNP=120°，MP=5,设 ∠PMN=0,则0°<0<60°， 由正孩定理得==，所以 MN NP=10V sin(60°-0)， 3 sin0,所以MN=10vV3 故 NP+MN =10v3 sin+103 sin(60-0) 3 3 103,1 》 =10v 3 sin(0+60°) 因为0°<0<60°，所以当0=30时，折线段赛道 MNP最长， 亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长 考点六解三角中的三线问题 例16在A4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且满足cosC=-S b 2b (1)求角B; (②)若△ABC外接圆的半径为V5,且AC边上的中线张为2， 求△ABC的面积和周长， 【详解】 解：()由cosC=号分，得2 bcosC=2ac 利用正弦定理得：2 sinBcosC=2sinA·sinC,即2 sinBcosC=2sin(B+C)·sinC, 化简得snc=-2snc0sB,ce0,m,snC40,c=克，又：Be0,n),B 3 (2)由正弦定理得”23b=3,设D为AC边上的中点，则D=,D了 sin B 25,9 -a2 25,9 -c2 解法-：在△BCD中，cOs∠BDC=44 3,在△ABD中，cOS∠ADB=44 2× 22 2x5×3 22 .∠ADB+∠BDC=π，∴.cos∠ADB+∠BDC=0,∴.a2+c2=17, 1 由余弦定理b2=c2+a2·2 accosB,即9=c2+a2-ac,ac=8,由三角形缅积公式得：Sc=)acsin B=2W5 由25=c2+a2+ac,得(a+c)2-ac=25,a+c=V33,所以周长为3+√33. 36 解法二：利用向量加法法则得：2BD=B7+BC,两边平方得：4BC=B+BC2+2BA.BC,即25=C2 +a2+ac, 由余弦定理b2=c2+a2-2 accosB,即9=c2+a2-ac,两式相减得16=2ac,即ac=8, 由面积公式得：SMBC= 2 acsin B=2W5,由25=c2+a2+ac,得(a+c2-ac=25,a+c=V53,所以周长为 3+33. D B 练16记△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知bsinC=sinC+V5cosC,A= 3 (1)求C; (2)若BC边上的中线为 2 ，判断三角形是否存在，若存在，求△ABC的面积；若不存在，请说明理由 【解答】()由bsnC=snC+5csC得cmB=2smC+马， …3分 方法二：设B8C边上的钟线为D,则而=+AG, …8分 两边平方得而：⑧+28C+C, …9分 又4,4+B+0= 4+2x2f,即时+220， ……l川分 24 所以cnB=2Sn-8=2Sn8,…5分 易知该方程无实数解 而0KB<,故S如B+0,放C=2.…6分 故符合条件的三角形不存在…。 …12分 37 例17已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,c2+a2-b2=2ab· ()若sinC= 3,求B; (2)若D为AC中点，且BD=BC,求 b 解法一：(1)由余弦定理得，c2+a2-b32=2 accos B, 2分 又c2+a2-b2=2ab,所以2 ac cos B=2ab,即ccosB=b, 由正弦定理得，sin Ccos B=sinB, 4分 显然cosB≠0，所以tanB=sinC, .5分 ，所以an台=5 因为smc=5 3” 又因为0<B<元，所以B=元.…6分 6 (2)在△ABD和△BCD中，BD=a,由余弦定理可得 CcOs∠ADB= BD+AD:-AB2 -c 7分 2BD·AD 2a- cos∠CDB=BD+CD-BC: -r .8分 2BD.CD 2 因为cos∠ADB+cos∠CDB=0， 所以c2=a+6 …9分 截图(AIt+A) 又因为c2+a2-b2=2ab,所以4a2-4ab-b2=0, 即8 -4.-1=0,…10分 b 解得号-15.因为0>06>0，所以91+ .12分 sin B,cos B 2c 练17△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知 sin A cos Aa (1)求A; (2)若a=2,D为BC的中点，AD2=AB,AC,求△ABC的面积 【详解】(1)在△ABC中，由正弦定理得B+cosB_2si血C sin A'cos sin 整理得sin(A+B)-2sinC sin AcosA sin A' 又sin4+B)=smC≠0，所以cosA=,又因为0<4<x,所以4 3 (2)因为c0s∠ADB+cosZADC=0, 由余定理得f061,D4+C4C-0,即4D-5+c- 2DA·DB 2DA.DC 2 ,@ 在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccosA,即b2+c2-bc=4,② 又4D=4B:AG=bc,⑧联立@O,解得bc=2,所议Sc)besin4238 2-2 38 例18△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,a=1且V5cosC=csin A. (1)求C; (2)若b=3,D是AB上的点，CD平分∠ACB,求△ACD的面积， 【详解】解法一：(1)因为a=l且V3cosC=csinA,所以√3 acosC=csinA,根据正弦定理，得 V5 sin AcosC=sin Csin A,因为A∈(0，x),所以sinA≠0，所以anC=V5,因为C∈(0，π)，所以C= 3 (2)由()知，∠4C8-号，因为a=l,b=3,所以418C的面积Sx-bsim∠ACB-多n 1 3.inπ3V5 2 2 34 1 图为D是4B上的点，CD平吩LACB,所四2aD 6-a1 SAACD 26-CD.sin b31 6 因为SAARC=SAACD+S△BCD,所以SAACD= 3359√5 4416 解法二：（)根据正弦定理，得，AsC,及a=1得，所以：sn4=5inC, 又因为V5cosC=csinA,所以V5cosC=sinC,所以tanC=V5,因为C∈(0，π)，所以C= 3 (2②)由（①）知，∠4C8=背，因为a=1,b=3, 所砂AABC的面积Se)absin ZACB=3sin”-33 1 34,因为D是AB上的点，CD平分∠ACB 1 所以△4CD的面积SAMD=,b:CD:sn=CD,所以ABCD的面积ScD7a-CD-sin=CD, 64 1n64 因为SAr=SAc+Sacn,所以SAM=CD+CD=CD,所以CD=35所以 3 4 4 4 3 33595 SA4CD=CD=x 4 4416 练18锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,满足V3 bsin C+√3 csin B=4 a sin B sinC. (1)求A; (2)若b=4,△ABC的面积为3V3,D是BC上的点，AD平分LBAC,求AD. 【详解】解：（①）在44BC中，由正弦定理得，BC,因为snC+Vesin B=4asin8sinC, b 所以√3 sin B sin C+√3 sin C sin B=4 sin Asin B sin C,即2√3 sin B sinC=4 sin Asin B sin C 因为n&sinC0,i以2B4n1,即snA号，又因为4BC为脱确三形以A骨 ②由Scm435,即时4xcsn535,解=。 3 因为∠BAC的角平玢线为AD,所以∠BAD=∠CAD7∠BAC石，又因为SARD+SACAD=SAMC :9 所以c4 Dsin+bA0smg-35,即x3ADsn+5x44Dsn经=35】 62 6 62 6 所以AD=35,所以4D=125 7 例19在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设m=(b,c,n=(cosC,cosB),且 1m·n=2 a cos A. (1)求角A的大小： (2)若b=4,C=5,D在BC上，AD是LBAC的角平分线，求AD. 【详解】(1)：m=(b,c),n=(cosC,cosB),且m·n=2 acosA,则bcosC+ccosB=2 a cos A, 由正弦定理可得；sin B cosC+sinC cosB=2 sin A cos A,即sin(B+C)=2 sin A cos A,则sinA=2 sin Acos A, 0<4,六血4>0，则cos4=,所以，A=子 1 1 (2)在a4BC中，由(1)得由余弦定理可得a=公+c2-2ccos 25+16-2x4x5×)=V2ī， cosC-a+b-c2_21+16-25_V2T 2ab =24-V2=4,:∠1D8+L4DC=,则∠ADB=E-L4DC, :sin ZADB=sin(π-LADC)=sin ZADC,由于AD是LBAC的角平分线，在△ABD中，由正弦定理得 sin∠ADBsin∠BAD,@,同理可得b c BD CD sin∠ADCsin∠cAD,@ ①@洞，份片：0-号C-号-，在A4C0中，由余装定可调 99 AD=402+CD2-24C-CD-c0sC=16+16x21-2x4x4x万_l16x25,解得AD-205 81 、91427 9 40 练19如图，在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,若2ac0sA=bc0sC+cc0sB. (1)求角A的大小： (2)若点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB=2,BC=4,求AD的长 B 【解答】解：(1)：2 acosA=bcosC+ccosB, ,∴，2 sinAcosA=-sinBcosC+sinCcosB=-sin(B+C）=sinA, 40,eo4 器 (2)在△ABC中，由余弦定理的c0sA-4C2-16-1 4AC 2 解得AC=1+√13或AC-1-√13（舍）· ,BD是∠ABC的平分线， ..AD AB1 CD BC 2 AD-号AC-1+W正3 31 3 41 例20在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,，b,C,且满足(2c-a)cos B-bcos A=0. (1)求角B的大小： (2)已知c=2,边4C上的高BD=3NI 求△ABC的面积S的值. 7 esin BBD.. ②)S=1 又e=2BD.3vB= 7 2.6= 30 由余弦定理得b2=a2+c2-2 ae cos B=a2+4-2a, 代入6=v -a,得a2-9a+18=0 解得a 3 {6i967 又△ABC为锐角三角形，a2<c2+a=3 5-cmB-号×3x2×9- 2 2 答案：(1)(2c-a)cosB-bcosA=0, .由正弦定理得(2sinC-sinA)cosB-sin BcosA=0 ..2sin(cos B-sin(A+B)=0 :A+B=有-C且血C≠0casB=吉 B∈0，).B=7 练20在△4BC中，已知AB=3,AC=2,∠CAB= 3 (1)求BC的长； (2)若 ,求AD的长， 给出条件：①AD是△ABC的中线，②AD是△ABC的高.请在①②两个条件中任选一个，将问题(2)补充 完整，并给出解答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分， 【详解】(1)由余弦定理得：BC=AB+AC-2AB1Ccos∠C1B=9+4-2x3×2×27,所以BC=V7, (2若选0：则0-B+C,所以丽-而-V而-得西+C CsoC+4c 1 2×9+2x3x2x2+4」 2 若选@：因为4D是：48C的高，所以Sc号BC4D- -AD 2 2 ine AB:AC sin ZC4B=x3x2xsin 3=2以，21D3 2 2 所以，AD=3V2 431.三角函数与解三角重点考点 【1.三角函数概念与公式】 考点一扇形的弧长与面积公式 例1若扇形的面积是100，当它的半径和圆心角分别取何值时，该扇形的周长最小？ 练1已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？ 考点二三角函数的定义 例2角0的终边经过点P(4,y),且sin0= 5则tan0=() B:3 3 4 D.4 维已知a是第二限角，P,5]为其终边上一点且cos&=V x,则x的值为 4 7 考点三同角三角函数的基本关系 例3若sin,= 13 且o为第四象限角，则an的值等于() 12 12 5 c.2 5 A.5 B.- 5 D. 12 绵已知a是第四象限角，ama:-6 求cos0,sn. 例4若tana=2,则 2sin a-3cosa (1) 4sin a-9cosa (2)4sin2 a-3sin a cos a-5 cos2a = 4 练4已知ana=3,求： sin a-4cosa (1) 的值： 5sin a +2cosa 1 (2) 一的值； cos2a-sin2 (3)sin2u+2 sin a cosa的值. 练5（选做）cosa+2sina=-√5则tana=(） B.2 D.-2 创s(多洗题已知0e(0,x),5m0+os0=行，下列结论正确的是（） 40 B.Cos0=-3 5 3 7 C.tan0=- D.sin0-cos0= 4 5 练6若sin0,cos0是方程4x2+2mx+m=0的两根，则m的值为() A.1+V5 B.1-V5 C.1±√5 D.-1-V5 考点四 诱导公式 sinlπ+ou)-sin 2 例6已知tana=2,则 的值是 3π cos +a +coπ- 2 练7已知sina=-12 3,且tana<0 2sin(π+a)+cos(2π-a) ()求ana;(2)求cosa- a-)i 3π+a 的值 3 例7 已知an(天-a)=5 5 ，则tan( -+)= 6 1 A.9 B. 3 练9 (选做)已知c0s 倍x+ea引则侣aj于() 2W2 1 1 C.- D.、 2W2 B. 3 3 3 练10（选做）如图，在平面直角坐标系xO中， 51 为单位圆上一点，射线OA绕点O按逆时针方向旋转 O后交单位圆于点B,点B的纵坐标y关于O的函数为y=f(0) (1)求函数y=f(⑥)的解析式， 球引)月 a若0-，求as0-引-sn0+石)的值 2.三角恒等变换 考点一两角和与差公式的直接应用 nu小sma-5,则s任+小 例1 断脚如aae仔 则cosa+}si -a的值为， “4 侧2若simx+-siny-3 cosx+cosy9 求cos(-)的值为 4 咖已知cosa+1=行coa-=- 4 5,则的值为() 4 A.0 B. 5 C.0或4 D.0或±5 5 例3tan20°+tan40°+√3tan20°tan40°- 练3下列式子结果为√3的是（) @tan25°+tan35'+V5tan25'tan35°；②2(sin35c0s25°+cos35cos65)）;O+tanl5 1-tanl5;④ 1-tan15' 1+tan15' A.①② B.③ C.①②③ D.②③④ 考点二和与差的配凑 :E0afe(晋a,ma+)=子B孕-吕则eaa+孕-一 ,3π 脚蜘cosu+=一音mB-子a,B均发角 (1)求cos(a+2B)值；(2)求sin的值. 6 练（速做）)已知<B<a<,osa-B)=1 4 3,sin(a+B)=-,求sin2a的值 回已如子<a<,0<B<号，maB-a)-后求n月的直 练6如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角，阝，它们的终边分别与单位圆相交于 48两点，已知小、B的横坐标分号别为V2,25 10’5 (1)求tan(a+B)的值； (2)求a+2B的值. 考点三 二倍角公式 例5 ππ 已知a∈-2’2 且2cos2a+15sin+2=0,则tana=() A.-5 B. V15 c.15 D.5 15 15 练7已知∈(0，π)，且3cos2a-8cosa=5,则sina=() .⑤ B.2 1 D. 5 3 3 C. 9 7 A.- 9 B. 3 3 D. 9 练8 已知sin A.3 3 c.、2 3 8 例7已知an4力 3'则cos2a 1-sin 2a 练9已知， 1+sin 2a 2 cos2a sin 2a 一=2，则tan2a=（） A、3 4 B. c 4 D. 3 例8 2cosl0°-sin2 一的值是 sin70° 练104c0s50°-tan40°=— 考点四辅助角公式 例9函数y=2sin2x-2W3 sinxcosx(0≤x≤)的值域为 练11已知函数f()=25co5 xsin+2c0sx0xeR),则在区间0,1上的最小值为() A.-3 B.-2 C.1 D.0 例10当函数y=sinx-V3cosx(0≤x<2π)取得最大值时，x=一 练12设当x=0时，函数f(x)=sinx-2c0sx取得最大值，则cos0= 10 3.三角函数图像性质 考点一三角函数的定义域 例1函数y=Cosx- 的定义域为() 48 B[k红-石r+,keZ 6 6 C.22e D.R 6 练1函数y=ln2sinx-1定义域是 练2函数y=1am2x-)的定义域为（) 4{经+骨e B{受号ez c{经+ge 。货+晋ez 考点二三角函数的最值 例2函数y=cos2x-2sinx的最大值与最小值分别为（) A.3,-1 B.3,-2 C.2,-1 D.2,-2 11 练3函数y=cos2x+2sinx-5,x [元 6’4 的最小值为（) A.-3 .9 C.1 21 4 D.- 郎当re0引时，题=m2r-25sm任-小m任+蓝城是() A.[-5,5] B.[-l,V3] c.[-V3,2] D.[-1,2] 战=2x+引0引信城是 健侧圣数=coox-号引o>0在0引上的直为2， 则ω的取值范围为() 练储物若透数)=smox-君o>0在0，列上的值威为[， 则o的最小值为() A B.4 C. D. 12 考点三三角函数的单调性 例5y=sin2x+ 的单调递增区间为 递减区间为。 3 练6函数y=-c0s(;-)的单调递增区间是() 23 2x-26+ 2 3 πkeZ) B.4k-4元」 3 4k元+3 2 87 π，4kπ+ πez) [2+号 π，2kπ+ ez) 8 练7（选做）函数y=2c0s(?-2x,x∈[0，元]的单调增区间是 6 娜选地已知0>0，函数f到-=mox+到在（行 上单调递减，则⊙的取值范是 练8（选做）若已知0>0，函数∫(x)=c0s 0r+r） 上单调递增，则ω的取值范围 是 13 考点四三角函数的周期性 例7求下列函数的周期 (1)f(x)=sin2x (2)f(x)=2sinx (3)f(x)=sinxcosx 练9已知函数f(x)=sin(ox-oπ)(o>O)的最小正周期为π，则f 12 等于() C. 5 娜（选做）已知数f)=c0s,则0+/2)+了3)++/2017) 练0（选做）已知函数f)=sim,则/+f(2)+f6)++了2017)=（） A.2017 . C.C D.-V5 2 14 考点五三角函数的奇偶性、对称性 例9判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=2sinx (2)f(x)=xsinx (3)f(x)=sinx (4)f(x)=sin2x 练11判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=2cos2x (2)f(x)=x2cosx (3)f(x)=xcosx (4)f(x)=sinx 例10已知函数f(:)=sin(ox+7o>0)的最小正周期为元，则该函数的图象() 2 4关于号0对际 B.关于直线x=对称 4 C.关于正，0)对称 D.关于直线x=T对称 3 练12函数y=2sin 2x-I 的图像() A.关于原点成中心对称 B.关于y轴成轴对称 C.关于点 ，0 121 成中心对称 D关于直线x-行成轴时称 15 例1函数（到=3sin2x-号+ppe0,x)满起0xD=,则的值为 练13把函数y=-3c0s(2x+乃)的图象向右平移m(m>0)个单位，设所得图象的解析式为y=f(x）),则当 y=f(x)是偶函数时，m的值可以是（) C. π A. 3 6 4 D.2 考点六图像的变换和解析式 例2为了得到函数y=sim(2x-)的图象，只需把函数y=s2x的图象上所有的点（) 4.向左平行移动背个单位长度 B.向右平行移动个单位长度 C.向左平行移动兀个单位长度 6 D.向右平行移动兀个单位长度 6 练14将函数y=six的图像上所有的点向右平行移动”个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 10 倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（) A.y=sin2x-π 10 B.y=sin 2x- 5 1 C.y=sinx- D.y=sin Lx-π 210 220 16 例13为了得到函数y=sin(2x- 乃)的图象，可以将函数y=c0s2x的图像（） 4.向右平移”个单位长度 6 B.向右平移号个单位长度 C.向左平移”个单位长度 D.向左平移死个单位长度 6 3 π 练15为得到函数y=c0sx+ 的图象，只需将函数y=sinx的图像() 3 4.向左平移个单位 B.向右平移个单位 6 6 C.向左平 5π个单位 D.向右平 6 5π个单位 例14函数创=Asin(os+p4>0,o>0,o<受的暗分图如题示，则r(经的值为(） A.、6 B.V3 D.-1 2 2 2 练16函数y=Asin (ox+p 4>0@>0.pl< 的部分图像如图所示，则函数八x)的解析式是（) 4.f=2snx-石 B.f(x)=2sin 2- c.f(x)=2sinx+ D.=2s2别 17 例15已知函数f(x)=Atan(ox+p) @>0< 的部分图象如图所示，若f(x)=5,则x,等于() B. π A. 24 2 ,k∈Z 24 c.ka+号ke乙 D. k元+C,k∈Z 十一 23 0 8 练17已知函数f(以)=Aanu+pw>0,4<7,y=f(以的部分图象如图所示，则/等于() y A.2+V5 B.3 C. D.2-√5 1 8 3π 81 18 考点七三角函数综合性质 例8关于函数f八x)=sin2x+V5cos2x有下列命题：@y=fx的最大值为2：②x=13π 12 是y=fx)的一 条对称轴； @(g0是y=八的个对称中心，钟正确$命题序号是 (把你认为正确命 题的序号都写上) 练13已知函数fx)=√3sin2x+2cos2x,下列结论正确的是（) A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)在区间 ππ 12'4 上单调递增 C.函数f(x)的图像关于直线x=二对称 6 D.函数∫(x)的图像关于点 ，0对称 、12 例9已知函数f()=2sinωxcos@x-2cos2ox(x∈R,0>0),相两条对称轴之间的距离等于 2 ()求f(牙)的值 (2)当x 0,2 时，求函数∫(x)的最大值和最小值及相应的x值， 19 练14 已知腰数到=sm（侣 sinx-3 cos2 x (1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论f(x)在 π2π 63 上的单调性， 例10已知函数f(x)=2W3sinx·cosx+2cos2x-1. (1)求f(x)的最小正周期； 1 5π ②)若sina+cosa=2,求/a+ 的值 绿5已知函数f)=simx+23 sin xcosx-cos2x,xeR (1)求f(x)的最小正周期和单调减区间； 20 4.解三角形 考点一正余弦定理的直接应用 例1在△ABC中，A=60°，b=1,SAc=V3,则△ABC外接圆的面积是 练1在△ABC中，B=30°，AB=2N3,AC=2,则△ABC的面积是（) A.5 B.2V5 C.V3或2V3 D.2V5或4v3 伽在A1BC,已知a比b长2，b比c长2，且最大角的正弦值为5 则△ABC的面积是() 15 A.4 5 B. c. D. 4 3 4 4 练2已知三角形AMBC的三边长是公差为2的等差数列，目最大角的E弦值为√3 ，则最小角的余弦值是（) 13 11 B.4 c.3 1 A.14 2 D2 例3在△ABC中，A=60°，且最大边和最小边是方程x2-7x+11=0的两个根，则第三边长为() A.2 B.3 C.4 D.5 21 例4在锐角△1BC中，cOsA=5 sinB=3v10 10 (1)求角C; (2)设AB=√2，求△ABC的面积 娜AMBC的内角4，B,C的对边分别为a,b,C,若=1,4=云，8=行，则c=（） A.1 B.√2 c.3 D.3√2 练3在A1BC中，若c=1,8=45”,c0sA=},则b=() 4昌 7 c.1 D.5② 14 考点二解的个数 例6在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（) A.b=10,A=45°，C=70 B.a=60,b=48,B=60° C.a=7,b=5,A=80° D.a=14,b=16,A=45° 22 练4（多选）在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有唯一解的有（) A.b=20,A=45°，C=80° B.a=30,c=28,B=60 C.a=14,b=16,A=45° D.a=12,c=15,A=120° 练5在△ABC中，已知a=x,b=2,B=45°，如果三角形有两解，则x的取值范围是（) A.2<x<2V2 B.x<22 C.V2<x<2 D.0<x<2 考点三正余弦定理在几何图形中的运用 例7法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对△ABC而言，若其内部的点P满足 ∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则称P为△ABC的费马点.如图所示，在△ABC中，已知 ∠BAC=45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA=45°，PA=2· (1)求△PAC的面积； (2)求PB的长度. 23 练如图，在边形8CD中，4BCD,4B=26,CD=V6,c0sA=5,cos∠DB= 3 3 (1)求cos∠BDC; D (2)求BC的长. 练7如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,LD4AC=30°，∠CAB=45°，CD=√6-√2. (1)求AD的长； (2)若BC=V10,求△ABC的面积. 24 考点四边角互换求值 例8在①2 a cos A=bcosC+ccosB;②cosA+cos2A=0;③sinB-sinC=sin(A-C),这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中，并解答. 问题：已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,一 (1)求A; (2)若a=2,△ABC的面积是√3，求△ABC的周张. 练8设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2 cos C(a cos B+b cos A)=c, (1)求∠C; (2)若c=V万，△8c的面积为35，求AHBC的长 2 25 9在@2cc0sB=2a-h,②A4BC的积为Q2+-c,⑨c0s2A-c0s2C=sin2B-Sin4sinB 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.（如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条 件给分) 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且 (1)求角C的大小； (2)若c=2且4 sin Asin B=3,求△ABC的面积. 练9在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2b-C=2ac0sC, (1)求A; (2)若a=√3，sinB+sinC=6√2 sin B sin C,求△ABC的面积 26 例10已知在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,在条件①V3BA·BC=2SA4c;② π 2a-c)cos B=bcosC;3bsin A=asin B+ 3》 中任选一个，做出解答 (1)求角B的大小： (2)若a+c=√5b,试判断△ABC的形状. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 练10在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设sinB-sinC)=sin2A-sin Bsin C. (1)求A; (2)若V2a+b=2c,求sinC. 27 考点五三角形中最值或取值范围问题 例11在△ABC中，角A,，B,C所对的边分别为a,b,C,设S为△ABC的面积，满足 S、 4(a+b2-c). (1)求角C的大小： (2)求sinA+sinB的最大值， 练1在锐角△MBC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,△4BC的面积S=Y a2+c2-b2）. 12 (1)求角B的大小： (2)求sin Asin C的取值范围 28 例12在①2sinA-sinB=2 sin C cosB,②(a+c)(sinA-sinC)=sinB(a-b),③ 1 Sc=,c(asin A+bsin B-csinC)这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答。 2 问题：在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、C,且 (1)求角C; (2)若c=2,求2a-b的取值范围， 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 练12在锐角三角形ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、C,且 2csin C=(2b-a)sin B+(2a-b)sin A. (1)求角C; (2)若c=2V3,求△ABC的周长1的取值范围. 29 例B(选做)在△1BC中，角A,B,C的对i边分别为a,b,C,已知asin4+C -=bsin A. 2 (1)求B: (2)若△ABC为锐角三角形，且c=1,求△ABC面积的取值范围. 练13（选做）锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知sinB-sinC)=sin2A-sin B sinC. (1)求A: (2)b=2,求△ABC面积的取值范围. 30 (sinB+sin C)'=sin4+3sin BsinC,cosBC --cos B cosC=3 2 4,回2ac0sC+c=2b,这三个条 件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答. 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 (1)求角A的大小： (2)若a=2,求△ABC面积的最大值 练14在△ABC中，内角A、B、C对应的边分别为a、b、C,若bcosC+(2a+c)cosB=0 (1)求内角B的大小： (2)若b=2,求△ABC面积的最大值 31 例15在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、C,且满足sin2B+sin2C-sin BsinC=sin2A. (1)求角A; (2)如图，若b=c,点D是△ABC外一点，DA=3,DC=√5，设∠ADC=0,求平面四边形ABCD面积 的最大值及相应的O值. 练15如图，某市拟在长为8km的道路0P的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为 函数y=Asin ox(A>0,o>0),x∈[0,4的图象，且图像的最高点为S3,23,赛道的后一部分为折线段 MNP,为保证参赛运动员的安全，限定LMNP=120°. (1)求A,O的值和M，P两点间的距离； (2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？ 25 32 考点六解王角中的三线问题 例16在A4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且满足cosC=-S b 2b (1)求角B; (2)若AMBC外接圆的半径为V5,且AC边上的中线长为)，求A4BC的面积和周张. 练16记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知bsin C=sinC+5cosC,A=T (1)求C; 2若BC边上的中线力，判斯三角形是否存在，若存在，求△1BC的面职；若不存在，请说明理由， 33 例17已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,c2+a2-b2=2ab· )若sinc= ,求B: 3 (2)若D为4C中点，且BD=BC,求 练17△ABC的内角A,B,C的对i边分别为a,b,C,已知snB+cosB_2C sin A cosA a (1)求A: (2)若a=2,D为BC的中点，AD2=AB,AC,求△ABC的面积 34 例18△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,a=1且V3cosC=csinA. (1)求C; (2)若b=3,D是AB上的点，CD平分∠ACB,求AACD的面积， 练18锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,满足√3 bsin C+3 csin B=4 a sin B sin C. (1)求A; (2)若b=4,△ABC的面积为3V3,D是BC上的点，AD平分LBAC,求AD. 35 例19在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,设m=(b,c),n=(cosC,cosB),且 m.n=2acos A. (1)求角A的大小； (2)若b=4,c=5,D在BC上，AD是LBAC的角平分线，求AD. 练19如图，在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,若2 a cos A=bcosC+ccosB. (1)求角A的大小 (2)若点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB=2,BC=4,求AD的长， 36 例20在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且满足(2c-a)cosB-bcosA=0. (1)求角B的大小； ②已知c=2,边1C上的商8D-3,求4MBC的面职S的值 练20在△ABC中，已知AB=3,AC=2,∠CAB= 3 (1)求BC的长； (2)若」 求AD的长， 给出条件：①AD是△ABC的中线，②AD是△ABC的高.请在①②两个条件中任选一个，将问题(2)补充 完整，并给出解答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分， 37