第三节不等式的性质讲义-2027届高三数学一轮复习

第三节　不等式的性质 知识清单 1.两个实数比较大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 a＞b a－b＞0 ＞1(a，b＞0)或________1(a，b＜0) a＝b a－b＝0 ＝1(b≠0) a＜b a－b＜0 ＜1(a，b＞0)或________1(a，b＜0) 2.不等式的性质 性质 性质内容 对称性 a＞b⇔________ 传递性 a＞b，b＞c⇒________ 可加性 a＞b⇒a＋c＞b＋c 可乘性 a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒________ 同向可加性 a＞b，c＞d⇒____________ 同向同正可乘性 a＞b＞0，c＞d＞0⇒________ 同正可乘方性 a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n≥2) 【常用结论】 与倒数有关的结论： (1)a>b，ab>0⇒<. (2)a<0<b⇒<. (3)a>b>0，0<c<d⇒>. (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　　) (2)一个不等式的两边同加上或同乘一个数，不等号方向不变．(　　) (3)若>1，则a>b.(　　) (4)a>b>0，c>d>0⇒>.(　　) 2．(多选)(人教A版必修一P42练习T2改编)下列命题为真命题的是(　　) A．若a>b，c<d，那么a－c>b－d B．若a>b>0，c<d<0，那么ac>bd C．若a>b>0，那么> D．若a>b>c>0，那么< 3．(人教A版必修一P40T2改编)设M＝(x＋3)(x＋7)，N＝(x＋4)(x＋6)，则M与N的大小关系为________． 4．(人教A版必修一P43T10改编)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示成一个不等式为________________． 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　比较数与式的大小 例1 (1)设P＝，Q＝，R＝，则P，Q，R的大小关系是(　　) A．P>Q>R B．P>R>Q C．Q>P>R D．Q>R>P (2)eπ·πe与ee·ππ 的大小关系为__________(用“<”连接)． [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 笔记：(1)作差法：若待比较的式子为多项式(或变形后为多项式)，常用作差比较法，一般作差后利用因式分解或配方等判断符号． (2)作商法：若待比较的式子符号相同，且含分式或指数式，常用作商比较法． 　跟踪训练　(1)已知P＝x2＋xy＋y2，Q＝3xy－1，则(　　) A．P>Q B．P＝Q C．P<Q D．P，Q的大小关系不确定 (2)已知P＝a2＋a＋1，Q＝(a∈R)，则P，Q的大小关系为________． 命题点二　不等式的基本性质 例2 (多选)(2026·临沂二模)已知a>b>c，则下列不等式正确的是(　　) A．< B．ab2>cb2 C．a＋b>c D．a2＋c2>b2 [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 笔记：判断不等式是否成立主要是综合不等式的性质进行推理论证，求解时常用比较大小的方法以及取特殊值判断． 　跟踪训练　(多选)(2026·沧州模拟)下列说法正确的是(　　) A．若a<b，则< B．若a<b，则> C．若a<b，c>d，则a－c<b－d D．若a，b，m>0，则< 命题点三　利用不等式的性质求范围 例3 (1)已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围为________，3x＋2y的取值范围为________． (2)已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则的取值范围是________． [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 笔记：利用不等式的性质求取值范围时，应注意同向不等式具有可加性与正值可乘性，但是不能相减或相除求解时要充分利用所给条件进行适当变形，注意变形的等价性． 　跟踪训练　(1)设α∈(－)，β∈[0，π]，那么2α－的取值范围是(　　) A．(0，) B．(－) C．[－) D．(－，π) (2)已知3<a<8，4<b<9，则的取值范围是________． 提示：请完成课时作业3 第三节　不等式的性质 必备知识·助学教材 知识清单 1．<　＞ 2．b＜a　a＞c　ac＜bc　a＋c＞b＋d　ac＞bd 自主诊断 1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．解析：若a＞b，c<d，则－c＞－d，由同向可加性得a－c＞b－d，故A正确；若a＞b＞0，c<d<0，同向同正才能相乘，则－c＞－d＞0，才能得出－ac＞－bd，即ac<bd，故B错误；若a＞b＞0，则0<，由同正可乘方性即可得出<，故C错误；若a＞b＞c＞0，则0<<，由于c为正数，则<，故D正确．故选AD. 答案：AD 3．解析：M－N＝(x2＋10x＋21)－(x2＋10x＋24)＝－3<0，所以M<N. 答案：M<N 4．解析：因为b克糖水中含有a克糖(b＞a＞0)，所以糖水的浓度为.再添加m克糖(m＞0)(假设全部溶解)，糖水的浓度为.糖水变甜了，即糖水的浓度增加了，所以＞. 答案：＞ 考教衔接·活用教材 例1　解析：(1)∵P－R＝－＝2>0，∴P>R，R－Q＝－＝－，而2＝9＋22＝9＋2，而18>14，∴，即R>Q.综上P>R>Q.故选B. (2)＝π－e，又0<<1，0<π－e<1，所以π－e<1，即<1，又ee·ππ>0，eπ·πe>0，所以<ee·ππ. 答案：(1)B　(2)eπ·πe＜ee·ππ 跟踪训练　解析：(1)因为P－Q＝x2＋xy＋y2－3xy＋1＝(x－y)2＋1>0，所以P>Q.故选A. (2)因为P＝a2＋a＋1＝2＋>0，a2－a＋1＝2＋>0，则Q>0.所以＝(a2＋a＋1)(a2－a＋1)＝－a2＝a4＋a2＋1≥1，所以P≥Q. 答案：(1)A　(2)P≥Q 例2　解析：对于A，，因为a>b>c，所以c－b<0，a－c>0，a－b>0，即<0，所以<，故A正确；对于B，取a>b＝0>c，此时ab2＝cb2＝0，故B错误；对于C，取a＝－1>b＝－2>c＝－3，则a＋b＝c＝－3，故C错误；对于D，若b＝0，则a2＋c2>b2＝0显然成立，若b，则a2＋c2a2>b2成立，若a>0>b>c，则a2＋c2c2>b2成立，综上所述，只要a>b>c，就一定有a2＋c2>b2，故D正确．故选AD. 答案：AD 跟踪训练　解析：对于A，因为a<b，且>0，所以<，故A正确；对于B，若a<0<b，则<，故B错误；对于C，因为c>d，所以－c<－d，又因为a<b，所以a－c<b－d，故C正确；对于D，若a>b>0，则ab＋am>ab＋bm，不等式两边同时除以b(b＋m)得>，故D错误．故选AC. 答案：AC 例3　解析：(1)∵－1<x<4，2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，∴1<3x＋2y<18. (2)∵a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0，b＝－2a－c.∵a＞b＞c，∴－2a－c＜a，即3a＞－c，解得<－.将b＝－2a－c代入b＞c中，得－2a－c＞c，即a＜－c，得>－1，∴－1＜－. 答案：(1)(－4，2)　(1，18)　(2) 跟踪训练　解析：(1)因为α∈，β∈[0，π]，所以－<2α<π，－≤0，所以－<2α－<π.故选D. (2)因为4<b<9，所以<<，又3<a<8，所以×3<<×8，即<<2. 答案：(1)D　(2) 学科网（北京）股份有限公司 $