精品解析：重庆市长寿中学校2025-2026学年高三下学期四月阶段性检测数学试卷

2025-2026学年高三下学期四月阶段性检测数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第一卷（选择题，共58分） 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集，补集和子集得定义即可得解. 【详解】， 所以，， 故ABD错误，C正确. 故选：C. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，然后利用充分条件和必要条件的概念即可得解. 【详解】由题意， 由可推出， 而由不能推出， 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算先求，再求复数的模即可求解. 【详解】由题意可得， 所以. 4. 等差数列中，，求（ ） A. 45 B. 15 C. 18 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求出，再利用等差数列的性质可得结果 【详解】因为是等差数列，所以，解得， 所以， 故选：D 5. 若函数的值域是，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出当时，，则根据条件得到当时，恒成立，利用对数函数的单调性进行求解即可． 【详解】当时，， 要使得函数的值域为，只需的值域包含于， 所以，结合，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，再由诱导公式可得结果. 【详解】因为， 再由诱导公式得. 故选：D. 7. 观星台是我国现存最古老的天文台，包含观星台在内的登封“天地之中”历史建筑群已被列为世界文化遗产.已知观星台台体一部分可以看作一个正四棱台，台高米，台下正四边形边长米多，台上正四边形边长约为台下正四边形边长之半，则该四棱台的体积可能为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】根据正四棱台的体积公式与下底边长的范围求得正四棱台体积的范围即可判断. 【详解】设正四棱台的下底面边长为，高为，则上底面边长近似为，，； 所以正四棱台的体积，解得. 故选：D. 8. 对于实数，用表示不超过的最大整数，例如 .已知，现有下列两个命题，①函数是周期函数；②方程有2个实数根，则（ ）. A. ①成立②成立 B. ①成立②不成立 C. ①不成立②成立 D. ①不成立②不成立 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得为偶函数，作出函数的图象，可判断①；分，，且，及或，求解判断②． 【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为，关于原点对称， 又因为， 所以为偶函数， 由可知，在内，当时，， 当，且时，， 当或时，， 则函数的图象如下图所示： 由图可知，不是周期函数，故①错误； 因为当时，，所以， 所以，不存在，使，故无解； 当，且时，， 所以由，得，所以，所以， 如图所示， 此时有一个解； 当或时，， 所以由，得， 综上所述，方程有2个实数根，故②正确． 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某健身爱好者每周进行两次跑步训练，每次跑步距离为5km或6km，第一次跑步距离为5km或6km的概率均为，若第一次跑步距离为5km，则第二次跑步距离为5km的概率为，跑步距离为6km的概率为；若第一次跑步距离为6km，则第二次跑步距离为5km的概率为，跑步距离为6km的概率为.若一周跑步距离超过10km可以评定为“运动达人”，则（ ） A. 该人一周的跑步距离为12km的概率为 B. 该人一周的跑步距离为11km的概率为 C. 已知该人被评定为“运动达人”，则该人一周内跑步距离为12km的概率为 D. 若该人在连续的4周内被评定为“运动达人”的次数为，则的数学期望 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A利用乘法公式即可判断，对于B利用全概率公式即可判断，对于C利用条件概率公式即可判断，对于D利用二项分布的数学期望公式即可判断. 【详解】令事件表示第次跑步距离为，事件表示第次跑步距离为，， 所以， 令事件表示该人一周的跑步距离为12km，令事件表示该人一周的跑步距离为11km， 令事件表示该人被评定为“运动达人”， 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：， 所以，所以，故C正确； 对于D：由，所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，点满足，其中，则（ ） A. 存在点，使得平面 B. 存在点，使得平面 C. 当时，的最大值为1 D. 当时，的最小值为0 【答案】BC 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定定理判断选项A;利用线面垂直的判定定理证明选项B；根据时，得，进而确定在平面内的轨迹是以为圆心，圆心角为，半径为1的圆弧，设即可得，，利用三角函数讨论最值即可求解. 【详解】对于A：由题意得在正方形的内部（包括边界）， 在正方体中，平面， 若平面，则在直线上，不符合题意，A错误． 对于B：如图，当与重合时，连接． 是正方形， 平面平面， 平面 平面平面． 是正方形， 平面平面， 平面 平面平面． 平面 平面B正确． 对于CD：如图，当时，得， 则在平面内的轨迹是以为圆心，圆心角为，半径为1的圆弧， 设 则有，得，得， ， 由，得， 则，C正确，D错误． 故选:BC. 11. 对于曲线（其中均为正数），下列说法正确的是（ ） A. 曲线是轴对称图形 B. 当时，曲线围成的封闭区域面积的取值范围为 C. 当时，曲线与曲线有4个交点 D. 当时，曲线围成的封闭区域的面积小于 【答案】AB 【解析】 【分析】A代入判断即可；B代入参数，可得第一象限与坐标轴围成的面积范围，结合A的对称性即可判断；C代入参数，结合基本不等式可得曲线无公共点；D选项，举特例即可判断. 【详解】A选项，若满足曲线的方程，则满足曲线的方程，则曲线关于坐标轴以及原点对称，A正确； B选项，当时，曲线，在第一象限为线段，与坐标轴交于，则，，， 由二次函数可求得的取值范围为，B正确； C选项，当时，当时，曲线：， 由基本不等式可得，与不会同时成立，则无交点，C错误； D选项，当时，若，则曲线：， 在第一象限，即， 则， 当且仅当取等号， 如图，曲线在第一象限与坐标轴围成的面积大于直线与坐标轴围成的面积2， 则曲线围成的封闭区域的面积大于8，D错误； 故选：AB. 第二卷（非选择题，共92分） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，为单位向量，且，若，则________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得， 且， 故. 13. 数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，，，.若数列满足，则数列的前项和________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，列式求出，进而求出等差数列、等比数列通项，再利用分组求和法求解. 【详解】由，，，得，而，则， 因此，，， 所以. 故答案为： 14. 已知分别为双曲线的左、右焦点，点在的一条渐近线上（第一象限内），且，线段与交于点，且为的中点，则的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出点M的坐标，再求出N点坐标，将N点坐标代入曲线方程，即可求解. 【详解】因为，所以， 又是的中点，故，直线， ，故， ，又为的中点，故， 又因为在上， 代入得，化简整理得， 两边同时除以得，又解得. 故答案为： 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知． （1）求f（x）的最小正周期与图象的对称轴方程； （2）已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，求的值． 【答案】（1）， （2）92 【解析】 【分析】（1）化简函数为，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）根据题意，化简得到，求得，设 结合正弦函数的图象与性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由 ， 所以函数的最小正周期为， 令，可得， 所以函数图象的对称轴的方程为. 【小问2详解】 解：由， 当时，可得， 因为， 结合正弦函数的性质，可得方程在区间上共有6个实数解， 设 根据正弦函数图像的对称性，可得， 又由， 所以，解得 16. 已知函数． （1）若函数的图象在点处的切线与直线垂直，求的单调递增区间； （2）若函数在上为增函数，求实数k的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据直线垂直得，即可得，进而根据导数正负即可确定函数的单调性， （2）根据导数恒为正，可将问题转化为在区间上恒成立，构造函数，利用基本不等式即可求解最值. 【小问1详解】 的定义域为，， 由题意可知，解得， 所以． 由，得或， 所以函数的单调递增区间是，； 【小问2详解】 函数的定义域为，要使函数在定义域内为增函数， 只需在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 即在区间上恒成立. 令， ， 则，当且仅当时等号成立， 所以，即实数的取值范围为． 17. 如图，在三棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面是以为直角的等腰直角三角形. （1）若，证明：平面平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的边长关系可证，，进而可得平面，即可由面面垂直的判定求解，或者根据线线垂直，结合二面角的定义得是二面角的平面角.利用三角形的边角关系即可求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用向量的夹角求解，或者利用等体积法求解点到平面的距离，再利用线面角的几何法求解. 【小问1详解】 在中，，则. 取的中点，连接，则. 在中，，则， 是以为直角的等腰三角形，故. 方法1： 在中，，则. 由于平面，则平面. 又平面，故平面平面. 方法2： 由于，则是二面角的平面角. 在中，，则. 故二面角为直二面角，即平面平面. 【小问2详解】 方法1：以为坐标原点，以所在直线为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则. 由于是边长为4的等边三角形，二面角的平面角为，则. 设直线与平面所成角为，设平面的一个法向量为. 由于， 由得取，则. 由于， 故直线与平面所成角的正弦值为. 方法2：作平面于，由于平面，则. 取的中点为，连接. 在等边中，，则（三垂线定理的逆定理）， 则就是二面角的平面角，即. 在中，，则在内. 作于，连，则（三垂线定理）. 设直线与平面所成角为，设点到平面的距离为. 由于，则，得. 由于，故直线与平面所成角的正弦值为 18. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其技术在多领域的普惠应用：智能客服实现高效人机交互，企业场景中赋能数据分析与决策优化；教育领域支持个性化学习，医疗场景辅助诊断与知识管理；跨模态模型驱动图像、文本、视频的智能生成与创作工具开发．其开源模型被开发者广泛集成，降低AI应用门槛，推动金融、科研、工业等行业的智能化升级，以高性能技术加速产业创新与效率提升．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的全体员工参加DeepSeek培训． （1）此次DeepSeek培训的员工中共有5名部门负责人参加，恰有2人来自A部门．从这5名部门负责人中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求的分布列和数学期望； （2）在培训闭幕式上，公司举行了一次DeepSeek专业知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两名员工组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．时，求甲、乙两名员工在每轮答题中取胜的概率的最大值． 【答案】（1）分布列见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）的可能取值为，由超几何分布的概率公式代入计算可得随机变量对应概率，再利用期望公式即可得到结果； （2）由二项分布的概率公式，结合独立事件的概率公式可得的表达式，再利用基本不等式，由换元法结合二次函数的值域代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 的可能取值为， ，， ， 分布列为 所以. 【小问2详解】 设甲，乙答对题数分别为， 则， 设事件表示甲、乙两名员工在每轮答题中取胜， 则 ， 又，则， 令，则，即，且， 当且仅当时，取等号， 则，其中， 其对称轴为，所以当时，即时，取得最大值， 且. 19. 如图，由椭圆和抛物线组合成曲线，与存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”. （1）求“等差椭圆”的离心率； （2）在“七星瓢虫曲线”中，若是“等差椭圆”，且.直线与相交所得弦的中点为，与相交所得弦的中点为，证明：直线，（为原点）的斜率之积为定值. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用“等差椭圆”的定义，结合求出离心率. （2）由（1）及已知求出与的方程，利用中点弦问题可得，再将的方程与的方程联立求出点的坐标，进而计算得证. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，由椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列， 得，又，，则， 即有，而，解得， 所以“等差椭圆”的离心率为. 【小问2详解】 由（1）及椭圆是“等差椭圆”，且，得，则，， 解得，于是，， 设直线与相交于点，线段的中点， 则，，两式相减得， ，即， 由已知，，得，因此，， 由消去得，又， 则，，设点， 则，， 即点，，所以，为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三下学期四月阶段性检测数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第一卷（选择题，共58分） 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则（ ） A. 4 B. C. D. 4. 等差数列中，，求（ ） A. 45 B. 15 C. 18 D. 36 5. 若函数的值域是，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 观星台是我国现存最古老的天文台，包含观星台在内的登封“天地之中”历史建筑群已被列为世界文化遗产.已知观星台台体一部分可以看作一个正四棱台，台高米，台下正四边形边长米多，台上正四边形边长约为台下正四边形边长之半，则该四棱台的体积可能为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 对于实数，用表示不超过的最大整数，例如 .已知，现有下列两个命题，①函数是周期函数；②方程有2个实数根，则（ ）. A. ①成立②成立 B. ①成立②不成立 C. ①不成立②成立 D. ①不成立②不成立 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某健身爱好者每周进行两次跑步训练，每次跑步距离为5km或6km，第一次跑步距离为5km或6km的概率均为，若第一次跑步距离为5km，则第二次跑步距离为5km的概率为，跑步距离为6km的概率为；若第一次跑步距离为6km，则第二次跑步距离为5km的概率为，跑步距离为6km的概率为.若一周跑步距离超过10km可以评定为“运动达人”，则（ ） A. 该人一周的跑步距离为12km的概率为 B. 该人一周的跑步距离为11km的概率为 C. 已知该人被评定为“运动达人”，则该人一周内跑步距离为12km的概率为 D. 若该人在连续的4周内被评定为“运动达人”的次数为，则的数学期望 10. 如图，在棱长为2的正方体中，点满足，其中，则（ ） A. 存在点，使得平面 B. 存在点，使得平面 C. 当时，的最大值为1 D. 当时，的最小值为0 11. 对于曲线（其中均为正数），下列说法正确的是（ ） A. 曲线是轴对称图形 B. 当时，曲线围成的封闭区域面积的取值范围为 C. 当时，曲线与曲线有4个交点 D. 当时，曲线围成的封闭区域的面积小于 第二卷（非选择题，共92分） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，为单位向量，且，若，则________． 13. 数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，，，.若数列满足，则数列的前项和________. 14. 已知分别为双曲线的左、右焦点，点在的一条渐近线上（第一象限内），且，线段与交于点，且为的中点，则的离心率为______． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知． （1）求f（x）的最小正周期与图象的对称轴方程； （2）已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，求的值． 16. 已知函数． （1）若函数的图象在点处的切线与直线垂直，求的单调递增区间； （2）若函数在上为增函数，求实数k的取值范围． 17. 如图，在三棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面是以为直角的等腰直角三角形. （1）若，证明：平面平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 18. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其技术在多领域的普惠应用：智能客服实现高效人机交互，企业场景中赋能数据分析与决策优化；教育领域支持个性化学习，医疗场景辅助诊断与知识管理；跨模态模型驱动图像、文本、视频的智能生成与创作工具开发．其开源模型被开发者广泛集成，降低AI应用门槛，推动金融、科研、工业等行业的智能化升级，以高性能技术加速产业创新与效率提升．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的全体员工参加DeepSeek培训． （1）此次DeepSeek培训的员工中共有5名部门负责人参加，恰有2人来自A部门．从这5名部门负责人中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求的分布列和数学期望； （2）在培训闭幕式上，公司举行了一次DeepSeek专业知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两名员工组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．时，求甲、乙两名员工在每轮答题中取胜的概率的最大值． 19. 如图，由椭圆和抛物线组合成曲线，与存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”. （1）求“等差椭圆”的离心率； （2）在“七星瓢虫曲线”中，若是“等差椭圆”，且.直线与相交所得弦的中点为，与相交所得弦的中点为，证明：直线，（为原点）的斜率之积为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $