吉林长春市2026届高三下学期5月学情自测数学试卷

数学试题 本试卷共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘 贴在考生信息条形码粘贴区。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写 的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、 刮纸刀。 单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分， 1. 己知集合A={xx是小于10的素数}，B=2,3,5,8,则A∩B= A.{2,3} B.3,53 C.2,3,5} D.3,5,8} 4i 2.复数z= 则z+ A√2 B.3 C.2 D.5 若a-月-专a+m-1, 3. tan B 3 C.5 D.3 4. 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了多次试验， 得到了试验数据的线性回归方程为y=x+2,其中x(单位：个)表示加工零件的 个数，y(单位：小时)表示加工零件所花费的时间，又已知试验数据的样本中心点 为(50,20)，估计加工1500个零件所花费的时间为 A.540小时 B,542小时 C.548小时 D.600小时 5.已知函数f(x)= [x2+2x-3,x≤0 则方程f(x)+3=0根的个数为 Inx, x>0 A.0 B.1 C.2 D.3 6..已知等差数列{a,}的前n项和为S.,若3和n+2a,与S,均为定值，则m= A.1 B.2 C.3 D.6 数学试题第1页/共4页 1 7. 为了培育高茎且抗倒伏的优良作物，现从试验田中随机选出充足的作物样本，发现在 高茎作物的样本中约有50%的作物抗倒伏，在抗倒伏的作物样本中约有40%的作物 为高茎，并且样本中约有30%的作物既不具备高茎也不具备抗倒伏这两种优良性状， 则样本中兼备两种优良性状的植株的占比约为 A.20% B.30% C.40% D.50% 8.·己知函数f(x)的定义域为D,对于任意给定n∈N,都存在6∈D,使得 f(x)=f(),则称函数f(x)为倍增友好函数”，则下列函数中不是“倍增友好函 数”的是 A:f(x)=x B.f(x)=sinx c网月 D.f(x)=Inx 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知函数f=Asin(@x+9)(A>0,o>0,pk2)的部分图 象如图所示，其中△CN为等边三角形，点M的坐标为(L,O),则 A,0=亚 4 B.p-晋 C.直线x=7是f(x)图象的一条对称轴 D.将f()的图象向左平移2个单位长度后，所得图象与函数g闭=2√3s(受x+ 4 的图象重合 10若双曲线C:手茶-1(e>0,b>0)的南近线方程为y=,则下列结论正 确的有 A.双曲线C的离心率为2 B.双曲线C的虚轴长是实轴长的√3倍 C.双曲线℃与双曲线 -2=1有相同渐近线 3 D,过双曲线c实轴和虚轴端点的椭圆的离心率为} 11.己知四面体ABCD中，AB=CD=2互，AC=BD=BC=AD=3,则下列说法正确 的是 A四面体ABCD的体积为25 3 B.四面体ABCD的外接球的表面积为13元 C.若平面x∥平面BCD,且平面a与四面体ABCD的内切球相切，则平面ax将该四 面体分成体积比为1：4的两部分 D.若P为平面ACD内一动点，且直线BP与平面ACD所成角的正切值为√0，则P 点轨迹的长度为4了 数学试题第2页1共4页 2 三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上， 12,以抛物线y2=2px,（p>0)的焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为2√5的 等边三角形，则抛物线的标准方程为 13.在梯形ABCD中，B∥CD,AB=6,CD=2,AD=BC=22,分别以该梯形的驷 条边为直径向外作半圆，M是四个半圆上的动点：则M的最大值为 14.已知函数fx)及其导数f(x)的定义域都是R;若函数fx)是偶函数，函数 g(x三f'()+e也是偶函数，则不等式f(x)<fx-1)的解集是 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 在△®C中，内角4成C黄对道分别方46c,且消是ce争-号 (1)求角A的大小： (2)若△BC为锐角三角形，且外接圆的半径为、5，求+C的取值范围 .bc 16.(15分) 如图，正三棱柱ABC-AB,C的所有棱长均为2， 点E,F分别为线段4和BB上的动点，且 A正-=4，萨=1-九B8,其中1e0,. (1)求四棱锥C-ABFE的体积与正三棱柱 ABC-AB,G的体积之比； (2)若二面角A-EF-C的大小为60°，求1的值 17.（15分) 平面直角坐标系中，动点P到点M(2,0)的距离与它到直线x=8的距离之比为】 (1)求动点P的轨迹C的方程 (2)过点M的直线1与轨迹C交于A,B两点，且点A在第一象限，点N仁2,0)， △MN与△BQN的面积之比为求AN的内切题半径 数学试题第3页/共4页 3 18.(17分) 为备战校园篮球赛，某校高三年级开展“三分球挑战”测试，测试规侧如下：每位 选手最多有次投篮机会，在投篮过程中，一且投中，立即结束测试，并公布投篮次数，现 有某位选手，单次投中的概率为写 (1)若n>4,求该选手恰好投篮4次的概率； (2)设该选手结束测试时的投篮次数为X,求X的数学期望， 19.（17分) 已知函数f(x)=xnx,e为自然对数的底数. (1)求曲线y=∫(x)在x=e3处的切线方程； (2)关于x的不等式f(x)≥(x-1)在(0，+∞)恒成立，求实数1的取值范围. 3 x的方程f)=a有两个实根x,名2，求证：五-名k号： 283 数学试题第4页/共4页 4数学参考答案与评分细则 题号 1 2 3 4 8 答案 C D D B D B C 题号 9 10 11 答案 ACD ABC BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 把答案填在答题卡中的横线上 12.y2=6x 13.30+62 14.( 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 【详细解答】(1)由已知acos(B-至=b+依据两角差余弦公式和正弦定理可得， 3 sin B)=sin B+sinc ，2分 sinAcosB+3sin Asin B=sin B+sin C 由三角形内角和定理得C=π-(A+B)和sinC=sin(π-(A+B)》=sin(A+B)....1分 sin Acos B+3sin Asin B=sin B+sin(A+B) 由两角和的正弦公式展开整理得√3 sinAsin B=sinB+cosAsin B....1分 因为B为三角形的内角，所以smB≠O 即5m4cosA1,sn4-名=月 1分 且大为三角形内角A一=石·A=多工分 66 (2)由正弦定理得a=6=c=25, sinA sinB sinC 得a=3,b=2√3sinB,c=2W3sinC…71 求由余弦定理a2=b2+c2-2 bc cosA得b2+c2=9+bc..2分 所以+c2_9+bc-1+9 .1分 bc be bc 12sin BsinC=12sin Bsin( -B) 整理得bc=6sim(2B-)+3…2分 6 0<B< 因为△ABC为锐角三角形所以 得<B<，<2B-元<2 2 2 2 6 63 0< 3 -B 2 数学答案 第1页/共5页 名ma8爱s11分 6 所以6<bc≤9,1≤ 9<3,2≤1+ 95 bc 2 bc 2 所以+c2[2多1分 bc 2 16.（15分) 【详细解答】(1)在正三棱柱ABC-ABC,中，取AB中点O, 则四棱性CABB的体积K-}9eoC-2 321 2,2分 3 正三棱柱A8C-48C的体积乃=Sac4= 4 .22.2=25..2分 四棱锥C-ABFE的体积与正三棱柱ABC-AB,C1的体积之比为1：3..1分 (2)在正三棱柱ABC-AB,C,中，取AB,的中点O,连结OC,OO, 因为A0=AB,40=548,且AB4B,AB=A8, 所以AO口AO,且AO=AO,所以四边形AOOA是平行四边形， 所以AA☑OO,又由正三棱柱中，AA⊥平面ABC, 所以OO⊥平面ABC,又有AB⊥OC, 故以O为坐标原点，OA,OO,OC分别为x轴， y轴，二轴正方向建立空间直角坐标系，1分 则O(0,0,0),AL,0,0),C(0,0,V3),C(0,2,V3),且由AE=A4,BF=1-)BB, 得E1,2元，0)，F(-1,2-2元，0)， 所以CE=1,22,-√5)，CF=(-1,-2元，-5) 设平面CEF的一个法向量为u=(化，，则n.CE=x+2y-Bz=0 n.CF=-x+(2-2)y-V5z=0 令z=1,得n=(5-25元，5,1)， 3分 设平面AEF的一个法向量为OC=(0,0,V5),.3分 由二面角A-EF-C的大小为60，则cos上}， 2 所以1cos<oC,n米1OC测 5 10C‖n5VW3-2W3)2+(32+1 2分 整理得2九-1=0，解得元=1 2 …1分 数学答案第2页/共5页 17.(15分) 【详细解答】(1)设P点的坐标为(x,),由题意 Vx-2)2+y2 1x-8 2’3分 化简可得+二-1.即点P的轨迹为椭圆，且方程为+” 1612 =1..2分 1612 (2)设过M的直线方程为x=y+2,A(,),B(x2,y2) 由△4N与△BN的面积之比为2，即A-,即5y+3,=0.2分 BMI5 即44+2)+(4-2)=0.1分 联立过M的直线x=+2与椭圆二+广-1，消去x可得(62+4y2+12-36=0, 1612 可知h+少= -12t -36 3t2+4 = t2+4 4-y2=Vy+y2)2-4yy2= -12t -4-36_24F2+1 3t2+4 32+432+4,2分 由40+，0+y-,)=0可得4×12+24平-0，则- 3t2+43t2+4 3 点A在第一象限，可知t= ,即点B的坐标为(0，-25)，1分 2 即M华4，AM号，由2M=8,可得NF4,|N-2 5 因陆△18V的面积532xC）=2×483_326 ..1分 15 5 又△ABN的周长为4a=16,....1分 设△1BW的内切圆半径为，且Sa-5Ca,可知r-4N 2 5 即△ABW的内切圆半径为4V .2分 5 18.(17分) 【详细解答】 (1)由题意，该选手恰好投篮4次的情况为前3次未投中，第4次投中的情况， 即城于格好投蓝4次的质车为P-令号品 ...4分 (2)设该选手结束测试时的投篮次数为X,且最多投篮n次， 当X≤-1时，X=)-令 .4分 当X=n时，PX=0=(令 .2分 x-分1.+m孕2分 数学答案第3页/共5页 设工.11+2x++m-0:① 21=1x令+2×月++0m-11② ①-@可得7=1孕°+1++1x写2-m-原 x-+n学=3-0+9+n写3293对 即X的数学期望为3-3.5分 19.(17分) 【详细解答】(1)对函数f(x)求导得f'(x)=hx+1,2分 则f(e3)=lne3+l=-2,又f(e3)=e31ne3=-3e3,1分 则曲线y=f(x)在x=e3处的切线方程为y-(-3e3)=-2(x-e3), 即y=-2x-e3;1分 (2)记g(x)=f(x)-(x-1)=xnx-(x-1),其中x>0, 由题意知g(x)≥0在(0，+o)上恒成立，下面求函数g(x)的最小值， 对g()求导得g(x)=nx+1-入，1分 令g(x)=0,得x=e2-1 .1分 当x变化时，g(x),g()变化情况列表如下： x (0,e2-1) e-1 (e2,+0) 8(x) 0 + 8(x) 递减 极小值 递增 则g(x)mn g(w)极小值=g(e-1)=(亿-1e1-2(e1-1)=-e，1分 则e21≥0，记G()=-e2,则G(2)=1-e1,令G()=0,得1=1,1分 当变化时，G(),G(2)变化情况列表如下： 元 (0,1) e-1 (1,+0) G'(2) + 0 一 G(2) 递增 极大值 递减 ·G()m=G()极大值=G)=0,故元-e1≤0当且仅当2=1时取等号， 又元-e21≥0，从而得到1=1： ..2分 数学答案第4页/共5页 (3)证明：先证f(x)≥-2x-e3, h(x)=f(x)-(-2x-e)=xInx+2x+e3,(x)=Inx+3, 令h(x)=0,得x=e3, 2分 当x变化时，h(x),(x)变化情况列表如下： (0,e3) e3 (e3,+o) h(x) 0 + h(x) 递减 极小值 递增 ·h(ymm=h(x)服小值=h(e)=e3ne3+2e3+e3=0, h(x)≥0恒成立，即f(x)≥-2x-e3,1分 记直线y=-2x-e3,y=x-1分别与y=a交于(x,a),(x2,a), 不妨设x<x,则a=-2x-e3=f(x)≥-2x-e3, 从而x<x,当且仅当a=-3e3时取等号， ..2分 由(2)知，f(x)≥x-1,则a=x?-1=f(x2)≥x2-1, 从而x,≤x,,当且仅当a=0时取等号， 政气卡5名=a)(号京 +1+e+ 2 2e3 30+1+ 因等号成立的条件不能同时满足，故，一 282分 数学答案第5页/共5页