2026届陕西省高考数学模拟试题

2026届陕西省高考模拟数学试卷 命题人：杨洁 单位：大荔县同州中学 考试时间：120分钟 满分:150分 一、选择题 1．已知集合,集合,那么( ) A. B. C. D. 2．设i为虚数单位,则在复平面内,复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3．设,,则( ) A. B. C. D. 4．若,则( ) A.0 B.1 C.4 D.8 5．设圆的圆心为M,直线与该圆相交于两点A,B.若,则实数( ) A.1 B.3或1 C.3 D.3或 6．设为双曲线的右焦点.已知a,b,c成等差数列,那么双曲线E的离心率等于( ) A. B. C. D.2 7．设平面向量与不共线,k,,则“与共线”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8．设正方体的棱长为2,P为正方体表面上一点,且点P到直线的距离与它到平面ABCD的距离相等,记动点P的轨迹为曲线W,则曲线W的周长为(      ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9．下列说法正确的是(      ) A.数据8，6，4，11，3，7，9，10的上四分位数为9 B.若，，且，则C，D相互独立 C.某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 D.若样本数据的平均数为4，的平均数为22，则样本数据，9的方差为20 10．已知I为虚数单位，则以下四个说法中正确的是(      ) A.复数的虚部为-I B. C.复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为 D.若复数z满足条件，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界 11．过点P作抛物线的两条切线，，切点为，，F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是(      ) A.点P的坐标为 B.若线段的中点为M，与抛物线交于点N，则 C.设抛物线上A，B之间任意一点Q处的切线分别与，交于点C，D，记，，的面积分别为，，，则 D. 三、填空题 12．函数的定义域为_______. 13．设函数,则使得函数在区间上存在最大值的一个值为_______. 14．数学中有许多形状优美,应用广泛的曲线.双纽线就是其中之一（如图）,其定义为:在平面内,到两个定点和的距离之积为常数的点的轨迹.设为C上一点,给出下列四个结论: ①; ②; ③若点P在第一象限,则; ④的周长可以等于. 其中,所有正确结论的序号是_______. 四、解答题 15．已知中,. （1）求的大小; （2）设D为的中点,且,,求的面积. 16．在哈尔滨2025年第九届亚洲冬季运动会的志愿者选拔工作中，面试满分为100分，现随机抽取了120名候选人的面试成绩分为五组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三组的频率成等差数列，第一组的频率等于第五组的频率． (1)求a，b的值，并估计这120名候选人成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（中位数精确到0.1）； (2)已知120名候选人中，男、女生各60人，男生想去冰上赛区的有35人，女生想去冰上赛区的有20人，请补全下面列联表．请问是否有的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关？（结果精确到0.001） 志愿者 性别 合计 男生 女生 想去冰上赛区 35 20     不想去冰上赛区             合计 60 60     附： 0.050 0.010 0.001 3.941 6.635 10.828 (3)滑冰项目的场地服务需要4名志愿者，有4名男生和2名女生通过选拔入围，现随机从6名同学中抽取4人服务该场地，记男生被抽中的人数为X，求X的分布列及期望． 17．如图,在三棱锥中,平面平面,,E,F分别为DA,DC的中点. （1）求证:平面平面; （2）设,从条件①,条件②,条件③这三个条件中选择两个作为已知,求平面与平面夹角的余弦值. 条件①:; 条件②:; 条件③:. 18．设，分别为椭圆的左､右焦点，P是椭圆C的短轴的一个端点，的面积为，椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的方程. (2)如图，M，N，G是椭圆C上不重合的三点，原点O是的重心. (i)当直线垂直于x轴时，求点M到直线的距离； (ii)求点M到直线的距离的最大值. 19．已知函数，. (1)求在处的瞬时变化率； (2)若恒成立，求a的值； (3)求证：，. 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 1．答案：D 解析：, 错误,错误,错误, , 所以,D正确, 故选:D 2．答案：D 解析：, 所以复数对应的点,位于第四象限, 故选:D 3．答案：B 解析：由,,可得. 故选:B. 4．答案：A 解析：法一:令,则, 所以原式左边为, 原式右边为, 所以. 法二:根据二项式定理,得 所以,,,,, 所以. 故选:A. 5．答案：D 解析：将直线代入圆的方程可得:, 设,, 所以,, ,则,, 所以 , 化简得:, 解得:或, 故选:D 6．答案：B 解析：由题意,即 ,由于,解得. 故选:B. 7．答案：C 解析：若与共线,则存在实数,使得,即, 由于平面向量与不共线,所以且,故, 因此“与共线”是“”的充要条件, 故选:C 8．答案：D 解析：以D为原点,,,建立如图所示的空间直角坐标系, 显然点P到平面的距离为, 设点,在上取一点,而,, 所有,,从而, 所以点P到直线的距离为, 所以, 令,得,,此时点P的轨迹就是一个点,此时点P的轨迹长度是0, 令,得,x,,此时点P在以为圆心半径为2的四分之一的圆周上面运动,此时点P的轨迹长度是, 令,得,z,,即,,此时点P的轨迹长度是0, 令,得,z,,即,此时点P在线段上运动,轨迹长度是, 令,,z,,即,z,,此时点P在线段上运动,轨迹长度为, 令得,,z,,即,,此时点P的轨迹长度是0, 综上所述,所求为. 故选:D. 9．答案：BD 解析：对于A选项，将数据从小到大排列为3，4，6，7，8，9，10，11，共8个数， 则，则上四分位数为，故A错误； 对于B选项，，， 由条件概率公式得， 得到， 即C，D相互独立，故B正确； 对于C选项，，， 由对称性可知在的概率等于在的概率的2倍， 当越大，数据越离散，其概率越小，故C错误； 对于D选项，由样本数据，，，，的平均数为4， 得，，，，，4的平均数为4， 由，，，，的平均数为22，得， 因此，，，，，4的方差为， ，，，，， 9的方差为，故D正确. 故选：BD. 10．答案：BCD 解析：对于A：对于复数的虚部为-1，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：复数与分别表示向量与， 因为，所以表示向量的复数为 ，故C正确; 对于D：对于D，设复数， 若复数z满足条件， 则有， 故复数z对应点的集合是以原点O为圆心， 分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界，故D正确. 故选：BCD. 11．答案：ABD 解析：对于选项A，由，得到， 则，由导数的几何意义知， 曲线在点处的切线方程为， 整理得到， 又，所以， 即， 同理可得曲线在点的处切线方程为， 则， 解得， 所以点P的坐标为，故选项A正确； 对于选项B，易知， 由选项A知的方程为， 所以，代入， 得， 所以N是线段的中点，故，所以选项B正确， 对于选项C，由选项B知垂直x轴，不妨设， 则 ， 由，同理可得， 所以，故选项C错误； 对于选项D，点P的坐标为， 点F的坐标为， 则 ， 又由抛物线定义可知， 所以，故选项D正确， 故选：ABD. 12．答案： 解析：由函数有意义,则满足,解得且, 所以函数的定义域为. 故答案为:. 13．答案：（答案不唯一） 解析：因为,则, 令,,所以,, 因为在区间上存在最大值, 所以,, 则,, 又,即,所以或, 所以符合题意的一个值为（答案不唯一）. 故答案为:（答案不唯一） 14．答案：①②③ 解析：对于①中,由双纽线, 令,可得,解得或,所以,所以①正确; 对于②中,设,其中,且, 由, 因为,可得,可得, 所以,所以②正确; 对于③中,若点P位于第一象限,要证, 即证,等价于, 由双纽线,可得,所以③正确; 对于④中,设,,则三角形的周长为, 在中,由余弦定理得, 即, 即,所以, 即,所以, 因为,所以④错误. 故答案为:①②③. 15．答案：（1） （2） 解析：（1）由,得. 由,得,故, -------------------------3分 所以. ----------------------------------------------------------5分 （2）由正弦定理,得,即. 由余弦定理,得,-------------7分 即,解得或（舍）. -----9分 所以,----------------------------------------------------------11分 故.------------------------13分 16．答案：(1)，，平均值为：69.5，中位数为：69.4 (2)列联表见解析，有的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关 (3)分布列见解析， 解析：(1)由题意：. 又. 解得， -----------------------------2分 估计这120名候选人成绩的平均数为： ，---------4分 设中位数为x：， 解得中位数.-----------------------------------5分 (2) 志愿者 性别 合计 男生 女生 想去冰上赛区 35 20 55 不想去冰上赛区 25 40 65 合计 60 60 120 所以有的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关----------------10分 (3) 男生被抽中的人数X可能取值为2，3，4. ，， .------------------------------------------13分 X的分布列为： X 2 3 4 P .--------------------15分 17．答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）因为,平面平面,平面平面, 所以平面. 由E,F分别为,中点,得, 所以平面. 又因为平面, 所以平面平面.-------------------6分 （2）选择条件①②: 因为,,, 所以,则. 所以. 由平面,得. 故,,两两垂直. 如图建立空间直角坐标系,则,,,, ,,,.-------------8分 设平面的法向量为,------------------11分 则即 令,则.于是. 易知平面的一个法向量.----------------13分 设平面与平面夹角为, 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为.------------15分 选择条件①③; 由平面,得. 因为,,, 所以平面. 所以.故,,两两垂直. 如图建立空间直角坐标系,以下同选条件①②,略. 选择条件②③; 由平面,得. 因为,,, 所以平面. 所以.故,,两两垂直. 又因为,, 所以,. 如图建立空间直角坐标系,以下同选条件①②,略. 18．答案：(1) (2)，. 解析：(1)令椭圆的半焦距为c， 由椭圆C的离心率为，得， ，由的面积为，得， 因此，，---------3分 所以椭圆C的方程为.----------4分 (2)(i)设，， 由直线垂直于x轴，得， 由原点O是的重心， 得，-----------6分 即，， 又，解得， 所以M到直线的距离为.------------9分 (ii)由(i)知， 当直线斜率不存在时，M到直线的距离为； 当直线斜率存在时，设直线方程为，，------11分 由 得， 且，即， ，----------------------13分 由原点O是的重心， 得， 解得，，点， 于是， 整理得，------------------------------------------15分 因此点M到直线的距离为 ， 所以当与x轴垂直时点M到直线的距离最大为.---------------17分 19．答案：(1)1 (2) (3)证明见解析 解析：(1) 则， 故在处的瞬时变化率为---------------4分 (2)设 由条件可知恒成立， 由于，且的图像在定义域内是连续不间断的， 所以是的一个极大值点，则， 又 所以解得---------------------------6分 下证当时，对任意的恒成立， 令 则，--------------------8分 由， 故函数在单调递增，在单调递减， 所以， 即，而， 所以当时， ， 综上，若恒成立，则，----------------10分 (3)由(2)可知， 所以 ， 先证, 令， 则，故在单调递增， 故，故，， 所以，-----------------14分 再证， 设， 则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故当，故 当且仅当时取等号， 故令，则 故， 因此， 故 ， 综上可知：，----------------------------------------17分 学科网（北京）股份有限公司 $