单元巩固练1 三角形的证明及其应用-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册名师划重点+单元巩固练(北师大版·新教材 郑州专版)

北师版·八年级·数学·下册 河粥范爬 过教材 单元巩固练1三角形的证明及其应用 满分：60分得分：」 紧扣课程标准根据最新教材编写 编者按：紧抓期末高频考，点，配合“名师划重点”使用，稳固根基！ 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.如图是某钢架屋顶的外框示意图，其中AB=AC,BC是横梁，AD是竖梁.在焊接竖梁AD时， 只需要找到BC的中点D,就可以保证竖梁AD与横梁BC垂直，这样操作的数学依据是 A.三角形具有稳定性 B.等腰三角形“三线合一” C.垂线段最短 D.等边对等角 A 子4567890 B B 第1题图 第2题图 第3题图 第5题图 2.[福建中考]某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆 放，其中点A,E,C,F在同一条直线上，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠DEF=60°.当 AD∥BC时，∠ADE的度数为 ( A.35° B.25° C.15° D.5° 3.小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P,边OA与 另外一把直尺边缘的交点为C,点C,P在这把直尺上的刻度读数分别是2,5，则OC的长是 () A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm 4.下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是 A.“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题 B.“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题 C.“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行” D.“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理 5.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=2,∠A=60°，BC=√3，CD=1,则∠DCB的度数为() A.90° B.60° C.45° D.30° 6.可新考法过程性学习在数学课堂上，老师带领同学们用尺规“过直线1外一点C作直 线1的垂线”，图①是老师画出的第一步，图②，图③分别是甲，乙两位同学补充的作图痕迹， 则补充的作图痕迹正确的是 （) C D 图① 图② 图③ A.甲 B.乙 C.甲和乙 D.都不正确 7 河洛芸熙·期末考试必刷卷 和粥艺侧 7.[教材P39第8题改编]如图，某市三个城镇中心A,B,C恰好分别位于一个等边三角形的三 个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇A为出发点设计了两种连接方案.方 案一铺设光缆长为BC+AD(D为BC的中点)；方案二铺设光缆长为OA+OB+OC(O为 △ABC三边的垂直平分线的交点).关于两个方案说法正确的是 ( A.方案一铺设光缆长较短 B.方案二铺设光缆长较短 C.两种方案铺设光缆长一样 D.无法比较两个方案铺设光缆的长短 一D B B 第7题图 第8题图 8.可数学思想转化思想如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,D是BC边的中点， 点P是AC边上一个动点，连接PD,以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ,连接CQ, 则CQ的最小值是 () A.2 B.√3 C.2 D.1 二、填空题（每小题3分，共12分） 9.用反证法证明“在△ABC中，∠A,∠B的对边是a,b.若∠A>∠B,则a>b”的第一步应假 设 10.如图，地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则∠BAD的度数为 0 A D B 地面 图 图2 B G 第10题图 第11题图 第12题图 11.可跨学科物理桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，是一种利用 杠杆原理的取水机械，桔槔示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM= 3m,AB是杠杆，AB=6m,0A=2OB,当点A位于最高点时，AOM=120°，此时，点A到地 面的距离为 m. 12.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE处， 延长EF交BC于点G,连接AG,则BG的长为 8 北师版·八年级·数学·下册 而粥范四 三、解答题（共24分） 13.可新考法开放性试题(10分)下面是证明等腰三角形性质定理“三线合一”的三种方 法，请选择其中一种补充完整已知或求证，并完成证明. 等腰三角形性质定理：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简记为： “三线合一”). 方法一 方法二 方法三 已知：如图，在△ABC中， 已知：如图，在△ABC中，AB= 已知：如图，在△ABC中，AB= AD平分∠BAC. AC, AC,AD⊥BC. 求证：BD=CD,AD⊥BC. 求证：∠BAD=∠CAD,AD⊥BC. 求证： ,∠BAD=∠CAD B B B 14.[郑州市](14分)如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别 为E,F,连接EF (1)求证：△DEF为等腰三角形； (2)填空： ①当∠B的度数为 时，△DEF为等边三角形； ②当∠B的度数为 时，△DEF为直角三角形. 9河洛芸熙·期未考试必刷卷 答案 精讲解百忧， 单元巩固练1三角形的证明及其应用 一、选择 题号12345678 答案BCBAACBD 7.B解析)设等边三角形ABC的边长为2a,即AB=BC=2a. 方案一：△ABC是等边三角形，D为BC的中点，.BD= CD=a,∠ADB=90°.∴.AD=√AB2-BD2=4a2-aZ= /3a..∴.BC+AD=2a+3a. 方案二：·O为等边三角形ABC三边的垂直平分线的交 点…0A=0B=0C,L0BD=7LABC=30..0D=20B, 在Rt△BD0中，BD=√OB-OD=5OB=↓ 2 20A+0B+0c=3x25。=25a=月a+ ·0B=23 3a.2a+a>a+a,BC +AD>0A +0B +OC. .方案二铺设光缆长较短.故选B. 8.D解析如图，在CD的下方作等边三角 形CDT,作射线TQ,则DC=DT=CT ∠CDT=∠CTD=60°.：△PDQ为等边三 角形，.DP=DQ,∠QDP=0..∠CDT= ∠ODP..∴.∠CDP=∠TDO. 在△CDP和△TDO中，DP=DO,∠CDP= ∠TDQ,DC=DT..∴.△CDP≌△TDQ (SAS)..∠DTQ=∠DCP=90.∴.∠CTQ=∠DTQ- ∠CTD=30°..点Q在射线TQ上运动.∴.当CQ1TQ时， CQ取得最小值.：BC=4,D是BC的中点…CT=CD=2 BC=2.在△C0r中，∠C70=3000=2T=1,即 CQ的最小值是1.故选D. 二、填空题 9.a≤b10.60°11.5 12.2解析》.四边形ABCD是正方形，.AD=AB,∠D= ∠B=90°.由折叠的性质，得AD=AF,DE=EF,∠D= ∠AFE=90°，∴.AB=AF,∠B=∠AFG=90°.在Rt△ABG 和Rt△AFG中，：AG=AG,AB=AF,.Rt△ABG Rt△AFG(HL)...BG=FG.设BG=FG=x,则GC=6-x. .E为CD的中，点，.CE=DE=EF=3.∴.EG=EF+GF= 3+x.在Rt△CEG中，CE2+GC2=EG,即32+(6-x)2= (3+x)2.解得x=2,即BG=2. 三、解答题 13.解：选择方法一：AB=AC (3分) 证明：·AD平分∠BAC,..∠BAD=∠CAD 又AB=AC,AD=AD,.△BAD≌△CAD(SAS).(7分) ∴.BD=CD,∠ADB=∠ADC..·∠ADB+∠ADC=180°， ∴.∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC (10分) (或选择方法二：D为BC的中点 (3分)》 证明：.D为BC的中点，.BD=CD 又.·AB=AC,AD=AD,·.△BAD△CAD(SSS). (7分) .∴.∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC .·∠ADB+∠ADC=180°，.∠ADB=∠ADC=90° 即AD⊥BC. (10分) 或选择方法三：BD=CD (3分) 证明：.·AD⊥BC,..∠ADB=∠ADC=90° .AB=AC,AD=AD,∴.Rt△BAD≌Rt△CAD(HL).(7分) .∴.BD=CD,∠BAD=∠CAD. (10分))》 14.解：(1)证明：如图，连接AD. (2分) ·AB=AC,D为BC的中点， .AD平分∠BAC. (5分) .DE⊥AB,DF⊥AC,.DE=DF ..△DEF为等腰三角形. (8分) (2)①30° (11分) ②45o (14分) 河派苍四 解析 助你学无忧！ 单元巩固练2不等式与不等式组 一、选择题 题号12345678 答案CBBAACAD 8.D解析》当2m+1=-1,即m=-1时，此时m+2=-1+ 2=1这时不等式组为[>山：其解集为>1，不符合题 意.当m+2=-1,即m=-3时.此时2m+1=2×(-3)+ 1=-5这时不等式组为任>二：其解集为x>-1,符合 题意.所以m=-3.故选D. 二、填空题 9.1-x<0(答案不唯一)10.G>5011.2<x≤4 12.5或7解析》解二元一次方程组5x+3y=23, x+y=p, x=23-3p 23-32>0, y=5卫23”x,y为正数， 得 2 2 5p-23>0. 解得43 2 2 p<7子p是整数p=5或6或7。 把p=5,P=6,p=7分别代人原方程组的解中可知，只有 当p=5或7时，方程组的解是正整数，∴.p=5或7. 三、解答题 13.解：任务一：①乘法分配律 (1分) ②戊不等式两边都除以一7时，不等号的方向没有改变 (4分) 任务二：x<0 (6分) 任务三：解不等式去分母时，注意不要漏乘没有分母的项 (或去括号时，括号前面是“一”号，去掉括号和它前面的 一”号后，原括号里各项的符号都要改变.答案不唯一） 8分) 14.解：(1)450×0.8=360（元），450-80=370（元）， ·.选择活动一更合算 2分) (2)设一件这种健身器材的原价为x元 若x<300,则活动一按原价打八折，活动二按原价，此时 付款金额不可能相等，.300≤x<500..0.8x=x-80.解 得x=400. ·.一件这种健身器材的原价是400元 (5分) (3)当300≤a<600时，a-80<0.8a.解得a<400. ..300≤a<400: (6分) 当600≤a<900时，a-160<0.8a.解得a<800. ∴.600≤a<800. 综上所述，300≤a<400或600≤a<800. (8分) 15.解：(1)设A种型号的电风扇的销售单价为x元，B种型 号的电风扇的销售单价为y元， 则3x+4=1300,解得{x=200, 5x+6y=1900. y=150. 答：A种型号的电风扇的销售单价为200元，B种型号的 电风扇的销售单价为150元. (2分) (2)设A种型号的电风扇采购a台，则B种型号的电风扇 采购(50-a)台. 根据题意，得160+120(50-)≤750.解得a≤372 a是整数，a的最大值为37. 答：A种型号的电风扇最多能采购37台。 (4分) (3)能. (5分) 依题意，得(200-160)a+(150-120)(50-a)>1850. 解得a>35,则35<a≤37 .a是整数，.a=36或37. ∴.能实现利润超过1850元的目标，有以下两种采购方案： ①采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台； ②采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台. (8分)