2026年中考数学压轴题几何模型 专题29 相似三角形之A字型相似

该初中数学中考复习讲义聚焦“相似三角形之A字型相似”专题，覆盖中考几何核心考点，梳理平行A字、反A字、双A字、内接矩形四大模型，构建“模型讲解-例题分析-课堂随练-巩固提高”递进式复习架构，通过考点梳理建立知识联系，方法指导突破比例转化难点，真题训练强化应用能力。 亮点在于以几何直观培养数学眼光，如内接矩形模型通过相似比构建方程解决边长问题，以推理意识深化数学思维，例题分析中规范相似判定推理过程。设基础随练与综合提高分层练习，配合5分钟模型识别速训，助力学生高效掌握相似建模思想，教师可依此精准把控复习节奏，提升学生中考几何题解题效率。

专题29相似三角形之A字型相似 相似三角形之A字型相似模型，由平行线分线段成比例定理推导生成，是相似三角形最基础的经典几 何模型，可直观构建三角形相似关系、推导线段比例与边长等量关系。中考常以平行线、三角形切割、几 何求值、综合探究题型出现，题目结构简约、规律通用，基础性强、应用广泛，是几何平行转化与相似建 模思想的典型代表。 本专题从模型讲解、例题分析、课堂随练、巩固提高四个部分展开，循序渐进，层层剖析A字型相似 模型的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 模型讲解 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再 有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型（平行） ②反“A”字模型（不平行）③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 D 图1 图2 图3 图4 模型证明 ①A”字模型条件：如图I,DEBC;结论：△ADE~△ABC台ADAB=AEAC=DEBC。 证明：DEBC,,∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,∴△ADE~△ABC,∴.ADAB=AEAC=DEBC。 第1页共12页 ②反“A”字模型条件：如图2，∠AED=∠B;结论：△ADE~△ACB≌ADAC=AEAB=DEBC。 证明：∠AED=∠B,.∠A=∠A,（公共角).△ADE~△ACB,.ADAC=AEAB=DEBC。 ③同向双“A”字模型条件：如图3，EFBC; 结论：△AEF△ABC,△AEG-△ABD,△4GF△4 DCe EG_FG=AG BD CD AD 证明：EFBC,∴∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,.△AEF-△ABC, 同理可证：△AEG~△ABD,△AGF-△ADC,:ADAB=AEAC=DEBC。 ④内接矩形模型条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上， 且AM LBC;结论：△ADG∽△ABC,△ADN∽△ABM,△AGN∽△ACM≌DG=AN-AN。 BC AB AM 证明：DEFG是矩形.DG引EF,.∠ADG=∠ABC,∠AGD=∠ACB,∴.△ADG△ABC, 同理可证：△ADN∽△ABM,△AGN∽△ACM,.DG-AN-AN BC AB AM 典例分析 【例1】如图，B,C,D,E四点均在⊙O上，连结BE,CD相交于点F,其中BF=2√2DF,BC=4,分 别延长CE,BD相交于点A,若LA=45°，则⊙O的半径为() E 0 A.5 B.√6 C.2√2 D.25 【例2】在锐角ABC中，分别以AB和AC为斜边向ABC的外侧作等腰RIAABM和等腰RtaACN,点D、 第2页共12页 E、F分别为边AB、AC、BC的中点，连接MD、MF、FE、FV.根据题意小明同学画出草图（如图所示）， 肝得出下列路论：①MD-FE,②ZDMF=LEFW，⑧FM L FN，④SacE=S边E其中结论正确 的个数为() D N E A.4 B.3 C.2 D.1 【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，取AC的中点D,连接BD,点C关于线段BD的对称点为点 E,点F为线段CD上的一个动点，连接AE、BD、BE、DE,已知AC:25,BC=2,AE=10 3 BD1/AB,当EF+BF的值最小时，则F的值为() BE E B D A.2V5 B.3V5 D.3 5 5 C. 【例4】如图，正方形ABCD边长为3，点E是AD上一点，且AE=1,连接BE,过C作CF⊥BE,垂足为 F,CF交对角线BD于G,将△BCG沿CG翻折得到△HCG,CH交对角线BD于M,则 S.HGM= 第3页共12页 【例5】如图，在三角形ABC中，点D为边BC的中点，连接AD,将三角形ABD沿直线AD翻折至三角形 ABC平面内，使得B点与E点重合，连接CE、BE,分别与边AC交于点H,与AD交于点O,若 AH=CH,AB=2V13,OB=4,则点A到线段BC的距离为 E H. D 课堂随练 【练1】如图，函数y= ·(k为常数，k>0)的图象与过原点O的直线相交于A、B两点，点M是第一象 限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴、y轴于C、D两点，连接BM分别交x 轴、y轴于点、R.若MC=, D MB5则 MA 【练2】如图，在ABC中，点D是AB边上的一点，且AD=3BD,连接CD并取CD的中点E,连接BE, 若∠ACD=LBED=45°，且CD=6√2，则AB的长为 第4页共12页 B 哈 A A B D 【练3】在△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,D是边AB上的一点，E是边AC上的一点(D、E与端点 不重合)，如果△CDE与△ABC相似，那么CE的长是一· 【练4】如图，P是△ABC内一点，过点P分别作直线平行于△ABC各边，形成三个小三角形面积分别为 S1=3,S2=12,S3=27,则S4Bc=- B 【练5】已知，平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，在直线AD上截取AF=2FD,连接EF,EF交 4C于G,则4C AC 巩固提高 1.如图，在RtAABC中，∠C=90°，AB=10,BC=6,点E是AC上的一点，AE=5,ED⊥AB,垂足 为D,求AD的长. B D 第5页共12页 2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB=6,正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG, AF分别交DE于M,N两点.则MN的长为 D E M B G 3.如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形， EH=2EF,AD是△ABC的高.BC=8,AD=6,那么EH的长为 M 4.《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方 几何."其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边AC、BC的长分别为5和12，正方形CDEF的顶点C与 Rt△ABC的直角顶点C重合，顶点D、E、F分别在线段AC、AB、BC上，则正方形CDEF的边长为」 E D 5.如图，点E为ABCD的对角线AC上一点，AC=5,CE=1,连接DE并延长至点F,使得EF=DE, 连接BF,则BF为() 第6页共12页 D E F B A. 3 B.3 c.7 D.4 2 6.如图，己知矩形ABCD的边长AB=4cm,BC=8cm,动点M从A出发在边AB上以1cm/s的速度向B 点匀速运动，同时，动点N从D出发在边DA上以2cm/s的速度向A点匀速运动，MN与AC相交于点Q. B B D N D N A 备用图 (1)经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？ 8 (2)是否存在时刻t,使以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说 明理由， (3)当t=1时，求NQ的长。 7.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B的坐标分别为A(4,O)、B(4,3),动点M、N分别 从点O、B同时出发，以1单位/秒的速度运动点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动)，过点 N作NPI∥AB交AC于点P,连结MP (1)直接写出OA、AB的长度； (2)试说明aCPN~aCAB; 第7页共12页 (3)在两点的运动过程中，求△MPA的面积S与运动的时间t的函数关系式，并求出S=二时，运动时间t 的值. y个 C ←NB(4,3) OM→ A(4,0)x 8.折纸过程中蕴含着很多数学知识，我们选取纸片的折叠问题进行探究： E F B B G 图1 图2 图3 操作1：如图1，将矩形纸片ABCD沿CF(F是AD上一点)折叠，点D落在点D处，连接CD'并延长交 AD于点E,过点E折叠，折痕EG⊥BC. 探究1：RtAEFD'与R1△CEG之间的关系是 由此可得出线段DF,EF,CD,CE之间的关系是 操作2：取任意三角形纸片CDE,将其沿CF折叠，使CD与CE重合，得折痕CF后展平，过点F折叠，使 折痕FG/1CD(如图2)· 探究2：请用图2证明DF,EF,CD,CE之间的关系仍然成立（不另添加辅助线）· 领悟：此结论是三角形角平分线的一个重要性质. 应用：如图3，直线x和三x+3相交于点A,直线y三x+3与x轴交于点B,4C是∠0AB的 分线，交x轴于点C,求点C的坐标. 第8页共12页 9.如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点△ABC的顶点B、C的坐标分别为(0,6)，（-2,0).顶点A 在x轴的正半轴上，AB=10,∠BAC=2∠CB0. B C 0 (1)求AC的长度. (2)动点D从A出发，沿x轴负方向以每秒1个单位的速度运动，设D的运动时间为t秒，△BCD的面积为 S,请用含t的式子表示S,并直接写出相应t的取值范围. (3)在(2)的条件下，在射线BO上取一点F,使BF=CD,过D作DGI/BC交直线AB于点G,当 LCBD=45°时，求t值和G点坐标. 1O.在等腰三角形ABC中，AB=AC,作CM⊥AB交AB于点M,BN⊥AC交AC于点N. 第9页共12页 M 图1 图2 (1)在图1中，求证：△BMC≌aCNB; (2)在图2中的线段CB上取一动点P,过P作PE/IAB交CM于点E,作PF∥AC交BN于点F, 求证：①PE+PF=BM; ②0M·BN-AM·PF=AM·PE. 11.如图，把边长为AB=2√2，BC=4且∠B=45°的平行四边形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕 MN的长. AM D NC 12.雯雯和笑笑想利用皮尺和所学的几何知识测量学校操场上旗杆的高度，他们的测量方案如下：当雯雯 站在旗杆正前方地面上的点D处时，笑笑在地面上找到一点G,使得点G、雯雯的头顶C以及旗杆的顶部 A三点在同一直线上，并测得DG=2.8m;然后雯雯向前移动1.5m到达点F处，笑笑同样在地面上找到一 点H,使得点H、雯雯的头顶E以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得GH=1.7m,已知图中的所有 点均在同一平面内，AB⊥BH,CD⊥BH,EF⊥BH,雯雯的身高CD=EF=1.6m.请你根据以上测量数据， 求该校旗杆的高度AB. 第10页共12页 E C B D 13.如图，在△ABC中，AB=4W2,∠B=45°，∠C=60°. (1)求BC边上的高线长. (2)点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF,沿EF将△AEF折叠得到△PEF. ①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数， ②如图3，连结AP,当PF⊥AC时，求AP的长. R 图1 图2 图3 14.如图，在△ABC中，AB=AC,以AC为直径的OO交BC于点D,交AB于点E,过点D作DF⊥AB, 垂足为F,连接DE. E D (1)求证：直线DF与⊙0相切： (2)若AE=7,BC=6,求AC的长. 第11页共12页 15.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E,使得AE=AB,联结DE、AC.点F在线 段DE上，联结BF,分别交AC、AD于点G、H. (1)求证：BG=GF; (2)如果AC=2AB,点F是DE的中点，求证：AH=GHBH. E H D G 第12页共12页 专题29 相似三角形之A字型相似 相似三角形之A字型相似模型，由平行线分线段成比例定理推导生成，是相似三角形最基础的经典几何模型，可直观构建三角形相似关系、推导线段比例与边长等量关系。中考常以平行线、三角形切割、几何求值、综合探究题型出现，题目结构简约、规律通用，基础性强、应用广泛，是几何平行转化与相似建模思想的典型代表。 本专题从模型讲解、例题分析、课堂随练、巩固提高四个部分展开，循序渐进，层层剖析A字型相似模型的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 模型讲解 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型（平行） ②反“A”字模型（不平行） ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 典例分析 【例1】如图，B，C，D，E四点均在⊙O上，连结，相交于点F，其中，，分别延长，相交于点A，若，则⊙O的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆的基本性质和相似三角形的综合运用，如何准确添加辅助线是解题的关键． 首先根据题意，易判断出几组相似三角形，其中可求的长度，随后根据特殊角，所以构造，作交于点H，构造等腰直角三角形，根据以及等腰直角三角形的线段关系，得出，于是在直角三角形中存在直角边的比例关系，结合圆周角定理，围绕半径构造出与相似的三角形，即连接、，过点O作交于点M，得到，通过两组角相等证明，故得出，最后根据勾股定理求出的长度，即为⊙O的半径． 【详解】解：过点D作交于点H，连接、，过点O作交于点M，如下图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又因为三角形为等腰直角三角形， ∴， ∴，故， ∵三角形为等腰三角形，且， ∴， 根据圆周角定理，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 根据勾股定理， ∴，即⊙O的半径为． 故选：A． 【例2】在锐角中，分别以AB和AC为斜边向的外侧作等腰和等腰，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，连接MD、MF、FE、FN．根据题意小明同学画出草图（如图所示），并得出下列结论：①，②，③，④，其中结论正确的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和三角形中位线定理判断结论①，连接DF，EN，通过SAS定理证明△MDF≌△FEN判断结论②，利用全等三角形的性质结合平行四边形的判定和性质判断结论③，利用相似三角形的判定和性质判定结论④． 【详解】解：∵D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，且△ABM是等腰直角三角形， ∴DM=AB，EF=AB，EF∥AB，∠MDB=90°， ∴DM=EF，∠FEC=∠BAC，故结论①正确； 连接DF，EN， ∵D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，且△ACN是等腰直角三角形， ∴EN=AC，DF=AC，DF∥AC，∠NEC=90°， ∴EN=DF，∠BDF=∠BAC，∠BDF=∠FEC， ∴∠BDF+∠MDB=∠FEC+∠NEC， ∴∠MDF=∠FEN， 在△MDF和△FEN中， ， ∴△MDF≌△FEN（SAS）， ∴∠DMF=∠EFN，故结论②正确； ∵EF∥AB，DF∥AC， ∴四边形ADFE是平行四边形， ∴∠DFE=∠BAC， 又∵△MDF≌△FEN， ∴∠DFM=∠ENF， ∴∠EFN+∠DFM =∠EFN+∠ENF =180°-∠FEN =180°-（∠FEC+∠NEC） =180°-（∠BAC+90°） =90°-∠BAC， ∴∠MFN=∠DFE+∠EFN+∠DFM=∠BAC+90°-∠BAC=90°， ∴MF⊥FN，故结论③正确； ∵EF∥AB， ∴△CEF∽△CAB， ∴， ∴， ∴S△CEF=S四边形ABFE，故结论④错误， ∴正确的结论为①②③，共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，题目难度适中，有一定的综合性，适当添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 【例3】如图，在中，，取的中点，连接，点关于线段的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接、、、，已知，，，，当的值最小时，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点M和点B关于AC对称，F为EM与AC交点，过点E作EG⊥AC于G，过点E作EN⊥BC，交BC延长线于点N，根据题意得出当EF+BF最小时点F的位置，再通过平行线的性质得到∠EAG=∠BDC，从而求出EG的长，再判定四边形EGCN为矩形，得到CN，最后利用△MFC∽MEN将转化为求值即可. 【详解】解：当EF+BF最小时，如图，点M和点B关于AC对称，F为EM与AC交点，过点E作EG⊥AC于G，过点E作EN⊥BC，交BC延长线于点N， 此时EF+BF的最小值即为EF+FM，即EM， ∵AC=，点D为AC中点，BC=2， ∴AD=CD=， ∴tan∠BDC=， ∵AE∥BD， ∴∠EAG=∠BDC， ∴tan∠EAG==，设EG=x， ∴AG=x，而AE=， 在△AEG中，， 解之得：x=或（舍）， 由题意可得：∠N=∠ACB=∠EGC=90°， ∴四边形EGCN为矩形， ∴EG=NC=， ∵AC⊥BC，EN⊥BC， ∴AC∥EN， ∴△MFC∽MEN， ∴，则， 故选C. 【点睛】本题考查了平行线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，最短路径问题，矩形的判定和性质，解题的关键是根据平行利用三角函数得到FG的长. 【例4】如图，正方形边长为，点是上一点，且，连接，过作，垂足为，交对角线于，将沿翻折得到，交对角线于，则 ． 【答案】 【分析】过点G作GR⊥BC于R，过点H作HN∥BC交BD于N，由正方形性质可证明：△ABE∽△FCB，由勾股定理可求BF，由翻折性质可得△HGC≌△BGC，进而可证明：△BHN∽△BED，可求得HN，再由△HNM∽△CBM，可求得，再由△CGR∽△CBF即可求得结论． 【详解】解：如图，过点作于，过点作交于 则， ∵ 正方形 ， ∽ 在中， ，即 ， 由翻折知：，，，≌ ∽ ，即 ∽ ， ， ， 是等腰直角三角形，设，则， ∽ ，即，解得 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形性质，翻折变换的性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，三角形面积等知识点；解题关键是利用平行线证明相似三角形进行转化，有一定难度，属于中考填空压轴题类型． 【例5】如图，在三角形中，点D为边的中点，连接，将三角形沿直线翻折至三角形平面内，使得B点与E点重合，连接、，分别与边交于点H，与交于点O，若，，，则点A到线段的距离为 ． 【答案】 【分析】如图，过点作交的延长线于．利用勾股定理求出，利用三角形重心的性质求出，再利用勾股定理求出，利用相似三角形的性质求出即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于． 由翻折的性质可知，垂直平分线段， ， ∵，， ∴， ∵，点D为边的中点， 点是的重心， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质以及重心的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 课堂随练 【练1】如图，函数（为常数，）的图象与过原点O的直线相交于A、B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴、y轴于C、D两点，连接BM分别交x轴、y轴于点E、F．若，则 ． 【答案】 【分析】过A作AG⊥y轴于G，MH⊥y轴于H，过B作BN⊥y轴于N，由点A，B关于原点对称，可得OA=OB，AG=BN，可证，可求，可得，由，可求即可 【详解】解：过A作AG⊥y轴于G，MH⊥y轴于H，过B作BN⊥y轴于N，如下图： ∵ ∴ 由题意可得：点A，B关于原点对称， ∴OA=OB，AG=BN， ∵BN⊥y轴，MH⊥y轴，AG⊥y轴 ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为2． 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，涉及了相似三角形的判定以及性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 【练2】如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为 ． 【答案】． 【分析】延长BE交AC于点F，过D点作，由可得此时为等腰直角三角形，E为CD的中点且，则，在等腰中，根据勾股定理求得，长度，由可得,即，由，可得，即， ,求得，． 【详解】如下图，延长BE交AC于点F，过D点作， ∵，， ∴，，为等腰． 由题意可得E为CD的中点，且， ∴， 在等腰中，， ， 又∵， 在， ∴（AAS） ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理求对应边的长度，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，构造合适的相似三角形，综合运用以上性质是解题的关键． 【练3】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D是边AB上的一点，E是边AC上的一点（D、E与端点不重合），如果△CDE与△ABC相似，那么CE的长是 ． 【答案】 或 或2 【分析】分三种情况进行讨论，或或，分别画出图形，利用对应边成比例的性质列式求出CE的长． 【详解】解：∵，，， ∴， ①如图，当时， ，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴； ②如图，当时， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得； ③如图，当时， ，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得； 综上：CE的长度是 或 或2． 故答案是： 或 或2． 【点睛】本题考查相似三角形的存在性问题，解题的关键是掌握相似三角形的性质，需要注意进行分类讨论． 【练4】如图，是内一点，过点分别作直线平行于各边，形成三个小三角形面积分别为，则 【答案】108 【分析】根据平行可得三个三角形相似，再由它们的面积比得出相似比，再求出最小三角形的边与最大三角形边的比，从而得到它们的面积的比，求出结果即可． 【详解】解：过P作BC的平行线交AB、AC于点D、E，过P作AB的平行线交AB于点I、G，过P作AC的平行线交AC于点F、H， ∵DE//BC，IG//AB，FH//AC， ∴四边形AFPI、四边形PHCE、四边形DBGP均为平行四边形， △FDP∽△IPE∽△PGH∽△ABC， ∵， ∴FP：IE：PH=1：2：3， ∴AI：IE：EC=1：2：3， ∴AI：IE：EC：AB=1：2：3：6， S△ABC：S△FDP=36：1， ∴S△ABC=36×3=108． 故答案为:108． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方． 【练5】已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则 ． 【答案】； ． 【分析】由于F的位置不确定，需分情况进行讨论，（1）当点F在线段AD上时（2）点F在AD的延长线上时两种情况，然后通过证两三角形相似从而得到AG和CG的比，进一步得到AG和AC的比． 【详解】解：（1）点F在线段AD上时，设EF与CD的延长线交于H， ∵AB//CD， ∴△EAF∽△HDF, ∴HD：AE=DF：AF=1:2， 即HD=AE， ∵AB//CD， ∴△CHG∽△AEG， ∴AG：CG=AE：CH， ∵AB=CD=2AE， ∴CH=CD+DH=2AE+AE=AE， ∴AG：CG=2：5， ∴AG：（AG+CG）=2：（2+5）， 即AG：AC=2：7； （2）点F在线段AD的延长线上时，设EF与CD交于H， ∵AB//CD， ∴△EAF∽△HDF， ∴HD：AE=DF：AF=1：2， 即HD=AE， ∵AB//CD， ∴AG：CG=AE：CH ∵AB=CD=2AE， ∴CH=CD-DH=2AE-AE=AE， ∴AG：CG=2：3， ∴AG：（AG+CG）=2：（2+3）， 即AG：AC=2：5． 故答案为：或． 【点睛】本题考查相似三角形的性质以及分类讨论的数学思想；其中相似三角形的性质得出的比例式是解题关键，特别注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序． 巩固提高 1．如图，在中，，，，点是上的一点，，，垂足为，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．先根据勾股定理求出，通过证明，得出即可解答． 【详解】解：∵，，，∴， ∵，∴，又∵，∴， ∴，即，解得：． 2．如图，在中，，，正方形的四个顶点在的边上，连接，分别交于M，N两点．则的长为    【答案】/ 【分析】先求出，再证出，根据相似三角形的性质可得，设，则，然后证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，则，，最后证出，，根据相似三角形的性质即可得． 【详解】解：在中，，， ，四边形是正方形， ，，， 设，则，，， ，，， 在和中，，， ，即，解得，，， ，，， 又，，，即，解得，故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 3．如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________． 【答案】##4.8 【分析】通过四边形EFGH为矩形推出，因此△AEH与△ABC两个三角形相似，将AM视为△AEH的高，可得出，再将数据代入即可得出答案． 【详解】∵四边形EFGH是矩形，∴，∴，∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高， ∴，∴， ∵，代入可得：，解得，∴，故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键． 4.《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，的两条直角边的长分别为5和12，正方形的顶点C与的直角顶点C重合，顶点D、E、F分别在线段上，则正方形的边长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法．先设正方形的边长为x，再表示出，，然后说明，并根据对应边成比例得出答案． 【详解】根据题意可知，．设正方形的边长为x，则，． ∵四边形是正方形，∴． ∵，∴，∴，即，解得． 所以正方形的边长为．故答案为：． 5.如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助线是解题关键． 作辅助线如图，由平行正相似先证，再证，即可求得结果． 【详解】解：延长和，交于点， ∵四边形是平行四边形，∴，即， ∴∴， ∵，，∴，∴， 又∵，，∴， ∵，，∴，∴， ∴∴，∴，∴ ∵，∴．故选：B． 6．如图，已知矩形ABCD的边长，，动点M从A出发在边AB上以的速度向B点匀速运动，同时，动点N从D出发在边DA上以的速度向A点匀速运动，MN与AC相交于点Q．    （1）经过多少时间，的面积等于矩形ABCD面积的？ （2）是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． （3）当时，求NQ的长． 【答案】（1）2秒；（2）或2（3） 【分析】（1）设时间为t，用t表示出AM和AN的长，根据三角形的面积列式求出t的值； （2）分两种情况进行讨论，或，利用相似三角形对应边成比例列式求出t的值； （3）过点Q作于点P，求出时，AN、AM的长，设，，利用相似三角形对应边成比例列式求出x和y的值，再用勾股定理求出NQ的长． 【详解】解：（1）设时间为t，则，， ， ， ， ， ， 经过2秒，的面积等于矩形ABCD面积的； ∵， ∴分两种情况讨论， ①， ∴，则，解得，符合题意； ②， ∴，则，解得，符合题意； 综上：t为或时，以A、M、N为顶点的三角形与相似； （3）如图，过点Q作于点P， 当时，，，， 设，， ∵， ∴，即①， ∵， ∴，即②， 根据①和②求出，， 则，， 根据勾股定理．      【点睛】本题考查动点问题，解题的关键是掌握设时间t，列式解一元二次方程的方法，利用相似三角形对应边成比例的性质列式求解的方法，再考虑三角形相似的时候要注意分类讨论． 7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B的坐标分别为A(4，0)、B(4，3)，动点M、N分别从点O、B同时出发，以1单位/秒的速度运动(点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动)，过点N作交AC于点P，连结MP． （1）直接写出OA、AB的长度； （2）试说明； （3）在两点的运动过程中，求的面积S与运动的时间t的函数关系式，并求出时，运动时间t的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），2． 【分析】（1）根据点A、B的坐标即可得； （2）先根据平行线的性质可得，再根据相似三角形的判定即可得； （3）先根据矩形的性质、线段的和差可得，再根据相似三角形的性质可得，从而可得，由此可得的AM边上的高为，然后利用三角形的面积公式可得与的函数关系式，最后解一元二次方程可得的值． 【详解】（1）， ； （2）， ∴， ∴； （3）由题意得：，且， 则， 四边形OABC是矩形， ， ， ∵， ∴，即， 解得， ， ， 的AM边上的高为， ， 即， 当时，， 解得， 故的值为2． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、求二次函数的自变量等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 8．折纸过程中蕴含着很多数学知识，我们选取纸片的折叠问题进行探究： 操作1：如图1，将矩形纸片沿（是上一点）折叠，点落在点处，连接并延长交于点，过点折叠，折痕． 探究1：与之间的关系是_______，由此可得出线段之间的关系是_________． 操作2：取任意三角形纸片，将其沿折叠，使与重合，得折痕后展平，过点折叠，使折痕（如图2）． 探究2：请用图2证明之间的关系仍然成立（不另添加辅助线）． 领悟：此结论是三角形角平分线的一个重要性质． 应用：如图3，直线和相交于点，直线与轴交于点，是的平分线，交轴于点，求点的坐标． 【答案】探究1：Rt△Rt△CEG，；探究2：仍然成立，证明见解析；应用：点C的坐标为(，0) 【分析】探究1：根据折叠的性质结合矩形的性质证明∠=∠ECG，即可证明Rt△Rt△CEG，从而证明； 探究2：由FG∥DC，推出△Rt△EDC，证得，根据折叠的性质结合平行线的性质证得GF=GC，再由FG∥DC，推出，即，从而证明； 应用：联立两解析式求得交点A的坐标(2，2)，再求得点B的坐标，两点之间的距离公式求得OA、AB的长，点C的坐标为(，0)，运用已经证明的结论代入数据即可求解． 【详解】探究1：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠D=90， ∵， ∴四边形EGCD是矩形， ∴EG=CD， 根据折叠的性质，得： ，∠=∠D=∠=90， ∵AD∥BC， ∴∠=∠ECG，∠EGC=∠=90， ∴Rt△Rt△CEG， ∴， ∴；即； 故答案为：Rt△Rt△CEG，； 探究2：结论仍然成立，证明如下： ∵FG∥DC， ∴△Rt△EDC， ∴，即①， 根据折叠的性质，得：∠=∠2， ∵FG∥DC， ∴∠=∠2， ∴∠=∠3， ∴GF=GC， ∵FG∥DC， ∴，即， 结合①得：； 应用：解方程组，得：， ∴交点A的坐标为：(2，2)， 令，则， 解得：， 点B的坐标为：(6，0)， 设点C的坐标为：(，0)， ∴OC=m，BC=6-m，OA=，AB=， ∵AC是∠OAB的平分线， ∴， 则， 解得：， ∴点C的坐标为：(，0)． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，坐标与图形，一次函数的交点问题，利用相似三角形的判定和性质证明三角形角平分线的一个重要性质并应用是解题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点的顶点、的坐标分别为，．顶点在轴的正半轴上，，． （1）求的长度． （2）动点从出发，沿轴负方向以每秒个单位的速度运动，设的运动时间为秒，的面积为，请用含的式子表示，并直接写出相应的取值范围． （3）在（2）的条件下，在射线上取一点，使，过作交直线于点，当时，求值和点坐标． 【答案】（1）10；（2）①时，；②t>10时， ；（3）当时，，；当t>10时，，． 【分析】（1）由勾股定理解得AO的长，即可求得AC的长； （2）分两种情况讨论：当时或当t>10时，根据三角形面积公式解题即可； （3）分两种情况讨论，当时，作作，交DG于N，交BC于M，由等腰三角形三线合一的性质，解得，进而证明，根据相似三角形对应边成比例的性质，设DN=m，解得AD=，OD=，当时根据勾股定理解得BH、DH的长，在中，由勾股定理得，即可解得m的值，从而解得AD的长，即可求得t的值，最后由，结合面积比等于相似比的平方，即可解得点G的坐标；当t>10时，方法同上． 【详解】（1）在中 （2）由于D在x轴上，故以CD为底边，高h=OB=6 ①当时，CD=AC-AD=10-t，； ②当t>10时，CD=AD-AC=t-10, ； （3）如图：当时，作，交DG于N，交BC于M， ． 又 设DN=m，则AD= OD=， 当时 BH=，同理 在中， 即 解得 (舍去)或 当t>10时，如图： 作，交DG于N，交BC于M， ． 又 设DN=m，则AD= OD=， 当时 BH=，同理 在中， 即 解得 或(舍去) 综上所述，当时，，；当t>10时，，． 【点睛】本题考查一次函数综合，其中涉及相似三角形的判定与性质、勾股定理、分类讨论、三角形面积等知识，是重要考点，难度一般，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键． 10．在等腰三角形中，，作交AB于点M，交AC于点N．    （1）在图1中，求证：； （2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作交CM于点E，作交BN于点F， 求证：①； ②． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，利用AAS定理证明； （2）①根据全等三角形的性质得到BM=NC，证明△CEP∽△CMB、△BFP∽△BNC，根据相似三角形的性质列出比例式，证明结论； ②根据①中得出PE+PF=BM，利用（1）中△BMC≌△CNB，得到MC=BN，证明△AMC∽△OMB，得到，从而得到AM•MB=OM•MC，可得OM•BN-AM•PF=AM•PE． 【详解】解：（1）证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵CM⊥AB，BN⊥AC， ∴∠BMC=∠CNB=90°， 在△BMC和△CNB中， ， ∴△BMC≌△CNB（AAS）； （2）∵△BMC≌△CNB， ∴BM=NC， ∵PE∥AB， ∴△CEP∽△CMB， ∴， ∵PF∥AC， ∴△BFP∽△BNC， ∴， ∴， ∴PE+PF=BM； ②同（2）的方法得到，PE+PF=BM， ∵△BMC≌△CNB， ∴MC=BN， ∵∠ANB=90°， ∴∠MAC+∠ABN=90°， ∵∠OMB=90°， ∴∠MOB+∠ABN=90°， ∴∠MAC=∠MOB，又∠AMC=∠OMB=90°， ∴△AMC∽△OMB， ∴， ∴AM•MB=OM•MC， ∴AM×（PE+PF）=OM•BN， ∴OM•BN-AM•PF=AM•PE． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 11．如图，把边长为，且的平行四边形对折，使点和重合，求折痕的长． 【答案】 【分析】先证明，得到，求出BE和BF，然后得到BD，DG和MG的长度，再利用全等三角形的性质，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接与交于点，并补全矩形为． ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵且， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题是折叠问题，主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用所学的性质定理得到，从而求出所需边的长度． 12．雯雯和笑笑想利用皮尺和所学的几何知识测量学校操场上旗杆的高度，他们的测量方案如下：当雯雯站在旗杆正前方地面上的点D处时，笑笑在地面上找到一点G，使得点G、雯雯的头顶C以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得DG＝2.8m；然后雯雯向前移动1.5m到达点F处，笑笑同样在地面上找到一点H，使得点H、雯雯的头顶E以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得GH＝1.7m，已知图中的所有点均在同一平面内，AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，雯雯的身高CD＝EF＝1.6m．请你根据以上测量数据，求该校旗杆的高度AB． 【答案】13.6m． 【分析】由题意知，CD＝EF＝1.6m，DG＝2.8m，DF＝1.5m，GH＝1.7m，根据题意可得△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，根据相似三角形的性质得到，，可得，求得BD＝21m，得到，解得AB＝13.6m，从而求解． 【详解】解：由题意知，CD＝EF＝1.6m，DG＝2.8m，DF＝1.5m，GH＝1.7m， ∴FH＝2.8﹣1.5+1.7＝3m， ∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH， ∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH， ∴，， ∴，即， 解得：BD＝21m， ∴， 解得：AB＝13.6m． 即该校旗杆的高度AB为13.6m． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用、相似三角形的判定与性质；根据题意得出方程是解决问题的关键，本题难度适中． 13.如图，在△ABC中，AB=，∠B=45°，∠C=60°． （1）求BC边上的高线长． （2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF． ①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数． ②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长． 【答案】（1）4;（2）①90°；② 【分析】（1）如图1中，过点A作AD⊥BC于D．解直角三角形求出AD即可． （2）①证明BE=EP，可得∠EPB=∠B=45°解决问题． ②如图3中，由（1）可知：AC=，证明△AEF∽△ACB，推出，由此求出AF即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1，过点A作AD⊥BC于点D， 在Rt△ABD中，==4. （2）①如图2，∵△AEF≌△PEF， ∴AE＝EP.       又∵AE＝BE ， ∴BE＝EP， ∴∠EPB＝∠B＝45°， ∴∠AEP＝90°.     ②如图3，由（1）可知：在Rt△ADC中，. ∵PF⊥AC， ∴∠PFA＝90°. ∵△AEF≌△PEF， ∴∠AFE＝∠PFE＝45°，则∠AFE＝∠B. 又∵∠EAF＝∠CAB，     ∴△EAF∽△CAB， ∴＝，即＝， ∴AF＝, 在Rt△AFP中，AF＝PF，则AP＝＝. 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 14．如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过点作，垂足为，连接． （1）求证：直线与相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）9． 【分析】（1）连接，利用，，证得，易证，故为的切线； （2）证得，求得，利用求得答案即可． 【详解】证明： 连接OD． ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵OD=OC， ∴∠ODC=∠C， ∴∠ODC=∠B， ∴OD∥AB， ∵DF⊥AB， ∴OD⊥DF， ∵点D在⊙O上， ∴直线DF与⊙O相切； （2）解：∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形， ∴∠AED+∠ACD=180°， ∵∠AED+∠BED=180°， ∴∠BED=∠ACD， ∵∠B=∠B， ∴△BED∽△BCA， ∴， ∵OD∥AB，AO=CO， ∴， 又∵AE=7， ∴， ∴BE=2， ∴AC=AB=AE+BE=7+2=9． 【点睛】此题考查了切线的判定，三角形相似的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可． 15．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使得AE＝AB，联结DE、AC．点F在线段DE上，联结BF，分别交AC、AD于点G、H． （1）求证：BG＝GF； （2）如果AC＝2AB，点F是DE的中点，求证：AH2＝GH•BH． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB＝CD＝AE，AB∥CD，可证四边形ACDE是平行四边形，可得，可得结论； （2）由“SAS”可证△BEF≌△DEA，可得∠EBF＝∠EDA，通过证明△AHG∽△BHA，可得结论． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵AB＝AE， ∴AE＝CD， ∴四边形ACDE是平行四边形， ∴AC∥DE， ∴， ∴BG＝GF； （2）∵AB＝AE， ∴BE＝2AE， ∵AC＝2AB， ∴BE＝AC， ∵四边形ACDE是平行四边形， ∴AC＝DE， ∴DE＝BE， ∵点F是DE的中点， ∴DE＝2EF， ∴AE＝EF， ∵DE＝BE，∠E＝∠E，AE＝EF， ∴△BEF≌△DEA（SAS）， ∴∠EBF＝∠EDA， ∵AC∥DE， ∴∠GAH＝∠EDA． ∴∠EBF＝∠GAH． ∵∠AHG＝∠BHA， ∴△AHG∽△BHA， ∴． ∴AH2＝GH•BH． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，灵活运用相似三角形判定和性质是本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 40 页 学科网（北京）股份有限公司 $