专题06 圆与正多边形高频考点6大题型（高频考点专练）（上海专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题06 圆与正多边形高频考点6大题型 目 录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（6大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 圆的基本概念与垂径定理 题型二 圆心角、圆周角与圆内接四边形 题型三 直线与圆的位置关系（切线的判定与性质） 题型四 圆与圆的位置关系 题型五 与圆有关的计算（弧长、扇形面积、圆锥侧面积） 题型六 正多边形的概念与性质 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 圆与正多边形是上海中考数学几何部分的核心必考模块，是几何中难度最高、综合性最强的板块之一。从近五年考情看，该模块分值约12-18分，约占全卷的10%，其中：位置与作用：考点主要集中在填空、选择及解答题。作为初三内容，它常与初二知识（三角形、四边形）和相似、锐角三角比等结合，是第25题压轴题的核心背景。 考频与重点：核心概念与性质：垂径定理、圆心角与圆周角是基础，5年5考。 高频热点：直线与圆（切线判定与性质）、圆与圆的位置关系是考查热点，5年4考。 计算：弧长、扇形面积、圆锥侧面积计算是必考内容，通常在选择或填空中出现。 综合与应用：在几何压轴题中，圆常作为背景框架出现，综合考查全等、相似、等腰三角形等知识。 新趋势：2025年中考已将“正多边形”概念纳入考查，并出现了分类讨论（多解性） 的题型，值得重点关注。专家指出，这类题型旨在考查学生的数学本质理解和逻辑思维能力。 基础知识必备：能熟练解一元一次方程与二元一次方程（组）（5年3考），掌握不等式的性质及一元一次不等式（组）的解法（5年5考），并能在数轴上准确表示解集；理解配方法，会用因式分解法和求根公式法解一元二次方程（5年5考），会用根的判别式判断一元二次方程根的情况（5年5考），掌握韦达定理进行相关计算（5年3考）；会解可化为一元一次方程的分式方程（5年2考）和简单无理方程（5年3考），养成检验的习惯，正确识别和处理增根问题；能够从实际问题中抽象出方程（组）或不等式（组）建立数学模型，正确列出方程并求解验证（5年3考）。 2026中考预测： 题型稳定：直线与圆的位置关系、垂径定理的应用，仍是选择、填空及第23题几何证明的高频考点。弧长与扇形面积的计算题将在填空或第19-22题的解答题中出现。圆与正多边形的相关知识将延续2025年的考查趋势，单独或结合其他知识出现。 难度平稳：基础题（0.8-0.9）直接考查圆的定义、圆周角定理等，确保多数学生能拿分。中档题（0.6-0.75）考查切线的判定与计算、圆中阴影部分面积，是区分中等生的关键。值得注意的是，2026年上海中考数学难度结构可能从原有的8:1:1调整为7:2:1或6:3:1，中档题比例将显著提升。 命题趋势：命题将从“纯知识”考查，向“真实情境应用”和“跨学科融合”转变。如结合建筑设计、物体滚动、物理光学中的角度求解等情境的题目会更常见。同时，2025年出现的分类讨论思想将继续成为圆与正多边形考题的重要考查方向。 题型一 圆的基本概念与垂径定理 【真题呈现01】（2025年上海市中考数学真题）在锐角三角形中，，，的外接圆为，且半径为5，边中点为，如果以为圆心的圆与相交，那么的半径可以为（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 9 【变式01】（2026·上海虹口·二模）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【变式02】（2026·上海崇明·二模）如图，已知是的外接圆，是的直径，为的弦，且，点为的中点，连接，交于点，． （1）求的半径； 【变式03】（2026·上海金山·二模）如图，在中，弦的长为，，令． （1）用含和的代数式表示的半径； 【变式04】（2026·上海金山·二模）如图，点在以为直径的半圆上，，联结，过点作，交的延长线于点，在上取点，使，联结、． （1）求证：； 题型二 圆心角、圆周角与圆内接四边形 【真题呈现02】（2026·上海虹口·二模）如图，在矩形中，，，经过点、和边上的点，如果的半径是5，那么的长是______． 【变式01】（2025·上海奉贤·三模）圆半径长为，对于圆的内接正六边形，下列说法错误的是（ ） A. 中心角是 B. 内角是 C. 边心距为 D. 边长为 【变式02】（2025·上海虹口·三模）如果正多边形的边数是（），它的中心角是，那么关于的函数解析式及其定义域为___． 【变式03】（2025·上海崇明·二模）一个正n边形的中心角为，则n为___________． 题型三 直线与圆的位置关系（切线的判定与性质） 【真题呈现03】（2026·上海长宁·二模） 已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（ ） A. 直线l可能经过圆心O B. 直线l可能与相交 C. 直线l可能与相切 D. 直线l可能与相离 【变式01】（2026·上海徐汇·二模）如图，已知，半径为的与边、均相切，如果与的两边都相切，且与相交，那么的半径长可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【变式02】（2026·上海松江·二模）如图，已知中，，，半径为1的经过点，且在边、上截得的弦长相等，点在边上，如果以为半径的与相交，那么的长可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【变式03】（2026·上海黄浦·二模） 如图，坐标平面内圆，已知圆的半径为2，圆心，下列直线中，与圆相交，且被圆所截得的弦最长的是（ ） A. B. C. D. 【变式04】（2025·上海浦东·二模）如图，在中，，，点在边上，且是等边三角形，点是对角线上一点．如果经过点且与边没有公共点，那么的半径的取值范围是________． 题型四 圆与圆的位置关系 【真题呈现04】已知两圆的半径长之比为，且当两圆内切时的圆心距为9厘米，那么当两圆的圆心距增大到18厘米时，这两圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 不确定 【变式01】（2026·上海崇明·二模）在中，，，，点是边上一点，若以为圆心，为半径的与以为圆心，为半径的相交，且点在的内部，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【变式02】（2026·上海普陀·二模）在中，，，（如图所示） ．点D在边上（不与点A、B重合），，，垂足分别为E、F，的半径长为2．如果与外切，那么的半径长r的取值范围是________． 【变式03】（2026·上海闵行·二模）如图，在中，，，垂足为点，点是的重心，，，点为边上一动点，如果以点为圆心为半径的与以点为圆心的相切，那么的半径的取值范围是_____． 题型五 与圆有关的计算（弧长、扇形面积、圆锥侧面积） 【真题呈现05】（2026·上海黄浦·二模）如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画圆，如果图中阴影部分的面积为，那么该正六边形的边长是______． 【变式01】（2026·上海黄浦·二模）已知一个平面图形，其下方为一个矩形，上方为一个以矩形一边为直径的半圆（如图所示），设， ，那么这个平面图形的面积是______（用，的代数式表示）． 【变式02】（2026·上海闵行·二模）如图是一把完全打开的折扇，此时扇面面积为．当扇面张开的角度为时，扇面面积为，如果，那么与关系的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【变式03】（2025·上海虹口·三模） 如图，半径为的沿着边长为的正方形的边作无滑动地滚动一周回到原来的位置，自身转动的圈数是 ____________．（用含的代数式表示） 【变式04】（2025·上海虹口·三模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，点O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为______． 题型六 正多边形的概念与性质 【真题呈现06】（2026·上海奉贤·二模）如果一个正多边形的内角等于中心角的3倍，那么这个正多边形是（ ） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正六边形 D. 正八边形 【变式01】（2026·上海闵行·二模）已知半径为2的正多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个正多边形的面积为_____． 【变式02】（2026·上海普陀·二模）已知一个正多边形的中心角等于，那么下列关于这个正多边形的结论中，错误的是（ ） A. 边数为6 B. 每个外角都等于 C. 边长与半径长的比为 D. 既是轴对称图形也是中心对称图形 【变式03】（2026·上海松江·二模）如图，正五边形与正方形的两邻边相交，如果，那么_______． 【变式04】（2026·上海黄浦·二模）已知是圆和的公共弦，如果弦是圆的内接正方形的一边，也是圆的内接正六边形的一边，那么圆与的半径之比是______． （限时训练：20分钟） 1.（2026·上海宝山·二模）如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定 2.（2026·上海宝山·二模）如图，正六边形是由八个全等的等腰梯形拼接而成，如果每个等腰梯形的腰长都是2，那么正六边形的边心距是______． 3.（2026·上海静安·二模）如图，弓形弦长米，高米，有一内接矩形，边在上，顶点E、H在弓形弧上，边的长比的2倍多4米． （1）求该弓形所在圆的半径； 4.（2025·上海浦东·二模）对于命题：①一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离；②一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含．下列说法正确的是（ ） A. ①正确②错误 B. ①错误②正确 C. ①和②都正确 D. ①和②都错误 5.（2025·上海浦东·二模）如果一个正六边形的边心距的长度为，那么它的半径的长度为__． 6.（2025·上海虹口·二模） 如图，由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙．如果直角三角形最短边的长为，那么小正六边形的边心距是___________． 7.（2025·上海虹口·二模） 如图，在中，，如果以点为圆心的与以边为直径的外切，那么的半径长是___________． 8.（2025·上海奉贤·二模） 如图，在边长为 2 的正六边形中，G为的中点，点Q为正六边形边上任意一点，以为半径的与以为半径的相交时，那么的半径 r 的取值范围是_______． 9.（2025·上海崇明·二模）如图，是的直径，是一条弦，D是的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G． （1）求证：． （2）若，求的半径． 10.（2025·上海崇明·二模）在中，点C是弧中点，交弦于点D，且D是的中点． （1）求的度数； （2）延长交于点E，连接，交于点F，如果，求的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $基础概念：圆心、半径、直径、弦、弧、优弧、劣弧、等弧、等圆、同心圆 确定圆：不在同一直线上的三点确定一个圆 知识要点O 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，平分弦所对两条弧 定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦 弦长公式：l=2厂(R2-d2) 求弦长：已知R、d直接代入公式 圆的基本概念与垂径定理○ 解题步骤0 求弦心距：d=√[R2-(1÷2)2] 平行弦距离：同侧d-d2;异侧d1+d2 只有直径能用垂径定理，普通半径不行 易错提醒O 平分弦时，被平分弦不能是直径 平行弦必须分同侧、异侧，防止漏解 圆心角：度数等于所对弧度数；等圆心角一等弧一等弦 圆周角：等于同弧圆心角的一半 知识要点0 推论：同弧圆周角相等；直径对90°；90°对直径 圆内接四边形：对角互补；外角等于内对角 四点共圆：对角互补即可判定 二、圆心角、圆周角与圆内接四边形© 求角度：找同弧圆周角、圆心角；遇直径找直角 解题步骤0 证共圆：证对角互补或外角等于内对角 必须同弧或等弧，才可使用圆周角定理 易错提醒⊙ 只有直径所对圆周角为90° 内接四边形对角和为180°，不是90° 位置判定。 d<r相交；d=r相切；d>r相离 过半径外端且垂直半径 知识要点O 切线判定0 圆心到直线距离等于半径 切线垂直过切点半径 切线性质。 切线长定理：圆外一点两切线长相等 三、直线与圆的位置关系 有切点：连半径，证垂直 解题步骤0 无切点：作垂线，证等于半径 求线段：连圆心与切点构造直角三角形 切线判定两个条件缺一不可 易错提醒⊙一 切线长相等是线段长，不是半径相等 专题06圆与正多边形© 弧长公式：1=nmR÷180 扇形面积：S=nmR2÷360;S=IR 知识要点O 圆锥侧面积：S侧=πrl 圆锥全面积：S全=πrl+r2 一小于半圆：扇形减三角形 弓形面积0 大于半圆：扇形加三角形 四、与圆有关的计算© 弧长扇形：找n、R直接代公式 解题步骤0 圆锥计算：扇形半径=母线；扇形弧长=底面周长 n是圆心角，不是圆周角 易错提醒O 扇形公式中只能是弧长 母线≠圆锥的高，要用勾股换算 定义：各边相等、各角相等 任何正多边形都有外接圆、内切圆且同心 知识要点O 中心角：360°÷n 内角：(n-2)x180°÷n 半径、边心距分成2n个全等直角三角形 五、正多边形的概念与性质O 构造直角三角形，用三角函数求边长、边心距 解题步骤O 常用：正三角形、正方形、正六边形固定数值 正三角形不是中心对称图形 易错提醒O 正六边形边长等于外接圆半径 分清外接圆半径R、边心距r 平行弦：圆心同侧、异侧 两圆相切：外切、内切 常见类型O 点在弧上：优弧、劣弧 圆内接三角形：锐角、钝角、直角 画图分析所有可能情况 六、分类讨论与多解问题© 解题步骤0 每种情况单独计算 检验结果是否符合题意 容易只算一种情况丢解 易错提醒O 不要被固定图形思维定式 算出结果一定要检验 专题06 圆与正多边形高频考点6大题型 目 录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（6大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 圆的基本概念与垂径定理 题型二 圆心角、圆周角与圆内接四边形 题型三 直线与圆的位置关系（切线的判定与性质） 题型四 圆与圆的位置关系 题型五 与圆有关的计算（弧长、扇形面积、圆锥侧面积） 题型六 正多边形的概念与性质 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 圆与正多边形是上海中考数学几何部分的核心必考模块，是几何中难度最高、综合性最强的板块之一。从近五年考情看，该模块分值约12-18分，约占全卷的10%，其中：位置与作用：考点主要集中在填空、选择及解答题。作为初三内容，它常与初二知识（三角形、四边形）和相似、锐角三角比等结合，是第25题压轴题的核心背景。 考频与重点：核心概念与性质：垂径定理、圆心角与圆周角是基础，5年5考。 高频热点：直线与圆（切线判定与性质）、圆与圆的位置关系是考查热点，5年4考。 计算：弧长、扇形面积、圆锥侧面积计算是必考内容，通常在选择或填空中出现。 综合与应用：在几何压轴题中，圆常作为背景框架出现，综合考查全等、相似、等腰三角形等知识。 新趋势：2025年中考已将“正多边形”概念纳入考查，并出现了分类讨论（多解性） 的题型，值得重点关注。专家指出，这类题型旨在考查学生的数学本质理解和逻辑思维能力。 基础知识必备：能熟练解一元一次方程与二元一次方程（组）（5年3考），掌握不等式的性质及一元一次不等式（组）的解法（5年5考），并能在数轴上准确表示解集；理解配方法，会用因式分解法和求根公式法解一元二次方程（5年5考），会用根的判别式判断一元二次方程根的情况（5年5考），掌握韦达定理进行相关计算（5年3考）；会解可化为一元一次方程的分式方程（5年2考）和简单无理方程（5年3考），养成检验的习惯，正确识别和处理增根问题；能够从实际问题中抽象出方程（组）或不等式（组）建立数学模型，正确列出方程并求解验证（5年3考）。 2026中考预测： 题型稳定：直线与圆的位置关系、垂径定理的应用，仍是选择、填空及第23题几何证明的高频考点。弧长与扇形面积的计算题将在填空或第19-22题的解答题中出现。圆与正多边形的相关知识将延续2025年的考查趋势，单独或结合其他知识出现。 难度平稳：基础题（0.8-0.9）直接考查圆的定义、圆周角定理等，确保多数学生能拿分。中档题（0.6-0.75）考查切线的判定与计算、圆中阴影部分面积，是区分中等生的关键。值得注意的是，2026年上海中考数学难度结构可能从原有的8:1:1调整为7:2:1或6:3:1，中档题比例将显著提升。 命题趋势：命题将从“纯知识”考查，向“真实情境应用”和“跨学科融合”转变。如结合建筑设计、物体滚动、物理光学中的角度求解等情境的题目会更常见。同时，2025年出现的分类讨论思想将继续成为圆与正多边形考题的重要考查方向。 题型一 圆的基本概念与垂径定理 【真题呈现01】（2025年上海市中考数学真题）在锐角三角形中，，，的外接圆为，且半径为5，边中点为，如果以为圆心的圆与相交，那么的半径可以为（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 9 【答案】B【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两圆相交的条件等知识，掌握两圆相交的条件是关键；根据题意，等腰的外接圆半径为5，由等腰三角形的性质、勾股定理求得；当与相交时，圆心距需满足条件，代入数值求解r的范围，进而确定选项． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E， ∵，D为中点， ∴，； ∵锐角三角形中，， ∴外接圆心O在上， 连接，由勾股定理得：； 设以D为圆心的圆的半径为，相交应满足：， 即，解得：； 在此范围的半径只有选项B； 故选：B． 【变式01】（2026·上海虹口·二模）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先利用勾股定理可得，再根据“点在内且点在外”可得，由此即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， ， 点在内且点在外， ，即， 观察四个选项可知，只有选项C符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键． 【变式02】（2026·上海崇明·二模）如图，已知是的外接圆，是的直径，为的弦，且，点为的中点，连接，交于点，． （1）求的半径； 【答案】（1） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理得到，，设，则，利用勾股定理求出，即可得到答案； 【小问1详解】 解：点为的中点， ，， 设，则， ， ， 解得， 的半径为； 【变式03】（2026·上海金山·二模）如图，在中，弦的长为，，令． （1）用含和的代数式表示的半径； 【答案】（1） 【解析】 【分析】（1）过圆心作弦的垂线，平分弦且构造直角三角形，结合三角函数把半径用弦长d和的三角函数表示； 【小问1详解】 解：如图，作于， 则， ， ， 的半径为； 【变式04】（2026·上海金山·二模）如图，点在以为直径的半圆上，，联结，过点作，交的延长线于点，在上取点，使，联结、． （1）求证：； 【解析】 【分析】（1）由垂径定理的推论得到，再由，即可证明； 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵， ∴； 题型二 圆心角、圆周角与圆内接四边形 【真题呈现02】（2026·上海虹口·二模）如图，在矩形中，，，经过点、和边上的点，如果的半径是5，那么的长是______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，，利用的圆周角所对的弦是直径可得为直径，在中利用勾股定理求出的长，最后根据线段的和差求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，， 如图：连接， ∵， ∴是的直径，即， ∴， ∴． 【变式01】（2025·上海奉贤·三模）圆半径长为，对于圆的内接正六边形，下列说法错误的是（ ） A. 中心角是 B. 内角是 C. 边心距为 D. 边长为 【答案】D 【解析】 【分析】根据正六边形的性质，计算它的中心角、内角、边心距以及边长即可． 【详解】解：如图，正六边形内接于，连接，，过点作于点， ∴，， 即中心角是，故选项A不符合题意； ∵正六边形内接于， ∴， 即正六边形的内角为，故选项B不符合题意； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 即正六边形的边长为，故选项D符合题意； ∵， ∴， ∴， 即正六边形的边心距为，故选项C不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形和圆，考查了正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一性质，勾股定理等知识点．掌握正六边形的性质是解题的关键． 【变式02】（2025·上海虹口·三模）如果正多边形的边数是（），它的中心角是，那么关于的函数解析式及其定义域为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的计算，一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到边数． 【详解】解：由题意可得：边数为， 则． 故答案为：． 【变式03】（2025·上海崇明·二模）一个正n边形的中心角为，则n为___________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据正多边形的中心角和为计算即可． 【详解】解：， 故答案为：10． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角和为是解答此题的关键． 题型三 直线与圆的位置关系（切线的判定与性质） 【真题呈现03】（2026·上海长宁·二模） 已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（ ） A. 直线l可能经过圆心O B. 直线l可能与相交 C. 直线l可能与相切 D. 直线l可能与相离 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂线段最短得到圆心到直线的距离范围，再结合直线与圆位置关系的判定即可得出结论 【详解】解：设的半径为，圆心到直线的距离为， 由题意得，为上一点，， ∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴，即， ∵直线与圆相离的判定条件为， ∴不可能大于， ∴直线不可能与相离． 【变式01】（2026·上海徐汇·二模）如图，已知，半径为的与边、均相切，如果与的两边都相切，且与相交，那么的半径长可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先证点O在的角平分线上，再求出与外切时的半径，进而可得半径的取值范围． 【详解】解：标记与边、的切点为E，H， 则，， 在与中，， ， ， 即点O在的角平分线上， 作，与外切，切点为M，N，且与边、均相切，与的切点为点D，与的切点为点F， 同理可得，点与在的角平分线上， 设的半径为r， ， ，， ， ， 解得， 同理可得的半径为3， 与相交， ， 当时，与重合，不合题意， 观察四个选项可知，的半径长可以是2． 故选B． 【变式02】（2026·上海松江·二模）如图，已知中，，，半径为1的经过点，且在边、上截得的弦长相等，点在边上，如果以为半径的与相交，那么的长可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】过点分别作，，垂足为点，延长交于点F，则，那么平分，再由等腰三角形的性质得到，而由勾股定理可得，那么，再找到外切和内切时的临界位置，根据勾股定理建立方程求解即可得到的取值范围． 【详解】解：过点分别作，，垂足为点，延长交于点F， ∵在边、上截得的弦长相等， ∴， ∴平分 ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 当与外切时，连接，设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得； 当与内切时，连接， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得； ∴与相交时，， ∴B符合题意． 【变式03】（2026·上海黄浦·二模） 如图，坐标平面内圆，已知圆的半径为2，圆心，下列直线中，与圆相交，且被圆所截得的弦最长的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆中最长的弦是直径，可得经过圆心的直线被圆所截得的弦最长，判断选项中哪条直线经过圆心即可． 【详解】解：A、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误； B、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误； C、在直线中，当时，，∴直线经过圆心，故此选项正确； D、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误． 【变式04】（2025·上海浦东·二模）如图，在中，，，点在边上，且是等边三角形，点是对角线上一点．如果经过点且与边没有公共点，那么的半径的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、平行四边形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用，解题关键是找到界点时的情况计算． 根据题意，需要找到当时，半径最小；当点与点重合时，半径最大，计算出长度即可解答． 【详解】解：作交于点， 在中， ，，，， ， 是等边三角形， ，， 直角中， ，， ， ， 在直角中， ， 在直角中， ， 作交于点， ， ， ， 与相切时，，即， 当时，半径最小，即； 当点与点重合时，，即， ， 半径最大为， 综上所述，． 题型四 圆与圆的位置关系 【真题呈现04】已知两圆的半径长之比为，且当两圆内切时的圆心距为9厘米，那么当两圆的圆心距增大到18厘米时，这两圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题先根据半径比设参数，利用两圆内切的性质求出两圆半径，再比较圆心距与两圆半径和、差的大小，判断两圆位置关系，用到两圆位置关系与圆心距、半径的关系知识点． 【详解】解：由于两圆的半径长之比为， 设两圆半径分别为 厘米， 厘米，其中 ， 当两圆内切时，圆心距等于两圆半径的差，且内切时圆心距为 9 厘米， ， 解得， 厘米、厘米， 厘米、厘米， 圆心距为厘米，满足， 此时两圆位置关系为相交． 【变式01】（2026·上海崇明·二模）在中，，，，点是边上一点，若以为圆心，为半径的与以为圆心，为半径的相交，且点在的内部，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由勾股定理求出斜边的长度，设，分别根据点在内部、与相交的条件列出不等式，联立求解得到的取值范围． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得 ． 设，则 ，半径为，半径为． 由点在内部得 ，以点C为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图， 则，，，在上，作于点， ∵，， ∴ ∴，即 ∴ 化简整理得 ， 解得． 由与相交，根据两圆相交的条件得 ， 即 ， 解不等式 得； 当时，，解得， 此时的取值范围为， 即此时， 当时，，即， 此时无解， 综上可知，， 即． 【变式02】（2026·上海普陀·二模）在中，，，（如图所示） ．点D在边上（不与点A、B重合），，，垂足分别为E、F，的半径长为2．如果与外切，那么的半径长r的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，连接，设与交于点，证明，求出的取值范围即可． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， 如果与外切，则的长为的半径长， 在中，， ∴， ，，， 四边形为矩形， ， ， 当时，最短， 根据三角形面积公式可得，此时， ， 当点无限接近点时，此时， ， 即的半径长r的取值范围是． 【变式03】（2026·上海闵行·二模）如图，在中，，，垂足为点，点是的重心，，，点为边上一动点，如果以点为圆心为半径的与以点为圆心的相切，那么的半径的取值范围是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】如图，过点O作于点E，交于点F，首先利用三线合一求出，利用勾股定理求出，利用等面积法求出，然后由重心的性质求出，然后根据题意分与外切和与内切两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】解：如图，过点O作于点E，交于点F， ∵在中，，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，点是的重心， ∴ ∵以点为圆心为半径的与以点为圆心的相切 当与外切时，如图，当点D在点E处时， ∴， ∴的半径取得最小值，即的长度； 如图，当点D在点A处时， ∴， ∴的半径取得最大值，即的长度8； ∴； 当与内切时，如图，当点D在点E处时，与的延长线交于点H， ∴， ∴的半径取得最小值，即的长度； 如图，当点D在点A处时，与的延长线交于点I， ∴， ∴的半径取得最大值，即的长度16； ∴． 综上所述，的半径的取值范围是或． 题型五 与圆有关的计算（弧长、扇形面积、圆锥侧面积） 【真题呈现05】（2026·上海黄浦·二模）如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画圆，如果图中阴影部分的面积为，那么该正六边形的边长是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正多边形内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵正六边形的内角是，阴影部分的面积为， 设正六边形的边长为， ∴ ， 解得． 则正六边形的边长为3． 【变式01】（2026·上海黄浦·二模）已知一个平面图形，其下方为一个矩形，上方为一个以矩形一边为直径的半圆（如图所示），设， ，那么这个平面图形的面积是______（用，的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【详解】解：平面图形的面积矩形的面积半圆的面积 【变式02】（2026·上海闵行·二模）如图是一把完全打开的折扇，此时扇面面积为．当扇面张开的角度为时，扇面面积为，如果，那么与关系的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设扇形的半径为r，完全打开时的角度为t，表示出，然后得到，进而求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为r，完全打开时的角度为t， ∴ 当扇面张开的角度为时，扇面面积 ∴ ∴与成正比例关系， ∴与关系的大致图像是： ． 【变式03】（2025·上海虹口·三模） 如图，半径为的沿着边长为的正方形的边作无滑动地滚动一周回到原来的位置，自身转动的圈数是 ____________．（用含的代数式表示） 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查圆的基础知识，根据正方形的边长可得正方形的周长，结合圆的周长计算，即可求解，掌握圆的基础知识是解题的关键． 【详解】解：的周长为：，正方形的周长为：， ∴自身转动的圈数是， 故答案：． 【变式04】（2025·上海虹口·三模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，点O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为______． 【答案】π 【解析】 【详解】试题分析：整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积，其实是大扇形BHH1与小扇形BOO1的面积差．扇形BOO1的半径为OB=2，扇形BHH1的半径可在Rt△BHC中求得．而两扇形的圆心角都等于旋转角即120°，由此可求出线段OH扫过的面积． 解：连接BH、BH1 ∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2 ∴AB=4 ∴AC= =2 ∵H为AC的中点 ∴ 在Rt△BHC中，BC=2 根据勾股定理可得：BH= ∴S扫=S扇形BHH1﹣S扇形BOO1==π 点睛：本题主要考查旋转的性质. 将阴影部分面积转化为两个扇形的差是解题的难点所在. 题型六 正多边形的概念与性质 【真题呈现06】（2026·上海奉贤·二模）如果一个正多边形的内角等于中心角的3倍，那么这个正多边形是（ ） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正六边形 D. 正八边形 【答案】D 【解析】 【分析】设正多边形的边数为，计算出正多边形内角和中心角，根据数量关系列出方程即可求解． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， ∵正边形的中心角总和为， ∴每个中心角为， ∵正边形的内角和为， ∴每个内角为， 根据题意得， 解得， ∴这个正多边形是正八边形． 【变式01】（2026·上海闵行·二模）已知半径为2的正多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个正多边形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正多边形内角和与外角和的关系求出边数，再将正多边形分解为若干个全等的等腰三角形，通过计算单个等腰三角形面积，求和得到正多边形的面积． 【详解】解：设正多边形的边数为， 根据题意得， 解得， ∴该正多边形为正八边形，如图正八边形，连接，，，交于点O，过点A作于I， ∵半径为2 ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴正八边形的面积 【变式02】（2026·上海普陀·二模）已知一个正多边形的中心角等于，那么下列关于这个正多边形的结论中，错误的是（ ） A. 边数为6 B. 每个外角都等于 C. 边长与半径长的比为 D. 既是轴对称图形也是中心对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正多边形中心角和为求出正多边形边数，再结合正多边形的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵该正多边形的中心角为， ∴边数， ∴该多边形为正六边形． A、边数为，结论正确，故选项不符合题意； B、正六边形每个外角为，结论正确，故选项不符合题意； C、∵正六边形可被中心与顶点的连线分为个全等的等边三角形，正多边形的半径为等边三角形的边长， ∴正六边形的边长等于半径，边长与半径的比为，结论错误，故选项符合题意； D、正六边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，结论正确，故选项不符合题意． 【变式03】（2026·上海松江·二模）如图，正五边形与正方形的两邻边相交，如果，那么_______． 【答案】52 【解析】 【分析】先根据正多边形每个内角为得到正五边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， 根据题意得，，， ∵，， ∴． ∴． 【变式04】（2026·上海黄浦·二模）已知是圆和的公共弦，如果弦是圆的内接正方形的一边，也是圆的内接正六边形的一边，那么圆与的半径之比是______． 【答案】 【解析】 【分析】设公共弦，半径为​，​半径为，根据是​内接正方形的边，得出是等腰直角三角形，由勾股定理得，根据是内接正六边形的边，得出是等边三角形，则，即可求解； 【详解】解：设公共弦，半径为​，​半径为， ∵是​内接正方形的边，正方形中心角为， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得： ​，即​，解得， ∵是内接正六边形的边，正六边形中心角为， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴． （限时训练：20分钟） 1.（2026·上海宝山·二模）如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】作，求出的长，与半径比较大小，即可得出结果. 【详解】解：作于点， ∵，， ∴， ∵的半径为3，， ∴与直线的位置关系是相离. 2.（2026·上海宝山·二模）如图，正六边形是由八个全等的等腰梯形拼接而成，如果每个等腰梯形的腰长都是2，那么正六边形的边心距是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为O，过点O作于点M，过点P作于点Q， 由拼图和正六边形的性质可知，，， 在中，，， ∴， ∴， 即正六边形的边心距为． 3.（2026·上海静安·二模）如图，弓形弦长米，高米，有一内接矩形，边在上，顶点E、H在弓形弧上，边的长比的2倍多4米． （1）求该弓形所在圆的半径； 【答案】（1）25m （2）13m 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，找出圆心正确作出辅助线是解题关键． （1）取圆心，连接，，由垂径定理得，设半径为，在中利用勾股定理列方程即可； 【小问1详解】 解：取圆心，连接，， ∵是弓形的高， ∴是的中点，且，圆心在直线上． ∴（米）， 设， 则， 在中， ， ∴， ∴， ∴该弓形所在圆的半径为25m． 4.（2025·上海浦东·二模）对于命题：①一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离；②一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含．下列说法正确的是（ ） A. ①正确②错误 B. ①错误②正确 C. ①和②都正确 D. ①和②都错误 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题的判断，圆与圆的位置关系，掌握命题的定义及分类并能运用所学知识判断命题的真假是解题的关键．根据圆与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：①一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，①错误； ②一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含，②正确． 故选：B． 5.（2025·上海浦东·二模）如果一个正六边形的边心距的长度为，那么它的半径的长度为__． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形与圆，设正六边形的中心是O，一边是，过O作与G，在直角中，根据三角函数即可求得． 【详解】解：如图，过O作与G， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， 故答案为：2． 6.（2025·上海虹口·二模） 如图，由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙．如果直角三角形最短边的长为，那么小正六边形的边心距是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握直角三角形边角关系以及正六边形的性质是正确解答的关键．根据直角三角形的边角关系以及正六边形的性质进行计算即可． 【详解】解：如图， 由题意得，在中，，， ，又， ， 即正六边形的边长为， 设正六边形的中心为，连接，过点作于点， 则， 在中，，， ， 即正六边形的边心距为， 故答案为：． 7.（2025·上海虹口·二模） 如图，在中，，如果以点为圆心的与以边为直径的外切，那么的半径长是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系和勾股定理，明确两圆相切时，两圆的圆心连线过切点是解题的关键．连接，由与外切，则经过切点，利用勾股定理求得，然后利用勾股定理求得，进一步即可求得结果． 【详解】解：如图，连接， 与外切， 经过切点， 在中，，，， ， 为的直径， ， ， ， ， 的半径长是； 故答案为：． 8.（2025·上海奉贤·二模） 如图，在边长为 2 的正六边形中，G为的中点，点Q为正六边形边上任意一点，以为半径的与以为半径的相交时，那么的半径 r 的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆的问题，正多边形的性质，熟练掌握了正多边形与圆的问题是解题的关键．作正六边形的外接圆，连结，，，设与相交于点P，求出、、的长，即可求得的半径 r 的取值范围，即得答案． 【详解】解：作正六边形的外接圆，连结，，，设与相交于点P， 则，是的直径， ， ， 是等边三角形， ， ， 以为半径的与以为半径的相交， ， 即； 是的直径， ， ， ， 以为半径的与以为半径的相交， ， 即； 的半径 r满足． 故答案为： 9.（2025·上海崇明·二模）如图，是的直径，是一条弦，D是的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G． （1）求证：． （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）根据D是的中点，于点E，得到,得到即可得证． （2）根据，设，运用勾股定理，得到，结合，得到，运用勾股定理，得到，从而得到，在中，利用勾股定理计算x即可． 【小问1详解】 ∵D是的中点， ∴， ∵，是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵，是的直径， ∴， ∵， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴的半径为5． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数，熟练掌握垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数是解题的关键． 10.（2025·上海崇明·二模）在中，点C是弧中点，交弦于点D，且D是的中点． （1）求的度数； （2）延长交于点E，连接，交于点F，如果，求的长度． 【答案】（1）60度 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，解直角三角形，圆周角定理，等边对等角等等，熟知垂径定理的推理是解题的关键． （1）由垂径定理的推论可得，再由线段中点的定义可得，据此解直角三角形即可得到答案； （2）先求出，则，再由垂径定理的推论得到，，解直角三角形得到，再证明，解直角三角形得到，则． 【小问1详解】 解：连接 ∵在中，点C是弧的中点， ∴， ∵D是的中点，且， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，且是的直径， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵在中，点C是弧的中点， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $