精品解析：吉林省吉林市第五中学2025-2026学年八年级下学期期中考试数学

2025−2026学年度八年级下学期期中考试数学试题 一、选择题（每小题3分，共计18分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，可以作为直角三角形三边长的是（ ） A. 1，1，2 B. 2，，4 C. 5，12，13 D. ，，5 3. 道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志的对角线长为，为，则该标志的占地面积为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，，则正方形的面积为（ ） A. 81 B. 144 C. 225 D. 169 5. 图1是第七届国际数学教育大会的会徽，图2由主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．当，时，的长为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 如图，▱OABC的顶点，，点是边的中点，则对角线，的交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计15分） 7. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 8. 如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且、、三个正方形的面积分别为6、2、12，则正方形的面积为_____________． 9. 如图，在四边形中，，，，则________°． 10. 我国是最早发现勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．请利用勾股定理解决下列问题：如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为___________． 11. 如图，是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则四边形的周长为_______. 三、解答题（共11小题） 12. 化简：． 13. 计算：． 14. 如图，在中，点、分别在、上，且．求证：四边形是平行四边形． 15. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．求这片绿地的面积． 16. 某老师家装修、矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． （1）电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为，则电视背景壁纸需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 17. 如图，已知，延长至点，使，连接，，，且； （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 18. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都为，每个小格的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画图． （1）在图①中，画一个平行四边形，使其面积为； （2）在图②中，画一个正方形，使其面积为； （3）在图③中，画一个菱形，使其面积为． 19. 如图，在矩形中，的角平分线交于点，于点，于点，与交于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求证；． 20. （1）【阅读理解】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是 ； A． B． C． D． （2）【实践操作】如图1，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，长为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点表示的数是 ； （3）【延伸应用】如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽尺，求竹竿长． 21. 【课本重现】 你能用折纸、作图等方法得到一个菱形吗？动手试一试！ 小颖、小明和小刚三位同学分别做了以下操作： 【操作1】小颖同学按以下方式进行操作： （1）请写出小颖这样操作的理论依据（提示：文字语言表述，说明理由即可）． 【操作2】小明同学按以下方式进行操作： 如图2，在矩形的纸片上，利用无刻度直尺和圆规作对角线的垂直平分线分别交于E、F两点，再连接． （2）请按照操作2用尺规画出图形（保留作图痕迹，标明字母，不用写作法），并证明四边形是菱形； 【操作3】小刚同学按以下方式进行操作： 将两张相同的矩形纸片叠放在一起，可以重叠出一个菱形，当按如图3的方式将两个矩形的两个对角顶点重合进行叠放，得到的菱形边长最大． （3）已知如图3的矩形卡片中，，，则此时菱形的边长为______． 22. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点．动点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动（到点时停止）．设动点的运动时间为秒． （1）_____．（用含的代数式表示） （2）当为何值时，四边形是平行四边形？ （3）若四边形是平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由． （4）在线段上是否存在一点，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年度八年级下学期期中考试数学试题 一、选择题（每小题3分，共计18分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个判断选项即可． 【详解】解：∵，被开方数含能开得尽方的因数，∴A不是最简二次根式； ∵的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，∴B是最简二次根式； ∵的被开方数含分母，∴C不是最简二次根式； ∵，被开方数是能开得尽方的数，∴D不是最简二次根式． 2. 下列各组数中，可以作为直角三角形三边长的是（ ） A. 1，1，2 B. 2，，4 C. 5，12，13 D. ，，5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两小边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，据此判断即可． 【详解】解：A．∵，，，∴不能作为直角三角形三边长． B．∵，，，∴不能作为直角三角形三边长． C．∵，，，∴可以作为直角三角形三边长． D．∵，，，∴不能作为直角三角形三边长． 故选C． 3. 道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志的对角线长为，为，则该标志的占地面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，关键是掌握菱形的面积公式．菱形面积（a、b是两条对角线的长度），由此即可计算． 【详解】解：四边形是菱形， 菱形的面积， 故选：B． 4. 在中，，，，则正方形的面积为（ ） A. 81 B. 144 C. 225 D. 169 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理以及正方形的面积求法，得出的值是解题关键． 【详解】解：因为，所以正方形的面积为， 故选C． 5. 图1是第七届国际数学教育大会的会徽，图2由主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．当，时，的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，先求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选：A． 6. 如图，▱OABC的顶点，，点是边的中点，则对角线，的交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意易得，再证明为的中位线，结合中位线的性质求得，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形，对角线，的交点为， ∴， 又∵点是边的中点， ∴，且， ∵点， ∴点的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、平行四边形的性质、三角形中位线的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共计15分） 7. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件． 直接根据二次根式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， 即， 故答案为：． 8. 如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且、、三个正方形的面积分别为6、2、12，则正方形的面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，确定正方形A、B、C、D面积的数量关系是解题的关键． 根据勾股定理推出中间空白正方形的面积，进而即可求出正方形的面积． 【详解】解：两个空白三角形均为直角三角形，且、、三个正方形的面积分别为6、2、12， 结合勾股定理可知，中间空白正方形的面积为：， 则正方形的面积为； 故答案为：． 9. 如图，在四边形中，，，，则________°． 【答案】##130度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，理解相关知识是解答关键． 连接，利用“”易得，根据全等三角形的性质易得，根据三角形的内角和定理得到的度数来求解． 【详解】解：连接，如下图 在和中 ， ， ，， ， ． ， ． ． 故答案为：． 10. 我国是最早发现勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．请利用勾股定理解决下列问题：如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用．连接，由勾股定理求出，即可得出的长． 【详解】解：如图，连接，则， 在中，由勾股定理可得， 又∵， ∴， 故答案为：． 11. 如图，是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则四边形的周长为_______. 【答案】20 【解析】 【分析】先由，得到，然后结合矩形的性质得到，再结合点和点分别是和的中点得到和的长，最后得到四边形的周长． 【详解】解：， ， ，， ， 点和点分别是和的中点， ，，是的中位线， ， ． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理，解题的关键是熟知矩形的性质． 三、解答题（共11小题） 12. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】先将二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式= = 【点睛】本题考查二次根式的加减运算，化为最简二次根式后合并同类二次根式即可． 13. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算． 先计算平方差公式和二次根式的乘法，再计算减法即可． 【详解】解： ． 14. 如图，在中，点、分别在、上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】可得，，又由，即可证得，即可证得四边形是平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 15. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．求这片绿地的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理的逆定理求出为直角三角形，分割法求出绿地的面积即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴绿地的面积； 答：这片绿地的面积是． 16. 某老师家装修、矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． （1）电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为，则电视背景壁纸需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算可得； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则可得． 【小问1详解】 解： ， 答：电视背景墙的周长为． 【小问2详解】 解： （元）， 答：整个电视背景壁纸需要花费元． 17. 如图，已知，延长至点，使，连接，，，且； （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明对角线即可求证； （2）由（1）可得，由矩形的性质可得，，再利用勾股定理解答即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（）知，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 18. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都为，每个小格的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画图． （1）在图①中，画一个平行四边形，使其面积为； （2）在图②中，画一个正方形，使其面积为； （3）在图③中，画一个菱形，使其面积为． 【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解 （3）作图见详解 【解析】 【分析】本题主要考查网格与勾股定理、平行四边形、正方形、菱形的性质，掌握以上知识，数形结合是关键． （1）根据网格特点，平行四边形的性质即可求解； （2）根据网格，勾股定理，正方形的性质即可求解； （3）根据网格，菱形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，， ∴平行四边形即为所求图形； 【小问2详解】 解：如图所示，，则， ∴正方形即为所求； 【小问3详解】 解：如图所示，，则， ∴菱形四边形即为所求图形． 19. 如图，在矩形中，的角平分线交于点，于点，于点，与交于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求证；． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（）先证明四边形是矩形， 再根据角平分线的性质得出，即可求证； （）证明即可求证． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴ ， ∵于点， ∴ ， ∴四边形是矩形， ∵平分，，， ∴， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 证明：∵于点， ∴ ， ∵平分，， 又∵， ∴， ∴． 20. （1）【阅读理解】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是 ； A． B． C． D． （2）【实践操作】如图1，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，长为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点表示的数是 ； （3）【延伸应用】如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽尺，求竹竿长． 【答案】（1）C；（2）；（3）竹竿长尺 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明与应用、实数与数轴，理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）观察图形，根据各个图形面积之间的和差关系，列出等式整理，逐个判断即可； （2）根据勾股定理求得，根据交点在数轴负半轴，得出答案即可； （3）设竹竿长尺，根据题意，则尺，门高尺，门宽尺，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵A图形中，四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， ∴， 整理得：，能证明勾股定理； ∵B图形中，四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， ∴， 整理得：，能证明勾股定理； ∵C图形中，大正方形的面积两个小正方形的面积两个长方形的面积， ∴，不能证明勾股定理： ∵D图形中，两个小直角三角形的面积大直角三角形的面积整个梯形的面积， ∴， 整理得：，能证明勾股定理； 综上所述，不能证明勾股定理的是C， 故答案为：C； （2）∵由题意得：，，， 在中，， ∴， ∵交点在数轴负半轴， ∴点表示的数为， 故答案为：； （3）设竹竿长尺，则尺，门高尺，门宽尺， 在中， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， 答：竹竿长尺． 21. 【课本重现】 你能用折纸、作图等方法得到一个菱形吗？动手试一试！ 小颖、小明和小刚三位同学分别做了以下操作： 【操作1】小颖同学按以下方式进行操作： （1）请写出小颖这样操作的理论依据（提示：文字语言表述，说明理由即可）． 【操作2】小明同学按以下方式进行操作： 如图2，在矩形的纸片上，利用无刻度直尺和圆规作对角线的垂直平分线分别交于E、F两点，再连接． （2）请按照操作2用尺规画出图形（保留作图痕迹，标明字母，不用写作法），并证明四边形是菱形； 【操作3】小刚同学按以下方式进行操作： 将两张相同的矩形纸片叠放在一起，可以重叠出一个菱形，当按如图3的方式将两个矩形的两个对角顶点重合进行叠放，得到的菱形边长最大． （3）已知如图3的矩形卡片中，，，则此时菱形的边长为______． 【答案】（1）见解析；（2）作图见解析，证明见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，折叠问题，三角形全等的判定与性质，菱形的判定，垂直平分线的作法及性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质及菱形的判定定理是解题的关键． （1）由题意可得两条折痕即为四边形的两条对角线，由折叠的性质可得所得四边形的对角线互相垂直且平分，根据菱形的判定定理，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形； （2）根据题意，作线段的垂直平分线交于E、F两点，再连接即可；再证明，可得，即得四边形是平行四边形，再根据即可求证； （3）如图，利用矩形的性质可证，得到，同理易证，可得，再证明，得到，即可证明四边形是菱形，设，则，由菱形的性质可得，再根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图， 由题意可得为折痕，即为四边形的对角线， 由折叠的性质得垂直平分且垂直平分， 则四边形是菱形； （2）解：如图所示为所求； 由作图知，是的垂直平分线，则， 设交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （3）解：如图， ∵四边形，四边形是矩形，且两个矩形相同， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴此时菱形的边长为． 故答案为：． 22. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点．动点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动（到点时停止）．设动点的运动时间为秒． （1）_____．（用含的代数式表示） （2）当为何值时，四边形是平行四边形？ （3）若四边形是平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由． （4）在线段上是否存在一点，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2t （2） （3）四边形是矩形，理由见解析 （4）存在，的值为或 【解析】 【分析】（1）因为点M的运动速度是每秒2个单位长度，运动时间为t秒，根据路程=速度×时间，所以可直接得到的表达式． （2）先根据矩形性质和已知坐标求出的相关线段长度，再根据平行四边形对边平行且相等的性质，得到为平行四边形时与的数量关系，结合的表达式建立关于t的方程求解． （3）先根据平行四边形的性质得到边的关系，再结合矩形的边长，判断的边和角的特征，可利用矩形的判定定理分析． （4）分两种情况讨论：当点在点右侧时，，当点在点左侧时，，结合勾股定理建立关于t的方程求解． 【小问1详解】 解：∵动点M在线段上以每秒2个单位长度的速度由点A向点B运动．运动时间为t秒． ∴． 【小问2详解】 四边形为矩形，， ， 点是的中点， ， 由题意得：， ， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：． 【小问3详解】 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形为矩形， ， 四边形是矩形． 【小问4详解】 存在，分两种情况： ①当点在点右侧时，如图1所示： 四边形为菱形， ， 在中，由勾股定理得：， ： ②当点在点左侧时，如图2所示： 四边形为菱形， ， 在中，由勾股定理得：， ． 综上所述，的值为或时，以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $