第十章二元一次方程组章末复习 课时分层训练2025-2026学年七年级数学下册（人教版）

第十章二元一次方程组章末复习 考点1 二元一次方程（组）的概念 1．下列方程中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．已知是关于的方程的一个解，a的值为（    ） A． B．1 C． D．3 3．方程， 用含x的式子表示y，则________． 4．学校决定用240元专项资金为获奖同学购买奖品，以资鼓励．本次竞赛设一等奖和二等奖两个奖项，一等奖奖品为单价15元的文具盲盒，二等奖奖品为单价10元钢笔套装．专项资金恰好用完，且两种奖品均有购买，则购买方案有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 5．若关于，的二元一次方程的全体整数解可以表示为（为整数），则_______． 考点2 二元一次方程组的解法 6．用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．用加减消元法解方程组，消去后所得的方程是（   ） A． B． C． D． 8．若关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 9．已知关于的方程组的解满足等式，则的值是___________． 10．按要求解下列方程组： (1)（代入法） (2)（加减法） (3) 考点3 二元一次方程组的应用 11．图书馆有双人桌和三人桌共500张，设双人桌有张，三人桌有张，坐双人桌和坐三人桌的人数相同，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 12．明代数学家程大位所著的《算法统宗》里有这样一个问题：隔壁听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两；若每人分九两，则还差八两．设有人，分两银子，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 13．随着旅游热持续升温，某省陆续推出了极具特色的各类文创产品．小丽和小壮计划购买一些文创产品进行收藏，下面是两位同学的对话： 根据两人的对话，求每件佛小伴挂件和每件晋祠水镜台冰箱贴的售价分别为多少元？ 14．智能分拣机器人凭借高效、适应性强、减少错误和优化数据管理等特点，广泛应用于快递、制造、物流仓储及食品行业，显著提升运营效率与成本效益．某物流公司智能分拣中心拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下： A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 1 1 3 求两种型号智能机器人的单价． 15．如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为． (1)若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等．求甲、乙两人的速度； (2)若甲从点先出发，骑车向北匀速直行，1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，则甲出发______分钟，两人与点的距离相等． 16．新学期、新气象、新面貌．开学之际，学生对书包的需求量增加． 【市场调研】 某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息： 信息一 信息二 商场从厂家购进款式、大小、颜色、价格都不相同的A、B两款书包，其中A款书包7个，B款书包5个，共付款920元．已知每个B款书包的进价比每个A款书包贵40元． 商场将B款书包按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个B款书包仍可获利． 【问题解决】 (1)求A、B两款每个书包的进价分别为多少元？ 【信息应用】 (2)利用列方程解应用题，求出信息二中B款书包的打几折出售？ 17．剪纸艺术是中华优秀传统文化瑰宝，学校以剪纸育美润心，传承非遗技艺，展现学子匠心与青春风采．学校打算开展“闽南剪纸文化艺术节”活动，需要在商场购买甲、乙两种剪纸彩纸制作窗花60朵，已知1张甲彩纸和1张乙彩纸共能剪窗花8朵，2张甲彩纸和3张乙彩纸共能剪窗花19朵．购买时正好赶上商场促销活动：买一张甲彩纸，就赠送一张乙彩纸．已知甲彩纸每张4元，乙彩纸每张3元．请你解决以下问题： (1)制作窗花的过程中，若甲、乙彩纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些窗花需要两种彩纸各多少张，并求出最低采购费用． (2)由于实际需要，需要再制作闽南古厝纸雕42个．已知1张甲彩纸可做纸雕3个，1张乙彩纸可做纸雕2个．总共采购两种彩纸的费用要求低于65元．在尽可能减少甲乙两种彩纸的余料的情况下，请你设计出一种窗花、纸雕的制作数量方案（要求：同一张彩纸只能做同一类手工，即不能既做窗花又做纸雕）． 考点4 三元一次方程组的解法及应用 18．下列四组数中，是方程组的解是（   ） A． B． C． D． 19．若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 20．为迎国庆，沙乡街道办摆放花盆，有塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆三种．其中塑料花盆由15朵红花、24朵黄花、25朵粉花组合而成，陶瓷花盆由10朵红花、12朵黄花组合而成，木制花盆由10朵红花、18朵黄花、25朵粉花组合而成．这些花盆一共用了2900朵红花，3750朵粉花，则黄花一共用了____朵． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章二元一次方程组章末复习 考点1 二元一次方程（组）的概念 1．下列方程中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据二元一次方程的定义判断各选项，二元一次方程需满足三个条件：是整式方程，含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1． 【详解】解：∵ 选项A中，项的次数为，不符合条件③，∴ A错误. ∵ 选项B中，方程 是整式方程，含两个未知数，且含未知数的项的次数都是，满足所有条件，∴ B正确. ∵ 选项C中，项的次数为，不符合条件③，∴ C错误. ∵ 选项D中，是分式，方程不是整式方程，不符合条件①，∴ D错误. 2．已知是关于的方程的一个解，a的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】将已知的x，y代入原方程，即可得到关于a的一元一次方程，求解得到a的值． 【详解】解：∵是关于的方程的一个解， ∴把代入得， 解得． 3．方程， 用含x的式子表示y，则________． 【答案】 【分析】利用等式的基本性质，通过移项，将的系数化为1即可求解． 【详解】解： 移项得， 系数化为1得． 4．学校决定用240元专项资金为获奖同学购买奖品，以资鼓励．本次竞赛设一等奖和二等奖两个奖项，一等奖奖品为单价15元的文具盲盒，二等奖奖品为单价10元钢笔套装．专项资金恰好用完，且两种奖品均有购买，则购买方案有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程，设购买一等奖奖品个，二等奖奖品个，，均为正整数，可得，结合奖品数量为正整数的条件，即可求得答案． 【详解】设购买一等奖奖品个，二等奖奖品个，，均为正整数． 根据题意，可得 变形，得 因为是正整数， 所以为整数，即为偶数． 因为， 所以． 所以． 所以的可取的值为，，，，，，，共个，每个对应唯一的正整数． 所以，共有种购买方案． 5．若关于，的二元一次方程的全体整数解可以表示为（为整数），则_______． 【答案】3 【分析】将已知的整数解代入原二元一次方程，消去参数后，解关于的一元一次方程即可得到的值． 【详解】解：把代入得 ， 展开得， 合并同类项得， 移项得， 系数化为得． 考点2 二元一次方程组的解法 6．用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程①代入②后，根据去括号法则整理即可得到结果，掌握代入消元法的步骤是解题关键． 【详解】∵将方程①代入方程②消去， ∴把代入②得：， 根据去括号法则去括号得：， 因此正确选项为D． 7．用加减消元法解方程组，消去后所得的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两个方程中的系数相同，可直接两式相减消去． 【详解】解：原方程组为， 消去，可得． 8．若关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将待解方程组变形为和已知原方程组结构相同的形式，再对应已知解得到新的方程，即可求出结果． 【详解】解：将方程组整理变形：， 方程组的解是， ，解得． 9．已知关于的方程组的解满足等式，则的值是___________． 【答案】1 【分析】根据加减消元法，用含的式子表示出和，将其代入即可求得的值． 【详解】解：， ，得， 解得：， 把代入②得：， 将和代入得：， 解得：． 10．按要求解下列方程组： (1)（代入法） (2)（加减法） (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． （3）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由②得：③， 把③代入①得：， 解得：， 把代入③得：， ∴方程组的解为：． （2）解：， ①＋②，得，解得． 把代入②，得，解得． 所以方程组的解为． （3）解：， ①＋②，得，解得． 把代入①：得，解得． 所以方程组的解为． 考点3 二元一次方程组的应用 11．图书馆有双人桌和三人桌共500张，设双人桌有张，三人桌有张，坐双人桌和坐三人桌的人数相同，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题干给出的两个等量关系列方程组，两个等量关系分别为：双人桌和三人桌总数量为500张，坐两种桌子的总人数相等． 【详解】解：根据题意，可列方程组为 ． 12．明代数学家程大位所著的《算法统宗》里有这样一个问题：隔壁听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两；若每人分九两，则还差八两．设有人，分两银子，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意找出总银子数对应的两个等量关系，据此列方程组即可． 【详解】解：设有人，分两银子， ∵每人分七两，剩余四两，总银子数等于分掉的银子加上剩余的银子， ∴可得， 又∵每人分九两，还差八两，总银子数比需要分的银子少八两， ∴可得， 因此所列方程组为 ． 13．随着旅游热持续升温，某省陆续推出了极具特色的各类文创产品．小丽和小壮计划购买一些文创产品进行收藏，下面是两位同学的对话： 根据两人的对话，求每件佛小伴挂件和每件晋祠水镜台冰箱贴的售价分别为多少元？ 【答案】每件佛小伴挂件的售价为60元，每件晋祠水镜台冰箱贴的售价为45元． 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，根据两种购买方式列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每件佛小伴挂件的售价为x元，每件晋祠水镜台冰箱贴的售价为y元． 根据题意，得 解这个方程组，得 答：每件佛小伴挂件的售价为60元，每件晋祠水镜台冰箱贴的售价为45元． 14．智能分拣机器人凭借高效、适应性强、减少错误和优化数据管理等特点，广泛应用于快递、制造、物流仓储及食品行业，显著提升运营效率与成本效益．某物流公司智能分拣中心拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下： A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 1 1 3 求两种型号智能机器人的单价． 【答案】A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元 【分析】设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可． 【详解】解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 根据题意，得， 解得， 答：A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元． 15．如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为． (1)若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等．求甲、乙两人的速度； (2)若甲从点先出发，骑车向北匀速直行，1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，则甲出发______分钟，两人与点的距离相等． 【答案】(1)，乙的速度是 (2)4分钟或7分钟 【分析】（1）设甲的速度是，乙的速度是，根据题意列出方程组，解出的值即可； （2）设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、，根据题意分、、三种情况分析，分别求出、与的关系式，结合列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：设甲的速度是，乙的速度是， ∵经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等 ∴， 解得：， 甲的速度是，乙的速度是； （2）解：设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、， 甲到达A点所用时间为， ①当时，，， 令，则，解得（舍去）； ②当时，，， 令，则， 解得； ③当，，， 令，则， 解得：； 综上所述，甲出发4分钟或7分钟后，两人与点的距离相等． 16．新学期、新气象、新面貌．开学之际，学生对书包的需求量增加． 【市场调研】 某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息： 信息一 信息二 商场从厂家购进款式、大小、颜色、价格都不相同的A、B两款书包，其中A款书包7个，B款书包5个，共付款920元．已知每个B款书包的进价比每个A款书包贵40元． 商场将B款书包按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个B款书包仍可获利． 【问题解决】 (1)求A、B两款每个书包的进价分别为多少元？ 【信息应用】 (2)利用列方程解应用题，求出信息二中B款书包的打几折出售？ 【答案】(1)每个A款书包的进价为60元，每个B款书包的进价为100元； (2)B款书包的打九折出售． 【分析】（1）通过设A、B款书包的进价为未知数，根据题意列二元一次方程组即可求解； （2）设打折出售，根据利润列出一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：设每个A款书包的进价为元，每个B款书包的进价为元， 由题意，得， 解得， 即每个A款书包的进价为60元，每个B款书包的进价为100元； （2）解：设B款书包实际销售时打折出售， 由题意得： ， 解得， 故B款书包打九折出售． 17．剪纸艺术是中华优秀传统文化瑰宝，学校以剪纸育美润心，传承非遗技艺，展现学子匠心与青春风采．学校打算开展“闽南剪纸文化艺术节”活动，需要在商场购买甲、乙两种剪纸彩纸制作窗花60朵，已知1张甲彩纸和1张乙彩纸共能剪窗花8朵，2张甲彩纸和3张乙彩纸共能剪窗花19朵．购买时正好赶上商场促销活动：买一张甲彩纸，就赠送一张乙彩纸．已知甲彩纸每张4元，乙彩纸每张3元．请你解决以下问题： (1)制作窗花的过程中，若甲、乙彩纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些窗花需要两种彩纸各多少张，并求出最低采购费用． (2)由于实际需要，需要再制作闽南古厝纸雕42个．已知1张甲彩纸可做纸雕3个，1张乙彩纸可做纸雕2个．总共采购两种彩纸的费用要求低于65元．在尽可能减少甲乙两种彩纸的余料的情况下，请你设计出一种窗花、纸雕的制作数量方案（要求：同一张彩纸只能做同一类手工，即不能既做窗花又做纸雕）． 【答案】(1)最低采购费用为36元，对应方案：甲彩纸6张、乙彩纸10张，或甲彩纸9张、乙彩纸5张； (2)一种可行方案：窗花用甲6张、乙10张，纸雕用甲10张、乙6张，总费用64元． 【分析】（1）设1张甲彩纸能剪窗花朵，1张乙彩纸能剪窗花朵，根据题意列出二元一次方程组，可求得1张甲彩纸能剪窗花5朵，1张乙彩纸能剪窗花3朵；再设需要甲彩纸张，乙彩纸张，根据题意列出二元一次方程，求解即可； （2）设制作窗花用甲彩纸a张、乙彩纸b张；制作纸雕用甲彩纸m张、乙彩纸n张．根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：设1张甲彩纸能剪窗花朵，1张乙彩纸能剪窗花朵， 根据题意得， 解得， ∴1张甲彩纸能剪窗花5朵，1张乙彩纸能剪窗花3朵； 设需要甲彩纸张，乙彩纸张， 由题意得， 整理得，需满足是3的倍数，， ∴，；，；，；，； 促销规则：买1张甲彩纸赠送1张乙彩纸，所以实际需要购买的乙彩纸数量为 (若)，否则只需买甲彩纸； 方案1：，， 费用：元； 方案2：，， 费用：元； 方案3：，， 费用：元(因为，赠送的乙彩纸足够) ， 方案4：，， 费用：元； 所以最低采购费用为36元，对应方案：甲彩纸6张、乙彩纸10张，或甲彩纸9张、乙彩纸5张； （2）解：设制作窗花用甲彩纸a张、乙彩纸b张；制作纸雕用甲彩纸m张、乙彩纸n张． 满足： 1.窗花： (同第一问) ， 2.纸雕：， 3.总费用： 4.余料最少： 即a，b，m，n尽量满足等式，无多余； 由，m，n都是非负整数， ∴或或或或或或， 总费用：， 整理得， 当时，不满足； 当时，满足； 此时，总费用， ∴一种可行方案：窗花用甲6张、乙10张，纸雕用甲10张、乙6张，总费用64元，无余料． 考点4 三元一次方程组的解法及应用 18．下列四组数中，是方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用加减消元法对方程组求解，逐步求出未知数的值即可． 【详解】解： 得： 得：， 把代入得：， 解得， 把，代入得 ， 解得 方程组的解为． 19．若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查三元一次方程组的化简与计算，掌握通过消元法将三元转化为二元，求出变量间的关系，再计算目标式的值是解题的关键． 通过对给定的方程组进行消元，求出与的关系，再代入求出与的关系，最后计算的值． 【详解】解： 用(1)式减去(2)式：， 即， ， 把代入(1)式： ， ， ， ． 故选：A． 20．为迎国庆，沙乡街道办摆放花盆，有塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆三种．其中塑料花盆由15朵红花、24朵黄花、25朵粉花组合而成，陶瓷花盆由10朵红花、12朵黄花组合而成，木制花盆由10朵红花、18朵黄花、25朵粉花组合而成．这些花盆一共用了2900朵红花，3750朵粉花，则黄花一共用了____朵． 【答案】4380 【分析】设塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆的数量分别为、、个，根据“这些花盆一共用了2900朵红花，3750朵粉花”列方程化简得出，，再根据黄花总数代入求解即可． 【详解】解：设塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆的数量分别为、、个， 根据题意可得红花总数量：，化简得：①， 粉花总数量：，化简得：②， 把②代入①：， 整理得：， 则黄花总数（朵）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $