用空间向量研究线、面位置关系及距离课件-2026届高三数学二轮专题复习

　用空间向量研究线、面位置关系及距离 1. 直线的方向向量与平面的法向量 （1）直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l 平行或重合，称此向量a为直线l的方向向量； （2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，称向量a为平面α 的法向量. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 2. 空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2 l1∥l2 u1∥u2⇔ ∃λ∈R，使得u1＝λu2 l1⊥l2 u1⊥u2⇔ ＝0 直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n l∥α u⊥n⇔ u·n＝0 l⊥α u∥n⇔ ∃λ∈R，使得u＝λn 平面α，β的法向量分别为n1，n2 α∥β n1∥n2⇔ ∃λ∈R，使得n1＝λn2 α⊥β n1⊥n2⇔ n1·n2＝0 u1·u2　 高中总复习·数学（创新版） 目 录 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，点E，F分别是底面A'B'C'D'和侧面 B'C'CB的中心.求证： （1）AC'⊥平面A'BD； 证明：以D'A'，D'C'，D'D所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角 坐标系， 设正方体ABCD-A'B'C'D'的边长为a， 则A（a，0，a），B（a，a，a），D（0，0，a），C'（0，a， 0），A'（a，0，0）， 所以 ＝（－a，a，－a）， ＝（0，a，a）， ＝（－a，0， a）， 高中总复习·数学（创新版） 目 录 因为 · ＝a2－a2＝0， · ＝a2－a2＝0， 所以 ⊥ ， ⊥ ， 因为A'B⊂平面A'BD，A'D⊂平面A'BD，A'B∩A'D＝A'， 所以AC'⊥平面A'BD. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）EF∥平面A'BD； 证明：由（1）知， 是平面A'BD的一个法向量， 由点E（ a， a，0），F（ a，a， a），得 ＝（0， a， a）， 因为 · ＝0＋ a2－ a2＝0， 所以 ⊥ ， 因为EF⊄平面A'BD， 且AC'⊥EF， 所以EF∥平面A'BD. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （3）平面B'EF∥平面A'BD. 证明：由题可知， ＝（ a， a，0）， ＝（0， a， a）， 设平面B'EF的一个法向量为n＝（x，y，z）， 由 得 取x＝1，则n＝（1，－1，1）， 因为 ＝（－a，a，－a），n＝（1，－1，1），即 ＝－an， 所以 ∥n，所以平面B'EF∥平面A'BD. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 利用空间向量证明平行、垂直的一般步骤 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练1 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD， AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1， 点E为棱PC的中点.证明： （1）BE⊥DC； 证明：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如 图）， 可得B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P （0，0，2）. 由E为棱PC的中点，得E（1，1，1）. （1）向量 ＝（0，1，1）， ＝（2，0，0）， 故 · ＝0，所以BE⊥DC. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练1 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.证明： （1）BE⊥DC； 高中总复习·数学（创新版） 目 录 证明：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图），可得B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）. 由E为棱PC的中点，得E（1，1，1）. （1）向量 ＝（0，1，1）， ＝（2，0，0）， 故 · ＝0，所以BE⊥DC. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）BE∥平面PAD； 证明：因为AB⊥AD， 又PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD， 所以AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， 所以AB⊥平面PAD， 所以向量 ＝（1，0，0）为平面PAD的一个法向量，而 · ＝ （0，1，1）·（1，0，0）＝0， 所以BE⊥AB， 又BE⊄平面PAD，所以BE∥平面PAD. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （3）平面PCD⊥平面PAD. 证明：由（2）知平面PAD的法向量为 ＝（1，0，0），向量 ＝ （0，2，－2）， ＝（2，0，0）， 设平面PCD的一个法向量为n＝（x，y，z）， 则 即 不妨令y＝1，可得n＝（0，1，1）为平面PCD的一个法向量. 且n· ＝（0，1，1）·（1，0，0）＝0，所以n⊥ . 所以平面PCD⊥平面PAD. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 02 PART 考点二 空间距离 目 录 1. 点到直线的距离 （1）设 ＝a，直线l的一个单位方向向量为u，则向量 在直线l上的 投影向量 ＝（a·u）u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝ ＝ ； （2）几何意义：以 和 为邻边的平行四边形中，与 垂直的高. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 2. 点到平面的距离 （1）已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过 点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P 到平面α的距离就是 在直线l上的投影向量 的长度.因此PQ＝ ＝ ＝ 　 　； （2）几何意义： 在法向量方向上的投影长度. 3. 直线到平面的距离、平面到平面的距离都可以转化为点到平面的距离. 　 高中总复习·数学（创新版） 目 录 角度1　点到直线的距离 （2026·山西运城期末）已知A（3，1，0），B（5，2，2），C （2，0，3），则点C到直线AB的距离为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 2 √ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：由题意得 ＝（2，1，2）， ＝（－1，－1，3），则 ＝3， ＝ ，所以AB与AC夹角的余弦值 ＝ ＝ ＝ ，所以 sin ＜ ， ＞＝ ＝ ，所以点C到直线AB的距离d＝｜ ｜ sin ＜ ， ＞＝ ，故选A. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 利用向量求点到直线的距离的方法 　　设过点P的直线l的单位方向向量为n，A为直线l外一点，点A到直 线l的距离d＝ . 高中总复习·数学（创新版） 目 录 角度2　点到平面的距离 已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F 分别为AB，BC的中点. （1）求点D到平面PEF的距离； 解：建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， 则D（0，0，0），P（0，0，1），A（1，0，0）， C（0，1，0），E（1， ，0），F（ ，1，0）. ∴ ＝（1， ，－1）， ＝（－ ， ，0）， ＝（0，0，1）. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 设平面PEF的法向量为n＝（x，y，z）， 则有 ⇒ ⇒ 令x＝1，则n＝（1，1， ）， ∴点D到平面PEF的距离 d＝ ＝ ＝ . 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）求直线AC到平面PEF的距离. 解：∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，又EF⊂平面PEF，AC⊄平面PEF， ∴AC∥平面PEF，故直线AC到平面PEF的距离等于点A到平面PEF的距离. ∵ ＝（0， ，0），平面PEF的一个法向量为n＝（1，1， ）， ∴点A到平面PEF的距离d1＝ ＝ ＝ . ∴直线AC到平面PEF的距离为 . 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 利用向量法求点B到平面α的距离的步骤 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练2 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝2AB＝2BC＝2，E为棱 DD1的中点，F为棱BB1的中点. （1）证明FC1∥AE，并求直线FC1到直线AE的距离； 解：证明：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所 在直线为x轴， y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 高中总复习·数学（创新版） 目 录 则A（1，0，0），E（0，0，1），A1（1，0，2），C1（0，1，2），B1 （1，1，2），F（1，1，1）. 则 ＝（－1，0，1）， ＝（－1，0，1），故 ∥ ，故 FC1∥AE. ＝（1，1，0），设直线FC1到直线AE的距离为d，则d即为F到直线 AE的距离，又 ＝ ， ＝ ， · ＝－1， 所以d＝ ＝ ＝ ， 则直线FC1到直线AE的距离为 . 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）求点A1到平面AB1E的距离. 解：设平面AB1E的法向量为n＝（x，y，z）， 由（1）可知， ＝（－1，－1，－1）， ＝（0，1，0）， 则 即 令x＝1，则y＝－2，z＝1，所以n＝（1，－2，1）. 设点A1到平面AB1E的距离为d1，所以d1＝ ＝ ＝ ，则点A1到平面AB1E的距离为 . 高中总复习·数学（创新版） 目 录 03 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：91分）　 [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 若M（1，0，－1），N（2，1，2）在直线l上，则直线l的一个方向向 量是（　　） A. （2，2，6） B. （1，2，3） C. （3，1，1） D. （－3，0，1） 解析：　∵M，N在直线l上，且 ＝（1，1，3），故向量（2，2， 6）是直线l的一个方向向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 2. 已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，下列结论成立的是 （　　） A. 若a∥n，则a∥α B. 若a⊥n，则a⊥α C. 若a∥n，则a⊥α D. 若a⊥n，则a∥α 解析：　因为直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，若a∥n，则 a⊥α，故A错误，C正确；若a⊥n，则a∥α或a⊂α，故B、D错误.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 3. 若平面α的一个法向量为n＝（1，2，1）， ＝（－1，－1，2）， A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（　　） A. 1 B. C. D. 解析：因为 ＝（－1，－1，2），平面α的一个法向量为n＝（1，2，1），所以点A到平面α的距离为 ＝ .故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 4. 已知A（1，2，0），B（3，1，2），C（2，0，4），则点C到直线 AB的距离为（　　） A. 2 B. C. 2 D. 2 解析：　因为 ＝（2，－1，2）， ＝（1，－2，4），所以 在 方向上的投影数量为 ＝ ＝4.设点C到直线AB的 距离为d，则d＝ ＝ ＝ .故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 5. 〔多选〕已知平面α的一个法向量为n1＝（1，－2，－ ），平面β的一 个法向量为n2＝（－1，0，－2），直线l的方向向量为a＝（1，0，2）， 直线m的方向向量为b＝（0，1，－2），则（　　） A. l⊥α B. α⊥β C. l与m为相交直线或异面直线 D. a在b上的投影向量的坐标为（0，－ ， ） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：因为a·n1＝0，所以l∥α或l⊂α，所以A错误；因为n1·n2＝0，所以α⊥β，所以B正确；因为 ≠ ，则a∥b不成立，所以l与m为相 交直线或异面直线，所以C正确；a在b向量上的投影向量为 ·b＝ ×（0，1，－2）＝（0，－ ， ），所以D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 6. 〔多选〕如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，E，F分 别在A1D，AC上，且A1E＝ A1D，AF＝ AC，则下列选项正确的有 （　　） A. EF∥BD1 B. EF⊥A1D C. EF＝ D. 点F到平面ABD1的距离为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所 在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.由AB＝3， 则E（1，0，1），F（2，1，0），A1（3，0，3）， A（3，0，0），C（0，3，0）， D（0，0，0），B （3，3，0），D1（0，0，3），∴ ＝（1，1，－1）， ＝（－3，－3，3）， ＝－ ，故A正确；由 ＝（－3，0，－3）， · ＝0，∴EF⊥A1D，故B正确；｜ ｜＝ ＝ ，故C错误；设平面ABD1的一个法向量为n＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （x，y，z），由 得 令z＝1，得n＝ （1，0，1）.易知 ＝（－1，1，0），则点F到平面ABD1的距离d＝ ＝ ，故D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 7. 在空间直角坐标系中，a＝（1，2，1）为直线l的一个方向向量，n＝ （2，t，4）为平面α的一个法向量，且l∥α，则t＝ ⁠. 解析：因为l∥α，所以a＝（1，2，1）与n＝（2，t，4）垂直，故a·n ＝（1，2，1）·（2，t，4）＝2＋2t＋4＝0，解得t＝－3. －3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 8. （2026·河南商丘期末）已知平面α的法向量为m＝（2，3，5），直线 l在平面α外，且其方向向量n＝（1，1，－1），则直线l与平面α的位置关 系为 ⁠. 解析：因为m·n＝（2，3，5）·（1，1，－1）＝2＋3－5＝0，所以 m⊥n，所以l⊂α或l∥α.因为l⊄α，所以l∥α. l∥α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 9. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1C与平面A1C1D间的 距离是 ⁠. 解析：以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x 轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，0，0），B1（1，0，1），C（1，1，0），D（0， 1，0），A1（0，0，1），C1（1，1，1）.设平面AB1C的 法向量为m＝（x1，y1，z1）， ＝（1，0，1）， ＝（1，1，0）， ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 由 取x1＝1，可得m＝（1，－1，－1）.设平面A1C1D的法向量为n＝（x2，y2，z2）， ＝（0，－1，1）， ＝（1，0，1），由 取x2＝1，可得n＝（1，－1，－1）.因为m＝n，平面AB1C与平面A1C1D不重合，故平面AB1C∥平面A1C1D， ＝（0，1，0），所以平面AB1C与平面A1C1D间的距离为d＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 10. （13分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝ 4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的 中点. 证明：（1）B1D⊥平面ABD； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 证明：以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x 轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B（0，0， 0），D（0，2，2），B1（0，0，4），设BA＝a，则 A（a，0，0），所以 ＝（a，0，0）， ＝（0，2，2）， ＝（0，2，－2）， · ＝0， · ＝0＋4－4＝ 0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD. 又BA∩BD＝B，BA，BD⊂平面ABD，因此B1D⊥平面ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）平面EGF∥平面ABD. 证明：由（1）知，E（0，0，3），G（ ，1，4），F（0，1，4）， 则 ＝（ ，1，1）， ＝（0，1，1）， · ＝0＋2－2＝0， · ＝0＋2－2＝0， 即B1D⊥EG，B1D⊥EF. 又EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EGF， 因此B1D⊥平面EGF. 结合（1）可知平面EGF∥平面ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 11. 如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，以CD，CB， CE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，若AB＝ ， AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为（　　） A. （1，1，1） B. （ ， ，1） C. （ ， ，1） D. （ ， ，1） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：　由已知得A（ ， ，0），B（0， ，0），D（ ，0， 0），E（0，0，1）.设M（x，x，1），则 ＝（x－ ，x－ ， 1）， ＝（ ，－ ，0）， ＝（0，－ ，1）.设平面BDE的法 向量为n＝（a，b，c），则 即 解得 取b＝1，则n＝（1，1， ）.又AM∥平面BDE，所以n· ＝0，即2（x－ ）＋ ＝0，得x＝ ，所以M（ ， ， 1）.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 12. 〔多选〕在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足 ＝ λ ＋μ ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（　　） A. 当λ＝1时，△AB1P的周长为定值 B. 当μ＝1时，三棱锥P-A1BC的体积为定值 C. 当λ＝ 时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP D. 当μ＝ 时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析： ＝λ ＋μ （0≤λ≤1，0≤μ ≤1）.对于选项A，当λ＝1时，点P在棱CC1 上运动，如图1所示，此时△AB1P的周长为 AB1＋AP＋PB1＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ，不是定值，A错误；对于选项B，当μ＝1时，点P在棱B1C1上运动，如图2所示，则 ＝ ＝ S△PBC× ＝ S△PBC＝ × ×1×1＝ ，为定值，故B正确；对于选项C，取BC的中点D，B1C1的中点D1，连接DD1， A1B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （图略），则当λ＝ 时，点P在线段DD1上运动，假设A1P⊥BP，则A1P2＋BP2＝A1B2，即 ＋（1－μ）2＋ ＋μ2＝2，解得μ＝0或μ＝1，所以点P与点D或D1重合时，A1P⊥BP，故C错误；对于选项D，易知四边形ABB1A1为正方形，所以A1B⊥AB1，设AB1与A1B交于点K，连接PK（图略），要使A1B⊥平面AB1P，需A1B⊥KP，所以点P只能是棱CC1的中点，故选项D正确.综上，选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 13. 如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M 为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）.若AM⊥MP，则点P在 圆锥底面上形成的轨迹的长度为 ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：如图，以O为原点，OB，OS所在直线为y，z轴， 圆锥底面垂直于OB的直线为x轴，建立空间直角坐标系， 则A（0，－1，0），S（0，0， ），M（0，0， ），设P（x，y，0），－1≤x≤1，－1≤y≤1，则 ＝（0，1， ）， ＝（x，y，－ ）.由于AM⊥MP，所以（0，1， ）·（x，y，－ ）＝0，即y＝ ，此为点P的轨迹方程，其在底面圆内的长度为2 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 14. （15分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段 A1B1的中点，F为线段AB的中点. （1）求点B到直线AC1的距离； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解：以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x 轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A （1，0，1），B（1，1，1），C（0，1，1），C1（0， 1，0），E（1， ，0），F（1， ，1）. （1）取a＝ ＝（0，1，0），u＝ ＝ （－1，1，－1）＝（－ ， ，－ ），则a2＝1，a·u＝ ， 所以点B到直线AC1的距离为 ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）判断直线FC与平面AEC1的位置关系；如果平行，求直线FC到平面 AEC1的距离. 解：因为 ＝ ＝（－1， ，0），所以FC∥EC1， 又FC⊄平面AEC1，EC1⊂平面AEC1，所以FC∥平面AEC1， 所以点F到平面AEC1的距离，即为直线FC到平面AEC1的距离. 设平面AEC1的法向量为n＝（x，y，z）， ＝（0， ，－1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 则 所以 所以 取z＝1，则x＝1，y＝2，所以n＝（1，2，1）是平面AEC1的一个法向量. 又因为 ＝（0， ，0），所以点F到平面AEC1的距离为d＝ ＝ ＝ ， 即直线FC到平面AEC1的距离为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学（创新版） 目 录 $