24.2 数据的离散程度 课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

24.2 数据的离散程度 BY YUSHEN BY YUSHEN 22051 1 24.2 数据的离散程度 课时1 离差平方和与方差 BY YUSHEN BY YUSHEN 22051 2 1.理解离差平方和、方差的概念，能够计算一组数据的离差平方和、方差. 2. 理解方差的意义，能通过方差比较两组数据的离散程度． 学习目标 BY YUSHEN 22051 某射击队三位运动员某次选拔赛的射击成绩如图所示，你认为甲、乙、丙三人中谁的发挥更稳定？ 能不能通过计算说明这三人成绩的稳定程度？ 情境导入 BY YUSHEN 22051 问题：某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子. 选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题. 为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表所示. 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢？ 新知讲解 BY YUSHEN 22051 甲和乙两种玉米种子的平均产量为： x甲 = 7.537 x乙 = 7.515 甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大. 由此估计这个地区种植这两种甜玉米的平均产量相差不大. 因此，不能应用平均数判断选择哪种甜玉米种子. 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 计算两组数据的平均数，能否应用平均数判断选择哪种甜玉米种子呢？ 由样本平均数估计总体平均数. 新知讲解 BY YUSHEN 22051 思考：如何考查一种甜玉米产量的稳定性呢？ 为了直观地反映出甜玉米产量的分布情况，把数据画成下图： 甲种甜玉米的产量 乙种甜玉米的产量 比较看看谁的数据波动比较大？ 新知讲解 BY YUSHEN 22051 甲种甜玉米的产量 乙种甜玉米的产量 比较两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，多个产量离平均产量较远；乙种甜玉米在各试验田的产量波动较小，较集中地分布在平均产量附近. 因此，从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好. 如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？ 新知讲解 BY YUSHEN 22051 为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均数的差异来刻画. 思考：可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？ 一般地，有n个数据x1， x2 ，… ，xn，用 它们的平均数，我们把 xi - (i=1，2，…，n)叫作 xi 关于平均数 的离差或偏差. 用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，但 (x1 - )+(x2 - )+…+(xn - ) = x1+x 2 +…+ xn - n = 0 一组数据的离差和总是0，因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异. 归纳 BY YUSHEN 22051 为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和. 我们把 叫作这 n 个数据关于平均数的离差平方和.记作“d 2”. (x1- )2+(x2- )2+…+(xn- )2 把离差的平方的平均数 叫作这组数据的方差，记作“s2”. 归纳 BY YUSHEN 22051 试着用方差公式分析甲、乙两种甜玉米产量的波动程度． 根据样本估计总体的统计思想，种乙种甜玉米产量较稳定． 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 新知讲解 BY YUSHEN 22051 方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量. 方差有什么意义？ 方差越大，数据的离散程度越大； 方差越小，数据的离散程度越小． 归纳 BY YUSHEN 22051 思考：用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什么不足？ 离差平方和可以刻画一组数据的离散程度．在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差不受这个限制． = (x1- )2+(x2- )2+…+(xn- )2 新知讲解 BY YUSHEN 22051 如何使用计算器求方差？ 使用计算器的统计功能求方差，操作时需要参阅计算器的使用说明书. 通常先按某一功能键，使计算器进入统计状态； 然后依次输入数据 x1，x2，…，xn； 最后按求方差的功能键，计算器便会求出方差 s2 = 的值. 新知讲解 BY YUSHEN 22051 例 甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如下表所示. 哪名射击运动员的发挥更稳定？ 甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10 乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9 分析： 方差越大，数据离散程度越大，发挥就不稳定； 方差越小，数据离散程度越小，发挥就更稳定. 例题讲解 BY YUSHEN 22051 甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10 乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9 两名运动员射击成绩的方差分别为 解：两名运动员射击成绩的平均数分别为 甲= = 8.7 乙= = 8.6 = = 2.41, = = 1.04. 由＞可知，乙射击运动员的发挥更稳定. 例题讲解 BY YUSHEN 22051 离差平方和 离差：xi － x ( i ＝1，2，…，n ) 公式： = (x1- )2+(x2- )2+…+(xn- )2 公式： 方差越大（小），数据的波动越大（小） 方差的作用 比较数据的稳定性 利用样本方差估计总体方差 方差 课堂小结 BY YUSHEN 22051 1.已知一组数据：x1，x2，x3，…，xn的方差为0.5，则2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，…，2xn＋1这组数据的方差为(　　) A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 D 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 18 2.射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下图，其成绩的方差分别记为s甲2和s乙2，则s甲2和s乙2的大小关系是(　　) A．s甲2>s乙2 B．s甲2<s乙2 C．s甲2＝s乙2 D．无法确定 A 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 19 3.某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径(单位：mm)，并制作统计图如下： 根据以上信息，解答下列问题： 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 (1)   则m＝______，a＝______，b＝______． (2)苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，____供应商供应的苹果大小更为整齐．(填“甲”或“乙”) 统计量 供应商　　 平均数/mm 中位数/mm 众数/mm 甲 80 80 b 乙 m a 76 80 79.5 83 甲 (3)超市规定直径82 mm(含82 mm)以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果2 000个，其中，大果约有多少个？ 解：2000×=600（个） 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 21 24.2 数据的离散程度 课时2 根据方差做决策 BY YUSHEN BY YUSHEN 22051 22 1.学会运用方差分析数据并进行优化选择和决策. 2.综合运用平均数、众数、中位数和方差解决实际问题． 学习目标 BY YUSHEN 22051 我们知道，一组数据的方差越小，这组数据就越稳定，那么，是不是方差越小就表示这组数据越好？ 方差： 方差的意义：方差越大(小)，数据的离散程度越大(小). 方差的计算公式是什么，并说明方差的意义. 复习导入 BY YUSHEN 22051 问题1 自动灌装线灌装饮料时，由于各种不可控的因素，每瓶饮料的实际含量与标准含量会存在一些误差（实际含量－标准含量）. 甲、乙两条灌装线同时灌装标准含量为 500 mL的饮料，为了检验两条灌装线的灌装质量，从每条灌装线上各随机抽取 10 瓶饮料进行测量，结果（单位：mL）如表所示. 甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501 乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499 思考：可以通过哪些统计量来关注灌装线的灌装质量？ 每瓶饮料的含量；灌装线的稳定性． 新知讲解 BY YUSHEN 22051 甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501 乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499 （1）如果有一瓶饮料含量的误差的绝对值超过 10 mL，此条灌装线的灌装质量为不合格，那么两条灌装线的灌装质量是否合格？ 解：甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量 500 mL 的误差如表所示. 甲组误差/mL 1 －4 －2 －1 3 －2 5 －2 1 1 乙组误差/mL －4 －7 4 －5 0 6 4 5 －2 －1 可以看出，甲、乙灌装线灌装的误差绝对值最大分别为5mL、7mL，两者都小于10mL，因此两条灌装线灌装的质量都是合格的. 新知讲解 BY YUSHEN 22051 （2）哪条灌装线的灌装质量更好？ 甲、乙灌装线饮料实际含量的平均数分别为 x甲 = 501 + 496 + … + 501 10 = 500 x乙 = 496 + 493 + … + 499 10 = 500 两条灌装线饮料实际含量的平均数都等于标准含量. 甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501 乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499 新知讲解 BY YUSHEN 22051 可以类比方差，计算甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量的平均差异程度，分别为 (501－500)2 + (496－500)2 + … + (501－500)2 10 = = 6.6 (496－500)2 + (493－500)2 + … + (499－500)2 10 = = 18.8 ＜ 可以发现，甲灌装线饮料实际含量与标准含量的平均差异更小. 根据样本估计总体，综合来看，甲灌装线的灌装质量更好. （2）哪条灌装线的灌装质量更好？ 甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501 乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499 新知讲解 BY YUSHEN 22051 方差只能反映样本的稳定性，而不能反映样本的一般水平. 因而在用样本估计总体时，通常要综合考虑样本平均数与样本方差，再作出判断. 运用方差解决实际问题的一般步骤： 1.先计算样本数据平均数，当两组数据的平均数相等或相近时，再利用样本方差来估计总体数据的波动情况； 2.在平均数相同或接近时，比较方差，方差越大，则意味着这组数据对平均数的离散程度越大 归纳 BY YUSHEN 22051 甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩（环）及方差统计如表，现要根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 队员 平均成绩 方差 甲 9.7 2.12 乙 9.6 0.56 丙 9.8 0.56 丁 9.8 1.34 C 巩固练习 BY YUSHEN 22051 问题2 甲、乙两地同一天的气温记录如表所示. 两地的气温有什么差异？ 时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00 甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13 乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15 为了直观地观察两地气温的特点，可以以时刻为横坐标，气温为纵坐标，把表中的数据用折线图进行表示. 新知讲解 BY YUSHEN 22051 解：得到下图. 从折线图中可以看出，甲、乙两地气温在不同的时刻互有高低，但甲地的最高气温高于乙地，而最低气温低于乙地． 为进一步了解两地气温的差异，可以从数据的集中趋势和离散程度两个方面分别进行比较. 新知讲解 BY YUSHEN 22051 ①通过数据的集中趋势分析两地的气温差异： 平均数、中位数、众数. 两地气温的平均数分别为 x甲 11 + 9 + … + 13 13 = = 16 x乙 13 + 11 + … + 15 13 = = 16 平均数相等. 时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00 甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13 乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15 新知讲解 BY YUSHEN 22051 将两地气温按从小到大排列，可得 甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24 乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21 中位数都是 16. 众数：甲地是 16 和 21. 乙地是 15 和 17. 众数重复次数太少，不具有代表性. 时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00 甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13 乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15 新知讲解 BY YUSHEN 22051 平均数/℃ 中位数/℃ 众数/℃ 甲地 16 16 16 和 21 乙地 16 16 15 和 17 时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00 甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13 乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15 从数据的集中趋势看，两地的气温差异不明显. 新知讲解 BY YUSHEN 22051 ②通过数据的离散程度分析两地的气温差异： 两地气温的方差分别为 方差 由可知，乙地气温的波动程度比甲地的小，气温更稳定. 时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00 甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13 乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15 新知讲解 BY YUSHEN 22051 如何表现一组数据的集中趋势和离散程度？ 平均数 离差平方和 数据 中位数 众数 总体平均数 样本估计总体 方差 总体方差 样本估计总体 离散程度 集中趋势 课堂小结 BY YUSHEN 22051 1.科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花，从甲、乙、丙、丁中选一种开花时间最短的并且最平稳的是(　　) A. 甲种类 B. 乙种类 C. 丙种类 D. 丁种类 B 种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类 平均数 2.3 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 2. 求一组数据方差的算式为： s2＝×[(6－͞x)2 ＋(8－͞x)2＋(8－͞x)2＋(6－͞x)2＋(7－͞x)2]. 由算式提供的信息，下列说法错误的是( ) A. n的值是5 B. 该组数据的平均数是7 C. 该组数据的众数是6 D. 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 C 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 3.在全运会射击比赛的选拔赛中，运动员甲对10次射击成绩的统计表和扇形图如下： 命中环数 10 9 8 7 命中次数 4 3 2 1 (1)根据统计表(图)中提供的信息，补全统计表及扇形统计图； 解：如图所示 7环 10% 9环30% 8环 20% 10环 40% 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 解：应该派甲去．理由如下： ∵甲、乙两人的平均成绩相同， ∴甲的成绩比乙稳定， (2)已知乙运动员10次射击的平均成绩为9环，方差为1.2，如果只能选一人参加比赛，你认为应该派谁去？请说明理由． ∴应该派甲去． 甲= = 9（环）； = = 1. 命中环数 10 9 8 7 命中次数 4 3 2 1 7环 10% 9环30% 8环 20% 10环 40% 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 $