福建宁德市2026届高中毕业班质量检测数学试题

周口口口 宁德市2026届高中毕业班质量检测 考生严禁填涂，监考教师填 数学答题卡 涂，缺考标志 [] 准考证号： 学校 班级 姓名 贴条形码区域 座号 1答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、座号和准考证号填写清楚。 注 正确填涂 2.考生作答时，请将答案写在答题卡卜，并按照题号在各题的答题区域内作答，超州答题区 梦 域书写的答案无效。 涂 事 错误填涂 3选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号：非选 项 择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。 4.保持卡面清洁，不折叠、不破损。考试结束后，将答题卡交回 的器 一、 单项选择题 二、多项选择题 01 [A][B][C][D] os [A][B][C][D] O9[A][B][C][D] O2[A][B][C][D] O6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 03 [A][B][C][D] O7[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 04 [A][B][C][D] O8[A][B][C][D] 三、填空题：（本题满分15分） 12. 13 14. (此区域请勿答题) 四、解答题： 15.(13分) 圆 16.(15分) 画 ■ ■ 17. (15分) 18.(17分) 19.(17分) 图1 图2 ■ ■宁德市2026届高中毕业班质量检测 数学试题 (满分：150分时间：120分钟) 注意事项： 1.答题前，学生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名 学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是 否一致 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡 上.写在本试卷上无效 3.答题结束后，学生必须将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.已知集合S={a1≤a≤3}，集合T={-1,0,1,2,3,4},则S∩T中元素的个数为 A.5 B.4 C.3 D.2 2.复数z=2+i,z为z的共轭复数，则z·z= A.5 B.5 C.3 D.5 3.已知向量a=(（1,1),b=(-2,m).若(a+b)∥a,则m= A.-2 B.0 C.2 3 4.设甲：x>0,x+-2a:乙：log2a≤2，则甲是乙的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若f(x)=sin(ox+p) o>00≤p<)的最小正周期为红，且/ π 3 ,则 A.0 B.π C.π D. 4 数学试题第1页（共5页） 6.直线1：x+y=m+2被圆O:x2+y2=16截得的弦长的最小值为 A.√i B.2W5 C.2 D.45 ，已知，尽分别是双曲线若-茶=1口，>0)的左、右焦点，过5作E的新近线的 垂线，垂足为M.若MF=3b,则E的离心率为 A. 6 B.2 2 c D.5 8.设f(x)是定义在R上的函数，若x,x3∈R,当x<x时，f(x)<f(x2),称函数 f(x)具有性质M,则下列函数具有性质M的是 A.f(x)=x+sinx B.f(x)= -x,x≤0 x2+1,x>0 C. D.f(x)=(x-1)e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.某市生态环境局记录了4月1-7日连续7天的PM2.5预测误差（预测误差=实际浓度一 预测浓度，单位：gm3),如下表： 日期 预测误差 2 0 3 则以下结论正确的是 A.这组数据的中位数是-1 B.这组数据的众数是2 C.若第8天的预测误差为1，则加入该数据后的平均数不变 D.若第8天的预测误差为1，则加入该数据后的方差变小 数学试题第2页（共5页） 10.设抛物线厂：y=4x的焦点为F,准线为1.过F的直线交T于A,B两点，过A, B作I的垂线，垂足分别为A,B,则 A.AF=A4 B.AB的最小值为2 C.若M为4马的中点，则M=48D.点(3，o)到r上点的距离的最小值为3 11.已知圆台形状的容器的上、下底面半径分别为1,2，母线长为2.若容器壁厚度忽略 不计，则 A.该容器的侧面积为6π ®。该容器的容积为 C.该容器可以整体放入表面积为16π的球形容器内 D.能将7个半径为的球平铺放入该容器内 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.曲线f(x)=nx-二在点(L,f()处切线的斜率为 13.记数列{an}的前n项和为Sn,若 是等差数列，S3=3,S5=15,则数列{an}的 通项an= 14.点O,A,B,M,N在同一个平面内，满足OM=2ON=4,OB=√2OA=2√2， OM.ON=0,OB.AB=4.记A,B到直线MN的距离分别为d1,d2,则d1+d2的 最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知数列{an},a1=3,且an+an=2n+1. (1)求证：{a。-n川是等比数列： (2)求数列{an}的前29项和S29· 数学试题第3页（共5页） 16.(15分) 。+方=1(a>b>0)的离心率为，直线1：x=m+1交C于P,Q两 已知椭圆c:号+广 点.当m=0时，Pg=3. (1)求C的方程： (2)过P作直线x=4的垂线，垂足为N,点M ) 证明：Q,M,N三点共线. 17.(15分) 如图1，平面四边形ABCD中，AB⊥AD,BC⊥CD,BC=CD,BD=2AD=2√2 (1)求AC的长： (2)将△ABD沿BD翻折到△PBD,连结CP,如图2.当CP=√6时，求直线CP与平 面PBD所成角的正弦值. B 图1 图2 18.(17分) 把学生考试中解答题结果正确、无明显逻辑错误，但书写步骤不规范、缺少必要文字 说明、卷面潦草、得分要点缺失的解答定义为“拙解”.为优化考试阅卷效率，某市教育学 院引入AI智能阅卷系统，对数学试卷采用两台AL,AI,初评+人工仲裁的方式阅卷.按扣 分评分：“拙解”扣1分、2分、3分.A山1，AL2初评与人工仲裁扣分概率均相同，且相互 独立，各扣分概率如下表： 数学试题第4页（共5页） 扣分 1 2 3 概率 1-4 2 4 记系统AL,AL,的扣分分别为X,X2,仲裁扣分为X,,扣分规则如下： ①若X1-X2≤1，取X1,X2的平均数为最终扣分： ②若X1-X2>1,启动人工仲裁，取X1,X2中与X,更接近者，与X,计算平均数为最 终扣分，若X-X=X-X2,则取X1,X2中较小者与X计算平均数为最终扣分. 根据以上材料，解决如下问题： (1)设某同学一道“拙解”的最终扣分为随机变量X,求P(X=1.5): (2)该同学本次考试5道解答题全部为“拙解”，各题扣分相互独立. (i)记单题扣2分的题目数为Y,求P(Y=4|Y≥3)： (ⅱ)记单题扣分不高于2分的题目数为Y,,若该同学通过规范书写，可将单题扣分不 高于2分的概率提升至9，为使P(Y≥4)≥0.9，求9的最小值（结果保留两位小数）. (参考数据：0.884≈0.60,0.88≈0.53,0.894≈0.63,0.895≈0.56) 19.(17分) 已知函数f(x)=asinx+-sin3x. 31 ()若f(y)在x=牙处取得极值，求a的值，并指出它是极大值还是极小值： ②)当a≥0时，证明：fx)sa+, 3 (3)当a=1时，若x≥0，f(x)≤kn(x+1),求整数k的最小值. 数学试题第5页（共5页） 宁德市2026届高中毕业班质量检测 数学试题参考答案及评分标准 说明： 1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法供参考．如果考生的解法与给出的解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细则． 2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误，但整体解决方案可行且后续步骤没有出现推理或计算错误，则错误部分依细则扣分，并根据对后续步骤影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4.解答题只给整数分数，填空题不给中间分． 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分40分． 1．C 2．D 3．A 4．B 5．B 6．C 7．A 8．C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9． BCD 10．AC 11．ACD 11.D解析：这7个球按如下方式放入该容器.当球与圆台相切时，过点A,B,C作圆台的轴截面.则，此时，故能将7个半径为的球平铺放入该容器 三、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分15分． 12．2 13． 14． 14.解析：由,得,得 设,的中点为,则, 所以的轨迹为以为圆心,为半径的圆.又到直线的距离为, 故到直线的距离的最大值为,则的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分）本题主要考查递推数列、等差数列、等比数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力等，考查化归与转化思想、分类与整合思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．满分13分． 解法一：（1）因为,故……………………………3分 又,得…………………………………………5分 故是以为首项,为公比的等比数列. …………………………………………6分 （2）由(1)得,故………………………………9分 所以………………………………13分 解法二：（1）同解法一； （2）……………………8分 ………13分 16．（15分）本题主要考查椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力和创新能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性，满分15分． 解法一：（1）因为椭圆的离心率为，所以，………………………………1分 又，所以，.……………………………………………………2分 所以椭圆方程为………………………………………………………………3分 当时，的方程为，代入椭圆的方程得： ……………………5分 又因为，所以 所以解得，……………………………………………………………………………5分 故椭圆的方程为.………………………………………………………6分 （2）设，，则 由消去得：，………………………………8分 则，，………………………………………………9分 ，,………………………………11分 因为 ………………………………………………14分 所以，且有公共点，故，，三点共线. …………………………15分 解法二：（1）同解法一； （2）设，，则 由消去得：，……………………………………8分 则，，…………………………………………………9分 ，,………………………………………11分 因为 ………………………………14分 所以，且有公共点，故，，三点共线. ……………………15分 解法三：（1）同解法一； （2）设，，则 由消去得：，……………………………………8分 则，，……………………………………………………9分 直线的方程为， 即，……………………………………………………………11分 令得， 即， 因此，…………………………………………14分 故点在直线上，所以，，三点共线. ………………………15分 17．（15分）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间角的计算等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性与综合性．满分15分． 解法一：（1）平面四边形中，，； 因为，所以为等腰直角三角形， 在中，因为，， 所以，，所以.……………2分 在中，，…………4分 由余弦定理得 ， 所以.………………………………………………………………………7分 （2）以的中点为原点，以，为x，y轴正方向，以垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，………………………………8分 则，，. 设，由（1）可知，，，又因为， 所以 解得，，，即，…………………………10分 则.,.……………………11分 设平面的一个法向量，设直线与平面所成角为， 则，取，则，， 所以，，………………………………………………………………13分 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为.……………………………………15分 解法二：（1）平面四边形中，，； 所以平面四边形为圆内接四边形 又因为，所以为等腰直角三角形， 所以是圆的直径， 在中，，， 所以，，，…………………2分 .………………………4分 由正弦定理得，又， 故.………………………………………7分 (2)在中,,,故……………………………………8分 由,取的中点,的中点.连接,则,. 因为,所以平面. 因为平面,所以平面平面……10分 在中,,,，所以 因为,所以……………………………………………………11分 过作交的延长线于 则平面,且………………………………………………12分 设到平面的距离为 由,所以 所以………………………………………………………………14分 所以直线与平面所成角的正弦值为.………………………15分 18．（17分）本小题主要考查统计、条件概率公式、概率的分布及期望、考查数学建模能力、运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、数据分析和数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性．满分17分． (1)某同学一道类解答最终扣分为1.5分包括扣1分,扣2分; 扣2分,扣1分; 扣1分,扣3分,仲裁扣2分; 扣3分,扣1分,仲裁扣2分四种情况, 故 ………………………………………………5分 (2)(ⅰ)因为…………………………………………………………6分 ， ……………………………………………7分 单题扣分的概率为, 9分 故,. 11分 (ⅱ)原本单题扣分不高于分的概率为,则 由,有,得 14分 令, 故在单调递增. ………………………………………………………15分 又 所以的最小值为. 17分 19．（17分）本题主要考查导数及其应用、函数的零点和不等式等基础知识，考查逻辑推 理能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性与综合性．满分17分． 解：（1） ……………………………………………………….1分 因为在取得极值，所以 解得…………………………………………………………………………………2分 当时，……………………3分 0 极大 ………………………………………………………………………………………………4分 所以在取得极大值………………………………………………………………5分 注：若用，则在取得极大值，扣1分. （2） ………………………………………6分 令，则， …………………………………………………………7分 ， 当时，，所以在上单调递增， ………………………………………………………………8分 由，可得，所以………9分 当时， 在递减，递增，递减， ，，所以， ， 综上：当时，.…………………………………………11分 (3)令 ， 当时，，，当时，， 所以在单调递减，，不合题意舍去……………………13分 故. 当时， 所以，当时，， 则在上单调递减，， 所以在上单调递减，，不合题意舍去…………………15分 当时， 当时，， 所以在上单调递增，，符合题意； 当时， 由（2）可知， 所以 综上，整数的最小值为3. ………………………………………………17分 数学试题解答 第2页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 $