重庆市长寿中学校2025-2026学年高三下学期开学测试数学试题

重庆市长寿中学校高三2026春期开学测试 · 数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 2．若集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．19 B．29 C．30 D．31 4．“”是方程“表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，还被用做第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若 ，则 =（    ） A． B． C． D． 6．已知曲线：，曲线：的离心率分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 7．有这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后的厚度能超过地月距离，但实际上，因为纸张本身有厚度，所以我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了.一张长边为，厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折后，长边变为，厚度变为．在理想情况下，对折次数满足关系：．根据以上信息，一张长为100cm，厚度为0.05cm的纸经过对折后的厚度的最大值为（参考数据：）（   ） A．1.28cm B．2.56cm C．12.8cm D．6.4cm 8．在⊿ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则⊿ABC的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9．已知椭圆的方程是，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于A，B两点，的周长为8，则下列说法正确的是（    ） A． B．存在点，使得的面积为1 C．椭圆上存在6个不同的点，使得为直角三角形 D．⊿PF1F2内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为 10．已知⊿ABC中，是BC边上靠近的三等分点，为AO的中点，过点的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，设，其中.则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值为 C． D．若，角，则三角形ABC面积的最大值为 11．设函数，则（    ） A．当时，函数有三个零点 B．当时，是的极小值点 C．若函数有三个零点，则 D．已知是函数的极大值点，若，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在递增的等比数列中，，，则 . 13．在直三棱柱中，为的中点，若平面与平面的交线为，则点到直线的距离为 ． 14．某中学对“秋假”期间申请留校的学生实行免费托管，现要从名教师中选若干人在天假期值班（每天只需人值班），同一人不能连续值班天，则可能的安排方法有 种． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（13分）某厂为比较甲，乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲，乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，试验结果如下： 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记，记的样本平均数为，样本方差为. (1)求； (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高，（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）. 16．（15分）如图，在正四棱锥中，，，，分别为，的中点. (1)证明：平面平面； (2)若点在棱上，当直线与平面所成角取最大值时，求. 17．（15分）已知不等式ax2+3ax+1>0， (1) 若不等式的解集是{x|-4<x<1}，求的值； (2) 若不等式的解集是R, 求的取值范围. 18．（17分）已知动圆过点，且与相切，记该动圆圆心轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若，直线与交于点，直线与交于点，点在第一象限，记直线与的交点为，直线与的交点为，线段的中点为． ①证明：三点共线； ②若，过点作的平行线，分别交线段于点，记与的面积分别为和，求的最大值． 19．（17分）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设函数. （ⅰ）设为的极值点，证明：； （ⅱ）对任意，，判断和的大小关系，并说明理由. 数学试卷第2页，共4页 数学试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1-5．CDABB 6-8．CDA 9．ACD 10．ABD 11．BD 12．2025 13．2 14． 15．解：（1）计数如下表： 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 6 8 15 11 19 18 20 12 则， . （2）由（1）知，，故有， 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 16．解：（1）证明：连接，设与相交于点，连接. ∵，分别为，的中点，∴， 在正四棱锥中，平面， 又∵平面，∴， 又底面为正方形，∴， ∵，平面，平面， ∴平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面. （2）由（1）以及题意可知，在中，，. 在中，，，∴. 又∵，，， ∴以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，，， 则. ∵在棱上，∴不妨设， 则，. 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，，则. 设与平面所成的角为， 则，当且仅当时等号成立. ∴当与平面所成角取得最大值时，. 17．解：(1)由题意可得：且是一元二次方程的两个实数根， 结合韦达定理有：，据此可得：； (2)当时，不等式为，其解集为R，满足题意， 当时，应满足：，即：，此时， 综上可得，的取值范围是. 18．解：（1）已知圆过点，且与相切，所以圆心到点与点到直线的距离相等， 根据抛物线的定义可知，圆心的轨迹为抛物线，且点为焦点，直线为准线. 设抛物线方程为，则，所以，故. 所以曲线的方程为. （2）①证明：设线段的中点为， 因为，所以可设, 因为 所以G，E，F三点共线，同理，H，E，F三点共线， 所以G，E，H三点共线． ②设，，，，中点为，中点为， 将代入得：，所以，， 所以， 同理，，（均在定直线上） 因为，所以与面积相等，与面积相等； 所以等于四边形的面积， 设，， 直线：，即 整理得，直线：，又，所以， 同理，直线：，又，所以， 所以 所以四边形面积 ， 当且仅当，即，即时取等号， 所以四边形面积的最大值为16，即的最大值为16. 19．解：（1）由，可得，求导得， 则， 故曲线在点处切线方程为， 即. （2）（ⅰ），设，，则， 所以在上单调递减，因，， 故存在唯一，使得，即，即， 则当时，，，函数在上单调递增， 当时，，，函数在上单调递减， 为的极大值点，， 函数在区间上单调递减，则， 即. （ⅱ）由，因为和在上单调递增， 则在上单调递增，且，， 则存在唯一，使得，即，即，（*） 当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，故在区间上单调递增， 的最小值为， 由（ⅰ）可知，的最大值为，且，（**） 由于函数在上为增函数，由（*），（**）式可得， 故对任意正实数a，b，都有， 故对任意正实数a，b，都有. 数学答案第4页，共7页 数学答案第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $