广东广州市铁一中学等校高一下学期5月学情检测数学试题

高一年级5月学情检测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数f =2 cos －3的最小正周期为 A． 4π B． 2π C． π D． 【答案】A 【解析】f 的最小正周期为 =4π．故选A． 2. 平行四边形ABCD中， ＋ ＋ ＋ = A． 2 B． C． D． 0 【答案】D 【解析】在平行四边形ABCD中，从A出发，经过B，C，D，最后 回到A，形成一个封闭回路，向量和为零向量．故选D． 3. 已知某圆锥的轴截面是斜边为2的直角三角形，则该圆锥的体积为 A． B． C． D． π 【答案】C 【解析】由题知该圆锥的轴截面是斜边为2的等腰直角三角形，所以 圆锥的高为1，底面半径为1，所以体积为 ×π×12×1= ．故选C. 4. 已知z= － （a∈R）为实数，则a的值为 A． 2 B． 1 C． －1 D． －2 【答案】A 【解析】因为z= － = － = ＋ i，所以2－a=0，a=2.故选A． 5. 函数f =－2 sin 2x＋ 的值域为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】f =－2 sin 2x＋ =－22＋ ，当 = 时f 取到最大值 ，当 =1时f 取到最小值－1，所以f 的 值域为 ．故选C． 6. 平面内，一质点在力F1，F2，F3作用下处于平衡状态，若 F1= ，F1＋F2= ，则F2在F3方向上的投影向量的坐 标为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】F2=F1＋F2－F1= － = ，F3=－ = ，所以F2在F3方向上的投影向量为 •= = ．故选A． 7. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 s= ，且满足 =s ，则角C的大小为 A． 30° B． 60° C． 120° D． 150° 【答案】C 【解析】由 =s 展开得s2－ s（a＋b）＋ ab=s2－ sc，整理得 ab= s（a＋b－c）．将s= 代入右 边得 ab= = = ．整理得a2＋b2－c2=－ab，则 cos C= =－ ，故C=120°．故选C． 8. 已知4个半径为1的小球Oi 两两相切，且这4个球 都与球O相切，若所有棱长都为a的四面体的顶点都在球O的表面 上，则a的值为 A． 2 B． 2＋ C． D． 2＋ 【解析】由题意可得四面体O1O2O3O4是棱长为2的正四面体，中心为O，该四面体的高h= = ，设点O到点O1的距离为l，则l2=2＋ ，解得l= ，所以球O的半径r=1＋ ，所有棱长都为a的四面体是正四面体，球O为该四面体的外接球，所以= ，解得a=2＋ ．故选B． 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选 项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分 分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是 A． 正棱柱是平行六面体 B． 用斜二测画法画的水平放置的边长为2的正三角形的直观图面积 是 C． 当z为复数时，z2=2 D． 在△ABC中，若a＞b，则 sin A＞ sin B 【解析】正四棱柱才是平行六面体，故A错误；原正三角形的面积为 ×2×2× sin 60°= ，所以直观图的面积为 × = ，故B正确； 取z=i，则z2=－1，2=1，故C错误；记△ABC的外接圆半径为R，由 a＞b，得2R sin A＞2R sin B，故 sin A＞ sin B，故D正确．故选 BD． 【答案】BD（每选对1个得3分） 10. 已知函数f =A sin 的图象如图所示，则 A． A=2 B． φ=－ C． 当x∈ 时，f 的最小值为－1 D． 当f 在区间 上有最大值且没有最小值 时，t的取值范围是 【解析】由f =A sin =0，且x= 在递减区间内，得 ＋φ=π＋2kπ，k∈Z，解得φ= ＋2kπ，k∈Z，又 ＜π，所以φ= ， 故B错误；由f =A sin =1，得A=2，故A正确；当x∈ 时， 2x＋ ∈ ，f ≥2 sin =－1，故C正确；f 在区间 上有最大值且没有最小值，则 ＜2t＋ ≤ ，即 ＜t≤ ，故D正 确．故选ACD． 【答案】ACD（每选对1个得2分） 11. 已知O ，A ，B ，C ，则 A． 不存在λ，m，n，使得 = ＋λ B． 当mn=1时，△ABC面积的最小值为 C． 存在m，n，使得当2＋2＋2最小时P与A重合 D． 当 = 且AB⊥AC时， • 的最大值为－2 【解析】对于A，若 = ＋λ ，则 = ＋ λ ，得 由两个等式分别得λ=1，λ= ，矛盾，故A正确；对于B， = ， = ，△ABC的面积S= sin∠BAC== = ≥ = ，当且仅当m= ，n= 时取等号，故B正确；对于C，当2＋2＋2最小时P与A重合，得 无解，故C错误； 【答案】ABD（每选对1个得2分） 对于D，由AB⊥AC，得 • =mn－2=0，所以mn=2，设P ， 由 = 得 = ，所以x= ，y= ，所以 • = • =－ ≤ － =－2，当且仅当m=n= 时取等，故D正确．故选ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数 i3在复平面内对应的点的坐标为 ，则a＋ b= 　　　　． 【答案】－3 【解析】 i3= =－2－i，所以a=－2，b=－1，a＋b=－3. 13. 已知圆台的上、下底面的半径分别为1，2，高为2 ，则该圆台 的表面积为 　　　　． 【答案】14π 【解析】由题意可得圆台的母线长为 =3，表面积 为π =14π． 14. 设△ABC中AB=4，AC=3，A= ，且点P为△ABC的费马点（即 满足PA＋PB＋PC最小的点），当△ABC的内角均小于 时，费马 点P满足∠APB=∠BPC=∠CPA= ，则PA＋PB＋PC= 　　　　． 【解析】由余弦定理得BC= = ，由A= ，易知△ABC的内角均小于 ．设PA=x，PB=y，PC=z，由S△ABC=S△APB＋S△BPC＋S△CPA，得 ×4×3× sin = xy sin ＋ yz sin ＋ xz sin ，即xy＋yz＋zx=12.在△CPA中，由余弦定理得32=x2＋ z2－2xz cos ，整理得x2＋z2＋xz=9，同理可得x2＋y2＋xy=16， y2＋z2＋yz=13，三式相加得x2＋y2＋z2＋ =19，所以 x2＋y2＋z2=13，所以2=x2＋y2＋z2＋2 =37，x＋ y＋z= ． 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤． 15. （13分）已知复数z= cos 2θ＋2i sin θ． （1）若θ=660°，求 ； 解：（1）因为 sin θ= sin 660°= sin =－ sin 60°=－ ，（2分） cos 2θ=1－2 sin 2θ=1－2×2=－ ，（4分） ​ 所以z=－ － i， =－ ＋ i．（6分） （2）若90°＜θ＜180°，且 = ，求tan θ． 解：（2） = = = = ，（8分） 所以 sin 2θ= ，因为90°＜θ＜180°，所以 sin θ= ，（9分） cos θ=－ =－ =－ ，（11分） 所以tan θ= = =－ ．（13分） 16. （15分）已知向量a= ，b= ． （1）若a－2b与ka＋b共线，求实数k的值； 解：（1）因为a= ，b= ， 所以a－2b= －2 = ，（2分） ka＋b=k ＋ = ．（4分） 因为a－2b与ka＋b共线， 所以－3 －4 =－2k－1=0，（6分） 所以k=－ ．（7分） （2）若t∈R，求 的最小值． 解：（2）因为a= ，b= ， 所以a2=2＋22=5，b2=12＋2=2，（9分） a•b=－1×1＋2× =－3，（10分） 所以 = = = ≥ ，（13分） 当且仅当t= 时取等号，（14分） 所以 的最小值为 ．（15分） 17. （15分）已知△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为AB的中点，CD= ，B= ． （1）若 cos ∠CDB= ，求a； 解：（1）在△BCD中，CD= ，B= ， sin ∠CDB= = = ，（2分） 由正弦定理得 = ，即 = ，（5分） 所以a= ．（7分） （2）若c=4，求b． 解：（2）在△BCD中由余弦定理得 CD2=2＋a2－2× c•a• cosB=4＋a2－2a=3，（9分） 解得a=1，（11分） 在△ABC中，由余弦定理得 b2=a2＋c2－2ac cos B=1＋16－4=13，（13分） 所以b= ．（15分） （1）证明：因为点P为AB的中点， 所以 = ，（1分） 因为 =2 ，所以 = = ，（3分） 所以 = － = － =－ ＋ ．（5分） 18. （17分）如图，在△ABC中，点P，Q分别在边AB，BC上，点 P为AB的中点且CP，AQ交于点D． （1）若 =2 ，证明： =－ ＋ ； （2）若 = ， =a ，求a的值； （2）解：设 =c ， 由 = ＋ = ＋ ，（6分） 得 ＋ = ＋ ，（7分） 即 ＋= ＋ ，（8分） 即 ＋（1－a） =（1－c） ＋ ，（9分） 因为 ， 不共线，所以 解得a= ．（11分） （3）若△ABC是边长为2的正三角形，点Q是与B，C不重合的动 点，求 • 的取值范围． （3）解：因为△ABC是边长为2的正三角形， 点P为AB的中点， 所以BC=2，CP= ，∠BCP= ，（12分） 设 =t ， 则 • = • = • ＋2 =2× t• cos ＋2=3t2－3t=32－ ，（14分） 因为0＜t＜1，所以－ ≤32－ ＜0，（16分） 所以 • 的取值范围是 ．（17分） 19. （17分）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=AC=AA1=a， ∠BAC=∠A1AB=∠A1AC． 点E，F分别为棱A1C1，CC1的中点． （1）记三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V1，三棱锥A－BEF的体积 为V2，求 ； 解：（1）因为AB=AC=AA1，点E，F分别为棱A1C1，CC1中点， 所以S△AEF=3S△C1EF= S△A1CC1= S△ACC1，（2分） 所以V2=V三棱锥B－AEF= V三棱锥B－ACC1= V三棱锥C1－ABC = × V1= V1，（4分） 所以 = ．（5分） （2）若a=2，且三棱柱ABC－A1B1C1是直棱柱． （i）求点E到平面ABF的距离； （ii）求一只蚂蚁沿三棱柱ABC－A1B1C1表面从点B爬行到点E的最 短路程． 解：（2）（i）如图1，因为三棱柱ABC－A1B1C1是直棱柱， 所以∠BAC=∠A1AB=∠A1AC= ， 因为a=2，所以三棱柱ABC－A1B1C1的体积 V1= ×2×2×2=4，（6分） 由（1）知三棱锥E－ABF的体积为V2= V1=1，（7分） 在△ABF中AB=2，AF= = = ， BF= = =3，AB2＋AF2=BF2， 所以AB⊥AF，△ABF的面积S= •AB•AF= ，（8分） 设点E到平面ABF的距离为h，则 •h•S=V2， 即 h=1，（9分） 所以h= ．（10分） 图1 （ii）沿三棱柱ABC－A1B1C1表面从点B到点E有三种路径：（11分） ①经过平面ABC与平面ACC1A1，如图2沿棱AC翻转平面ABC，使得平面ABC与平面ACC1A1在同一平面内， 此时最短路程为 = ．（12分） 图1 ②经过平面ABB1A1与平面A1B1C1，如图3沿棱A1B1翻转平面A1B1C1，使得平面A1B1C1与平面ABB1A1在同一平面内， 此时最短路程为 = ．（13分） ③经过平面A1B1C1与平面BCC1B1，如图4沿棱B1C1翻转平面A1B1C1，使得平面A1B1C1与平面BCC1B1在同一平面内， 此时最短路程为 = = ．（15分） 图1 因为 ＞ = ＞ ，（16分） 所以蚂蚁沿三棱柱ABC－A1B1C1表面从点B爬行到 点E的最短路程为 ．（17分） 感谢观看 THANK YOU FOR YOUR WATCHING $回▣ 经 高一年级5月学情检测 数学答题卡 准考证号 姓 名 考场号 座位号 [o][o][o][O][o][o][O][O][o][O] [)[)[[)[)[)[)[1)[ [22121[22][2][☒ [21[21[2 (条形码粘贴处) [3[3)31[3131[3)[3131[31 [3 [4[4[4[4[4][4[4[4][4] 4 [句551 5][5151[5 [ [61[61[6][6[6] [61 [6 [6 必 1.答题前，考生先将白已的姓名、考场号、座位号，准考证号 消清转 [7[7☑[77[71[7[71[7 [☑ 2选择题使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂 其他客案标号：非选择题使用黑色碳素笔书写，字体丁整笔通 [8[818[8[8][8[8[8[8] [8 [9[9]f9][91[9][9][9[9[9][9 今 3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 填涂范例 正确填涂：■ 错误填涂：⊙[中 缺考标记口 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的， 1 IA][B][C]ID]3 [A][B]IC][D]5 [A][B][C]ID]7 IA][B][C][D] 2ABCD4AB剧ICD6AIB剧ICD 8 [A][B][CI [D] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9ABCD10ANB剧CD11ABCD可 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 GD·高一数学第1页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 GD·高一数学第2页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 19.(17分) A C B 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效绝密★启用前 高一年级5月学情检测 数学 试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.考查范围：必修第一册第五章占15%，必修第二册第六章至第八章第三节占85%。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.函数)=20s73的最小正周期为 A.4π B.2π C.T 2.平行四边形ABCD中，AB+BC+CD+DA A.2AB B.A元 C.BD D.0 3.已知某圆锥的轴截面是斜边为2的直角三角形，则该圆锥的体积为 4智 B号 c D.T 4已知&=亏2(a∈R)为实数，则a的值为 3 a-i A.2 B.1 C.-1 D.-2 5.函数fx)=-2sin2x+sinx的值域为 A.0.] B.(-1.2] c1, D.3,8 6.平面内，一质点在力F,F2,F3作用下处于平衡状态，若F1=(5,0),F1+F2=(4,-3),则F2在F3方 向上的投影向量的坐标为 c D.(4,-3) GD·高一数学第1页（共4页） 1在△C巾，角18，C的对边分别为a66,设=，且满足儿到=小则角C 的大小为 A.30° B.60° C.120° D.150° 8.已知4个半径为1的小球0：(i=1,2,3,4)两两相切，且这4个球都与球0相切，若所有棱长都为a 的四面体的顶，点都在球O的表面上，则a的值为 2√6 A.2 B.2+ 3 D.2x6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列命题正确的是 A.正棱柱是平行六面体 6 B.用斜二测画法画的水平放置的边长为2的正三角形的直观图面积是4 C.当z为复数时，2=z2 D.在△ABC中，若a>b,则sinA>sinB 10.已知函数f(x)=Asin(2x+p)(A>0,p<π)的图象如图所示，则 5π 12 A.A=2 B.p=-5m 6 C当e0,引时的最小值为-1 D.当fx)在区间[0，)上有最大值且没有最小值时，t的取值范围是 T2π1 3,3 11.已知0(0,0)，A(0,2),B(m,0),C(n,3)(m>0,n>0),则 A.不存在入，m,n,使得BC=BA+λOC B.当mn=1时，△ABC面积的最小值为√2 C.存在m,n,使得当P0+PB2+PC最小时P与A重合 D.当护=号(+AG且AB⊥AC时，P店.P心的最大值为-2 GD·高一数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知复数(1-2i)3在复平面内对应的点的坐标为(a,b),则a+b= 13.已知圆台的上、下底面的半径分别为1,2，高为2√2，则该圆台的表面积为 14,设△ABC中A=4,AC=3,A=写，且点P为△ABC的费马点（即满足PA+PB+PC最小的点），当 △4ABC的内角均小子时，费马点P满足∠APB=∠BPCE∠CPA二则PA+PB+PCE 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知复数z=cos20+2isin0. (1)若0=660°，求8； (2)若90<6<180，且1=2 ,求tana 16.(15分)已知向量a=(-1,2),b=(1,-1). (1)若a-2b与ka+b共线，求实数k的值； (2)若t∈R,求a+tb的最小值. 17.(15分)已知△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点D为AB的中点，CD=√3，B=T 3 (1)若cos∠CDB=5,求a (2)若c=4,求b. GD·高一数学第3页（共4页） 18.(17分)如图，在△ABC中，点P,Q分别在边AB,BC上，点P为AB的中点且CP,AQ交于点D. (1)若C币=2D元，证明40=-2C+}C成： (2)若B0=3BC,40=aA0,求a的值： (3)若△ABC是边长为2的正三角形，点Q是与B,C不重合的动点，求BD·CD的取值范围. 19.(17分)如图，在三棱柱ABC-AB,C1中，AB=AC=AA1=a,∠BAC=∠A1AB=∠A1AC.点E,F分别 为棱AC1,CC1的中点. ☑C1 B A (1)记三棱柱ABC-A,B,C,的体积为V,三棱锥A-BEF的体积为V,求： (2)若α=2，且三棱柱ABC-AB,C1是直棱柱. ()求点E到平面ABF的距离； (i)求一只蚂蚁沿三棱柱ABC-A,B,C,表面从点B爬行到点E的最短路程 GD·高一数学第4页（共4页）高一年级5月学情检测 数学参考答案 1.【答案】A 【解析1)的最小正周期为2π=4，故选A. 2 2.【答案】D 【解析】在平行四边形ABCD中，从A出发，经过B,C,D,最后回到A,形成一个封闭回路，向量和为零向量.故 选D. 3.【答案】C 【解析】由题知该圆锥的轴截面是斜边为2的等腰直角三角形，所以圆锥的高为1，底面半径为1，所以体积为？× mx1Px1=号故选C 4.【答案】A 3a-i3(a-i)(2+i)_2-2a2-a 【解析】因为z=525 5 55 ,所以2-a=0,a=2.故选A. 5.【答案】c 【解折=-2m+由=-2m小+令当血=时取到最大值g,当血=1时 几)取到最小值-1，所以)的值域为-1，】故选C 6.【答案】A 【解析】F,=F,+F,-F,=(4,-3)-(5,0)=(-1,-3),F,=-(F,+F,)=(-4,3),所以F2在F3方向上的投影向量为 票·南传引故选小 7.【答案】C 【解析】邮儿剂=展开得之(a6)山=子，整理得=(a6e以将： 2 代人右边得6=abw)(a-_a）-_2-心整理得d+6-心-6，期mC-4。 4 4 2ab ,故C=120故选C. 1 8.【答案】B 【解析】由题意可得四面体0,020304是棱长为2的正四面体，中心为0，该四面体的高h=, 2-226 3 3 设点0到点0的距有为则一5)号每得1= 宁，所以球0的半径1=1+5所有棱长都为口的四面 √6 体是正四面体，球0为该四面体的外接球，所以乙“，解得4=24 216 6 3故选B 2 GD·高一数学第1页（共5页） 9.【答案】BD(每选对1个得3分) 【解析】正四棱柱才是平行六面体，故A错误：原正三角形的面积为2×2×2×sn60°=√5，所以直观图的面积为 5×经-故B正确：取：i侧=-，P=1,故C精误；记△ABC的外接圆半径为R,由0>6，得2RnD 2 Rsin B,故sinA>sinB,故D正确.故选BD. 10.【答案】ACD(每选对1个得2分) 【解折]由间=A管=0.且：径在递减区间内.得gp=+2必，keZ.解得e=君+2，eZ,又ek ,所以e=石放B错误：由0=4n石=1，得A=2.放A正确：当xe,引时，2+君e[后7得≥ 6 -1.放C正确)在区间00上有最大值且设有最小值则名2名≤受即子≤号放D正确 2sin 6 6 故选ACD. 11.【答案】ABD(每选对1个得2分) 【解析】对于A,若配=威+0C,则A-m.3)=(-m,2+an,3),得n由两个等式分别得A=1,A=子 3=2+3λ， 盾，故A正确：对于B,店=(m,2),元=(a,,△M8C的面积S=1C血∠BC= 2丽.衣-(d.a:分*0-(m-2=*4n*4m≥ 全)8mm=2,当且仅当m=2, 0=m+0+n 时取等号，放B正确：对于C,当PP宠P心最小时P与A重合，得 3 无解，故C错误：对于 0+0+3 2= 3, D,由AB1AC,得店·花=mn-2=0,所以mn=2,设P(,),由正=(+i响得(，y2=m,-2,山 3 所以=子所以丽.元=(g,哥引·写 ）=2m2+2m2-5mn+20≤-mnt20-2,当且仅 9 9 当m=n=√2时取等，故D正确.故选ABD. 12.【答案】-3 【解析】(1-2i)i3=(1-2i)(-i)=-2-i,所以a=-2,b=-1,a+b=-3. 13.【答案】14m 【解析】由题意可得圆台的母线长为√/(2-1)2+(2)2=3，表面积为π(12+2+1×3+2×3)=14m. 14.【答案】37 【解析】由余弦定理得BC-√+MC-2B·ACm号=下，由4=号易知△ABc的内角均小于号设 PA,Pe.PG空由3aat8amS得x43xnT1人2五1人2T1 3 2 )zsin 2年，即刈+ 3 yz+zx=12.在△CPA中，由余弦定理得32=x2+z2-2 xzcos 02π，整理得2+：3+=9，同理可得2+y+y=16,)+:+ 1 z=13,三式相加得+y+:+2(y+z+2)=19,所以2+y+:=13,所以(+y+)2=2+y2+2+2(y+z+)= 37,x+y+z=37 GD·高一数学第2页（共5页） 15解：(1)因为sin0=sin660°=in(2x360°-609)=-n60°=- 2,(2分) w201-2ni01-24-4分 2 或c0s20=c0s1320°=c0s(3×360°+240)=c0s240°=- 断以：号5i5(6分) 1 (2):=√os20+4sin20=V1-2in0)+4sin0=√4sin9+1=2 ,(8分) 所以m0=5,因为90°<180，所以si血0=5 ,(9分) cos0=-√1-sin20=- 1L三25.(1分) 15 5 sin 6 5 1 所以tan0 c0s252 (13分) 5 16.解：(1)因为a=(-1,2),b=(1,-1), 所以a-2b=(-1,2)-2(1,-1)=(-3,4),(2分) ka+b=k(-1,2)+(1,-1)=(-k+1,2k-1).(4分) 因为a-2b与ka+b共线， 所以-3(2k-1)-4(-k+1)=-2k-1=0,(6分) 所以=子(1分) (2)因为a=(-1,2),b=(1,-1), 所以a2=(-1)2+2=5,b2=12+(-1)2=2,(9分) a·b=-1×1+2×(-1)=-3,(10分) 所以e-v62a6r不-v2r65-√年引5号 ,(13分) 3 当且仅当=。时取等号，(14分) 2 所以a+b的最小值为，(15分 1n解：(I)在△BcD中，cD=5,B=号m∠D8=个amzc0B=1)=号，2分) 2 由正弦定理得， a品 ,(5分) 52 8 所以a=;(7分) GD·高一数学第3页（共5页） (2)在△BCD中由余弦定理得CD 2 *2-2x 0a·cosB=4+a2-2a=3,(9分) 解得a=1,(11分) 在△ABC中，由余弦定理得=a2+c2-2 accos B=1+16-4=13,(13分) 所以b=13.(15分)》 18(1)证明：因为点P为AB的中点，所以市=(C+C,(1分) 因为币-2丽所以⑦-号可，0函，(3分剂 所以--i:d+a商-d子C+成(5分) (2)解：设C⑦=cC 由BD=B+Qd=B+Pi,(6分) 得d(a-40=2i+(c-)立，(7分) 即d(a-兮-=i+(c-(a-.(8分) 即gBC+(1-a)Bi=(1-c)BC+SB,(9分) 因为B配，B不共线，所以 3 解得a=亏(11分) 1-a2' (3)解：因为△ABC是边长为2的正三角形，点P为AB的中点， 所以BC=2,CP=B,∠BCP=石，(I2分) 设C⑦=tCP(0<<1), 因为01.两以子≤-引0,16分 所以励.心的取值范周是子0(17分) 19.解：(1)因为AB=AC=M,点E,F分别为棱AC1,CC,中点， 3 所以SA=3Sc4匹SAG,(2分) 4 3 31 所以业这心名c安， =4,(4分) 所以点1 74(5分) (2)(i)如图1，因为三棱柱ABC-A,B,C,是直棱柱，所以∠BAC=∠A,AB=∠AAC= 2 因为a=2,所以三棱柱ABC-AB,C的体积V=2×2x2x2=4,(6分) GD·高一数学第4页（共5页） 由1)知三楼锥E-F的体积为4=宁，=1.(7分) 在△ABF中AB=2,AF=√AC+CF=√22+下=/5， BF=√BC2+CF=√(22)2+12=3，AB2+AF2=BF2, 所以AB⊥AF,△ABF的面积S=2·AB·AF=5,(8分) 设点E到平面BF的距离为么，则写·h~S=,即。 1 h=1,(9分) 所以6=3 5(10分) 图1 (i)沿三棱柱ABC-A,B,C,表面从点B到点E有三种路径：(I1分) ①经过平面ABC与平面ACC,A,如图2沿棱AC翻转平面ABC,使得平面ABC与平面ACC,A,在同一平面内， 此时最短路程为√(2+2)2+下=√7.(12分) ②经过平面ABB,A,与平面A,B,C1,如图3沿棱A,B,翻转平面A,B,C1,使得平面A,B,C,与平面ABB,4,在同一 平面内，此时最短路程为√2+1)2+2=√3.(13分) ③经过平面A,B,C,与平面BCC,B,如图4沿棱B,C,翻转平面A,B,C,使得平面A,B,C,与平面BCC,B,在同 2 平面内此时最短路程为，a+网-吗2 =√9+22.(15分) 因为7>13=9+4>9+22，(16分) 所以蚂蚁沿三棱柱ABC-A,B,C,表面从点B爬行到点E的最短路程为√9+2√2，(17分) 图2 图3 图4 GD·高一数学第5页（共5页）