广东深圳外国语学校（集团）龙华高中部2025-2026学年下学期高一年级期中考试数学试卷

**基本信息** 深圳外国语学校龙华高中部高一年级期中数学卷，以复数、向量、立体几何、解三角形为核心，通过分层设计（如单选基础、解答题19题“k变换三角形”创新应用），考查数学眼光（空间观念）、思维（推理运算）、语言（模型表达），适配高一学段能力发展需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数几何意义、向量夹角、圆锥侧面积|基础巩固，如第3题结合空间观念考查圆锥侧面积| |多选|3/18|复数性质、锐角三角形边角关系|能力辨析，如第10题综合推理三角形边角不等关系| |填空|3/15|解三角形、投影向量、旋转体体积表面积|空间想象，第14题旋转体问题融合体积与表面积计算| |解答|5/77|向量运算、复数方程、解三角形、四棱锥证明、k变换三角形|创新应用，第19题“k变换三角形”探究动点最值与重心性质，体现模型意识与推理能力|

深圳外国语学校（集团）龙华高中部2025—2026学年 下学期高一年级期中考试 数学试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共10页，满分为150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1、 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。 2、 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。 1．在复平面内，对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知单位向量满足，则与的夹角为 A． B． C． D． 3．已知圆锥的高为4，底面半径为3，则其侧面积为 A． B． C． D． 4．已知向量，若，则 A． B．0 C．1 D．2 5．的内角A、B、C所对的边分别为，已知，，，则 A．4 B． C． D． 6．在正四面体中，取中点，连接，则直线与直线夹角的余弦值为 A． B． C． D． 7．在中，角的对边分别为，已知，且的面积为，则的最小值为 A．2 B．4 C． D． 8．正方体的棱长为是棱的中点，是侧面内（包含棱上）一点，且平面，则长度的取值范围是 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．若复数（为虚数单位），则下列结论正确的有 A． B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第二象限 10．已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是 A．若，则 B． C．若，则 D． 11．如图，在四边形中，，则 A．当时， B．当时， C．的取值范围是 D．的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在中，已知，，，则________． 13． 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为________． 14．在中，，，过点A作直线，将绕直线l旋转一周所得到的几何体记为Ω，若Ω的体积是，则Ω的表面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知，，且与夹角为． （1）求； （2）求与的夹角的余弦值． 16．（15分） 已知复数（为虚数单位）． （1）若，求复数的共轭复数及； （2）若是关于的方程的一个根，求实数的值． 17．（15分） 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若的平分线交于点，求的长． 18．（17分） 如图，在四棱锥中，，M，N分别是，的中点，，． （1）求证平面； （2）若平面，求的值； 19．（17分） 如图，延长的边至点，边至点，边至点，使得线段的长分别为的倍，我们将称为的“变换三角形”． (1)当时，若，求的长； (2)若是边长为2的等边三角形，点为其“2变换三角形”中线段上的动点，求的最大值； (3)设点为的重心（三角形的三条中线的交点），证明：． 第4页，共4页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $深圳外国语学校（集团）龙华高中部2025一2026学年 下学期高一年级期中考试 数学试卷 参考答案 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 答案 A 0 夕 0 AC ACD AD 1.A【详解】因为(1+3i)(3-i)=3+8i-3i2=6+i,则所求复数对应的点为(6,8)，位于第一象限 故选：A 2.c【详解】设ā与方的夹角为a,0≤0≤元，因为a=l=1,a-=V反，所以 2=(a--a-2ab+b-2-2x1x1xcos0,所以cos6=0,所以0=故选：C 3.D【详解】圆锥高h=4,底面半径r=3,母线长1=V2+h2=√32+42=5，圆锥侧面积为 S侧=πl=元×3×5=15π，故选：D. 4.A【详解】因为(a+b)1(a+b),则(a+)-(a+)=0,则(1-1+)(0,2)=0， 所以2+21=0，解得1=-1， 5.B【详解】因为bcsin A=8sinB,由正弦定理得bca=8b,∴.ca=8又a=4,c=-2 由余弦定理b'=a2+c2-2 c cosB=16+4-2x4x2x】12,则b=25故选：B. 6.C【详解】取N为BD中点，连接MN,AW 因为M是Bc中点，所以WCD,W=CD, 在正四面体A-BCD中，△ABD,△ABC是等边三角形， M=AN-CD B 则直线AM与直线CD夹角为∠AMN, 在△AMN中， cos∠AN=AM'+MW2-Aw (5cD+cm-(5 D)2 2 2AM.MN 2x3CD.CD 1 6 2 2 数学答案 第1页，共8页 因此直线AM与直线CD夹角的余弦值5，故选：C. 6 7.B【详解】因为(sinA-sinB)(a+b)=c(sinB+sinC), 所以(a-b)(a+b)=c(b+c),即a2=b2+c2+bc, 、所以c0sAb+Cc-a=),又A∈(0，m,所以A=2π 2bc 3 由△ABC的面积为华，得csm .2πV3 可得bc=1, 2 34 所以b2+4c2≥2VB2.4c2=4bc=4, 当且仅当b=2c,即b=2c=5时取等号.故选：B 2 8.C【详解】取BC,B,C1的中点为G,H, B 连接MG,GH,HM,由中位线易知MG/IAC,HG/CC1, 又AC,CC在平面AACC内，MG,HG不在平面AA,CC内， D.- 所以MG/平面AACC,HG/1平面AACC, M 又MG,HG是平面MGH内两条相交直线，所以平面MGH/平面AACC, 又MNII平面AACC,所以N在平面MGH内，又N是侧面BB,CC内一点， 2 所以N的轨迹是线段HG,易知MG=}4C=Y5 ，H 2 +16 2 MG≤MN≤MH,所以N长度的取值范围是 26 故选：C 22 9.AC【详解】因为z=2-2i,所以=V22+(-2)}=22,故A正确： z的虚部为-2，故B错误：z=2+2i,所以z+z=2-2i+2+2i=4,故C正确： z在复平面内对应的点为(2，-2)，位于第四象限，故D错误故选：AC 10.ACD【详解】若A>B,根据大边对大角，所以a>b,故A正确： 因为C为锐角，故c0sC>0,即4+6C>0,即4+>c,因此B选项错误： 2ab 数学答案 第2页，共8页 因为函数y=sinx在区间0,2 上单调递增，故若sinA<simC,则有A<C,又因为函数y=cosx在区间 上单调递减，故cosA>cosC,故选项C正确： 因为4B>子所以A子B,即n4>c0s8,同理可得m8>cosC,mC>cos4,三个式子相加 得sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC,故D正确. 故选：ACD 11.AD【详解】 AB=3,AC=CD,BC=AAB (>0).AB.BC=AC.CD=0 由题意如图建系，可得B(0,0),A(0,5),C(520), 过点D作DE⊥x轴，垂足为E, 因为AC⊥CD,则∠ACB+∠DCE=90°， 又∠ACB+∠BAC=90°，所以∠B=∠E=90°∠BAC=∠DCE, 又∠ABC=∠E=90°，AC=CD, 所以直角△ABC三直角△CED, 即CE=V3,DB=3,则D(3+V525 选项A,当2=1时，D(23,V3),则BD=√(2√3-02+(W3-02=V12+3=15，A正确： 选项B,当2=5时，D1+5,1, 3 则DA=1+√3)2+1-3)2=8，DB2=1+V3)2+12=5+2√3≠8， 故DA≠DB,B错误； 选项C,BC=(5元，0），BD=(W5(2+1),5, 则：BC·BD=32(1+1)=312+31, 数学答案 第3页，共8页 因为1>0，由二次函数单调性可得322+31e(0,+∞)，C错误； 选项D,DA=（V3(2+1),51-2),DB=（V5(2+1),-V52 则：DADB=3(1+1)2-3元1-2)=622+32+3， 10时，二次函数对称轴为=】 4 由单调性可知622+31+3>3， 即DA.DB的取值范围是(3，+∞)，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.6 11 13. 22 14.(5+V5π 12.V6【详解】由三角形内角和得A+B+C=元，则C= 3 又由正弦定理： 则c=asinC-V6 sinA sin C sinA a.bb1×2+2×(-2) 13. 可同V2+-2yV2+-2 -16 40, 则向量ā在向量6方向上的投影向量的坐标为 14.(5+5)π【详解】A4BC为直角三角形，ACB-号4C=1,直线1/BC且过点4， 设BC=h,所以斜边AB=√AC2+BC2=V1+h=V1+2, 将△ABC绕直线旋转一周，生成的几何体2是一个大圆柱挖去一个小圆锥的组合体， 所以圆柱上底面半径R=AC=1,高h, 被挖去的圆锥的底面半径r=1,高与圆柱相同，即h, 则圆柱体积：V圆t=Rh=π.1.h=, 国锥作积：乃。h-1A边， 1 3 数学答案 第4页，共8页 所以组合体体积：V=性-V推=h-}h=2h, 3 3 则号动=专，即h=0-2,所以8=年7-5， 3 几何体2的表面积由三部分构成： B 圆柱的侧面积：S柱侧=2元Rh=2元1·2=4机， 圆柱的上底面面积：S上底=R=兀·12=兀， 圆锥的侧面积：圆锥母线长为AB=√5，S唯侧=l=元1V5V5元， 所以总表面积：S地=S柱侧+S上度+S维4+tV5元(5+V⑤)元. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.2Ea7i3 26 【详解】(1)“日=4，=2，且a与5夹角为60°， a-万-c0s(a.6}=4x2xc0s60°=4,3分 2a-=2a-8=4-4.万+B=4×42-4x4+2=2丽；6分 (2)a-(2a-b)=2a-a-i=2×42-4=28, 9分 2a-d=213. 10分 .cos(a.2-)- (2a-b) 287√13 2a-4x2i店26 .13分 16.()=2-i,=5 (2)-7 【详解】（1)复数z=1-2i(i为虚数单位)，=·。=2：+， .z0(z-1)=2z,. 2分 数学答案 第5页，共8页 ∴.20= 2z_2(1-21) =2+i5分 z-1-21 ∴.复数的共轭复数。=2-i: .7分 5=V2+1F=V5.… 8分 (2):二=1-2i是关于x的方程x2+x+n=0(m,n∈R)的一个根， .(1-2i)2+(1-2i)l+n=0,9分 整理得：(-3十l十1)十(-4-21)i=0,10分 [-3+m+n=0 =-2 则 解得： 13分 -4-2m=0 n=5 所以m-n=-7. .15分 17. 四4=子 ②36 4 【详解】(1)因为2 bcosA=ccosA+acosC 由正弦定理有：2X2 Rsin Bc0sA=2 Rsin Cc0SA+2 Rsin Ac0sC.1分 所以2 sin Bc0sA=sinCe0SA+sin Ac0sC=sin(A+C)2分 又因为A+B+C=π 所以sin(A+C)=Sin(π-B)=SinB. .3分 所以2 sin Bcos4A=sinB 又因为0<B<π，即siB≠0.. 4分 1 所以2c0sA=1→c0sA= 2 5分 因为0<A<元，… 6分 所以A=T 37分 (2)因为AD为∠BAC的角平分线，A=子，即∠BAD=∠CAD= 6 8分 1 所以S。ABD=7AB-ADsin.∠BAD=AD,9分 2 4 数学答案 第6页，共8页 S.ACD= 1 AC.ADsin∠CAD=AD, 1 10分 2 4 ③4Be=号4C-ABsin∠CAB=3V3 .11分 4 又SA4Bo=S4BD+SA4cD: .12分 所以3V5_24D+1AD 44 .13分 4 解得：AD=3 4 15分 18.(④)证明见解析(2)1=} 3 【详解】(1)证明一：取AB的中点为，连接M0,N视，1分 ,ADIIBC,NQ分别为CD、AB的中点；∴.OIAD, .2分 .NQ丈平面PAD,.NQ/1平面PAD, 4分 又：M为PB的中点，.Mg1PA,… .5分 ,MQt平面PAD,.MQ/1平面PAD,… .6分 .MQ∩Ng=Q,M0,NQC平面N0,.7分 .平面N0/平面PAD,8分 又MNc平面NQ,∴.MN/I平面PAD. 9分 证明二：取PA的中点为R,过C作CG/IAB交AD于G,取DG中点H,连接MR,NH,R, 2分 则R/M,R-AB,MH/CG/AB,-号AB, ∴.四边形MNHR是平行四边形， … 5分 .Nl/RH,… .6分 ,NZ平面PAD,RHc平面PAD, .8分 ∴.MNI/平面PAD 9分 (2)连接BD交AC于点O,连接OE. 10分 ,PB/I平面ACE,平面PBD∩平面ACE=OE, .12分 .OB//PB,.PE=OB .15分 ED OD 又OB-BC1 OD AD 3’ .16分 丽-}D,2= 3 3 .17分 数学答案 第7页，共8页 19.(1)PR=√19(2)10(3)证明见解析 【详解】(1)因△ABC为边长为1的等边三角形， 又AR=2,AP=3,∠PAR=π-∠C4B=2 1分 在△PAR中，由余弦定理，PR2=AR2+AP2-2AR×AP×coS∠PAR=4+9-2×2×3×(-)=19, 故PR=√19 4分 (2)如图，设AM=tAB,(0≤t≤2)，则M=AM-AR=tAB+AC, .5分 OP=BP-BO=AB-2BC=AB-2(AC-AB)=3 AB-2AC.......... 6分 1 MC=AC-AM=-tAB+AC,因|4BHAC上2，AB.AC=2×2×=2, 2 .7分 RM-OP).MC=[(iAB+AC)-(34B-2AC)].(-tAB+AC)=[(t-3)AB+3AC](-1AB+AC) =(-t2+3)AB-(2t+3)AB.AC+3AC, =4(-t2+3t)-2(2t+3)+3×4=-4t2+8t+6=-4t-1)2+10..9分 因0≤t≤2，则当t=1时，(RM-P)MC取得最大值为10；10分 (3)如图，设△POR为△ABC的“1变换三角形”， 则m=0风-c=a-号×C+0商=--}. 丽-亚-西证亚+西=以证+ā， 12分 0-0-=1-0c}×@+=(丽}a, .13分 于是丽+面+而=(a-}0丽+(1-}丽+号a+号丽0 .15分 =-号号3c+写-1专08+a-346=a-3C-A+B0=017分 数学答案 第8页，共8页