湖南长沙市长郡中学等校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

高二数学期中参考答案 一、二、选择题 题号 123 7 8 9 10 11 答案 DAB A C ABD BC ACD 1.D【解析】集合A={0,1,2},所以A∩B={0,1,2}.故选D 2.A 1-i1-D1-D=二2=-i,所以z=|-i=1: 【解析】法-：z=1+1+iD1-D2 法二：两边同时取模|z(1十i)=|1一i=x·|1+i,所以|z=1.故选A 3B【解折]根据地物线的定义，=一2是其准线，又)=2x的准线方程为工=一号，所以一多-一2，解得力=4故 选B. 4D【解析】方程4计号-a两边同时除以a,得到县+方-1， 2a+6(2+6(合+若)=9+g+09+2V层×曾 、2gx4=9+4V2, 当且仅当a=√2b,即a=4十√2，b=2√2+1时等号成立.故选D. 5.C【解析】若x>0,则-x<0,所以f(x)=一f(-x)=-[(-x)2+2X(-x)]=-x2+2x=ax2-bx, 所以a=一1，b=-2,a十b=一3.故选C. 6A【解折PCBD-梁-=号入P=号得到PAB=品又因为PAUB=PA+P(B-PABy 1,所以P(B)-品故选A 7.A【解析】当z∈[1,2]时，g(x)=1,所以只需要3∈[1,2]，使得sin(wr)=1,即o=2kr+受，k∈Z→w= (2k+号)x ,k∈Z,即关于x0的方程w (2+2)x ,k∈Z,在[1,2]上有解，首先>0，k∈Z,其次要使得w最小，则 需飞最小，最大，即当k=0,=2时山最小，故所求最小值为w=平，故选A 8.C【解析】对x)求导得了)=3x+10x-8,再对f()求导得了()=6x十10，令f(x)=0,得=-号，可以 得到f)的对称中心的横坐标为一号，又f（-号）=20，所以f)的对称中心为(-号，20)，()=f红一a)+b表 示将f(x)的图象向右平移a个单位长度，向上平移b个单位长度，因为g(x)=|h(x)为偶函数，只需要将对称中心 移至原点即可，所以a=号，6=-20，故a叶6=要故逸C .ABD【解析】时于A选项，由正孩定理AC得到smC-号，所以C=音或C-号，故△ABC有两组解，故 A正确； 三角形中大边对大角，因为A>B,则>b,再由正弦定理可知B正确； 若sin2A=sin2B,则2A=2B或者2A十2B=π，所以△ABC为等腰三角形或者直角三角形，故C错误； 由正孩定理茹C=2R不和面叔公式SA=言absinC,可知Sa嘿=方inC=方ab·示=资，放D正确，故 选ABD. 10.BC【解析】因为首项为正数，且Sn有最大值，则等差数列{am}的公差d<0,所以(n,S)是开口向下的二次函数图 象上的一些离散的点，又S3=S0,则二次函数的对称轴是直线x=6.5,而n∈N*,所以n取值是6或7时，Sn取最 大.故选BC 高二数学参考答案(5月)一1 11.ACD【解析】因为正方体棱长为2，所以其内切球O半径为1，外接球O2半径为W3,根据球的体积公式可知球O 与球O2的体积之比为13：(W3)3=1:33,故A正确； P为球O2内一点，则P到球O2表面上的最小距离是半径n-|PO=3-√2，故B错误； 设这两个与正方体三个面相切的球半径分别是r,R,它们的球心在正方体的体对角线上，且球心距离为r十R,球心 到对应正方体顶，点的距离分别是V3r和√3R,所以W3(r十R)十r十R=2W3,解得r十R=3-√3，两球的体积之和V= 号x+R)=号r+R)(+R-7R)=号(+R[(叶R)2-3rR],利用基本不等式可知当，=R=33时，你 2 积之和最小V=(18-10√3)π，故C正确； 如图，三棱锥A-BCD1是正四面体，四个球公共部分几何体2的中心是正四面体的中心，也就是正方体的中心O, 最大的球是内切球，也就是中心O到四个球面的距离，所以最大球的半径R=2√2一√3，故最大球的表面积S= 4πR=4π(11-46)=(44-16√6)π，故D正确.故选ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.15【解析】合之的项为Cx()'=15x,所以晨开式中d的系数为15. 13.[日，十）【解析】由题可知函数fx)在（号，3）上单调递增，则f(x)=2ae-2z≥0，参变分离得到≥芒，令 g()=吉，g()1。,当x=1时g《)取最大值g1)=是，所以心是，即实数a的取值范国为[日，十∞)】 143图【解折b=4m=后a-公+1a,a=b, 14 4 1m+a=a+1a+b-√Q+1D.1a+小+2a+D.安。 4a·b =√4（入+1）2+(4λ十1)2+2(+1)(4λ+1) =V2职+6+7-√28+0'+器≥3图，当且仅当=是时等号减立 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.【解析】(1)f(x)=2 sin xcos x+2W3cos2x-√3=sin2x+√3(2cos2x-1) =sin 2x+/3cos 2x=2sin(2+), …3分 所以函数)的最小正周期T-受 0………4分 令2kr受≤2x+号≤2kx+受，k∈乙，解得x∈[kx一登kx+],k∈Z 故通数f)的单调递增区间为[如一爱：x十]，k∈乙 …6分 (2)由f(号)=1,2sim(A+晋)=3，又因为A∈(0，m,所以A=号 3 …8分 因为6叶c=4,根据基本不等式b≤（生）=4，当且仅当b=c=2时等号成立，…10分 所以Sc=号sinA=号c≤5，所以△ABC面积的最大值v为5.…13分 16.【解析】(1)数列{an}是等差数列，设公差为d,因为21=a十2a4=a一2d十2(a十d)=3a,所以a=7, 又S=99=9a5,a5=11, 解得1=3，d=2,… …3分 高二数学参考答案(5月)一2 所以an=3十2(n-1)=2n十1.… …4分 当n≥2时，bg…b-1=2,所以b. 2“ 2=2”, 当n=1时，b1=21=2,满足上式，所以bn=2m.… …8分 2n n (2)由(1)可知，Gn=22=2,… …9分 所以十号+是+…叶产，① 所以.=+是+是+…+， ①一@可得号.-1+十安+2+ 1-(2)” 2m-2m …14分 1 1一2 所以T=4- 2m-1. …15分 17.【解析】(1)法一：如图所示，取CD的中点M,BC的中点N,连接MA,MP,NA,NP, 因为△PBD是正三角形，BD=PC=2√3，则PB=PC, 又N为BC的中，点，所以BCLPN,…1分 又底面四边形ABCD为菱形，∠ABC=受， 所以△ABC是等边三角形，所以AN⊥BC,… …2分 因为AN∩PN=N,ANC平面PAN,PNC平面PAN,所以BC⊥平面PAN.…3分 又PAC平面PAN,进而BC⊥PA, 同理可得CDLPA,… …5分 因为BC∩CD=C,BCC平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD.…7分 法二：设AC∩BD=O,连接PO,则AC,BD在O点相互平分，又在菱形ABCD中，AC⊥BD,…1分 △PBD是正三角形，则POBD,… …2分 而PO∩AC=O,PO,ACC平面PAC,所以BD⊥平面PAC, …3分 因为BDC平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面PAC: 作PM⊥AC交AC于点M,则PM⊥平面ABCD,… 5分 B 因为底面四边形ABCD为菱形，∠ABC=号，BD=23,所以AB=AC=2, 因为△PBD是正三角形，BD=23,所以P0=5X2W5=3, 2 高二数学参考答案(5月)一3 在△P0C中，cos∠PC0=PC+OC-P0-12+1-9- 2PC·OC 2×2√5X13 又因为在R△PMC中，PO-兴， 所以CM=PCo∠P00=25×号=2=CA, 所以点M与点A重合，即PA⊥平面ABCD.… …7分 (2)因为PB∥平面AEC,PBC平面PBD,且平面AEC∩平面PBD=OE,则PB∥OE, 由于O为BD的中点，所以E为PD的中，点，…9分 如图，分别以OB,OC所在直线为x,y轴，过O且平行于AP的直线为之轴建立空间直角坐标系Oxyz, 由(1)可知PA=√PC-CA=2W2, D 0 B 所以B65,00,C01,0,D-50,0,P0,-1,2②)，E-,-7w②， i-(,-2),i=(-5,-1,0.ci=65,-1,0, 设平面BCE的法向量为m=(x,y,之)， m·Ci=0,W3x-y=0, 则 m.c2=0, l-2x-2y+2x=0, 令x=1,得m=(们，W3,W6),…11分 设平面CED的法向量为n=(x',y,之)， n…ci=0,「-3x'-y=0, 则 即 n.CE=0 --w=0… 令=-1，得n(-13,), …13分 cos(m,m）=m7-】 m·n= -1+3+3 =√55 11· …14分 +3+6×√1+3+ 由图可知，二面角B-CE-D是钝角，所以二面角B-CE-D的余弦值为一√⑤ 11· …15分 18.【解折1)当a=-2时，f)=一至一3加，则=-1， 又f)=1+是一兰，所以了)=0，所以亩线y=f)在1，f1)处的切线方程为)=-1.…4分 ……(0方8产=g-号-【=（四）粒含米xu四8D十c=《 因为f(x)有两个极值点，所以x2一3x一Q=0在(0，十∞)上有两个不相等的根，…6分 又看十=3则只有委合十80解得-是<0， 1x2=a>0, 所以实数a的取值范国为一是<a<0。… …10分 (i)因为x<2,且x1是方程x2-3.x-a=0的根， 所以a∈(0,2）且a=-3, 高二数学参考答案(5月)一4 则西fa)=(+号-3n)=+a-3alh0=2-3-3ah4, ……13分 令g)=22-3x-3lnx,xe(0,2),则g()=4红-3nx-6, 令()=g(,则W()=4-是，令()=0，解得x=子，因为()在(0，是）)上单调道增，且()=0， 所以函数g()在(0，)上单调递减，在(，）上单调递增， 又ge)=4e>0,g(）=-3-3n是<0，g(2）=-3n号<0， 所以3∈(e2,星)使得通教g()在(0，x)上单调递增，在(，号）上单调递减，且4一31n西-6=0.… ………………………………………15分 故高数g四的最大值为g)=2店-3-3五n6=2话-3-（4-6)=-2+3=-2（名-》'+号 <号，即a)骨得运 …17分 e=c- a31 19.【解析】(1)依题可知 a2=b2+c2, 解得a=√3，b=√2，c=1, 12W3)2 3 b 所以蒲调的标准方程是写+号-1 …4分 (2)设A(1,y),B(x2,y2),F(1,0), 当直线l与x轴不重合时，设直线L的方程为x=my十1(m≠0)， x2y2」 联主5+萱=1，化简得(2㎡+3》y+4my-4=0, (x=my+1, 且1十为=一 Am m+3%%=2m十30…6分 -4 又AN(x,-y),直线A'B的方程为y十y=十1(x一G), C2一x1 令y=0,解得=当2-）十石=1十27Y业，… …8分 y2十y1 y2十y -8m 将①代入可得x=1+ 2m2+3 =3,所以定点M为(3,0)， 9分 Am 2m2+3 当直线l与x轴重合时，即直线1的方程为y=0,也过点M(3,0), 所以直线A'B过x轴上的定点M(3,0).… 10分 8)两直线交于Q(3,).c色，吉)， 将@入可得c(z32n2, 所以s=@8=日·高·然}-点 …………13分 S=号·MF·1M-%=|y-=√m+为产-4-45m 2m2+3 …15分 6(m2+1) 哈-雷平-+京· 4V3√m2+1 2m2+3 又因为i>0,所以爱∈（停，+）】 …17分 高二数学参考答案(5月)一5高二数学期中 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。时量120分钟。满分150分。 第I卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的) 1.已知集合A={x∈N|x2<5},B={-1,0,1,2,3},则A∩B= p A.{1,2} B.{1,2,3) 拙 C.{-1,0,1} D.{0,1,2} 最 2.已知i是虚数单位，复数z满足z(1十i)=1一i,则川z= 如 A.1 B.√2 C.√3 D.2 3.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,C上的点到F的距离等于到直线x=一2的距离，则p= A.8 B.4 C.2 D.1 製 ☒ 4.设a>0,6>0,且4+号=a,则2a十b的最小值为 A.8 郑 B.6+4√2 C.10 D.9+4√2 南 茶 x2+2x,x≤0， 尚 5.已知函数f(x) 为奇函数，则a十b= ax2-b;x0 A.-2 B.0 C.-3 D.-1 6若事件A,B满足P(A)=,P(BA)=号，P(AUE)=1,则P(B) A贵 B音 c品 n是 7.已知函数f(x)=sin(aux)(w>0),g(x)=|x-1|+|x-2|,若3x∈[1,2]，使得f(x)=g(x)有 解，则ω的最小值为 A军 B c D.元 &已知函数x)=2+5x-8x一罗若g()=f红-a)十bl为偶函数，则a+6 A B.-65 3 c 高二数学试题(5月)1第1页（共6页） 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是 A.若c=√6，A=45°，a=2,则△ABC有两组解 B.若A>B,则sinA>sinB C.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形 D5c=资(R为△ABC外接圈的半径) l0.首项为正数的等差数列{an}的前n项和为Sm,且S3=S1o,当Sn取到最大值时，n的取值是 A.5 B.6 C.7 D.8 11.已知正方体ABCD-A1BCD1的棱长为2，球O为其内切球，球O2为其外接球，点P是AA! 的中点，则下列说法正确的是 A.球O1与球O2的体积之比为1：3√3 B.点P到球O2表面的距离的最小值为2√一√2 C.若在正方体内部放置两个相互外切的球，两球球心同在正方体的一条体对角线上且两球都与 正方体的三个面相切，则这两个球的体积之和的最小值为(18一10√3)π D.分别以正方体的四个顶点A,C,B,D为球心，2√2为半径作四个球，记这四个球的公共部分 为几何体2，几何体2内能容纳的最大球的表面积为(44-16√6)x 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 得分 答案 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.(x十)°的展开式中x2的系数是 13.已知函数f(x)=2ae一x2在区间（号3）上单调递增，则实数a的取值范围为 14.已知向量a,b满足引a=2,b=4,(a,b)=牙，若c=a十b,A∈R,且m,n分别是c在a,b上的 投影向量，则m十nl的最小值为 高二数学试题(5月)第2页（共6页） 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=2 sin xcos x-十2v3cos2x-√3. (1)求函数f(x)的最小正周期与单调增区间； (2)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c若f号)=3，且b十c=4,求△ABC面积 的最大值 16.(本小题满分15分) 已知等差数列{an}及其前n项和Sm满足a1十2a4=21,Sg=99.数列(bn}满足b1b2b…b=2 (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)若数列{c}满足c,=一1，求数列{c}的前n项和Tn b 高二数学试题(5月)第3页（共6页） 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为菱形，∠ABC=号，△PBD是正三角形，BD =PC=23,E为PD上一点. B (1)证明：PA⊥平面ABCD; (2)若PB∥平面AEC,求二面角B-CE-D的余弦值 高二数学试题(5月)第4页（共6页） 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=x十a-3lnx (1)当a=一2时，求曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (2)若f(x)有两个极值点x1,x2(x<x2). (i)求实数a的取值范围； (i)证明：mf()<8 高二数学试题(5月)第5页（共6页） 19.(本小题满分17分) 已知过点P(1,2)的椭圆C芳+苦-1的离心率为号，直线1过椭圆C的右焦点F,且与椭圆 C交于A,B两点 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l的斜率存在，点A关于x轴的对称点是A',求证：直线A'B过x轴上的定点M,并求 其坐标； (3)在(2)的条件下，过点M作x轴的垂线'与l交于点Q,记线段AB的中点为G,△QMG的面 积为S,△MAB的面积为S:,求受的取值范围. 高二数学试题(5月)第6页（共6页）