第二节常用逻辑用语讲义-2027届高三数学一轮复习

第二节　常用逻辑用语 知识清单 1.充分条件、必要条件与充要条件 p是q的________________条件 p⇒q且qD⇒/p p是q的________________条件 pD⇒/q且q⇒p p是q的________________条件 p⇔q p是q的________________条件 pD⇒/q且qD⇒/p 剖析　若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|x满足条件p}， B＝{x|x满足条件q}， ①若p是q的充分条件，则A⊆B； ②若p是q的必要条件，则B⊆A； ③若p是q的充分不必要条件，则AB； ④若p是q的必要不充分条件，则BA； ⑤若p是q的充要条件，则A＝B. 2．全称量词与存在量词 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做________，用符号“________”表示． (2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做________，用符号“________”表示． 3．全称量词命题与存在量词命题及其否定 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ________________ ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，¬p(x) ________________ 注：M为变量X的取值范围 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．(　　) (2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．(　　) (3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(　　) (4)命题“∃x∈R，sin2＋cos2＝”是真命题．(　　) 2．(人教A版必修一P31习题T1，2改编)下列命题为假命题的是(　　) A．有些实数是无限不循环小数 B．每一个末位是0的整数都是5的倍数 C．至少有一个整数n，使n2＋1是4的倍数 D．对任意负数x，x2的平方是正数 3．(多选)(人教A版必修一P18例1改编)下列命题中，p是q的充分条件的是(　　) A．若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直 B．若x2＝1，则x＝1 C．若a＝b，则ac＝bc D．若x，y为无理数，则xy为无理数 4．(人教A版必修一P30例4(3)改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是________________． 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　充分条件与必要条件 考向1　充分条件、必要条件的判定 例1 (1)(2025·天津卷) 设x∈R，则“x＝0”是“sin 2x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(2025·北京卷)已知函数f(x)的定义域为D，则“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 笔记：充分条件、必要条件的判断方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p两种情况是否成立进行判断，此时应明确以下三点：一要分清条件与结论分别是什么；二要从充分性、必要性两个方面进行判断；三直接判断有困难时，可举反例判断． (2)集合法：如果条件p和结论q都以集合的形式出现，即A={x| x满足条件p}B={x| x满足条件q}，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若p＝q，则p是q的充要条件． 　跟踪训练　(1)(2026·六安毛坦厂中学模拟)“a>b”是“lg a>lg b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(2026·泉州模拟)设A＝{x|1≤2x≤4}，B＝{x|x2≤4x}，则x∈A是x∈B的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考向2　充分条件、必要条件的探求与应用 例2 (1)已知a，b∈R，则以下选项中为“a>b”的充分条件的是(　　) A．3a>4b B．a2>b2 C．a>|b| D．2a>3b (2)(2026·包头模拟)设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－a|<1”的必要不充分条件，则实数a的取值范围为(　　) A．[1，4] B．(－∞，1] C．[4，＋∞) D．(1，4) [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 笔记：(1)充分不必要条件的探求是选择推出结论的条件(选择题中是由选项推出结论)；必要不充分条件的探求是判断由结论能够得到什么条件(选择题中是由结论推出选项)． (2)在利用集合关系列不等式时，不等式是否能够取到等号直接决定着端点值的取舍，在这里容易增解或漏解． 　跟踪训练　(1)“一元二次方程x2＋ax＋1＝0有实数根”的充要条件是________； (2)“一元二次方程(x－a)(x－a－1)＝0有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分不必要条件可以是________； (3)“一元二次方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的正实数根”的充要条件是________． 命题点二　全称量词与存在量词 考向1　含量词命题的否定及真假判断 例3 (1)(2026·哈尔滨二模)命题“∀x>0，ex＋1≤3x”的否定是(　　) A．∃x≤0，ex＋1>3x B．∃x>0，ex＋1≤3x C．∃x>0，ex＋1>3x D．∀x>0，ex＋1>3x (2)(链接·2024年新高考Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1，命题q：∃x>0，x3＝x，则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 　真题探源　(源自人教A版必修一P35T7改编)下列命题的否定为真命题的是(　　) A．∀a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根 B．每个正方形都是平行四边形 C．∃m∈N, ∈N D．存在一个四边形ABCD，其内角和不等于360° [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 笔记：(1)含量词命题的否定，一是要改变量词，二是要否定结论． (2)判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x证明p(x)成立；判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x使p(x)成立即可． 考向2　由含量词命题的真假求参数 例4 (2026·南阳模拟)已知a∈R，若“∃x∈R，a＝2x＋1”为假命题，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1] D．[1，＋∞) [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 笔记：由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与¬p的关系，转化成由¬p的真假求参数的范围． 　跟踪训练　若命题“∃x∈R， x2＋(a－1)x＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|－1≤a≤3} B．{a|－1<a<3} C．{a|a≤－1，或a≥3} D．{a|a<－1，或a>3} 提示：请完成课时作业2 第二节　常用逻辑用语 必备知识·助学教材 知识清单 1．充分不必要　必要不充分　充要　既不充分也不必要 2．(1)全称量词　∀　(2)存在量词　∃ 3．∀x∈M，p(x)　∀x∈M，¬p(x) 自主诊断 1．答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．解析：对于A，实数包含有理数和无理数，其中无理数包含无限不循环小数，故A为真命题；B为真命题；对于C，假设有一个整数n，使n2＋1是4的倍数，则n2＋1能被4整除，故n2＋1为偶数，所以n2为奇数，即n为奇数，设n＝2k＋1，k∈N，则n2＋1＝4k2＋4k＋2，故n2＋1除以4的余数为2，与题设矛盾，因此不存在整数n，使n2＋1是4的倍数，故该命题为假命题；D为真命题.故选C. 答案：C 3．解析：A中p⇒q，所以p是q 的充分条件；B中由于(－1)2＝1，但－1≠1，所以pD q，所以p不是q 的充分条件；C中由等式的性质知，p⇒q，所以p是q 的充分条件；D中为无理数，但＝2为有理数，pDq，所以p不是q 的充分条件． 答案：AC 4．答案：任意一个偶数都不是素数 考教衔接·活用教材 例1　解析：(1)由x＝0⇒sin 2x＝sin 0＝0，则“x＝0”是“sin 2x＝0”的充分条件；又当x＝π时，sin 2x＝sin 2π＝0，可知sin 2x＝0Dx＝0，故“x＝0”不是“sin 2x＝0”的必要条件，综上可知，“x＝0”是“sin 2x＝0”的充分不必要条件．故选A. 解析：(2)若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)＝|M|＋1，取x0＝x1，则|f(x0)|＝|M|＋1>M，充分性成立；取f(x)＝2x，D＝R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)＝|M|＋1，取x0＝x1，则|f(x0)|＝|M|＋1>M，但此时函数f(x)的值域为(0，＋∞)，必要性不成立，所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的充分不必要条件．故选A. 答案：(1)A　 答案：(2)A 跟踪训练　解析：(1)由y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，所以lg a>lg b⇒a>b>0，当0>a>b时，lg a，lg b没有意义，所以a>b不能推出lg a>lg b，所以“a>b”是“lg a>lg b”的必要不充分条件．故选B. 解析：(2)由A＝{x|1≤2x≤4}＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2≤4x}＝{x|0≤x≤4}，所以AB，即x∈A是x∈B的充分不必要条件．故选A. 答案：(1)B　 答案：(2)A 例2　解析：(1)若a＝－4，b＝－3.5，满足3a>4b，不满足a>b，故A不符合题意；当a＝－2，b＝1满足a2>b2，不满足a>b，∴B不符合题意；若a>|b|，又∵|b|≥b，∴a>b，∴C符合题意；a＝－3，b＝－2，满足2a>3b，不满足a>b，故D不符合题意．故选C. (2)∵x2－5x<0，∴0<x<5，∵|x-a|<1，∴a-1<x<a+1，∴0<x<5是a-1<x<a+1的必要不充分条件，则 或得a∈[1，4].故选A. 答案：(1)C　 答案：(2)A 跟踪训练　解析：(1)一元二次方程x2＋ax＋1＝0有实数根，应满足Δ＝a2－4≥0， 解得a≤－2或a≥2， ∴实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (2)一元二次方程(x－a)(x－a－1)＝0的两个根为a，a＋1， ∵有一个正实数根和一个负实数根， ∴∴－1<a<0. ∵(－1，0)， ∴“一元二次方程（x-a）(x-a-1)=0有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分不必要条件是(不唯一)． (3)一元二次方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的正实数根， 则Δ＝a2－4>0，∴a>2或a<－2， 又两个根的和－a>0，∴a<0， ∴a<－2， ∴“一元二次方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的正实数根”的充要条件是{a|a<－2}． 答案：(1)(－∞，－2]∪[2，＋∞)　(2){a<a<0}(不唯一) (3){a|a<－2} 例3　解析：(1)命题“∀x>0，ex＋1≤3x”为全称量词命题，其否定为∃x>0，ex＋1>3x.故选C. 解析：(2)对于p，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，¬p是真命题，对于q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，¬q是假命题．综上，¬p和q都是真命题．故选B. 答案：(1)C　 答案：(2)B 真题探源　解析：对于A，因为Δ＝(－a)2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0恒成立，故此方程对于任意的实数a都有实根，故命题的否定为假命题；对于B，因为所有的正方形都是平行四边形，所以不存在一个正方形不是平行四边形，故命题的否定为假命题；对于C，取m＝0∈N，有＝1∈N，故命题的否定是假命题；对于D，任意四边形ABCD的内角和都等于360°，故命题的否定是真命题．故选D. 答案：D 例4　解析：命题“∃x∈R，a＝2x＋1”是存在量词命题，其否定为全称量词命题，其否定为∀x∈R，a≠2x＋1，而函数y＝2x＋1的值域为(1，＋∞)，由“∃x∈R，a＝2x＋1”为假命题，得“∀x∈R，a≠2x＋1”为真命题，则a≤1，所以a的取值范围是(－∞，1].故选C. 答案：C 跟踪训练　解析：由题意得，∵“存在x∈R，使x2＋(a－1)x＋1<0”是假命题，∴x2＋(a－1)x＋1＝0没有实根或有重根，∴Δ＝(a－1)2－4≤0，解得－1≤a≤3.故选A. 答案：A 学科网（北京）股份有限公司 $