精品解析：浙江杭州市文华中学2025-2026学年第二学期期中教学诊断七年级数学试题卷

杭州市文华中学2025学年第二学期期中教学诊断七年级数学试题卷 一、仔细选一选（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 红细胞有运输氧气和二氧化碳，输送营养物质等作用，它的平均直径为米，将该数用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式从左向右的变形中，是因式分解的为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，下列条件中能判定的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，，，则（ ）．（用含，的代数式表示） A. B. C. D. 10. 杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示是一种变异的“杨辉三角”，按箭头方向依次记为：，，，，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 二、认真填一填（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：_______． 12. 若的展开式中不含有x的一次项，则______． 13. 若，则______． 14. 如图，直线相交于点O，于点O．若，则的度数为_____________． 15. 若关于，的二元一次方程组的解是，那么关于，的二元一次方程组的解________． 16. 将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠，如图（1），AD∥BC，ED'∥FC'，设∠AED'＝x° （1）∠EFB＝_____．（用含x的代数式表示） （2）若将图1继续沿BF折叠成图（2），∠EFC″＝_____．（用含x的代数式表示）． 三、全面答一答（本题有8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 解方程组 （1） （2） 19. 化简和求值 （1）先化简，后求值：，其中，． （2）已知，求的值． 20. 定义：若一个整数能表示成（，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． （1）尝试：已知25是“完美数”，请将它写成（，为正整数）的形式_______； （2）探究：设，请将表示成“完美数”的形式， 并求当为何整数时，最小，求出的最小值； （3）应用：已知（，为整数，是常数），要使S为“完美数”，求的值，并说明理由． 21. 如图，已知，与互补． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 22. 某铁件加工厂用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）可以加工成图2的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． （1）根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 a张 正方形铁片的数量 b张 2张 则_________，_________； （2）若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图2的竖式容器和横式容器时，两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？ （3）已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选择？ 23. 有一个边长为的正方形，按图切割成个小方块，，，，分别为个小方块的面积． （1）用两种不同的方法表示图中所给大正方形的面积，得到等式为________． （2）图中，为线段上一点，以，为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两个正方形的面积分别记为和，若，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积． （3）若满足，求代数式的值． 24. 实践与探究： 材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，． （1）操作一：如图①，将三角尺按如图摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 度； （2）操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，若，求的度数； （3）操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点F以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边或）平行，求出所有满足条件的t值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市文华中学2025学年第二学期期中教学诊断七年级数学试题卷 一、仔细选一选（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是利用平移设计图案，熟练掌握图形平移不变性的性质是解答此题的关键．由题意根据图形平移的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：由图可知B不是平移得到，C不是平移得到，D不是平移得到， A是利用图形的平移得到． 故选：A． 2. 红细胞有运输氧气和二氧化碳，输送营养物质等作用，它的平均直径为米，将该数用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，关键要正确确定的值以及的值，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：， 故选：C． 3. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程的概念．二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 【详解】解：A、未知数的最高次项的次数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； B、不是整式方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； C、不是等式，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； D、含有2个未知数，未知数的最高次项的次数是1，是二元一次方程，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、同底数幂相乘、幂的乘方，据相关运算法则进行逐项分析计算，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 5. 下列各式从左向右的变形中，是因式分解的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义以及利用公式法进行因式分解，掌握完全平方公式的形式是解决此题的关键．把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解． 【详解】解：A、，是整式乘法，不符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，不是几个整式的积的形式，故错误，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，下列条件中能判定的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．由，根据“内错角相等，两直线平行”可得，不能判定，不合题意； B．由，根据“内错角相等，两直线平行”可得，不能判定，不合题意； C．由，不能判定，不合题意； D．由，根据“同旁内角互补，两直线平行”能判定，符合题意． 7. 《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，设共有人，物品的价格为钱，根据“每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱”列出二元一次方程组即可．理解题意，弄清数量关系是解题关键． 【详解】解：设共有人，物品的价格为钱，根据题意得： ． 故选：A． 8. 已知，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据幂的乘方的逆运算求出，，再根据同底数幂的乘除法逆运算求出，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘除法的逆运算，熟知，是解题的关键． 9. 已知，，，则（ ）．（用含，的代数式表示） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等式的性质，用含k，b的式子表示出，用含t，b的式子表示出，再根据用含k，t的式子表示出b，进而即可求解． 【详解】解：，， ，， ， ， ， ， 故选A． 10. 杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示是一种变异的“杨辉三角”，按箭头方向依次记为：，，，，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数字的变化规律，根据图中的数据，可以发现数字的变化特点，从而可以计算出的值． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴当为偶数时，，当为奇数时，， ∴ ， 故选：C． 二、认真填一填（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握提取公因式法分解因式是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若的展开式中不含有x的一次项，则______． 【答案】-5 【解析】 【分析】根据题意，先展开，由于展开式中不含x的一次项，即列出关于a的一次方程求解即可． 【详解】由题意知，原式=，要使式子中不含有x的一次项，则使得含x的一次项系数为0即可，故=0，所以， 故答案为：-5． 【点睛】本题考查了整式里不含有关于x的一次项的问题，一元一次方程的列式求解，注意使得含有x的一次项的系数为0，列出方程式是解题的关键． 13. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知乘方等式求出的值，再将代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 将代入得． 14. 如图，直线相交于点O，于点O．若，则的度数为_____________． 【答案】##130度 【解析】 【分析】先求得的度数，再根据对顶角相等得出，根据垂直的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了对顶角相等，垂线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15. 若关于，的二元一次方程组的解是，那么关于，的二元一次方程组的解________． 【答案】． 【解析】 【分析】将，代入已知不等式组求出与的值，再将与的值代入所求不等式组即可求出解． 【详解】解：将，代入方程组得：， 解得：，， 将，代入所求方程组得：， ①②得：，即， 将代入①得：， 则方程组的解为． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 16. 将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠，如图（1），AD∥BC，ED'∥FC'，设∠AED'＝x° （1）∠EFB＝_____．（用含x的代数式表示） （2）若将图1继续沿BF折叠成图（2），∠EFC″＝_____．（用含x的代数式表示）． 【答案】 ①. 90°- x° ②. x°-90° 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质得∠DEF=∠EFB，∠AEH+∠EHB=180°，折叠和三角形的外角得∠D'EF=∠EFB，∠EFB=∠EHB，最后计算出∠EFB=90°- x°； （2）由折叠和平角的定义求出∠EFC'=90°+ x°，再次折叠经计算求出∠EFC"= x°-90°． 【详解】解：（1）如图1所示， ∵AD∥BC， ∴∠DEF=∠EFB，∠AEH+∠EHB=180°， 又∵∠DEF=∠D'EF， ∴∠D'EF=∠EFB， 又∵∠EHB=∠D'EF+∠EFB， ∴∠EFB=∠EHB， 又∵∠AED'=x°， ∴∠EHB=180°-x° ∴∠EFB=（180°-2）=90°- x° 故答案为：90°- x°； (2)如图2所示， ∵∠EFB+∠EFC'=180°， ∴∠EFC=∠EFC'=180°-（90°- x°）=90°+ x°， 又∵∠EFC'=2∠EFB+∠EFC"， ∴∠EFC"=∠EFC'-2∠EFB=90°+ x°-2（90°- x°） = x°-90°， 故答案为： x°-90°． 【点睛】本题综合考查了平行线的性质，折叠问题，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，平角的定义以及角的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是折叠前后的变及不变的问题，二次折叠角的前后大小等量关系． 三、全面答一答（本题有8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2） （3）； （4）． 【解析】 【分析】（）根据负整数指数幂，有理数的乘方，零指数幂分别计算，然后合并即可； （）根据幂的乘方、积的乘方逆运算变形计算即可； （）先计算多项式乘法和整式除法，再合并同类项； （）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：； ； 【小问4详解】 解： ． 18. 解方程组 （1） （2） 【答案】（1）；（2） ． 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法解之即可， （2）利用加减消元法解之即可． 【详解】（1）， ②×4+①得： 11x=22， 解得：x=2， 把x=2代入②得： 4-y=5， 解得：y=-1， 方程组的解为：， （2）原方程组可整理得： ， ①+②得：6x=18， 解得：x=3， 把x=3代入①得： 9-2y=8， 解得：y=0.5， 方程组的解为： ． 【点睛】此题考查解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 19. 化简和求值 （1）先化简，后求值：，其中，． （2）已知，求的值． 【答案】（1）化简结果为，值为 （2）4 【解析】 【分析】（1）先利用完全平方公式与平方差公式计算，再合并同类项，最后将m，n的值代入计算； （2）由得，再利用平方差公式将原式变形为，将代入计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ， 将，代入，得： 原式． 【小问2详解】 解：， ， 原式 ． 20. 定义：若一个整数能表示成（，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． （1）尝试：已知25是“完美数”，请将它写成（，为正整数）的形式_______； （2）探究：设，请将表示成“完美数”的形式， 并求当为何整数时，最小，求出的最小值； （3）应用：已知（，为整数，是常数），要使S为“完美数”，求的值，并说明理由． 【答案】（1） （2）时，最小，最小值为 （3） 解： ， ，为整数， ，为整数， 要使S为“完美数”，则， ， 即当时S为“完美数”． 【解析】 【分析】（1）利用“完美数”的定义可得； （2）利用配方法，将其配成完美数，可求出最小值； （3）根据完全平方公式，将其配成完美数，可求的值． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， 即， 当即时，最小，最小值为； 【小问3详解】 略 21. 如图，已知，与互补． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明，再进一步结合已知条件即可得证； （2）结合已知条件先求出，进而利用平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：， ． ． ， ， 又， ， ； 【小问2详解】 解：平分， ， 又， ． ， ， ． ， ， ． 22. 某铁件加工厂用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）可以加工成图2的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． （1）根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 a张 正方形铁片的数量 b张 2张 则_________，_________； （2）若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图2的竖式容器和横式容器时，两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？ （3）已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选择？ 【答案】（1）3，1 （2）可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器 （3）共有2种方案可供选择， 方案1：采购10个竖式容器，5个横式容器； 方案2：采购4个竖式容器，10个横式容器． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，熟练掌握1个竖式无盖容器需要长方形铁片张数和正方形铁片张数， 1个横式无盖容器需要长方形铁片张数和正方形铁片张数，总价与单价和数量的关系，正确列出二元次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）根据“制作1个竖式无盖容器需要4张长方形铁片、1张正方形铁片，制作1个横式无盖容器需要3张长方形铁片、2张正方形铁片”，即可得出结论； （2）设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器，根据加工两种容器共用了170张长方形铁片和80张正方形铁片，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设采购m个竖式容器，n个横式容器，利用总价=单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各采购方案． 【小问1详解】 解：制作1个竖式无盖容器需要4张长方形铁片、1张正方形铁片，制作1个横式无盖容器需要3张长方形铁片、2张正方形铁片， ． 故答案为：3，1； 【小问2详解】 解：设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器， 根据题意得：， 解得： 答：可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器； 【小问3详解】 解：设采购m个竖式容器，n个横式容器， 根据题意得：， ， 又m，n均为正整数， 或， ∴共有2种方案可供选择， 方案1：采购10个竖式容器，5个横式容器； 方案2：采购4个竖式容器，10个横式容器． 23. 有一个边长为的正方形，按图切割成个小方块，，，，分别为个小方块的面积． （1）用两种不同的方法表示图中所给大正方形的面积，得到等式为________． （2）图中，为线段上一点，以，为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两个正方形的面积分别记为和，若，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积． （3）若满足，求代数式的值． 【答案】（1）； （2）图中阴影部分面积为； （3）代数式的值为． 【解析】 【分析】（）根据图示面积的表示方法即可求解； （）连接，设正方形的边长为，正方形的边长为，则有，，故，然后通过即可求解； （）设，，则，，故，通过变形，所以，然后代入即可求解． 【小问1详解】 解：图中大正方形的面积为，个小方块的面积和为， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，连接，设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分面积为； 【小问3详解】 解：设，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 24. 实践与探究： 材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，． （1）操作一：如图①，将三角尺按如图摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 度； （2）操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，若，求的度数； （3）操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点F以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边或）平行，求出所有满足条件的t值． 【答案】（1）105 （2） （3）20或50或80 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形添加平行线的辅助线是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质得到，利用同旁内角互补，两直线平行可得，则有，利用平行线的性质得到，再利用角的和差关系即可求解； （2）过点作，利用角的和差关系得到，利用平行线的性质可得，设，则，，列出关于的方程，求出的值即可解答； （3）根据题意分3种情况讨论：①且在上方；②且在下方；③，画出对应的示意图，再利用平行线的性质即可求解． 【小问1详解】 解：如图①，过点作， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：105； 【小问2详解】 解：如图②，过点作， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：①当且在上方，如图，延长交于点， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ②当且在下方，如图，延长交于点， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ③当且在下方，如图，延长交于点， 由题意得，， 由①得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ∴综上所述，满足条件的t值为20或50或80． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $