第12讲 正方形 （知识详解+15典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪科版八年级数学下册同步讲义与测试

第12讲 正方形 （知识详解+15典例分析+习题巩固） 【知识点01】正方形的定义 1. 正方形的定义 有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形. 2.特殊四边形定义间的关系 【知识点02】正方形的性质 1. 正方形的性质 具有矩形、菱形、平行四边形的所有性质. 性质1：正方形的四条边相等， 四个角都是直角. 性质2：正方形的对角线相等、互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角. 2. 特殊四边形的性质间的关系 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们之间的关系如图19.3-31 所示. 【知识点03】正方形的判定 1.正方形的判定方法 (1)从四边形出发：①四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形； (2)从平行四边形出发：①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； (3)从矩形出发：①有一组邻边相等的矩形是正方形； ②对角线互相垂直的矩形是正方形； (4)从菱形出发：①有一个角是直角的菱形是正方形； ②对角线相等的菱形是正方形. 2. 四边形间的关系 四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的转化关系如下 . 【题型一】正方形性质理解 例1．（2024八年级下·安徽马鞍山·期末）在一次数学抢答题环节中，同学们遇到这样一道判断正误题：①一组邻边相等的矩形是正方形；②两个直角三角形一定能拼成一个平行四边形；③对角线相等的菱形是正方形；④有一组邻边相等、一个角是直角的四边形是正方形，以上说法不正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．如图是一幅边长为的正方形书法作品，计划在其四周镶一圈宽度均为的花边．现有一张镶边用的长方形花纸，恰好可以完成镶边任务且没有剩余，则这张长方形花纸相邻两边的长可能是___． 变式2．（22-23八年级下·安徽六安·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了以格点（网格的交点）为端点的线段．    (1)将线段向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段，其中A的对应点为C，请画出线段． (2)以线段为一边，作一个正方形，且点E，F也为格点．（作出一个正方形即可） 【题型二】根据正方形的性质求角度 例2．（23-24八年级·安徽合肥·期末）如图，正方形和正方形中，点在上，，，于点，那么的长是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2024八年级下·安徽淮南·期中）如图，点P是正方形ABCD对角线BD上的一点，且BP＝BC，则∠DPC＝______°． 变式2．（23-24八年级下·安徽池州·月考）如图，在正方形中，点分别是边的中点，相交于点，连接． （1）若，则的度数是______； （2）连接，则与之间的位置关系是______． 【题型三】根据正方形的性质求线段长 例3．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，在中，，以，和为边向上作正方形和正方形和正方形，点落在上，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A．100 B．72 C．36 D．28 变式1．（25-26八年级·安徽合肥·期末）如图所示，在正方形ABCD中，点E在边CD上，，垂足为，连接． （1）__________； （2）的面积为__________． 变式2．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）欧几里得是古希腊著名数学家、欧氏几何的开创者下面问题是欧几里得证明勾股定理的证法：一小片段：如图，中，，分别以的三边为边长，向外作正方形、、．    （1）连接、，若，，则 ______ ． （2）过点作，交于点，交于点，若、，则正方形的边长是______ ． 【题型四】根据正方形的性质求面积 例4．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若，大正方形的面积是289，则小正方形的面积是（    ） A．16 B．25 C．49 D．64 变式1．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）在一个正方形的内部按照如图所示的方式放置两个大小不同的小正方形，其中较小正方形的面积为8，重叠部分的面积为3． （1）较小正方形的边长为___________． （2）设两处空白部分的面积分别为，若，则阴影部分的面积为___________． 变式2．（23-24八年级下·安徽池州·期末）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点叫做格点． (1)请你在图1中画一个以点及另两个格点为顶点，直角边的直角三角形； (2)请你在图2中画一个以点D及另三个格点为顶点，面积是13的正方形． 【题型五】正方形折叠问题 例5．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E在边CD上，若CD＝3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．则GF为（    ） A． B． C． D． 变式1．（2023·安徽宣城·一模）如图，在正方形中，是边上的一点，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，连接．则（1）_______．（2）_______． 变式2．（23-24八年级·安徽淮南·月考）如图，正方形纸片的边长为3，点、分别在边、上，将、分别沿、折叠，点、恰好都落在点处，已知，求的长． 【题型六】根据正方形的性质证明 例6．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图，在正方形中，，为对角线上的一个动点（不与点重合），过点作于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②；③时，四边形是正方形；④的最小值为．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 变式1．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，点在正方形的边的延长线上，且，点是边上一动点，连接，过点作交于点，则： （1）的度数是______°； （2）的值为______． 变式2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图①．点是正方形的对角线上任意一点，连接，． (1)求证：； (2)当时，求∠的度数； (3)如图②，过点作交于点，当时，若．求的长． 【题型七】证明四边形是正方形 例7．（24-25八年级下·安徽黄山·期中）四边形的对角线、相交于点，下面能判定是正方形的条件是（      ） A．， B． C．，， D．， 变式1．如图，已知．小红做了如下操作：分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧分别相交于点，连接，则四边形________正方形（填“是”或“不是”）． 变式2．如图，△ABC中，交AC于P，∠ACB，∠ACD的平分线分别交MN于E、F． (1)求证：； (2)当MN与AC的交点P在AC的什么位置时，四边形AECF是矩形，说明理由； (3)当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．（不需要证明） 【题型八】正方形的判定定理理解 例8．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，且，它是正方形 D．当时，它是矩形 变式1．如图中，阴影部分表示的四边形是______． 变式2．如图是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的格点上． (1)在图①中画出以线段AB为对角线的格点正方形； (2)在图②中画出以线段AB为边的矩形，且另外两个顶点C、D均在小正方形的格点上． 【题型九】添一个条件使四边形是正方形 例9．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列描述错误的是（   ） A．①表示有一组邻角相等 B．②表示有一组邻边相等 C．③表示对角线平分一组对角 D．④表示对角线互相垂直 变式1．如图，矩形的对角线相交于点O，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是_______（写出一个条件即可）． 变式2．如图：已知：是的角平分线，交于，交于． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？ 【题型十】根据正方形的性质与判定求线段长 例10．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，中，，，，、的角平分线交于点D，于点E，于点F，则的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 变式1．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）矩形第一次沿折叠得到四边形，展开后第二次沿折叠，使得点C与点F重合．若，，则______． 变式2．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知：正方形中，是对角线所在直线上一点． (1)如图1，若在对角线上，连接，过点作交于点．求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，若，求的长； (3)如图3，若在的延长线上，连接，过点作交延长线于点，连接，若，的面积是20，求的长． 【题型十一】根据正方形的性质与判定求面积 例11．如图，点是正方形的中心（对角线的交点），以点为直角顶点作，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为8，则重叠部分四边形的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．16 变式1．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在正方形中，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）若，则矩形的面积为_______； （2）当线段与正方形的一边的夹角是时，则的度数为_______． 变式2．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它表明了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．小明用四个全等的直角三角板围成图2，中间是个小正方形，外围是个大正方形．直角三角板的直角边长分别为a，b，斜边长为c． (1)用含有a，b的代数式表示小正方形的面积和大正方形的面积； (2)证明勾股定理． 【题型十二】根据正方形的性质与判定证明 例12．如图，在等腰中，，，是边上的中点，点、分别在、边上运动，且保持，连接、、．在此运动变化过程中，下列结论： ①是等腰直角三角形；②四边形不可能为正方形；③长度的最小值为2；④四边形的面积保持不变；⑤面积的最大值为2．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．①③④ D．③④⑤ 变式1．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，正方形ABCD中，对角线，M是AB上任意一点，由M点作，，垂足分别为E、F点，则的值为__________． 变式2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，分别在正方形的边上截取相等的线段，连接得四边形． (1)求证：四边形是正方形； (2)连接，若，求的长． 【题型十三】中点四边形 例13．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图，点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，下列结论正确的是（   ） A．若四边形是平行四边形，则四边形是矩形 B．若四边形是菱形，则四边形是矩形 C．若四边形是矩形，则四边形是矩形 D．若四边形是正方形，则四边形是正方形 变式1．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）连接对角线相等的四边形四边的中点，所得到的平行四边形一定是_______________． 变式2．（25-26八年级下·全国·周测）如图，已知E，F，G，H分别是各边的中点，则四边形EFGH是什么四边形？若把条件中的依次改为矩形、菱形、正方形，其他条件不变，则四边形EFGH依次是什么四边形？试说明理由． 【题型十四】（特殊）平行四边形的动点问题 例14．如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发在BC上往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），设运动时间为t（s）（t＞0），若以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形，则t的值错误的是（　　）    A．6 B．8 C．10 D．12 变式1．（2024八年级下·安徽合肥·期末）如图．在正方形的边上有一点，连接．点从正方形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点．图是点运动时，的面积随时间变化的函数图象． （1）正方形的边长为______． （2）当时，的值为______． 变式2．（23-24八年级下·安徽六安·月考）如图，在矩形中，，点P与点Q同时出发，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P，Q的速度都是，连接，设点P，Q的运动时间为． (1)求当t为何值时，四边形是正方形； (2)求当t为何值时，； (3)当四边形的面积为时，求矩形的周长与四边形的周长的比值． 【题型十五】四边形其他综合问题 例15．如图，在四边形中，对角线，且，则该四边形的面积是（    ） A．30 B．54 C． D．60 变式1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形ABCD，使AB边落在AC上，点B落在点H处，折痕AE交BC于点E，交BO于点F，连接FH，则下列结论中： ①AD＝DF；② 四边形BEHF为菱形；③；④，正确的是有_____． 变式2．（23-24八年级下·安徽芜湖·月考）如图甲，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）【概念理解】我们已经学习了①平行四边形、②菱形、③矩形、④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是______（填序号）． （2）【性质探究】小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图甲，在四边形中，若，则．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由． （3）【问题解决】如图乙，在中，，，D，E分别是，的中点，连接，，有，求． 一、单选题 1．如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 2．已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，四边形是菱形； B．当时，四边形是菱形； C．当时，四边形是矩形； D．当时，四边形是正方形． 3．如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是矩形，需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．在下列结论中：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中正确的结论有（　　） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 5．将四根长度相等的木条钉成一个四边形的木框架，拉动这个木框架，使它形状改变．如图①，当时，测得．如图②，当时，则的长为（    ） A． B．3 C．6 D． 6．已知在中，．添加一个条件，使得四边形为正方形．添加的条件可以为（    ） A． B．平分 C． D． 7．下列关于图形判定的命题中，正确的是（   ） A．有一组对边平行，有一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有一个内角被对角线平分的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 D．有三条边相等，对角线也相等的四边形是正方形 8．如图所示，在正方形中，点、分别在上，且，连接相交于点，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 9．如图所示：正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，若正方形的边长为4，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．1 10．如图，已知在正方形中，是上一点，将正方形的边沿折叠到，延长交于点，连接．现有如下4个结论：①；②与一定不相等；③；④的周长是一个定值．其中正确的个数为（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，将一张正方形纸片折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为点、，若，则的度数为______ ． 12．如图，在正方形中，是边上一动点（不与、重合），对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交．于点、，下列结论：①；②；③；④当是的中点时，．其中正确的结论有______． 13．如图所示，在中，平分交于点，按下列步骤作图．步骤1：分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；步骤2：作直线，分别交于点；步骤3：连接．若，则线段的长为__________． 14．如图，在以正方形的边为斜边的中，，，，则正方形的面积为______． 15．如图，在中，是边的中点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点，连接，．当__________时，四边形是正方形． 三、解答题 16．如图，在中，，点为其内一点，且，分别平分．若于点，于点，则四边形是正方形吗请说明理由． 17．如图，中，平分，，． (1)求证：四边形是菱形 (2)当满足什么条件时，四边形是正方形 18．如图，已知正方形，，为的中点，连接，把沿折叠得到，连结交于点． (1)求证：； (2)求，的长． 19．如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，点均在格点上． (1)在图①中画出以为边且周长为的平行四边形，且点和点均在格点上． (2)在图②中画出以为对角线的正方形，且点和点均在格点上． (3)如图3，在正方形中，点为边上的中点，请仅用无刻度的直尺，画出一个以为顶点的正方形，使得它的面积等于正方形面积的一半．（保留作图痕迹） 20．勾股定理是人类重大科学发现之一．请你运用学到的知识，方法和思想探究以下问题． 【数学经验】分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形（如图1），三个正方形的面积，，之间满足的等量关系是__________； 【迁移应用】（1）如图2，若为直角三角形，，，则正方形和正方形的面积差为__________； （2）如图3，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大的正方形的边长为，求图3中所有正方形的面积的和； 【动手操作】在图4中再画出一个正方形，使所画正方形的面积等于已知的两个正方形的面积之和． 21．如图，在正方形中， (1)如图，在正方形中，点，分别在和上，且．证明：且； (2)如图②，在正方形内有一点，过点作，点，分别在正方形的对边，上，点，分别在正方形的对边，上，那么与相等吗？并说明理由； (3)如图③，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，折痕为，点在边上，点在边上．请你画出折痕，则折痕的长是______；线段的长是______． 22．已知正方形的边长为，点F从点B出发，沿射线方向以的速度移动，点E从点D出发，向点A以的速度移动（不与点A重合），设点E，F的运动时间为． (1)如图①，在点E，F移动的过程中，连接，则的形状是______． (2)如图②，连接，设交于点M，连接，求证：； (3)如图③，点G，H分别在边上，且，连接，当与的夹角为时，求t的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 正方形 （知识详解+15典例分析+习题巩固） 【知识点01】正方形的定义 1. 正方形的定义 有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形. 2.特殊四边形定义间的关系 【知识点02】正方形的性质 1. 正方形的性质 具有矩形、菱形、平行四边形的所有性质. 性质1：正方形的四条边相等， 四个角都是直角. 性质2：正方形的对角线相等、互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角. 2. 特殊四边形的性质间的关系 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们之间的关系如图19.3-31 所示. 【知识点03】正方形的判定 1.正方形的判定方法 (1)从四边形出发：①四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形； (2)从平行四边形出发：①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； (3)从矩形出发：①有一组邻边相等的矩形是正方形； ②对角线互相垂直的矩形是正方形； (4)从菱形出发：①有一个角是直角的菱形是正方形； ②对角线相等的菱形是正方形. 2. 四边形间的关系 四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的转化关系如下 . 【题型一】正方形性质理解 例1．（2024八年级下·安徽马鞍山·期末）在一次数学抢答题环节中，同学们遇到这样一道判断正误题：①一组邻边相等的矩形是正方形；②两个直角三角形一定能拼成一个平行四边形；③对角线相等的菱形是正方形；④有一组邻边相等、一个角是直角的四边形是正方形，以上说法不正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】正方形性质理解 【分析】根据矩形的性质和正方形的判定即可判断①；根据平行四边形的判定即可判断②；根据菱形的性质和正方形的判定即可判断③；画出图形后根据正方形的判定判断④即可． 【详解】解：①如图， ∵四边形ABCD是矩形，AD＝AB， ∴四边形ABCD是正方形，故①正确； ②当两个直角三角形不全等时，不一定能拼成平行四边形，故②错误； ③如图， ∵四边形ABCD是菱形，AC＝BD， ∴四边形ABCD是正方形，故③正确； ④如图， ∠B＝90°，AD＝CD， 但是四边形ABCD不是正方形，故④错误； 即不正确的个数是2， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的性质和判定，正方形的判定等知识点，能熟记矩形的性质、菱形的性质和正方形的判定是解此题的关键． 变式1．如图是一幅边长为的正方形书法作品，计划在其四周镶一圈宽度均为的花边．现有一张镶边用的长方形花纸，恰好可以完成镶边任务且没有剩余，则这张长方形花纸相邻两边的长可能是___． 【答案】 与 【知识点】列代数式、正方形性质理解 【详解】解：如图所示， ∴，， ∴长方形的一条边长为：， 另一条边长为：， 故答案为：与 ． 变式2．（22-23八年级下·安徽六安·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了以格点（网格的交点）为端点的线段．    (1)将线段向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段，其中A的对应点为C，请画出线段． (2)以线段为一边，作一个正方形，且点E，F也为格点．（作出一个正方形即可） 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【知识点】平移(作图)、正方形性质理解 【分析】（1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据正方形的性质结合网格作出图形即可． 【详解】（1）如图所示，线段即为所求； （2）如图所示，正方形即为所求，（答案不唯一）．    【点睛】本题考查了作图-平移变换，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键． 【题型二】根据正方形的性质求角度 例2．（23-24八年级·安徽合肥·期末）如图，正方形和正方形中，点在上，，，于点，那么的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据正方形的性质求角度、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的面积，连接，由正方形的性质得到，，利用勾股定理可求得，，，再根据三角形的面积得到，代入已求计算即可求解，由正方形的性质得到是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵正方形和正方形， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， 故选：． 变式1．（2024八年级下·安徽淮南·期中）如图，点P是正方形ABCD对角线BD上的一点，且BP＝BC，则∠DPC＝______°． 【答案】112.5 【知识点】等边对等角、根据正方形的性质求角度 【分析】根据正方形的性质，可以得到∠PBC的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和，求得∠BPC的度数，即可求得∠DPC的度数． 【详解】解：∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点， ∴∠PBC=45°， ∵BP=BC， ∴∠BPC=∠BCP==67.5°， ∴∠DPC=180°-∠BPC=112.5°， 故答案为：112.5． 【点睛】本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 变式2．（23-24八年级下·安徽池州·月考）如图，在正方形中，点分别是边的中点，相交于点，连接． （1）若，则的度数是______； （2）连接，则与之间的位置关系是______． 【答案】 32° 垂直平分（是的垂直平分线） 【知识点】根据正方形的性质求角度、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题是四边形综合题，难度较大，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握基本图形的证明和结论． 连接，由四边形是正方形与点、、分别是、、的中点，易证得与，根据全等三角形的性质，易证得与，根据垂直平分线的性质，从而求出，也由等腰三角形性质证得． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， 点、分别是、的中点， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 故答案为． （2）如图， 同理可得：， ， ， 垂直平分（是的垂直平分线）． 故答案为：垂直平分（是的垂直平分线）． 【题型三】根据正方形的性质求线段长 例3．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，在中，，以，和为边向上作正方形和正方形和正方形，点落在上，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A．100 B．72 C．36 D．28 【答案】B 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质求线段长 【分析】如图，连接，与交于点N，与交于点H，由题意易得，则有，同理可得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：如图，连接，与交于点N，与交于点H， ∵四边形，，都为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴，即， ∴． 变式1．（25-26八年级·安徽合肥·期末）如图所示，在正方形ABCD中，点E在边CD上，，垂足为，连接． （1）__________； （2）的面积为__________． 【答案】 2 6 【知识点】含30度角的直角三角形、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质解答即可； （2）过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，先根据平行线间的距离处处相等得出，继而得出，通过解直角三角形得出，即可求解． 【详解】解：（1）在正方形ABCD中，，， ， ∴， ∵， ∴； 故答案为：2 （2）过点F分别作，垂足为M，N，连接，则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 变式2．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）欧几里得是古希腊著名数学家、欧氏几何的开创者下面问题是欧几里得证明勾股定理的证法：一小片段：如图，中，，分别以的三边为边长，向外作正方形、、．    （1）连接、，若，，则 ______ ． （2）过点作，交于点，交于点，若、，则正方形的边长是______ ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】（1）根据条件证明，根据勾股定理，可求得，进而求解； （2）根据条件证明四边形是矩形，设，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）正方形中，，， 在正方形中，，， ， ， ∴， ，， ， ∴， 根据勾股定理，得， ， 故答案为：； 解：（2）在正方形中，，， ∵， ∴，， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设， 在中，根据勾股定理，得， ， 在中，根据勾股定理，得 ， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得或舍去， ， 正方形的边长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形全等，勾股定理以及正方形的性质，灵活运用所学知识关键． 【题型四】根据正方形的性质求面积 例4．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若，大正方形的面积是289，则小正方形的面积是（    ） A．16 B．25 C．49 D．64 【答案】C 【知识点】根据正方形的性质求面积、以弦图为背景的计算题、全等三角形的性质 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理．掌握数形结合思想是解题的关键．根据题意，再根据大正方形的面积是289，即得出大正方形的边长为，最后根据勾股定理可求出，即可求解． 【详解】解：∵大正方形是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的， ∴， ∵大正方形的面积是289， ∴． ∴大正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， ∴小正方形的面积是． 故选C． 变式1．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）在一个正方形的内部按照如图所示的方式放置两个大小不同的小正方形，其中较小正方形的面积为8，重叠部分的面积为3． （1）较小正方形的边长为___________． （2）设两处空白部分的面积分别为，若，则阴影部分的面积为___________． 【答案】 9 【知识点】根据正方形的性质求面积、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了正方形和长方形．熟练掌握正方形面积公式，长方形面积公式，求一个数的算术平方根，是解题的关键． （1）根据较小正方形的面积为8，根据正方形面积公式直接开方求出边长； （2）先根据两个空白部分的对称性得出它们面积相等，进而推出重叠部分是正方形，求出其边长。再通过空白部分面积和较小正方形边长求出空白长方形的宽和长，从而得到较大正方形边长和面积，最后用大正方形面积减去重叠部分面积得到阴影部分面积． 【详解】（1）∵较小的正方形面积为8， ∴较小正方形的边长为， 故答案为：； （2）①∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， ∴； ②由①得，重叠部分也为正方形， ∵重叠部分的面积为3， ∴重叠部分的边长为， ∴一个空白长方形的宽为：， ∵两处空白部分的面积为：， ∴一个空白长方形面积为： ， ∴一个空白长方形的长为：， ∴较大正方形边长为：， ∴大正方形面积， ∴阴影部分的面积为 故答案为：；9． 变式2．（23-24八年级下·安徽池州·期末）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点叫做格点． (1)请你在图1中画一个以点及另两个格点为顶点，直角边的直角三角形； (2)请你在图2中画一个以点D及另三个格点为顶点，面积是13的正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据正方形的性质求面积、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查作图-应用与设计，正方形性质，勾股定理等知识，关键在于用已经学过的知识在实际当中的应用； （1）根据网格构造直角三角形，同时利用网格确定直角边为1，2的直角三角形即可得出，再画出它的过端点的垂线即可得解； （2）利用数形结合思想构造边长为的正方形即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求作的图形；（答案不唯一，合理即可） （2）如图所示，正方形即为所求作的图形．（答案不唯一，合理即可） 【题型五】正方形折叠问题 例5．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E在边CD上，若CD＝3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．则GF为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正方形折叠问题、用勾股定理解三角形、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】先求出DE、CE的长，再根据翻折的性质可得AD＝AF，EF＝DE，∠AFE＝∠D＝∠AFG＝90°，再利用“HL”证明Rt△ABG和Rt△AFG全等，根据全等三角形对应边相等可得BG＝FG，再设BG＝FG＝x，然后表示出EG、CG，在Rt△CEG中，利用勾股定理列出方程求出x，从而可以求解． 【详解】解：在正方形ABCD中，AB＝3， ∴CD＝AB＝3， ∵CD＝3DE， ∴DE3＝1，CE＝3﹣1＝2， ∵△ADE沿AE对折至△AFE， ∴AD＝AF，EF＝DE＝1，∠AFE＝∠D＝∠AFG＝90°， ∴AB＝AF＝AD， 在Rt△ABG和Rt△AFG中， ， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）， ∴BG＝FG， 设BG＝FG＝x，则EG＝EF+FG＝1+x，CG＝3﹣x， 在Rt△CEG中，EG2＝CG2+CE2， 即（1+x）2＝（3﹣x）2+22， 解得x， ∴GF． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据各边的数量关系利用勾股定理列方程是解题的关键． 变式1．（2023·安徽宣城·一模）如图，在正方形中，是边上的一点，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，连接．则（1）_______．（2）_______． 【答案】 /45度 24 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、折叠，勾股定理解决本题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理． （1）证明，可得，即可解答； （2）设，则，可得，然后在中，利用勾股定理求出x的值，即可解答． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （2）∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由折叠的性质得：， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即， ∴． 故答案为：24 变式2．（23-24八年级·安徽淮南·月考）如图，正方形纸片的边长为3，点、分别在边、上，将、分别沿、折叠，点、恰好都落在点处，已知，求的长． 【答案】 【知识点】正方形折叠问题 【分析】由图形折叠可得，，因为正方形的边长为 3 ，，求出，，在直角中， 运用勾股定理求出，再求出． 【详解】解： 由图形折叠可得，， 正方形的边长为 3 ，， ，，， 在中， ， ， 解得， ． 【点睛】本题主要考查了折叠问题， 解题的关键是找准不变的线段， 利用勾股定理求解线段 ． 【题型六】根据正方形的性质证明 例6．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图，在正方形中，，为对角线上的一个动点（不与点重合），过点作于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②；③时，四边形是正方形；④的最小值为．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查的知识点包括正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、垂直的判定以及线段最小值的求解．通过，可证明四边形为矩形，可得，再证明，得，等量代换可得，即①正确；因为，可得，由，等边对等角得，所以，即②正确，由，得，由①可知，四边形是矩形，四边形是正方形．故③正确；由①可知，，当点三点共线时，最小，即最小，此时，④不正确；即可解答． 【详解】解析：如图所示，连接，交于点O， ，， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ，即①正确； ， ， ， ， ，即②正确， 当时， ， ， 由①可知，四边形是矩形， 四边形是正方形．故③正确； 由①可知，，当点三点共线时，最小，即最小， 此时， 的最小值为，④不正确． 综上，正确的结论为：①②③． 故选：C． 变式1．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，点在正方形的边的延长线上，且，点是边上一动点，连接，过点作交于点，则： （1）的度数是______°； （2）的值为______． 【答案】 135 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）由正方形和等腰三角形的性质计算即可； （2）在上截取，构造全等三角形，得到，设，正方形边长为，分别表示的长，再计算的值． 【详解】（1）四边形是正方形， ，， ， ， ， ； 故答案为：135； （2）如图，在上截取， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，正方形边长为， 则，，， ， ． 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图①．点是正方形的对角线上任意一点，连接，． (1)求证：； (2)当时，求∠的度数； (3)如图②，过点作交于点，当时，若．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、根据正方形的性质证明 【分析】（1）由正方形的性质得，，再证明便可得； （2）由求出，再根据，可得，进而可以解决问题； （3）过作，证明是等边三角形，设，则，，得，由．列出的方程进行解答便可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴； （3）解：如图②，过作于M， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 设，则，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，第（3）题难度大，关键是构造直角三角形和证明等边三角形． 【题型七】证明四边形是正方形 例7．（24-25八年级下·安徽黄山·期中）四边形的对角线、相交于点，下面能判定是正方形的条件是（      ） A．， B． C．，， D．， 【答案】D 【知识点】证明四边形是正方形 【分析】此题主要考查了正方形判定，掌握这些正方形的判定方法即可． 根据正方形的性质与判定，（1）对角线相等的菱形是正方形，（2）对角线互相垂直的矩形是正方形，（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，（4）一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形，（5）一组邻边相等的矩形是正方形，（6）一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，（7）四边均相等，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形（8）有一个角为直角的菱形是正方形，（9）既是菱形又是矩形的四边形是正方形，逐个选项进行判断即可得出答案． 【详解】解：A．；可判定四边形是平行四边形，不能判定它是正方形； B．；可判定四边形是矩形，不能判定它是正方形； C．，可判定四边形是平行四边形，再有可判定它是菱形，不能判定它是正方形； D．可判定四边形是矩形，再有又可判定它是菱形，所以可以判定它是正方形． 故选：D． 变式1．如图，已知．小红做了如下操作：分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧分别相交于点，连接，则四边形________正方形（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【知识点】证明四边形是正方形 【分析】本题考查的是正方形的判定，掌握正方形的判定方法是解题的关键．根据正方形的判定定理解答． 【详解】解：由题意得，， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴ ∴ ∴四边形是正方形， 故答案为：是． 变式2．如图，△ABC中，交AC于P，∠ACB，∠ACD的平分线分别交MN于E、F． (1)求证：； (2)当MN与AC的交点P在AC的什么位置时，四边形AECF是矩形，说明理由； (3)当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．（不需要证明） 【答案】(1)见解析 (2)当点P是AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由见解析 (3)当△ABC是直角三角形，，四边形AECF是正方形 【知识点】角平分线的性质定理、证明四边形是矩形、证明四边形是正方形 【分析】（1）根据CE平分∠ACB，，可知 ∠ACE=∠BCE，∠PEC=∠BCE，PE=PC，同理： PF=PC，故PE=PF； （2）根据矩形的性质可知当P是AC中点时四边形 AECF是矩形； （3）当∠ACB=90°时四边形AECF是正方形． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵CE，CF分别平分∠ACB，∠ACD， ∴，， ∴，， ∴，， 即； （2）当点P是AC的中点时，四边形AECF是矩形， 理由如下：∵点P是AC的中点， ∴， ∴四边形AFCF是平行四边形， ∵，， ∴∠PCE+∠PCF=90°， 即：∠ECF=90°， ∴四边形AFCF是矩形； （3）当△ABC是直角三角形，，四边形AECF是正方形．理由如下： ∵∠ACB=90° ， 又∵CE平分∠ACB ， ∴∠BCE＝45°， ∵∠PEC＝∠BCE， ∴∠PEC＝45° ， 同理可得：∠PFC＝45°， ∴∠PEC＝∠PFC， ∴EC＝FC， 由（2）可得：四边形AECF是矩形， ∴四边形AECF是正方形． 【点睛】解答此题的关键是熟知角平分线、 矩形、正方形的判定与性质定理。 【题型八】正方形的判定定理理解 例8．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，且，它是正方形 D．当时，它是矩形 【答案】C 【知识点】证明四边形是矩形、证明四边形是菱形、正方形的判定定理理解 【分析】本题主要考查了正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，有一组两边相等或对角线互相垂直的平行四边形是菱形，据此可判断A、B；有一个角是直角或对角线相等的四边形是矩形，据此可判断C、D． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，故原结论正确，不符合题意； B、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，故原结论正确，不符合题意； C、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，不能得到四边形是正方形，故原结论错误，符合题意； D、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，故原结论正确，不符合题意； 故选：C． 变式1．如图中，阴影部分表示的四边形是______． 【答案】正方形 【知识点】正方形的判定定理理解 【分析】本题考查四边形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键； 根据题意可知，阴影部分既要满足矩形的性质，又满足菱形的性质，从而得解； 【详解】解：当矩形的邻边相等时，矩形可称为是正方形；当菱形的邻边互相垂直时，所给菱形可称为正方形； 故正方形即是特殊的矩形，也是特殊的菱形， 所以阴影部分表示的四边形是正方形； 故答案为：正方形 变式2．如图是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的格点上． (1)在图①中画出以线段AB为对角线的格点正方形； (2)在图②中画出以线段AB为边的矩形，且另外两个顶点C、D均在小正方形的格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】正方形的判定定理理解、矩形的判定定理理解 【分析】（1）首先根据正方形的性质找到另一条对角线，从而确定各边； （2）根据矩形的定义结合题目要求画出图形即可． 【详解】（1）解：如图，正方形ACBD即为所求； （2）如图，四边形ABCD即为所求． 【点睛】本题考查作图-应用与设计，矩形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【题型九】添一个条件使四边形是正方形 例9．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列描述错误的是（   ） A．①表示有一组邻角相等 B．②表示有一组邻边相等 C．③表示对角线平分一组对角 D．④表示对角线互相垂直 【答案】D 【知识点】添一个条件使四边形是正方形、添一个条件使四边形是菱形、添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查特殊的平行四边形的判定，熟练掌握特殊四边形的各种判定方法是解题的关键．根据特殊的平行四边形的判定方法判断即可． 【详解】解：A、有一组邻角相等，则平行四边形为矩形是正确的，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由选项A得：， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 故本选项不符合题意； B、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形这一判定定理得该选项正确，不符合题意； C、该选项正确，理由如下： 如图，∵矩形， ∴， 由题意得平分， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， 故本选项不符合题意； D、菱形本身对角线就互相垂直，故该选项错误，符合题意， 故选：D． 变式1．如图，矩形的对角线相交于点O，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是_______（写出一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴当时，四边形是正方形． 变式2．如图：已知：是的角平分线，交于，交于． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？ 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明四边形是菱形、添一个条件使四边形是正方形 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据平行线的性质结合角平分线的定义，推出，即可得证； （2）根据有一个角是直角的菱形是正方形，得到时，四边形是正方形，即可. 【详解】（1）（1）， ， 四边形是平行四边形，， 是的角平分线， ， ， （等角对等边）， 四边形是菱形； （2）解：由（1）知，四边形是菱形， ∴当，四边形是正方形， 即， 当时，四边形是正方形． 【题型十】根据正方形的性质与判定求线段长 例10．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，中，，，，、的角平分线交于点D，于点E，于点F，则的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，过D作于H，由角平分线的性质推出，，判定四边形是正方形，得到，由勾股定理求出，判定，得到，同理，得到，即可求出的长． 【详解】解：过D作于H， ∵平分，平分，，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 变式1．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）矩形第一次沿折叠得到四边形，展开后第二次沿折叠，使得点C与点F重合．若，，则______． 【答案】2 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，根据矩形和折叠的性质，得到四边形为正方形，求出，设，在中，利用勾股定理求出的值，进一步求出的长即可． 【详解】解：∵矩形第一次沿折叠得到四边形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∵第二次沿折叠，使得点C与点F重合， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴； 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知：正方形中，是对角线所在直线上一点． (1)如图1，若在对角线上，连接，过点作交于点．求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，若，求的长； (3)如图3，若在的延长线上，连接，过点作交延长线于点，连接，若，的面积是20，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】化为最简二次根式、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】（1）连接，证明≌，可得，进一步证明，可得，进一步可得结论． （2）过点作，由正方形的性质可得，根据，可得，继而可证是等腰三角形，由勾股定理可得，根据矩形的判定可得四边形是矩形和四边形是矩形，继而得到，继而求出，从而得到； （3）过点作，根据正方形的性质可得是的角平分线，由角平分线的性质可得，根据三角形的判定定理可证，继而可得，再由正方形的性质求出，设小正方形的边长为，则大正方形的边长为，根据列方程求出，最后根据勾股定理进行计算． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴≌， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点作， ∵正方形中，是对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可证：四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵,， ∴， ∴， ∴． （3）过点作，如图， ∵正方形中，是对角线，点P在的平分线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵四边形和均为正方形， ∴， ∴， ∴， 设小正方形的边长为，则大正方形的边长为， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练运用正方形的性质和勾股定理以及正确的添加辅助线是解题的关键， 【题型十一】根据正方形的性质与判定求面积 例11．如图，点是正方形的中心（对角线的交点），以点为直角顶点作，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为8，则重叠部分四边形的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．16 【答案】D 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质. 先过点E分别作，，证明四边形是正方形，再得出，故重叠部分四边形的面积为，则，即可作答． 【详解】解：过点E分别作，，如图所示： ∵四边形是正方形，正方形的边长为8， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点E是正方形的中心， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵的两直角边分别交于点M，N， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 则重叠部分四边形的面积为， ∴， 即重叠部分四边形的面积为， 故选：D． 变式1．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在正方形中，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）若，则矩形的面积为_______； （2）当线段与正方形的一边的夹角是时，则的度数为_______． 【答案】 3 或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求角度、根据正方形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）作，，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可； （2）分两种情况讨论即可，①当与的夹角为时，②当与的夹角为时，从而可得答案． 【详解】如图，作于P，于Q， 四边形为正方形， ∵， ∴， 矩形， ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ∵ ∴正方形的面积为：， 故答案为：3； （2）①当与的夹角为时， 如图2， ∵，， ∴， ②当与的夹角为时，如图3，即交于， ， 综上所述：或． 故答案为：或 变式2．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它表明了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．小明用四个全等的直角三角板围成图2，中间是个小正方形，外围是个大正方形．直角三角板的直角边长分别为a，b，斜边长为c． (1)用含有a，b的代数式表示小正方形的面积和大正方形的面积； (2)证明勾股定理． 【答案】(1)小正方形的面积是，大正方形的面积是； (2)见解析． 【知识点】勾股定理的证明方法、以弦图为背景的计算题、根据正方形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握正方形的性质是解决本题的关键． （1）根据正方形的面积公式求解即可； （2）根据大正方形是由中间一个小正方形加四个直角三角形组合而成，由此面积证明即可． 【详解】（1）解：∵直角三角板的直角边长分别为a，b， ∴小正方形的边长为， ∴小正方形的面积是， ∵直角三角板的斜边长为c， ∴大正方形的边长为c， ∴大正方形的面积是． （2）证明：在图2中，大正方形的面积为． 又∵大正方形的面积为中间一个小正方形的面积加四个直角三角形的面积， 即， 整理得，， 即． 【题型十二】根据正方形的性质与判定证明 例12．如图，在等腰中，，，是边上的中点，点、分别在、边上运动，且保持，连接、、．在此运动变化过程中，下列结论： ①是等腰直角三角形；②四边形不可能为正方形；③长度的最小值为2；④四边形的面积保持不变；⑤面积的最大值为2．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．①③④ D．③④⑤ 【答案】B 【知识点】根据正方形的性质与判定证明 【分析】连接CF，证明△ADF≌△CEF然后逐项判断． 【详解】解：连接CF， ∵△ABC为等腰直角三角形，F为斜边上的中点， ∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB=AB=， 又∵ ∴AD=CE， ∴△ADF≌△CEF（SAS）， ∴EF=DF，∠CFE=∠AFD， ∵∠AFD+∠CFD=90°， ∴∠CFE+∠CFD=90°， ∴△EDF为等腰直角三角形．故①正确， 当D，E为AC，BC中点时，且∠ACB=90° ∴此时四边形CDFE为正方形，故②错误， ∵△ADF≌△CEF， ∴S△CEF=S△ADF， ∴S四边形CEFD=S△AFC=，故④正确， ∵△EDF为等腰直角三角形， ∴当DF最小时DE最小， DF⊥AC时，DF最小为AC=2， ∴DE最小值为，故③错误， 当△CDE面积最大时△EDF面积最小， △EDF面积最小值为×2×2=2， ∴△CDE面积最大值为S△ACF-2=S△ABC-2=4-2=2．故⑤正确． 综上所述，①④⑤正确， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的判定，全等三角形与勾股定理的综合应用，解题关键是熟练掌握全等三角形与勾股定理相关知识点． 变式1．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，正方形ABCD中，对角线，M是AB上任意一点，由M点作，，垂足分别为E、F点，则的值为__________． 【答案】5 【知识点】根据正方形的性质与判定证明、等腰三角形的性质和判定 【分析】由四边形ABCD是正方形，则，由，， 得到，是等腰三角形，进而得到即可． 【详解】由四边形ABCD是正方形，则，由，， ， 是等腰三角形, ， ． 故答案为：5． 【点睛】本题考查正方形的性质与等腰三角形的判定，属于基础题． 变式2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，分别在正方形的边上截取相等的线段，连接得四边形． (1)求证：四边形是正方形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、证明四边形是正方形、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）由正方形性质得到，结合已知条件，由三角形全等的判定得到，再由全等性质得到，即可得证四边形是菱形，再求出，由正方形的判定即可得证； （2）先求出，，在中，由勾股定理得到，在正方形中，为其对角线，则在等腰中，，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， 又， ， ， 则四边形是菱形， 又， ， ， 四边形是正方形； （2）解：， ， 由（1）知， 在中，，，，则由勾股定理得， 在正方形中，为其对角线，则在等腰中，，由勾股定理可得． 【点睛】本题考查正方形综合，涉及正方形判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、互余、直角三角形性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识．熟记特殊四边形的判定与性质是解决问题的关键． 【题型十三】中点四边形 例13．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图，点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，下列结论正确的是（   ） A．若四边形是平行四边形，则四边形是矩形 B．若四边形是菱形，则四边形是矩形 C．若四边形是矩形，则四边形是矩形 D．若四边形是正方形，则四边形是正方形 【答案】B 【知识点】中点四边形 【分析】本题主要考查了中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形．先证明一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形，再逐一分析各选项即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点E，F，G，H分别是四边形的边的中点， ∴，，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当四边形是平行四边形，此时无法证明四边形是矩形，故A说法错误，不符合题意； 当四边形是菱形时，则， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形，故B说法正确，符合题意； 若四边形是矩形，则， 又∵，， ∴，此时不能得到四边形是矩形，故C说法错误，不符合题意； 若四边形是正方形时，则，， 又∵，，，， ∴，此时不能四边形是正方形，故D说法错误，不符合题意； 故选：B. 变式1．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）连接对角线相等的四边形四边的中点，所得到的平行四边形一定是_______________． 【答案】菱形 【知识点】中点四边形、证明四边形是菱形 【分析】根据题意画出图形，再根据三角形中位线的性质，，，，然后根据AC=BD，得出EH=FG=EF=HG，即可根据四边相等的四边形是菱形得出答案． 【详解】根据题意可知点E，F，G，H是AB，BC，CD，DA的中点， ∴EH是△ABD的中位线，EF是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线，HG是△ACD的中位线， ∴，，，． ∵AC=BD， ∴， ∴四边形EFGH是菱形． 故答案为：菱形． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，灵活选择判定定理是解题的关键． 变式2．（25-26八年级下·全国·周测）如图，已知E，F，G，H分别是各边的中点，则四边形EFGH是什么四边形？若把条件中的依次改为矩形、菱形、正方形，其他条件不变，则四边形EFGH依次是什么四边形？试说明理由． 【答案】四边形EFGH是平行四边形；当四边形ABCD为矩形时，四边形EFGH是菱形；当四边形ABCD为菱形时，四边形EFGH是矩形．当四边形ABCD为正方形时，四边形EFGH是正方形；理由见解析 【知识点】中点四边形 【分析】连接，，由三角形中位线定理可得，，，，，，根据菱形、矩形、正方形的性质定理和判定解答即可． 【详解】解：如图，连接，． ，分别为，的中点， ∴，． 同理可得，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵，分别为，的中点， ∴，． 当四边形为矩形时，， ∴， ∴四边形是菱形． 当四边形为菱形时，， ∴， ∴四边形是矩形． 当四边形为正方形时，，， ∴，， ∴四边形是正方形． 【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，解题关键是掌握三角形中位线定理． 【题型十四】（特殊）平行四边形的动点问题 例14．如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发在BC上往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），设运动时间为t（s）（t＞0），若以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形，则t的值错误的是（　　）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】根据平行四边形的性质得出DP＝BQ，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形， ∵P在AD上运动， ∴t≤15÷1＝15，即t≤15， ∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形， ∴DP＝BQ， 分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B﹣C， 由题意得：4t﹣15＝15﹣t， 解得：t＝6； ②点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B， 由题意得：15﹣（4t﹣30）＝15﹣t， 解得：t＝10； ③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C， 由题意得：4t﹣45＝15﹣t， 解得：t＝12； 综上所述，t的值为6或10或12， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和平行四边形中的动点问题，解题的关键是根据题意分情况讨论． 变式1．（2024八年级下·安徽合肥·期末）如图．在正方形的边上有一点，连接．点从正方形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点．图是点运动时，的面积随时间变化的函数图象． （1）正方形的边长为______． （2）当时，的值为______． 【答案】 【知识点】动点问题的函数图象、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】（1）抓住关键点，函数图象最高点的纵坐标为8，得△APE的最大面积为8，此时P、D重合，y＝AD•AB＝8，即可求解； （2）先抓住关键点，知道点P到终点时，△APE的面积是6，此时P、C重合，y＝EC•AB＝6，得EC＝3，根据图象分析当x＝7时，点P在CD上，且PD＝3，再求△APE的面积． 【详解】解：（1）设正方形的边长为a， 由图象可知，当P、D重合时，△APE的面积为8， ∴y＝AD•AB＝8， ∴a2＝8， 解得：a＝4（−4舍去）， ∴正方形的边长为4， 故答案为：4； （2）当点在点时，， 解得：，即，， 当x＝7时，点P在CD边上，如图， y＝S正方形ABCD−S△ABE−S△PEC−S△APD ＝4×4−×4×1−×3×1−×4×3＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，解决此类问题关键是：弄清楚不同时间段，函数图象和图形的对应关系，进而求解． 变式2．（23-24八年级下·安徽六安·月考）如图，在矩形中，，点P与点Q同时出发，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P，Q的速度都是，连接，设点P，Q的运动时间为． (1)求当t为何值时，四边形是正方形； (2)求当t为何值时，； (3)当四边形的面积为时，求矩形的周长与四边形的周长的比值． 【答案】(1)当时，四边形是正方形； (2)当时； (3) 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、根据正方形的性质求线段长、利用菱形的性质求线段长、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）设经过后四边形是正方形，则，，在矩形中，，，则当时，四边形是正方形，即，然后解方程即可解答； （2）由于，，得四边形为平行四边形，当时，四边形为菱形，，再利用勾股定理列方程求解即可； （3）四边形为平行四边形，四边形的面积为，即，解得，则，，再分别求矩形的周长与四边形的周长即可解答． 【详解】（1）解：∵ 在矩形中，， ，， 设经过后四边形是正方形，则，， 在矩形中，，， 当时，四边形是正方形， ∴，解得， ∴当时，四边形是正方形； （2）解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， ， ∵， ，解得， ∴当时； （3）解：∵四边形为平行四边形， ∴ 四边形的面积为，即，解得， ，， ∴四边形的周长， ∴矩形的周长， ∴矩形的周长与四边形的周长的比值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定、平行四边形的判定和性质、菱形的判定及性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【题型十五】四边形其他综合问题 例15．如图，在四边形中，对角线，且，则该四边形的面积是（    ） A．30 B．54 C． D．60 【答案】B 【知识点】四边形其他综合问题 【分析】设两对角线的交点为E，由即可完成． 【详解】设两对角线的交点为E ∵ =54 故选：B． 【点睛】本题考查了四边形面积的计算，关键是转化为两个直角三角形面积的和，体现了转化思想的应用．一般地，如果四边形的两条对角线相互垂直，则四边形的面积与菱形面积计算一样，等于两对角线乘积的一半． 变式1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形ABCD，使AB边落在AC上，点B落在点H处，折痕AE交BC于点E，交BO于点F，连接FH，则下列结论中： ①AD＝DF；② 四边形BEHF为菱形；③；④，正确的是有_____． 【答案】①②③④ 【知识点】四边形其他综合问题 【分析】①利用折叠的性质得出，进而得出，利用三角形内角和得出，从而证明；②根据折叠得出，，只要再证明就能得出BEHF是菱形，可用角的度数进行求解，得出的度数，那么就能求出的度数，在直角三角形ABE中，有了的度数，就能求出的度数，这样得出后就能证明BEHF是菱形；③由题意得，根据角度得到为等腰直角三角形，得出与的数量关系，以及与的数量关系，最后根据等量关系进行比例化简即可；④利用角平分线的性质得出，再利用三角形面积公式得出． 【详解】解：①∵在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AB落在AC上，点B恰好与AC上的点H重合， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ②∵在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AB落在AC上，点B恰好与AC上的点H重合， ∴，， 又∵, ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形BEHF是菱形， 故②正确； ③∵在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AB落在AC上，点B恰好与AC上的点H重合， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ④∵在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AB落在AC上，点B恰好与AC上的点H重合， ∴， ∴， ∴ 故④正确； 综上所述①②③④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考差了正方形的性质、菱形的判定、相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据折叠的性质得出边角相等． 变式2．（23-24八年级下·安徽芜湖·月考）如图甲，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）【概念理解】我们已经学习了①平行四边形、②菱形、③矩形、④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是______（填序号）． （2）【性质探究】小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图甲，在四边形中，若，则．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由． （3）【问题解决】如图乙，在中，，，D，E分别是，的中点，连接，，有，求． 【答案】（1）②④；（2）猜想正确，理由见解析；（3） 【知识点】四边形其他综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查四边形中新定义的问题，熟练掌握勾股定理与几何问题的结全是解题的关键， （1）利用垂美四边形的定义结合菱形和正方形的性质即可得到答案； （2）利用垂美四边形的定义可得到，再根据勾股定理即可得到答案； （3）结合垂美四边形的结论，代入即可得到答案． 【详解】解：（1）∵菱形、正方形的对角线相互垂直， ∴菱形和正方形符合垂美四边形的定义， 故答案为：②④； （2）猜想正确，理由如下： ∵四边形中，， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴； （3）∵，，D、E分别是、的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质和判定，解题的关键是证明出四边形是正方形． 延长，交于点F，首先证明出四边形是正方形，得到，，求出，，然后利用的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，延长，交于点F， ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴， ∵，， ∴， ∴的面积 ． 故选：A． 2．已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，四边形是菱形； B．当时，四边形是菱形； C．当时，四边形是矩形； D．当时，四边形是正方形． 【答案】D 【分析】本题考查特殊平行四边形的判定，熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理是解题关键，根据判定定理对各选项逐一判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 选项A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，因此当时，四边形是菱形，故A结论正确，不符合题意； 选项B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此当时，四边形是菱形，故B结论正确，不符合题意； 选项C、有一个内角是直角的平行四边形是矩形，因此当时，四边形是矩形，故C结论正确，不符合题意； 选项D、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，因此当时，四边形是矩形，不一定是正方形，故D结论错误，符合题意． 3．如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是矩形，需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理可得且，且，且，且，易证四边形为平行四边形，再由矩形的判定，即可求解． 【详解】解：、、、分别是线段、、、的中点， ∴在中，为的中位线， 且；同理且，且，且， 则且，且， ∴四边形为平行四边形， 要使四边形是矩形，则需，即， ，， 当时，，此时四边形是矩形． 4．如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．在下列结论中：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中正确的结论有（　　） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键． 过作，过作于，如图所示，根据正方形性质得，，推出四边形是正方形，由矩形性质得，，根据全等三角形的性质得，推出矩形是正方形；根据正方形性质得，推出，得到，，由此推出平分；进而求得；当时，点与点重合，得到不一定等于，即可作答． 【详解】解：过作，过作于，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，   ∴矩形是正方形，故①符合题意； ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴平分，故③符合题意；   ∵， ∴，故②不符合题意； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故④不符合题意． 故选：A 5．将四根长度相等的木条钉成一个四边形的木框架，拉动这个木框架，使它形状改变．如图①，当时，测得．如图②，当时，则的长为（    ） A． B．3 C．6 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质结合勾股定理求出木条的长度，再根据菱形的性质结合等边三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：由题意可知，四边形的四条边长相等， ∴四边形是菱形， 如图①，连接， ∵在图①中，， ∴四边形是正方形， ∴，， 在中，， ∴，解得（负值舍去）， 如图②，连接， ∵在图②中，四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 6．已知在中，．添加一个条件，使得四边形为正方形．添加的条件可以为（    ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件推出四边形是菱形，再结合正方形的判定定理逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形， A、菱形对边相等，是菱形原本就成立的性质，添加该条件不能判定四边形是正方形，错误； B、菱形对角线平分内角，平分是菱形原本就成立的性质，添加该条件不能判定四边形是正方形，错误； C、根据正方形的判定，对角线相等的菱形是正方形， ∴添加，可判定菱形是正方形，正确； D、平行四边形对角相等，原本就成立，添加该条件不能判定四边形是正方形，错误． 7．下列关于图形判定的命题中，正确的是（   ） A．有一组对边平行，有一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有一个内角被对角线平分的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 D．有三条边相等，对角线也相等的四边形是正方形 【答案】B 【分析】根据各类特殊四边形的判定定理逐一判断命题正误. 【详解】解：对于选项A，∵等腰梯形满足“一组对边平行，一组对边相等”，但不是平行四边形，∴A错误； 对于选项B，∵四边形是平行四边形，对边平行，若一个内角被对角线平分，由平行线内错角相等可推出该平行四边形一组邻边相等， ∴邻边相等的平行四边形是菱形，B正确； 对于选项C，∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，对角线相等且互相平分的四边形才是矩形，∴C错误； 对于选项D，满足“三条边相等，对角线也相等”的四边形不一定是正方形，例如一个等腰梯形，若它的一个底边和两条腰相等，则满足三条边相等且对角线相等，但它不是正方形，故D错误. 8．如图所示，在正方形中，点、分别在上，且，连接相交于点，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质及全等三角形的判定和性质逐一判断即可. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，A选项正确； ∵， ∴， ∴，B选项正确； ∵ ∴即：， ∴，C选项正确； ∵，， ∴D选项不正确． 9．如图所示：正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，若正方形的边长为4，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．过点作，，和的交点为，和的交点为，根据正方形的性质可证，四边形是正方形，得到，再证明，得到，从而得出两个正方形重叠部分的面积，即可得解． 【详解】解：如图，过点作，，和的交点为，和的交点为， ， 四边形和是正方形， ，，， 四边形是矩形， ，，，， ，， 四边形是正方形， ，， ，即， 又，， ， ， 两个正方形重叠部分的面积， 故选：C． 10．如图，已知在正方形中，是上一点，将正方形的边沿折叠到，延长交于点，连接．现有如下4个结论：①；②与一定不相等；③；④的周长是一个定值．其中正确的个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由翻折的性质及全等三角形的性质可判断①；根据正方形的性质及角的和差关系可判断③；根据三角形的周长公式可判断④；当是的中点时，可得，再判断②的正确性． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴，，，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，，故①正确； ∴， 故③正确； ∵的周长，， ∴的周长， 是定值，故④正确， ∵当是的中点时，可得，故②错误， ∴正确的结论有①③④． 二、填空题 11．如图，将一张正方形纸片折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为点、，若，则的度数为______ ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的折叠变换及其性质、正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 设，，，由折叠性质得，，根据和求解即可． 【详解】解：由题意知， 设，，， ，， 由折叠性质得：，， ∵， ， ， 又， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 12．如图，在正方形中，是边上一动点（不与、重合），对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交．于点、，下列结论：①；②；③；④当是的中点时，．其中正确的结论有______． 【答案】①③ 【分析】根据正方形的性质证明全等，可判断①结论；根据正方形的性质证明边形是矩形，可判断②结论；过点作交于点，分别证明四边形是平行四边形，四边形是正方形，可判断③结论；同③理可证，四边形、是正方形，可判断④结论． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， 又， ，①结论正确； 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， ，②结论错误； 如图，过点作交于点， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 由①可知，， ， ， 垂直平分， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又， 四边形是正方形， ， ，③结论正确； 设正方形的边长为，则， 是的中点， ， 同③理可证，四边形、是正方形， ， ， ，， ，④结论错误， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质等知识，掌握相关知识点是解题关键． 13．如图所示，在中，平分交于点，按下列步骤作图．步骤1：分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；步骤2：作直线，分别交于点；步骤3：连接．若，则线段的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图-线段垂直平分线，正方形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 推出直线垂直平分，证明四边形为正方形，根据三角形的面积解题即可． 【详解】解：由题意知，直线垂直平分， ∴，， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， 又∵， ∴四边形为正方形； ∵， 又∵， ∴， 解得． 故答案为： ． 14．如图，在以正方形的边为斜边的中，，，，则正方形的面积为______． 【答案】5 【分析】本题主要考查勾股定理，利用勾股定理依次求得即可得出结果． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴正方形的面积为5． 15．如图，在中，是边的中点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点，连接，．当__________时，四边形是正方形． 【答案】90° 【分析】要确定的度数使四边形为正方形，需先分析四边形的形状，利用角平分线、平行线的性质及正方形的判定条件推导． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 同理，平分，． ∴． ∵是边的中点， ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 当时，平分， 可得：． ∵， ∴． 又∵， ∴是等腰直角三角形，． ∴矩形是正方形． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了矩形、正方形的判定，角平分线与平行线的性质，解题关键是先利用“对角线互相平分且相等”证明矩形，再通过“邻边相等的矩形是正方形”推导角度． 三、解答题 16．如图，在中，，点为其内一点，且，分别平分．若于点，于点，则四边形是正方形吗请说明理由． 【答案】四边形为正方形,理由见解析 【分析】此题考查了正方形的判定，以及角平分线定理；过作垂直于点，由三个角为直角的四边形为矩形得到四边形为矩形，由为角平分线，利用角平分线定理得到，同理得到，等量代换得到，利用邻边相等的矩形为正方形即可得证． 【详解】解：：四边形是正方形，理由如下： 过作，交于点，    ， 四边形为矩形， 平分，，， ； 平分，，， ， ， 四边形为正方形． 17．如图，中，平分，，． (1)求证：四边形是菱形 (2)当满足什么条件时，四边形是正方形 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）根据有一个角是直角的菱形是正方形可得时，四边形是正方形． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形，， 平分， ， ， ， 平行四边形为菱形； （2）解：在中，当时，四边形是正方形， ， 菱形是正方形． ∴当满足时，四边形是正方形． 18．如图，已知正方形，，为的中点，连接，把沿折叠得到，连结交于点． (1)求证：； (2)求，的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据正方形的性质和折叠的性质找到条件，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质和勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ∵把沿折叠得到， ，， ，， 在和中， ， ∴； （2）解：四边形是正方形， ， ∵， ， 设，则 为中点， ， 则， 在中， ， ， 解得， ∴，． 19．如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，点均在格点上． (1)在图①中画出以为边且周长为的平行四边形，且点和点均在格点上． (2)在图②中画出以为对角线的正方形，且点和点均在格点上． (3)如图3，在正方形中，点为边上的中点，请仅用无刻度的直尺，画出一个以为顶点的正方形，使得它的面积等于正方形面积的一半．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用数形结合的思想作图，则，，即四边形是平行四边形，且，进行作答即可； （2）取的垂线上且在格点上的点即E、F，，且，根据正方形的判定作图即可． （3）连接交于点，连并延长交于点，连接交于点，连接并延长交于点，同理作出点，连接，则四边形即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，平行四边形为所求作图形 （2）解：如图所示，正方形为所求作图形． （3）解：如图所示，正方形为所求作图形． 20．勾股定理是人类重大科学发现之一．请你运用学到的知识，方法和思想探究以下问题． 【数学经验】分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形（如图1），三个正方形的面积，，之间满足的等量关系是__________； 【迁移应用】（1）如图2，若为直角三角形，，，则正方形和正方形的面积差为__________； （2）如图3，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大的正方形的边长为，求图3中所有正方形的面积的和； 【动手操作】在图4中再画出一个正方形，使所画正方形的面积等于已知的两个正方形的面积之和． 【答案】数学经验：；迁移应用：（1）25；（2）；动手操作：见解析 【分析】数学经验：根据勾股定理求出结果即可； 迁移应用：（1）根据勾股定理得出：，即可得出答案； （2）根据勾股定理得出答案即可； 动手操作：延长到点H，使，连接，，过点F作，交于点K，连接，则正方形即为所求． 【详解】解：数学经验：根据勾股定理得：； 迁移应用：（1）∵为直角三角形，， ∴， ∵，， ∴正方形和正方形的面积差为； （2）根据图形可知：， ， ， ∴， ∵最大的正方形的边长为， ∴， ∴所有正方形的面积的和为： ； 动手操作：延长到点H，使，连接，，过点F作，交于点K，连接，如图所示： ∵正方形中，，，在正方形中，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形即为所求作正方形． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等的判定方法． 21．如图，在正方形中， (1)如图，在正方形中，点，分别在和上，且．证明：且； (2)如图②，在正方形内有一点，过点作，点，分别在正方形的对边，上，点，分别在正方形的对边，上，那么与相等吗？并说明理由； (3)如图③，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，折痕为，点在边上，点在边上．请你画出折痕，则折痕的长是______；线段的长是______． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)， 【分析】（1）由正方形性质及三角形全等的判定与性质求证即可； （2）作交于，作交于，由平行四边形的判定与性质得到，再结合（1）的证明过程得出即可确定答案； （3）连接，由勾股定理及折叠性质求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：在正方形中，， ， ， ， ， ， ， ， 且； （2）解：， 理由如下： 作交于，作交于，如图所示： ， ∴四边形、四边形都是平行四边形， ， 由（1）的证明过程可知，则， ； （3）解：连接，如图所示： 为的中点， ， 在中，由勾股定理可得， 由折叠性质可知，则由（2）的证明过程可知， 设，则由折叠性质可知， 在中，由勾股定理可得，则， 解得， 线段的长为． 22．已知正方形的边长为，点F从点B出发，沿射线方向以的速度移动，点E从点D出发，向点A以的速度移动（不与点A重合），设点E，F的运动时间为． (1)如图①，在点E，F移动的过程中，连接，则的形状是______． (2)如图②，连接，设交于点M，连接，求证：； (3)如图③，点G，H分别在边上，且，连接，当与的夹角为时，求t的值． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)见解析 (3) 【分析】（1）通过证明得到，则易推知是等腰直角三角形； （2）过点作，交于点，，，可证，得到； （3）连接，，设与交于，通过证明四边形是平行四边形得到，由勾股定理计算得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：等腰直角三角形， 理由如下： 四边形是正方形， ， ∴， 根据题意可得：， 在和中， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， 由题意得，， 如图，过点作，交于点，   ， 则， ， ， 在与中， ， ， ； （3）解：如图3，连接，，设与交于，    由（）得为等腰直角三角形， ∴， 由题意得，， ， ∵正方形中，， 四边形是平行四边形， ， ∵， ∴在中，由勾股定理得， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $