浙江杭州市钱江外国语教育集团2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷

**基本信息** 融合太空中微波传播、《九章算术》等科技与文化情境，通过基础运算、几何推理及生活应用（如体育用品销售）梯度设计，考查七年级下学期整式、几何、方程组等核心知识，体现抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|幂运算、科学记数法、角的位置关系|第2题以太空微波传播考科学记数法，第7题用《九章算术》考方程组建模| |填空题|6/18|因式分解、完全平方、图形平移|第16题通过纸带折叠考角的计算，体现空间观念| |解答题|8/72|几何证明、新定义运算、销售利润|第22题“和积等数对”新定义考推理，第24题动态几何多问递进，第23题销售问题考应用意识|

浙江省杭州市钱江外国语教育集团2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）下列计算中，正确的是（　　） A．（2a）3＝8a3 B．（a2）3＝a5 C．a2•a4＝a8 D．a6÷a2＝a3 2．（3分）太空中微波理论上可以在0.000006秒内接收到相距约2km的信息，数据0.000006用科学记数法表示应为（　　） A．0.6×10﹣6 B．0.6×10﹣5 C．6×10﹣7 D．6×10﹣6 3．（3分）如图，直线a，b被直线l所截，∠1与∠2是一对（　　） A．同位角 B．内错角 C．对顶角 D．同旁内角 4．（3分）下列从左到右是因式分解且正确的是（　　） A．x2﹣9＝（x﹣3）2 B．（x+3）2＝x2+6x+9 C．xy﹣2y＝y（x﹣2） D．x2﹣9﹣6x＝（x+3）（x﹣3）﹣6x 5．（3分）下列说法中正确的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同旁内角相等 C．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 6．（3分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC，按如图所示方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（　　） A．45° B．35° C．30° D．25° 7．（3分）《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数和物价分别为x人，y钱，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）若等式（x+2）（x﹣n）＝x2+mx﹣8对任意实数x都成立，则常数m，n的值分别为（　　） A．m＝2，n＝4 B．m＝﹣2，n＝4 C．m＝6，n＝﹣4 D．m＝﹣6，n＝4 9．（3分）如图，以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，若四个正方形的周长之和为40，面积之和为28，则长方形ABCD的面积为（　　） A．11 B． C．22 D．43 10．（3分）将边长为a的正方形BPEF和边长为b正方形DQHG按如图所示放入长方形ABCD中，AB＝7，BC＝9，若两个正方形的重叠部分长方形MENH的边长ME为1，则下列说法错误的是（　　） A．NE＝3 B．AG+GM＝6 C．阴影部分的周长为32 D．阴影部分的面积为（66﹣a2﹣b2） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上） 11．（3分）因式分解：m2﹣4＝　 　 ． 12．（3分）若x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是　 　 ． 13．（3分）如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置．已知△ABC的周长是30cm，四边形ABFD的周长是40cm，则平移的距离为　 　 cm． 14．（3分）已知am＝3，an＝2，则a3m﹣2n＝　 　 ． 15．（3分）关于x，y的方程组的解为，则方程组的解是　 　 ． 16．（3分）如图①，已知长方形纸带ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠C＝90°，点E、F分别在边AD、BC上，∠1＝30°，如图②，将纸带先沿直线EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿FS折叠一次，使点H落在线段EF上点M的位置，则∠KFH＝　 　 度，∠2＝　 　 度． 三、解答题（本题共8小题，共72分。答案写在答题卡上） 17．（8分）计算： （1）（﹣1）2025+（3﹣π）0+2﹣1； （2）（x﹣3）（x+2）﹣（x﹣2）2． 18．（8分）解下列方程组： （1）； （2）． 19．（6分）分解因式： （1）2x2+4x+2； （2）a（x﹣y）+b（y﹣x）． 20．（8分）计算： 先化简再求值：（a2b3+2a3b）÷（2ab）﹣（a+2b）（a﹣2b），其中a＝1，． 21．（10分）如图，已知，∠BGF＝∠CAB，∠1+∠2＝180°． （1）试说明DE∥AF的理由； （2）若DE⊥BC，∠2＝130°，求∠BFG的度数． 22．（10分）我们规定：对于数对（a，b），如果满足a+b＝ab，那么就称数对（a，b）是“和积等数对”；如果满足a﹣b＝ab，那么就称数对（a，b）是“差积等数对”，例如：3，2．所以数对（，3）为“和积等数对”，数对（2，）为“差积等数对”． （1）下列数对中，“和积等数对”的是　 　 ；“差积等数对”的是　 　 ．（填序号） ①（，﹣2），②（，2），③，﹣2）． （2）若数对（，﹣2）是“和积等数对”，求x的值； （3）是否存在非零有理数m，n，使数对（2m，n）是“和积等数对”，同时数对（2n，m）也是“差积等数对”，若存在，求出m与n的比值． 23．（10分）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；若该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元． （1）求m和n的值； （2）某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？ （3）若某日该商场售出A、B两款足球盈利600元，则该商场当日售出A、B两款足球各多少个？（每款都有销售）请写出所有情况． 24．（12分）如图1，AB∥CD，点E在AB上，点H在CD上，点F在直线AB，CD之间，连接EF，FH． （1）求证：∠BEF+∠FHD＝∠EFH； （2）如图2，点M在直线AB与CD之间，且ME∥HF，若∠MEF＝2∠BEF，∠FHD＝45°，求∠MEF的度数； （3）如图3，连结MH，移动点M至直线AB上方，使得MH∥EF，延长ME交直线HF于点P，若∠MHD＝3∠PHD，∠PHD﹣∠BEP＝20°，PE平分∠BEF，求∠PHD的度数． 浙江省杭州市钱江外国语教育集团2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D． A C C D A B B D 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）下列计算中，正确的是（　　） A．（2a）3＝8a3 B．（a2）3＝a5 C．a2•a4＝a8 D．a6÷a2＝a3 【答案】A 【解答】解：A、（2a）3＝8a3，故A符合题意； B、（a2）3＝a6，故B不符合题意； C、a2•a4＝a6，故C不符合题意； D、a6÷a2＝a4，故D不符合题意； 故选：A． 2．（3分）太空中微波理论上可以在0.000006秒内接收到相距约2km的信息，数据0.000006用科学记数法表示应为（　　） A．0.6×10﹣6 B．0.6×10﹣5 C．6×10﹣7 D．6×10﹣6 【答案】D． 【解答】解：0.000006＝6×10﹣6． 故选：D． 3．（3分）如图，直线a，b被直线l所截，∠1与∠2是一对（　　） A．同位角 B．内错角 C．对顶角 D．同旁内角 【答案】A 【解答】解：∠1和∠2是同位角， 故选：A． 4．（3分）下列从左到右是因式分解且正确的是（　　） A．x2﹣9＝（x﹣3）2 B．（x+3）2＝x2+6x+9 C．xy﹣2y＝y（x﹣2） D．x2﹣9﹣6x＝（x+3）（x﹣3）﹣6x 【答案】C 【解答】解：A中x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）≠（x﹣3）2，错误，故不符合要求； B中（x+3）2＝x2+6x+9，不是因式分解，错误，故不符合要求； C中xy﹣2y＝y（x﹣2），正确，故符合要求 D中x2﹣9﹣6x＝（x+3）（x﹣3）﹣6x，不是因式分解，错误，故不符合要求； 故选：C． 5．（3分）下列说法中正确的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同旁内角相等 C．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【解答】解：A、对顶角相等，但是相等的两个角不一定是对顶角，故本选项错误； B、两直线平行，同旁内角互补，故本选项错误； C、从直线外一点到这条直线上的各点连接的所有线段中，垂线段最短，符合垂线段的定义，故本选项正确； D、在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项错误． 故选：C． 6．（3分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC，按如图所示方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（　　） A．45° B．35° C．30° D．25° 【答案】D 【解答】解： ∵m∥n ∴∠3＝∠1＝35°， ∵∠2+∠3＝60°， ∴∠2＝60°﹣35°＝25°． 故选：D． 7．（3分）《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数和物价分别为x人，y钱，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设有x个人，物品价格为y钱， 由题意得，， 故选：A． 8．（3分）若等式（x+2）（x﹣n）＝x2+mx﹣8对任意实数x都成立，则常数m，n的值分别为（　　） A．m＝2，n＝4 B．m＝﹣2，n＝4 C．m＝6，n＝﹣4 D．m＝﹣6，n＝4 【答案】B 【解答】解：（x+2）（x﹣n） ＝x2+2x﹣nx﹣2n ＝x2+（2﹣n）x﹣2n ＝x2+mx﹣8， 则2n＝8，m＝2﹣n， 解得：n＝4，m＝﹣2， 故选：B． 9．（3分）如图，以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，若四个正方形的周长之和为40，面积之和为28，则长方形ABCD的面积为（　　） A．11 B． C．22 D．43 【答案】B 【解答】解：设长方形ABCD的长AB＝a，BC＝b，由题意得，8a+8b＝40，2a2+2b2＝28， 即a+b＝5，a2+b2＝14， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴25＝14+2ab， 解得ab， 即长方形ABCD的面积为． 故选：B． 10．（3分）将边长为a的正方形BPEF和边长为b正方形DQHG按如图所示放入长方形ABCD中，AB＝7，BC＝9，若两个正方形的重叠部分长方形MENH的边长ME为1，则下列说法错误的是（　　） A．NE＝3 B．AG+GM＝6 C．阴影部分的周长为32 D．阴影部分的面积为（66﹣a2﹣b2） 【答案】D 【解答】解：依题意有： ， ①﹣②得﹣1+NE＝9﹣7， 解得NE＝3，故A说法正确； ∵AG+GM ＝AG+GH﹣HG ＝AG+GD﹣NE ＝AD﹣NE ＝BC﹣NE ＝9﹣3 ＝6， ∴B说法正确； 由平移可知，阴影部分的周长为（9+7）×2＝32， 故C说法正确； 阴影部分的面积为9×7﹣a2﹣b2+3×1×2＝（69﹣a2﹣b2）， 故D说法错误． 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上） 11．（3分）因式分解：m2﹣4＝　（m+2）（m﹣2）　 ． 【答案】（m+2）（m﹣2）． 【解答】解：m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）． 故答案为：（m+2）（m﹣2）． 12．（3分）若x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是　±6　 ． 【答案】±6 【解答】解：∵x2+mx+9是一个完全平方式， ∴m＝±6， 故答案为：±6． 13．（3分）如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置．已知△ABC的周长是30cm，四边形ABFD的周长是40cm，则平移的距离为　5　 cm． 【答案】5． 【解答】解：由题知， 因为△DEF由△ABC沿BC方向平移得到， 所以DF＝AC，AD＝CF． 因为△ABC的周长是30cm，四边形ABFD的周长是40cm， 所以AB+BC+DF＝AB+BC+AC＝30cm，AB+BF+DF+AD＝40cm， 两式相减得， CF+AD＝40﹣30＝10（cm）， 所以CF＝AD＝5（cm）， 即平移的距离为5cm． 故答案为：5． 14．（3分）已知am＝3，an＝2，则a3m﹣2n＝　　 ． 【答案】 【解答】解：∵am＝3，an＝2， ∴a3m﹣2n＝a3m÷a2n ＝（am）3÷（an）2， ＝33÷22 ＝27÷4 ， 故答案为． 15．（3分）关于x，y的方程组的解为，则方程组的解是　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵关于x，y的方程组的解为， ∴， 解得， 故答案为：． 16．（3分）如图①，已知长方形纸带ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠C＝90°，点E、F分别在边AD、BC上，∠1＝30°，如图②，将纸带先沿直线EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿FS折叠一次，使点H落在线段EF上点M的位置，则∠KFH＝　120　 度，∠2＝　45　 度． 【答案】120，45． 【解答】解：由折叠可得：∠GEF＝∠1＝30°， ∵AD∥BC， ∴FH∥EG． ∴∠GEF+∠EFH＝180°， ∴∠EFH＝150°， ∴∠EFS∠EFH＝75°， ∵AD∥BC， ∴∠EFB＝∠1＝30°， ∴∠KFH＝∠EFH﹣∠EFB＝150°﹣30°＝120°， ∴∠2＝∠EFS﹣∠EFB＝45°， 故答案为：120，45． 三、解答题（本题共8小题，共72分。答案写在答题卡上） 17．（8分）计算： （1）（﹣1）2025+（3﹣π）0+2﹣1； （2）（x﹣3）（x+2）﹣（x﹣2）2． 【答案】（1）； （2）3x﹣10． 【解答】解：（1）原式＝﹣1+1 ； （2）原式＝x2+2x﹣3x﹣6﹣（x2﹣4x+4） ＝x2+2x﹣3x﹣6﹣x2+4x﹣4 ＝3x﹣10． 18．（8分）解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）， 把①代入②，得﹣x+4x＝15， 解得：x＝5， 把x＝5代入①，得y＝10， ∴原方程组的解为； （2） 由①×2﹣②得：5y＝﹣5， 解得：y＝﹣1， 把y＝﹣1代入①得：x+2×（﹣1）＝5， 解得：x＝7， ∴原方程组的解为． 19．（6分）分解因式： （1）2x2+4x+2； （2）a（x﹣y）+b（y﹣x）． 【答案】（1）2（x+1）2； （2）（x﹣y）（a﹣b）． 【解答】解：（1）2x2+4x+2 ＝2（x2+2x+1） ＝2（x+1）2； （2）a（x﹣y）+b（y﹣x） ＝a（x﹣y）﹣b（x﹣y） ＝（x﹣y）（a﹣b）． 20．（8分）计算： 先化简再求值：（a2b3+2a3b）÷（2ab）﹣（a+2b）（a﹣2b），其中a＝1，． 【答案】，． 【解答】解：（a2b3+2a3b）÷（2ab）﹣（a+2b）（a﹣2b） ＝a2b3÷（2ab）+2a3b÷（2ab）﹣（a+2b）（a﹣2b） ， 当a＝1，时，原式． 21．（10分）如图，已知，∠BGF＝∠CAB，∠1+∠2＝180°． （1）试说明DE∥AF的理由； （2）若DE⊥BC，∠2＝130°，求∠BFG的度数． 【答案】（1）∵∠BGF＝∠CAB， ∴GF∥AC， ∴∠1＝∠CAF． ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠CAF+∠2＝180°， ∴DE∥AF； （2）40°． 【解答】解：（1）∵∠BGF＝∠CAB， ∴GF∥AC， ∴∠1＝∠CAF． ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠CAF+∠2＝180°， ∴DE∥AF； （2）∵DE⊥BC， ∴∠CED＝90°， 又∵∠2＝∠CED+∠C＝130°， ∴∠C＝40°． ∵GF∥AC， ∴∠BFG＝∠C＝40°． 22．（10分）我们规定：对于数对（a，b），如果满足a+b＝ab，那么就称数对（a，b）是“和积等数对”；如果满足a﹣b＝ab，那么就称数对（a，b）是“差积等数对”，例如：3，2．所以数对（，3）为“和积等数对”，数对（2，）为“差积等数对”． （1）下列数对中，“和积等数对”的是　③　 ；“差积等数对”的是　①　 ．（填序号） ①（，﹣2），②（，2），③，﹣2）． （2）若数对（，﹣2）是“和积等数对”，求x的值； （3）是否存在非零有理数m，n，使数对（2m，n）是“和积等数对”，同时数对（2n，m）也是“差积等数对”，若存在，求出m与n的比值． 【答案】（1）③，①． （2）x； （3）m，则n． 【解答】解：（1）①∵2，（﹣2），（﹣2）， ∴（﹣2）（﹣2）． ∴①是“差积等数对”． ∵2，2，2． ∴②两者都不是． ∵（﹣2），（﹣2），（﹣2）． ∴（﹣2）（﹣2）． ∴③“和积等数对”． 故答案为：③，①． （2）由题意得：（﹣2）（﹣2）， ∴x﹣1﹣4＝2﹣2x， ∴x； （3）假设存在， 存在．由题意，得2m+n＝2mn，2n﹣m＝2mn， 所以2m+n＝2n﹣m，即n＝3m， 所以2m+3m＝2m•3m， 因为m≠0， 所以6m＝5， 解得m，则n． 23．（10分）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；若该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元． （1）求m和n的值； （2）某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？ （3）若某日该商场售出A、B两款足球盈利600元，则该商场当日售出A、B两款足球各多少个？（每款都有销售）请写出所有情况． 【答案】（1）m的值为80，n的值为60； （2）该商场可获利1100元； （3）该商场当日售出A款足球3个，B款足球16个或A款足球6个，B款足球12个或A款足球9个，B款足球8个或A款足球12个，B款足球4个． 【解答】解：（1）根据题意得：， 解得：， 答：m的值为80，n的值为60； （2）根据题意得：120x+90y＝3300， ∴40x+30y＝1100， ∴（120﹣80）x+（90﹣60）y＝40x+30y＝1100． 答：该商场可获利1100元； （3）设该商场当日售出A款足球a个，B款足球b个， 根据题意得：（120﹣80）a+（90﹣60）b＝600， 整理得：b＝20a， 又∵a、b均为正整数， ∴或或或， ∴该商场当日售出A款足球3个，B款足球16个或A款足球6个，B款足球12个或A款足球9个，B款足球8个或A款足球12个，B款足球4个； 答：该商场当日售出A款足球3个，B款足球16个或A款足球6个，B款足球12个或A款足球9个，B款足球8个或A款足球12个，B款足球4个． 24．（12分）如图1，AB∥CD，点E在AB上，点H在CD上，点F在直线AB，CD之间，连接EF，FH． （1）求证：∠BEF+∠FHD＝∠EFH； （2）如图2，点M在直线AB与CD之间，且ME∥HF，若∠MEF＝2∠BEF，∠FHD＝45°，求∠MEF的度数； （3）如图3，连结MH，移动点M至直线AB上方，使得MH∥EF，延长ME交直线HF于点P，若∠MHD＝3∠PHD，∠PHD﹣∠BEP＝20°，PE平分∠BEF，求∠PHD的度数． 【答案】（1）过点F作FG∥AB， ∵FG∥AB，AB∥CD， ∴∠BEF＝∠EFG，FG∥CD， ∴∠HFG＝∠FHD， ∴∠EFG+∠HFG＝∠BEF+∠FHD， ∴∠BEF+∠FHD＝∠EFH； （2）90°； （3）44°． 【解答】（1）证明：过点F作FG∥AB， ∵FG∥AB，AB∥CD， ∴∠BEF＝∠EFG，FG∥CD， ∴∠HFG＝∠FHD， ∴∠EFG+∠HFG＝∠BEF+∠FHD， ∴∠BEF+∠FHD＝∠EFH； （2）解：∵∠MEF＝2∠BEF， ∴令∠BEF＝α，∠MEF＝2α． ∵ME∥HF， ∴∠MEF+∠F＝180°， ∴∠F＝180°﹣2α． 由（1）知， ∵∠BEF+∠FHD＝∠EFH， ∴α+45°＝180°﹣2α， 解得α＝45°， ∴∠MEF＝2α＝90°； （3）解：∵∠MHD＝3∠PHD， ∴令∠PHD＝β，∠MHD＝3β， ∴∠MHP＝3β﹣β＝2β． ∵MH∥EF， ∴∠MHP+∠EFH＝180°， ∴∠EFH＝180°﹣2β． 又∵∠PHD﹣∠BEP＝20°， ∴∠BEP＝β﹣20°． ∵PE平分∠BEF， ∴∠BEF＝2∠BEP＝2β﹣40°． 由（1）知， ∠BEF+∠PHD＝∠EFH， ∴2β﹣40°+β＝180°﹣2β， 解得β＝44°， ∴∠PHD＝44°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $