空间向量与线面位置关系课件-2026届高三数学二轮专题复习

第6节　空间向量与线面位置关系 第七章　立体几何与空间向量 1.理解空间向量的概念,掌握空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 4.理解直线的方向向量及平面的法向量. 5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系. 6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理. 课标要求 1.空间向量及其有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中,具有______和______的量 相等向量 方向______且模______的向量 相反向量 方向______且模______的向量 共线向量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相______或______的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 大小 方向 相同 相等 相反 相等 平行 重合 3 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使得_________. (2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x,y),使p＝_________. (3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在______的有序实数组(x,y,z),使得p＝____________,其中,{a,b,c}叫做空间的一个基底. a=λb 唯一 xa+yb 唯一 xa+yb+zc 4 3.空间向量的数量积 (1)两向量的夹角:已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作＝a,＝b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角,记作<a,b>,其范围是________,若<a,b>＝,则称a与b____________,记作a⊥b. (2)两向量的数量积:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做a,b的数量积,记作a·b,即a·b＝________________. (3)空间向量数量积的运算律 ①结合律:(λa)·b＝λ(a·b); ②交换律:a·b＝b·a; ③分配律:a·(b＋c)＝a·b＋a·c. [0,π] 互相垂直 |a||b|cos<a,b> 5 4.空间向量的坐标运算 设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3).   向量表示 坐标表示 数量积 a·b ___________________ 共线 a=λb(b≠0,λ∈R) _____________________ 垂直 a·b=0(a≠0,b≠0) ____________________ 模 |a| _______________ 夹角 <a,b>(a≠0,b≠0) cos<a,b>＝ a1b1+a2b2+a3b3 a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 a1b1+a2b2+a3b3=0 6 5.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l_______________,则称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量. 平行或重合 7 6.空间位置关系的向量表示 u1·u2=0 位置关系 向量表示 直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2 l1∥l2 u1∥u2⇔u1=λu2 l1⊥l2 u1⊥u2⇔_________ 直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n l∥α u⊥n⇔________ l⊥α u∥n⇔u=λn 平面α,β的法向量分别为n1,n2 α∥β n1∥n2⇔n1=λn2 α⊥β n1⊥n2⇔__________ u·n=0 n1·n2=0 8 常用结论与微点提醒 1.空间向量的线性运算和数量积运算可类比平面向量的线性运算和数量积运算. 2.空间向量的坐标运算和坐标原点的选取无关. 3.实数0和任意向量相乘都为零向量. 4.实数与空间向量可以进行数乘运算,但不能进行加减运算. 5.在利用＝x＋y证明MN∥平面ABC时,必须说明M点或N点不在平面ABC内. 9 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.(　　) (2)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行,则a∥α.(　　) (3)若{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,c中至多有一个零向量.(　　) (4)若a·b<0,则<a,b>是钝角.(　　) (5)若两平面的法向量平行,则不重合的两平面平行.(　　) (1)直线的方向向量不是唯一的,有无数多个.(2)a⊥α.(3)若a,b,c中有一个是0,则a,b,c共面,不能构成空间一个基底.(4)若<a,b>＝π,则a·b<0,故(4)不正确. 诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编 √ × × × × 10 2.(人教A选修一P12例1改编)如图,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,点P在线段AN上,且MN＝ON,AP＝ AN,则＝____________________(用向量,,表示).  ＝()＝ ＝ ＝. ++ 11 3.(苏教选修一P27T9改编)已知a＝(2,－1,3),b＝(－4,2,x),且a⊥b,则x＝_____.  因为a⊥b, 所以a·b＝－8－2＋3x＝0,解得x＝. 12 4.(北师大选修一P106T8改编)如图,已知PA⊥平面ABC,垂足为A,∠ABC＝,PA＝AB＝BC＝6,则||＝_______.  12 因为||2＝＋2·＋2·＋2· ＝|PA|2＋|AB|2＋|BC|2＋2|AB||BC|cos<,>＝62＋62＋62＋2×6×6×＝4×62, 所以||＝12. 13 例1 (1)已知四面体OABC,G1是△ABC的重心,G是OG1上一点,且OG＝3GG1,若＝x＋y＋z,则(x,y,z)为(　　) A. B. C. D. A 考点一　空间向量的线性运算及共线、共面定理 法一　如图所示,连接AG1并延长,交BC于点E,则E为BC的中点, ()＝(－2), 则(－2), 由题设,＝3＝3(), 则() ＝ ＝(), 所以x＝y＝z＝. 法二　因为G1是△ABC的重心, 所以＝0, 所以＝0, 从而(). 因为G是OG1上一点,且OG＝3GG1, 所以, 从而(), 所以x＝y＝z＝. (2)(多选)下列说法中正确的是(　　) A.|a|－|b|＝|a＋b|是a,b共线的充要条件 B.若,共线,则AB∥CD C.A,B,C三点不共线,对空间任意一点O,若,则P,A,B,C四点共面 D.若P,A,B,C为空间四点,且有＝λ＋μ(,不共线),则λ＋μ＝1是A,B,C三点共线的充要条件 CD 由|a|－|b|＝|a＋b|,可得向量a,b的方向相反,此时向量a,b共线,反之,当向量a,b同向时,不能得到|a|－|b|＝|a＋b|,所以A不正确; 若,共线,则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,所以B不正确; 由A,B,C三点不共线,对空间任意一点O,若,因为＝1,可得P,A,B,C四点共面,所以C正确; 若P,A,B,C为空间四点,且有＝λ＋μ(,不共线), 当λ＋μ＝1时,即μ＝1－λ,可得＝λ(),即＝λ, 所以A,B,C三点共线,反之也成立,即λ＋μ＝1是A,B,C三点共线的充要条件,所以D正确. 感悟提升 1.空间向量的线性运算以向量的加法、减法、数乘运算为主,具体求解过程中要注意结合图形,依据三角形法则、平行四边形法则合理运算. 感悟提升 2.应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较 三点(P,A,B)共线 空间四点(M,P,A,B)共面 ＝λ ＝x＋y 对空间任一点O,＋t 对空间任一点O,＋x＋y 对空间任一点O,＝x＋(1－x) 对空间任一点O,＝x＋y＋(1－x－y) 训练1 (1)在三棱柱ABC－A1B1C1中,E是BC的中点,＝2,则等于(　　) A. B. C.－ D.－ C 因为＝2,所以, 所以 ×()＋()＋. (2)(多选)(2026·西安调研)关于空间向量,以下说法正确的是(　 　) A.非零向量a,b,若a·b＝0,则a⊥b B.若对空间中任意一点O,有,则P,A,B,C四点共面 C.设{a,b,c}是空间中的一组基底,则{a－b,b＋c,a＋c}也是空间的一组基底 D.若空间四个点P,A,B,C满足,则A,B,C三点共线 ABD 对于A,对于非零向量a,b,若a·b＝0,则a⊥b,正确; 对于B,若对空间中任意一点O, 有, ∵＝1, ∴P,A,B,C四点共面,故正确; 对于C,∵a－b＝－(b＋c)＋(a＋c), ∴a－b,b＋c,a＋c共面,不可以构成空间的一组基底,故错误; 对于D,若空间四个点P,A,B,C满足,由共线向量定理可知A,B,C三点共线,故正确. 例2 (1)已知空间向量a＋b＋c＝0,且|a|＝2,|b|＝4,|c|＝3,则cos<a,c>＝(　　) A. B. C. D. B 考点二　空间向量的数量积及其应用 由a＋b＋c＝0可得－b＝a＋c, 故|－b|＝|a＋c|＝⇒4 ＝, 故cos<a,c>＝. (2)如图,在三棱柱ABC－A1B1C1中,BC1与B1C相交于点O,∠BAC＝90°,∠A1AB＝∠A1AC＝60°,A1A＝3,AB＝AC＝2,则线段AO的长度为(　　) A 由题意可知,四边形BCC1B1是平行四边形, ∴()＝()＋, ∴()＋(), A. B. C. D. ∵∠A1AB＝∠A1AC＝60°,∠BAC＝90°,AA1＝3,AB＝AC＝2, ∴＝4,＝9,·＝0, ··＝2×3×cos 60°＝3, ∴()2＝(＋2·＋2·＋2·)＝(4＋4＋9＋2×0＋2×3＋2×3)＝, ∴||2＝,||＝, 则线段AO的长度为. 感悟提升 由向量数量积的定义知,要求a与b的数量积,需已知|a|,|b|和<a,b>,a与b的夹角与方向有关,一定要根据方向正确判定夹角的大小,才能使a·b计算准确. 训练2 (1)已知空间向量a＝(1,n,2),b＝(－2,1,2),若3a－b与b垂直,则|a|等于(　　) A. B. C. D. C 由于3a－b与b垂直, 故(3a－b)·b＝3a·b－b2＝0, 即3(－2＋n＋4)－(4＋1＋4)＝0,解得n＝1, 故|a|＝,故选C. (2)在正三棱锥P－ABC中,O是△ABC的中心,PA＝AB＝2,则·()等于(　　) A. B. C. D. D 在正三棱锥P－ABC中,O为正三角形ABC的中心,PA＝AB＝2, OA＝OB＝×AB＝, 则PO⊥平面ABC,而OA,OB⊂平面ABC, 于是PO⊥OA,PO⊥OB,且PO2＝22－, 所以·()＝·()＝2＝2×. 例3 如图,正方形ABCD的边长为2,四边形BDEF是平行四边形,BD与AC交于点G,O为GC的中点,FO＝,且FO⊥平面ABCD.求证: 考点三　利用空间向量证明平行与垂直 (1)AE∥平面BCF; (2)CF⊥平面AEF. 如图,取BC的中点H,连接OH,则OH∥BD, 又四边形ABCD为正方形,所以AC⊥BD,所以OH⊥AC,故以O为原点, 建立如图所示的空间直角坐标系,则A(3,0,0),C(－1,0,0),D(1,－2,0), F(0,0,),B(1,2,0).＝(－2,－2,0),＝(1,0,),＝(－1,－2,). (1)设平面BCF的法向量为n＝(x,y,z). 则 取z＝1,得n＝(－,,1)是平面BCF的一个法向量. 又四边形BDEF为平行四边形,所以＝(－1,－2,), 所以＝(－2,－2,0)＋(－1,－2,)＝(－3,－4,), 所以·n＝3－4＝0,所以⊥n, 又AE⊄平面BCF,所以AE∥平面BCF. (2)因为＝(－3,0,), ·＝－3＋3＝0,·＝－3＋3＝0, 所以⊥,⊥, 即CF⊥AF,CF⊥AE. 又AE∩AF＝A,AE,AF⊂平面AEF, 所以CF⊥平面AEF. 感悟提升 1.利用向量法证明平行、垂直关系,关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件,准确写出相关点的坐标,进而用向量表示涉及直线、平面的要素). 2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量,但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理. 训练3 如图,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB＝AC＝3,BC＝2,AA1＝,BB1＝2,点E和F分别为BC和A1C的中点.求证: (1)EF∥平面A1B1BA; 因为AB＝AC,E为BC的中点,所以AE⊥BC. 因为AA1⊥平面ABC,AA1∥BB1, 所以过E作平行于BB1的垂线为z轴, EC,EA所在直线分别为x轴、y轴, 建立如图所示的空间直角坐标系. (2)平面AEA1⊥平面BCB1. 因为AB＝3,BE＝, 所以AE＝2, 所以E(0,0,0),C(,0,0), A(0,2,0),B(－,0,0),A1(0,2,), 则F. (1),＝(－,－2,0), ＝(0,0,). 设平面A1B1BA的一个法向量为n＝(x,y,z), 则所以 取所以n＝(－2,,0). 因为·n＝×(－2)＋1××0＝0, 所以⊥n. 又EF⊄平面A1B1BA, 所以EF∥平面A1B1BA. (2)易证EC⊥平面AEA1, 所以＝(,0,0)为平面AEA1的一个法向量. 同理易证EA⊥平面BCB1, 所以＝(0,2,0)为平面BCB1的一个法向量. 因为·＝0,所以⊥, 故平面AEA1⊥平面BCB1. 一、单选题 1.设x,y∈R,向量a＝(1,x,y),b＝(2,－4,－2),a∥b,则x＋y＝(　　) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1 B ∵a∥b,∴, ∴x＝－2,y＝－1,则x＋y＝－3. 2.已知a＝(1,0,1),b＝(1,1,2),则向量a与b的夹角为(　　) A. B. C.π D. B 设向量a与b的夹角为θ, 则cos θ＝, 因θ∈[0,π],故θ＝,故选B. 3.已知O是坐标原点,空间向量＝(1,1,2),＝(－1,3,4),＝(2,4,4),若线段AB的中点为D,则||＝(　　) A.2 B.3 C.8 D.9 B 向量＝(1,1,2),＝(－1,3,4),线段AB的中点为D, 则＝(0,2,3), 而＝(2,4,4), 于是＝(－2,－2,－1), 所以||＝＝3. 4.已知向量a＝(1,x,2),b＝(0,1,2),c＝(1,0,0),若a,b,c共面,则x等于(　　) A.－1 B.1 C.1或－1 D.1或0 B 因为a,b,c共面, 所以存在实数λ,μ,使a＝λb＋μc, 所以(1,x,2)＝λ(0,1,2)＋μ(1,0,0), ∴解得x＝1. 5.若直线l的一个方向向量为a＝(1,－2,－1),平面α的一个法向量为b＝(5,2,1),则(　　) A.l⊥α B.l∥α C.l⊂α D.l∥α或l⊂α D 由题意可知,a·b＝1×5－2×2－1＝0, 则a⊥b,故l∥α或l⊂α. 6.如图,在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中,点M在BB1上,点N在DD1上,且BM＝BB1,D1N＝D1D,若＝x＋y＋z,则x＋y＋z＝(　　) A ＝－＝－, 故x＝－1,y＝1,z＝,所以x＋y＋z＝. A. B. C. D. 7.如图,在四面体ABCD中,M,N分别为AB,CD的中点,AD＝2,BC＝4,且向量与向量的夹角为120°,则线段MN的长度为(　　) A 如图,取AC的中点E,连接ME,EN, A. B. C.或 D.3或3 因为M,N分别为AB,CD的中点, 所以ME∥BC, 且ME＝BC＝2,EN∥AD, 且EN＝AD＝1. 因为向量的夹角为120°, 所以向量的夹角为120°. 又, 所以||2＝()2＝||2＋2·＋||2＝22＋2×2×1×＋12＝3, 所以||＝, 即线段MN的长度为. 二、多选题 8.关于空间向量,以下说法正确的是(　 　) A.若对空间中任意一点O,有,则P,A,B,C四点共面 B.已知两个向量a＝(1,m,3),b＝(5,－1,n),且a∥b,则mn＝－3 C.若a⊥b,且a＝(x1,y1,z1),b＝(x2,y2,z2),则x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 D.点M(3,2,1)关于平面yOz对称的点的坐标是(－3,2,1) BCD 对于A,若P,A,B,C四点共面, 则存在λ,μ∈R,使得＝λ＋μ, 即＝λ()＋μ(), 所以＝(1－λ－μ)＋λ＋μ, 且(1－λ－μ)＋λ＋μ＝1, 因为对空间中任意一点O有,且≠1, 故P,A,B,C四点不共面,A错; 对于B,已知两个向量a＝(1,m,3), b＝(5,－1,n),且a∥b, 设a＝kb,即(1,m,3)＝k(5,－1,n), 对于C,若a⊥b,且a＝(x1,y1,z1), b＝(x2,y2,z2), 则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2＝0,C对; 对于D,点M(3,2,1)关于平面yOz对称的点的坐标是(－3,2,1),D对. 9.在直三棱柱ABC－A1B1C1中,AB⊥AC,AB＝AC＝2,AA1＝2,D为B1C1的中点,则(　　) AC A.A1D⊥B1C B.B1C⊥平面A1BD C.AC1∥平面A1BD D.直线AC1与B1C所成角为 由题意,以A为原点,以AB,AA1,AC所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 可得A(0,0,0),A1(0,2,0),B(2,0,0), B1(2,2,0),C(0,0,2), C1(0,2,2),D(1,2,1), 则＝(1,0,1),＝(－2,－2,2),＝ (0,2,2),＝(2,－2,0), 对于A,由·＝1×(－2)＋0×(－2)＋1×2＝0,则A1D⊥B1C,故A正确; 对于B,设平面A1BD的一个法向量为n＝(x,y,z), 则 取x＝2,得n＝(2,,－2), 由于不存在实数λ,使得＝λn,则与n不平行,故B错误; 对于C,由·n＝0×2＋2×＋2×(－2)＝0,则⊥n, 因为AC1⊄平面A1BD, 所以AC1 ∥平面A1BD,故C正确; 对于D,由|cos<,>|＝≠, 则直线AC1与B1C所成角不为,故D错误. 三、填空题 10.若空间中三点A(1,5,－2),B(2,4,1),C(p,3,q)共线,则p＋q＝____________.  7 因为空间中三点A(1,5,－2), B(2,4,1),C(p,3,q)共线,所以∥, 所以＝(1,－1,3),＝(p－1,－2,q＋2), 所以,解得p＝3,q＝4, 所以p＋q＝7. 11.如图所示,已知空间四边形O－ABC,OB＝OC,且∠AOB＝∠AOC＝,则cos<,>的值为____________.  设＝a,＝b,＝c, 由已知条件得<a,b>＝<a,c>＝,且|b|＝|c|, ·＝a·(c－b)＝a·c－a·b ＝|a||c|－|a||b|＝0, 所以⊥,所以cos<,>＝0. 0 12.如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,AB＝2BC＝2CC1＝2,以D为坐标原点,向量,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,已知P在平面A1B1C1D1上,若DP⊥平面ACD1,则点P的坐标是 ____________.  由题意得,D(0,0,0),A(1,0,0), C(0,2,0),D1(0,0,1), 则＝(－1,2,0),＝(0,2,－1), 因为点P在平面A1B1C1D1上, 所以设点P(m,n,1),则＝(m,n,1). 若DP⊥平面ACD1, 则 解得所以点P的坐标是. 四、解答题 13.如图,四棱锥P－ABCD的底面为正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA＝AD＝2,E,F,H分别是线段PA,PD,AB的中点.求证: ∵E,H分别是线段AP,AB的中点, ∴PB∥EH. ∵PB⊄平面EFH,且EH⊂平面EFH, ∴PB∥平面EFH. (1)PB ∥平面EFH; (2)PD⊥平面AHF. 建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(0,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),F(0,1,1),H(1,0,0), ∴＝(0,2,－2),＝(1,0,0),＝(0,1,1), ∴·＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0, ·＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0. ∴⊥,⊥,∴PD⊥AF,PD⊥AH. ∵AH∩AF＝A,且AH,AF⊂平面AHF,∴PD⊥平面AHF. 14.如图所示,已知斜四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝θ,且θ∈. (1)求证:CC1⊥BD; 设＝a,＝b,＝c,则＝a－b, 又底面ABCD是菱形,有|a|＝|b|, 则·＝c·(a－b)＝c·a－c·b＝|c|·|a|cos θ－|c|·|b|cos θ＝0, ∴⊥,则CC1⊥BD. (2)当的值为多少时,能使A1C⊥平面C1BD?请给出证明. 要使A1C⊥平面C1BD,只需A1C⊥C1D且A1C⊥C1B. 欲使A1C⊥C1D,则可证明·＝0, 即()·()＝0, 也就是()·()＝0, 即||2－||2＋||·||cos∠BCD－||||cos∠C1CB＝0, 由于∠C1CB＝∠BCD,显然当||＝||时,上式成立. 同理可得,当||＝||时,A1C⊥C1B. 因此,当＝1时,能使A1C⊥平面C1BD. 则故mn＝－3,B对; $