2026年中考数学压轴题几何模型 专题30 相似三角形之“8”字型相似

该初中数学中考复习讲义聚焦“8”字型相似模型，覆盖中考几何计算、线段证明等核心考点，通过“模型讲解-例题分析-课堂随练-巩固提高”四环节系统梳理正“8”、反“8”等四类模型的条件与结论，结合真题训练帮助学生突破相似判定及比例线段推导难点。 亮点在于以模型分类构建知识网络，如斜双“8”模型通过对顶角及角相等推导相似，培养学生几何直观与推理能力。设置分层练习（基础随练、综合提高），配合典例解析强化模型应用，确保高效突破考点，助力教师把控复习节奏，提升学生应考能力。

专题30相似三角形之“8”字型相似 “8”字型相似模型，又被称为“X”型相似，由对项角相等与平行线同位角性质推导生成，是三角 形相似角度转化的经典几何模型，可直观建立两角相等关系、快速判定三角形相似，推导线段比例与边长 求值。中考常以几何计算、线段证明、四边形综合、动点几何题型出现，题目结构对称、特征鲜明，套路 固定、实用性强，是几何角度代换与相似转化思想的典型代表。 本专题从模型讲解、例题分析、课堂随练、巩固提高四个部分展开，循序渐进，层层剖析8字型相 似模型的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 模型讲解 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可 以判定这两个三角形相似. ①8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 模型证明 ①“8”字模型 条件：如图1，AB‖CD;结论：△AOB~△COD-ABCD=OAOC=OBOD。 证明：ABIICD,∴∠A=∠C,∠B=∠D,∴△AOB-△COD,ABCD=OAOC=OBOD。 第1页共10页 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A=∠D;结论：△AOB-△DOC=ABCD=OAOD=OBOC。 证明：∠A=∠D,:∠AOB=∠DOC,(对顶角).△AOB-△DOC,.ABCD=OAOD=OBOC。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB‖CD;结论：AE-BE-AB DF CF CD 证明：AB‖lCD,∠A=∠D,∠AEO=∠DFO,△AEO~△DFO, 同理可证：△BEO~△CFO,△ABO-△DCO,:AE_BE=AB DE CF CD ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1=∠2；结论：△AOD~△BOC,△AOB-△DOC台∠3=∠4。 证明：∠1=∠2，∠AOD=∠BOC(对顶角)，△AOD-△BOC,∴.AO:BO=DO:CO,即AODO=BO:CO; :∠AOB=∠DOC(对顶角)，.△AOB-△DOC,.∠3=∠4。 典例分析 【例1】如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点F为边AC上任意一点，BF交AD于点E,且 DE=54B,则距的值为() 3 3 A. B.3 D. 5 4 3 【例2】如图，AB∥CD,AE∥FD，,AE,FD分别交BC于点G,H,则下列结论中错误的是() 第2页共10页 4 B H G E D A. DH CH B. GE CG c.AF、HG D.FHBF FH BH DF CB CE CG AG FA 【例3】如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是BC的中点，DE交AC于点F,若 DE=12,则DF等于() E A.3 B.4 C.6 D.8 【例4】如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC,BE交于点F.若△AEF的面积为2， 则△ABC的面积为() D B A.8 B.10 C.12 D.14 课堂随练 【练1】将两个直角三角形按如图所示的方式叠放在一起，若LABC=∠BAD=90°，∠ADB=45°， ∠ACB=30°，AC与BD相交于点E,则二的值等于 EC 第3页共10页 D 45o> 30° 【练2】如图，RtaABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,点P为BC上任意一点，连接PA,以PA、PC 为邻边作平行四边形PAQC,连接PQ,则PQ的长的最小值为」 B 【练3】如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点0是坐标原点，点A是函数y=(x<0图象上一点， 40的延长线交函数y=E(x>0,k是不等于0的常数)的图象于点C,点A关于y轴的对称点4，点C 关于x轴的对称点为C,连结CC'交x轴于点B,连结AB,AA',A'C',若ABC的面积等于6，则由线 段AC,CC',CA',AA所围成的图形的面积等于 【练4】如图，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上，点C落在点N处，MN 与C0交于点P,折浪分别与边B,CD交于点E,P,连接BM,若g,购的值》 BE 第4页共10页 D B C 巩固提高 1.如图，在ABC中，点D在BC上，BD=2CD=2,连接AD,∠ADC=2∠BAC=60°，则线段AD的长 为 2.己知：在ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,点E在直线AC上，2CE=AC,AD=6,BE=5, 则ABC的面积是一 3.如图，在ABC中，AB=AC,P为AC边上一点，连接PB,将△PBC沿PB翻折，得到△PBD,PD交 AB于点E. A D E B C 图1 图2 备用图 (1)如图1，当PD∥BC时，猜想四边形BCPD的形状，并说明理由. 第5页共10页 2)如图2，当PD1AB，AP=;AC时，请判断线段AE,DE,BE之间的数量关系，并证明你的结论. (3)若tanA=√5，BC=3,在△ABP和△BDP中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，请直接 写出△BDP与ABC重叠部分的面积， 4.如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC,连接AC、BD交于点P,且满足 PA·PC=PB·PD B B E 图1 图2 图3 (1)求证：∠ABD=∠ACD; 2)如图2，已知B=,过点P作PE⊥4B于点E, ①求PE的值； BC ②如图3，连接DE,若SA4ED=8,求BD的长. 5.马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究： 如图1，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E为边AD上的一个动点，连接AC,BE并交于点F; M D BN B 图1 图2 图3 第6页共10页 《1)若A织=1，则AE=若BE上AC，则AE=: 如图2，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点P为对角线AC(不与点A,C重合)上一动点，过点P作 MN⊥AC,交边AD,BC于点M,N,过点M作ME⊥AD交AC于点E; (2)判断点P在移动过程中，线段MN的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段MN长度的变化范围， 若不变化，求出线段MN长度的大小： (3)若AM-1 FMD2'求出此时△MPE的面积； 如图3，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点Q为矩形内部一动点，连接BQ且满足BQ=AB,点F在线段 BQ上且BF=4,连接CF. 3 (4)请直接写出DQ+二CF的最小值， 6.(1)某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目，如图，在ABC中，点O在线段BC上， ∠BA0=30°，L0AC=75°，A0=√3，B0:C0=2:1,求AB的长.经过数学小组成员讨论发现，过点B 作BD∥AC,交AO的延长线于点D,通过构造△ABD就可以解决问题（如图2） B B 0 图1 图2 请回答：∠ADB= °，AB= (2)请参考以上解决思路，解决问题： 如图3在四边形ABCD中对角线AC与BD相交于点O,AC⊥AD,AO=√5，LABC=LACB=75°， B0:OD=2:1,求DC的长 第7页共10页 ○ D 图3 7.如图1，在四边形ABDE中，∠ABC=LBDE,点C在边BD上，且AC∥DE,AB∥CE,点F在边AC 上，且AF=CE,连接BF,DF,DF交CE于点G. y A E E G G B B B 图1 图2 图3 (1)求证：BF=DF; (2)如图2，若∠ACE=∠CDF,求证：CE·CF=BF·DG; 3)如图3，若延长F恰好经过点E,求BC 的值. CD 8.正方形ABCD中，AB=2,点E是对角线BD上的一动点，LDAE=a(a≠45).将ADE沿AE翻折得到 △AFE,直线BF交射线DC于点G. D D B (备用图)》 B (备用图) 第8页共10页 (1)当0°<a<45°时，求∠DBG的度数（用含a的式子表示）： (2)点E在运动过程中，试探究 DG 的值是否发生变化？若不变，求出它的值若变化，请说明理由； DE (3)若BF=FG,求a的值， 9.如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A-2,0),B(3,0)两点，交y轴于点C,P是第一象限内抛物线 上的一点且横坐标为m. y D B 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： 2图1连接P,交线段C于点D,者份行采m鸭能 (3)如图2，已知抛物线的对称轴交x轴于点H,与直线AP,BP分别交于E、F两点.试问EH+FH是否 为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由 10.如图，等腰RIAABC中，∠ABC=90°，点A、B分别在坐标轴上. E O B 图1 图2 图3 第9页共10页 (1)如图①，若C点的横坐标为5，求B点的坐标； 2如图②，若X轴恰好平分∠BAC,BC交x轴于点M,过C点作CD1r轴于D点，求CD的值， AM (3)如图③，若点A的坐标为-4,0)，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为边在第一、第二象 限作等腰RtOBF,等腰Rt△ABE,连接EF交y轴于P点，当点B在y轴上移动时，PB的长度是否发生改 变？若不变，求出PB的值，若变化，求PB的取值范围. 第10页共10页专题30相似三角形之“8”字型相似 “8”字型相似模型，又被称为“X”型相似，由对项角相等与平行线同位角性质推导生成，是三角 形相似角度转化的经典几何模型，可直观建立两角相等关系、快速判定三角形相似，推导线段比例与边长 求值。中考常以几何计算、线段证明、四边形综合、动点几何题型出现，题目结构对称、特征鲜明，套路 固定、实用性强，是几何角度代换与相似转化思想的典型代表。 本专题从模型讲解、例题分析、课堂随练、巩固提高四个部分展开，循序渐进，层层剖析8字型相 似模型的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 模型讲解 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可 以判定这两个三角形相似. ①8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 模型证明 ①“8”字模型 条件：如图1，AB‖CD;结论：△AOB~△COD-ABCD=OAOC=OBOD。 证明：ABIICD,∴∠A=∠C,∠B=∠D,∴△AOB-△COD,ABCD=OAOC=OBOD。 第1页共50页 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A=∠D;结论：△AOB~△DOC÷ABCD=OAOD=OBOC。 证明：∠A=∠D,.∠AOB=∠DOC,(对顶角).△AOB-△DOC,.ABCD=OAOD=OBOC。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB‖CD;结论：AE-BE-AB DF CF CD 证明：AB‖lCD,∠A=∠D,∠AEO=∠DFO,△AEO~△DFO, 同理可证：△BEO~△CFO,△ABO-△DCO,:AE_BE=AB DE CF CD ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1=∠2；结论：△AOD~△BOC,△AOB-△DOC台∠3=∠4。 证明：∠1=∠2，∠AOD=∠BOC(对顶角)，△AOD-△BOC,∴.AO:BO=DO:CO,即AODO=BO:CO; :∠AOB=∠DOC(对顶角)，.△AOB-△DOC,.∠3=∠4。 典例分析 【例1】如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点F为边AC上任意一点，BF交AD于点E,且 DE=54B,则距的值为() 3 EE 3 A. B.3 C. D. 5 3 3 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判断及性质，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形，过点D作 第2页共50页 DG‖CF,证明出aGDE∽△FAE,找出BE,EF与GE的关系即可求解. 【详解】解：过点D作DGCF,如下图： F:点D是边BC的中点， GE B D :BG=FG, .DGICF, .△GDE∽△FAE, DE GE AE FE DE-3AE. DE GE 1 AE-FE-3 :FE=3GE, BE=BG+GE=GF+GE=2GE+FE=5GE, BE 5GE 5 EF 3GE3 故选：D 【例2】如图，AB∥CD,AE∥FD,AE,FD分别交BC于点G,H,则下列结论中错误的是() 第3页共50页 B G E D A. DH CH B. GE CG C.AF_HG D. FHBF FH BH DF CB CE CG AG FA 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式 是解此题的关键，根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可. 【详解】解：：AB∥CD, DH_CH FHBH' ∴A选项正确，不符合题目要求： :AE∥DF, ∴LCGE=LCHD,LCEG=LD, aCEG∽aCDH, GE CG DH CH' EG DH CG CH' :AB∥CD, CH DH CB DF DH DF CH CB 第4页共50页 .GE_DF CG CB GE CG DF CB “B选项正确，不符合题目要求； :AB∥CD,AE∥DF, .四边形AEDF是平行四边形， :AF DE, :AE∥DF, DE_GH CE GC' :AF_HG CE CG C选项正确，不符合题目要求： :AE∥DF, .△BFHn△BAG, FH BF AG AB AB>FA, FH BF AG FA .D选项不正确，符合题目要求. 故选：D 【例3】如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是BC的中点，DE交AC于点F,若 DE=12,则DF等于() 第5页共50页 D ○ E A.3 B.4 C.6 D.8 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质及正方形的性质，先根据题意判断出△CEF∽△ADF,再 根据相似三角形的对应边成比例进行解答是解答此题的关键.因为四边形ABCD是正方形，E是BC中点， 所以CE=}AD,由相似三角形的判定定理得出△CEF∽△ADF，再根据相似三角形的对应边成比例可得 出 【详解】解：：四边形ABCD是正方形，E是BC中点，则AD=BC, :CE=BC= 1 AD, 2 :AD∥BC, ∠ADF=∠DEC,∠AFD=LEFC, .△CEF∽△ADF, EF CE 1 DF AD 2 12-DF-1 DF 2 解得DF=8, 故选：D 【例4】如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC,BE交于点F.若△AEF的面积为2， 则△ABC的面积为)】 第6页共50页 D B A.8 B.10 C.12 D.14 【答案】c 【分析】先利用平行四边形的性质得AD∥BC,AD=BC,由AE∥BC可判断△AEF-△CBF,根据相似三 角形的性质得F.4F-AE。1 品经能-宁然后限据三角形面积公或得行则5=6卫. 【详解】：平行四边形ABCD AD∥BC,AD=BC :E为边AD的中点 .BC=2AE :AE∥BC ∴.∠EAC=∠BCA 又：∠EFA=∠BFC ∴.△AEF△CBF 如图，过点F作FH⊥AD于点H,FGLBC于点G, 则E.F-AER1 BF CF BC FG2' 第7页共50页 D B G 1 ·AE·FH BC.FH 2 1 1 BC.HG BC·3FH 6 2 :△4EF的面积为2 SMABC=6SA4BF=6×2=12 故选C 【点晴】本题考查了相似三角形的性质，属于同步基础题. 课堂随练 【练1】将两个直角三角形按如图所示的方式叠放在一起，若LABC=∠BAD=90°，LADB=45°， ∠ACB=30°，AC与BD相交于点E,则1E的值等于 EC D 45少 30 【答案】3 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质、30°所对的直角边等于斜边的一半等， 熟知等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定方法是解题的关键. 根据等腰直角三角形的性质得出AD=AB,再结合30°所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理求出 第8页共50页 AB-3. 最后通过平行相似证明△ADE∽△CBE即可解决问题. BC 3 【详解】 解：：∠BAD=90°，∠ADB=45°， :AD=AB. 在Rt△ABC中， :LC=30°， .∴.2AB=AC, BC=AC2-AB2=4AB2-AB2 =3AB, ABAB 3 BC 3AB 3' :D5 BC3· :∠ABC+∠BAD=180°， AD∥BC, .△ADE∽△CBE, :AE AD 3 EC BC 3 故答案为： 3 【练2】如图，RtAABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,点P为BC上任意一点，连接PA,以PA、PC 为邻边作平行四边形PAQC,连接P2,则PQ的长的最小值为 第9页共50页 B 【1号 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，垂线段最短. 设PO,AC交于点D,四边形PAQC是平行四边形，则PD=二PQ,即求PD的最小值，再乘以2即可.点 2 D是AC的中点，为定点，由垂线段最短可知，当PD⊥BC时，PD取得最小值，即PQ最小，过点D作 DE⊥BC于点E,当P,E重合时，PD最小，据此即可求得PQ的最小值. 【详解】解：如图，设PQ,AC交于点D,过点D作DE⊥BC于点E,连接BD, D :四边形PAQC是平行四边形， B A :PQ-2PD,AD-CD-AC-2. :点D是AC的中点，为定点， :.由垂线段最短可知：当PD⊥BC时，PD取得最小值，即PQ最小， 即当P,E重合时，PD最小， PDmin DE, 第10页共50页 :∠BAC=90°，AB=3,AC=4, BC=AB2+AC2=5, :SAIc=SAID+Sam,即)AB-AC=号4B:AD+BC,DE, 1 2 3x43x2+ x5xDE. 6 :PDuin DE 12 .POnin=2PDain= 故答案为： 5 【练3】如图，已知在平面直角坐标系x0y中，点0是坐标原点，点A是函数y=1(x<0)图象上一点， 40的延长线交函数y=（x>0,k是不等于0的常数)的图象于点C,点A关于y轴的对称点A,点C 关于x轴的对称点为C,连结CC'交x轴于点B,连结AB,AA,A'C',若ABC的面积等于6，则由线 段AC,CC',C'A',AA'所围成的图形的面积等于 【答案】10 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明 第11页共50页 确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答.过A作AD⊥x轴于D,连接OA',OC',由题意设 (OD S.BCO 2 ScS+Sc号×。k6+6,解待：k3总有=9或16 0 k2= 0,A,C'在同-条直线上，得Soc=Soc=2 =2,根据由线段AC,CC,C4,A'A所围成的图形的 面积=SOBc+SoBc+So4M即可求解； 【详解】解：过A作AD⊥x轴于D,连接0A,OC', -2 DO B A' y=元 由题意设A 》c b ,其中a<0,b>0: :AD⊥BD,BC⊥BD,∠AOD=∠COB, .OAD BCO, .S.0o= OD a S.BCO OB b3, 1 :S 4D0=8co=k2, 2 I_a “2=万' 由点坐标可知a>0,b<0,k>0, 第12页共50页 k=-b, a S.ARC =S.408+S.B0c=x- 1xb+k2=6, 11 2a 2 :k2-6=12,即k2+k-12=0: a 解得：k=3或k=-4(舍去). 则有k2=9; 由题意得LA0E=LA'OE,LCOB=LC'OB, .∠A'OE+∠C'OB=90°， ∠A'0E+∠A'0B=90°， .∠A'OB=∠C'OB, .0,A,C'在同一条直线上， .S onc=S o8c=2 SA=2S04D=1, 由线段AC,CC,C'A,A'A所围成的图形的面积=SoBc+SoBc+So=10. 故答案为：10. 【练4】如图，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上，点C落在点N处，MN 专CD交于点P,折浪分别雪边AB,CD交于点E,P,连接BW,若，则的值晶 BE 第13页共50页 M D B C 【答案】 13 【详解】解：如图，延长MN,BC交于点Q, y M ! B Q :AD∥BC, △DMP∽△CQP. .MD MP DP 1 .OC=2MD,OP=2MP, 设DP=a,MD=x,则CP=2a,QC=2x,正方形ABCD边长为3a, .BO=3a+2x. 由翻折和正方形的性质可得，∠EMP=∠EBC=90°，EM=EB=3a-AE. ∴.∠EMB=∠EBM. 第14页共50页 ∠EMP-∠EMB=∠EBC-∠EBM,即∠BMP=∠MBC, ∴.MQ=BQ=3a+2x. MP=IMO=3a+2x 3 3 在Rt△DMP中，MD2+DP2=MP2, x2+a2= 3a+2x2 3a 解得：与=0〔舍)，3=12。 5 4M=3a-12。=3 5a=50 在Rt△AEM中，AE2+AM2=EM2, AE2=(3a-4E 解得：4E=36。 25a, .BE EM=3a- 3639 25a=250, 36 :5-250 12 BE=39 131 254 故答案为号 【点晴】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股 定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键. 巩固提高 第15页共50页 1.如图，在ABC中，点D在BC上，BD=2CD=2,连接AD,∠ADC=2∠BAC=60°，则线段AD的长 为 【答案】2+√6 【分析】过A作AE⊥BC,交BC的延长线于E,过B作BF⊥AD,交AD的延长线于F,可求BF=√5， DF=l,设AD:X,可证&ABF∽A4CE,由E=Bg即可求解 AE CE 【详解】解：如图，过A作AE⊥BC,交BC的延长线于E,过B作BF⊥AD,交AD的延长线于F, .∠AEB=∠BFD=90°， B - D C :∠ADC=2LBAC=60°， ∴.∠DAE=∠BAC=30°， ∠BDF=∠ADC=60°， .∠DBF=30°， :BD=2CD=2, :CD=1,DF=-BD=1, BF=√BD2-DF2=V5, 第16页共50页 1 设AD=x,则DE=二x,CE=二x-1, 、) 2 AF=x+1 AE=AD2-DE2 x, 2 :∠BAD+∠ACD=30°， ∠ACD+∠CAE=30°， ∠BAD=∠CAE, .△ABF∽△ACE, AF BF AE CE +1、5 31 2x2-1 整理得：x2-4x-2=0, 解得：x=2+√6，x2=2-√6（舍去）， .AD=2+√6， 故答案：2+√6： 【点晴】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质， 并会根据题意作出辅助线是解题的关键， 2.已知：在ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,点E在直线AC上，2CE=AC,AD=6,BE=5, 则ABC的面积是 【答案】16或48 【分析】分点E在直线AC上和延长线上两种情况，分别画出图形，分别根据等腰三角形的性质、勾股定理、 第17页共50页 平行线等分线段定理、三角形的面积公式求解即可. 【详解】解：如图1：连接BE交AD于G E G D 图1 :等腰ABC,AB=AC,AD⊥BC于点D :AD是底边BC的中线 2CE=AC ∴.点G为△ABC的重心 :AD=6,BE=5, :DG=AD=2.BG=3B653 3 °3 在R1△BDG中，由勾股定理可待：BD=VBG-DG-则BC=2BD- 3 SMC-)BC×AD=16. 2 如图2：作EG⊥BC于G, Dh CG 图2 E .EG∥AD 第18页共50页 4D-CD-4C=2 ·EG CG CE .AD=6 ∴EG=3 设CG=a,则BD=DC=2a,BC=4a,BG=5a 在Rt△BEG中，由勾股定理可得：BG=VBE2-EG=V52-32=4 BG=5=4,即BC=16 SAIC BCx4D=1x 116 2 25 *6、8 5 故答案为16或4 【点晴】本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理、平行线等分线段定理等知识点， 正确求得BC的长是解答本题的关键. 3.如图，在ABC中，AB=AC,P为AC边上一点，连接PB,将△PBC沿PB翻折，得到△PBD,PD交 AB于点E. A D A D B B C 图1 图2 备用图 (1)如图1，当PD∥BC时，猜想四边形BCPD的形状，并说明理由. ②如图2，当PD上AB,AP3AC时，请判断线段4E,DE,B距之间的数量关系，并证明你的结论 (3)若tanA=√5，BC=3,在△ABP和△BDP中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，请直接 第19页共50页 写出△BDP与ABC重叠部分的面积. 【答案】(1)四边形BCPD是菱形，见解析 (2)BE=2AE+DE或BE=2DE=4AE,见解析 3)21V5 32 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定、解三角形，解题关键是利用相似三角形性质转化线段比， 求出线段之间的关系， (1)根据折叠和平行证明∠DBP=∠DPB=∠CBP,从而可得BD=PD,由四边相等的四边形是菱形得出 结论； (2)过点C作CF⊥AB于点F,证明△DEB≌△BFC,可得DE=BF,FC=BE,再由EP∥FC,可得 AP AE EP ,进而可得AE=3AF,FC=3EP,根据相等的等量关系计算可得BE=2DE=4AE. AC AF FC (3)先根据面积关系得出DP=PC=2AP=2,AP=1,再证明&DEBAEP,可得C=E-EP=} BD DE BE3 利用线段和差计算求解即可得出AE二，BE=AB-AE一，由此脚可求出△BDP与ABC重叠部分】 △BPE的面积. 【详解】(1)解：结论：四边形BCPD是菱形， 证明：由折叠可知：BD=BC,PD=PC,∠DBP=∠CBP, :PD∥BC, ∴∠DPB=∠CBP, ∠DBP=∠DPB, .BD PD =BC=PC, :.四边形BCPD是菱形， (2)解：BE=2AE+DE, 第20页共50页 理由：过点C作CF⊥AB于点F, .∠CFB=90°， D A F B :PD⊥AB,即∠BED=90°， ∴.∠BED=LCFB=90°， :△PBC沿PB翻折，得到△PBD, ∠D=∠ACB,BD=BC, AB=AC, .∠ABC=∠ACB, .∠D=LABC, △DEB≌△BFC, .DE =BF,FC=BE, :∠BFC=90°，∠BED=90° ·EP∥FC, .AP=AE EP AC AF FC :P=34C, .AE =3AF FC=3EP .EF =2AE, 第21页共50页 BE=EF +BF BE=2AE+DE,(可作结论) .AB=AC=2AE DE +AE =3AE DE, :.PC=DP=2AC=2(34E+DE), 2 3 3 EP-DP-DE-(34E+DE)-DE-2AE-DE. 3 :FC=3EP=3(2AE-IDE)=6AE-DE, .2AE +DE =6AE-DE, :DE =2AE, .BE =2AE+DE =2DE, .BE =2DE =4AE (3)解：如图： D H方 :tanA=√5， .∠A=60°， AB=AC, ABC是等边三角形， .∠C=∠A=∠D=60°，AB=AC=BD=BC=3, 第22页共50页 在△ABP和△BDP中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，而且PD交AB于点E, S.BPD =S.BPC =2S.BPA :DP=PC=2AP=2AC=2.AP=1. 3 PH=4Psin∠A=5, 2 :∠A=∠D,∠DEB=∠AEP, .△DEB∽△AEP, AP=AE EP 1 BD-DE-BE3' .DE =3AE,BE =3EP, ∴.BE=3(DP-DE)=3(2-3AE), AE=AB-BE=3-3(2-3AE), :AE=8' 3 六BE=AB-AE=2 8 sw分9-引 4.如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC,连接AC、BD交于点P,且满足 PAPC=PB·PD. 第23页共50页 B B E 图1 图2 图3 (1)求证：∠ABD=∠ACD; 如图2，已罗，过点P作PE1B于点E 味怎尚， ②如图3，连接DE,若SAED=8,求BD的长. 【答案】(1)见解析 20号：g, 【分析】(1)证明△ABP~△DCP,即可由相似三角形的性质得出结论： (2)①先证明AABP~aDCP,△BPC~△APD,得∠ADP=∠ACB=45°，从面可得∠CDP=∠BAP=45°，则 LADC=90,根据anLA0D=nLBP,则E号=然后根据北=PE则行分即可求群 DCD,则状04 ②过点A作AF⊥BD交于点F,连接EF,证明AFB ADC,得仁=B距， BFCD3'再证明 DE,则=然后明ERFABD,得∠BEF=∠BAD,则EFIAD从面得SD=S 则S.e)DF:AF)AE2毛8，求春A=4,则BF=3,由BD=DF+BF=AP+P求解即m 【详解】(1)证明：：PA·PC=PB·PD, .PA=PB PD PC 第24页共50页 :∠APB=LDPC, △ABP∽△DCP, ∴∠ABP=∠PCD,即∠ABD=∠ACD, (2)解：①：∠ABC=90°，AB=BC, .∠BAC=∠ACB=45°， PA·PC=PB·PD, PA_PD PB PC ,∠APD=∠BPC, ∴△APD∽△CPB, .∠ADP=∠BCP=45°， 由(1)知△ABPn△DCP, ∠CDP=∠BAP=45°，∠ABP=∠PCD, .∠ADC=∠ADP+∠CDP=90°， tan∠ACD=tan∠ABF,即PE=4D BE CD CD 3 AD 4 PE AD 4 BECD=3 :PE⊥AB于点E,∠BAC=45°， ∠APE=∠EAC=45°， :AE=PE, 第25页共50页 AE AE 4 AB AE+BE7' AB=BC, :5-44 BC AB7 ②过点A作AF⊥BD交于点F,连接EF B E 3k Am 4k. P 4k C D 则LAFB=LADC=90°， ∠ABP=∠ACD, ∴.AFB∽ADC, :AF、BF AD CD ·CD3 AD4' AFAD 4 “BFCD3' :∠ADP=45°，∠AFD=90°， ∠DAF=∠ADP=45°， :AF DF, 第26页共50页 BF 3 BD7' .AE 4 AB 7' ..BE 3 AB7 BF BE BD AB :∠EBF=∠ABD, .△EBF∽△ABD, .∠BEF=∠BAD, ∴EFIAD, .SAFD=S。AED=8, .S.o=DF.AF-4P=8. 2 2 .AF=4, BF=3, .BD=DF+BF=AF+BF=4+3=7. 【点晴】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形， 平行线间的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键， 5.马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究： 如图1，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E为边AD上的一个动点，连接AC,BE并交于点F; 第27页共50页 BN B 图1 图2 图3 (1)若41 FC=4,则AE=一：若BE1AC,则AE-一： 如图2，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点P为对角线AC(不与点A,C重合)上一动点，过点P作 MN⊥AC,交边AD,BC于点M,N,过点M作ME⊥AD交AC于点E; (2)判断点P在移动过程中，线段MN的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段MN长度的变化范围， 若不变化，求出线段MN长度的大小： (3)若M1 D2'求出此时△MPE的面积， 如图3，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点Q为矩形内部一动点，连接BQ且满足BQ=AB,点F在线段 BQ上且BF=4,连接CF. (4)请直接写出DQ+二CF的最小值. 【答案】1)2(2)号(3)若4)而 【分析】本题主要考查了矩形与相似三角形.熟练掌握矩形性质，相似三角形判定和性质，是解题的关键。 C①)根据矩形性质得4DBC,符△4EF△C8F,得长行，得AE=2:当8E1D时， 48c:8,有6品.得4B-号 2 (2)作BG14C交4D于G,得MIBG,等四边形GBNM是平行四边形，聚据4G=号，运用购股定理 求出BG=片，即得MW= 2 3)由已知可料有，速明ME/CD,得：EM2aACD,可符EM:2,证明4C:10和 第28页共50页 AMEP∽△ACD,得SAME= 24 SAADC =25,即得Se= 59 (4)在BC上取BR=3,连接DR,QR,求出CR=5,DR=√6I,根据DQ+QR≥DR,得DQ+QR的最小 BF BR 1 值为√⑥， BCB02,∠OBR=∠CBF,得*RQR-BCF,QR=CF,即得D0+3CF的最小值为 4 √6i. 【详解】解：(1)：矩形ABCD中，AD=BC=8,AD∥BC, △AEF△CBF, AE AF I BC FC4' .AE=2; 当BE⊥AC时，∠AFC=90°， .∠BAC+∠CBE=90°， :∠ABE+∠CBE=90°， .∠ABE=BCA, .∠BAE=∠CBA=90°， .△ABCn△EAB, :4E、AB AB BC' ÷AE=6x69 829 故答案为：2； 9 2 第29页共50页 D A D (2)不变.作BG⊥AC交AD于G, :MN⊥AC, MNI‖BG, :GM∥BN, :四边形GBNM是平行四边形， :MN BG, 由1)知，AG=号 ·BG=VAB2+AG=15 Mw当不使， GM D BN 3)当4-时，4=} AD3' :ME⊥AD,CD⊥AD, .ME∥CD, 第30页共50页 .△AEM≌△ACD, ED AM 1 CD-AD-3 .EM=2, 'AC=VAD2+CD2=10,∠MEP=∠DCA,LMPE=∠D=90°， ∴.△MEP∽△ACD, S. (ME21 （AC25 S4cm=24D-CD=24, ·.SMPE 24 25 M D ■ D Q B (4)在BC上取BR=3,连接DR,QR, BC=AD=8, .CR=BC-BR=5, DR=VCD2+CR2=√6i, :DQ+QR≥DR, DQ+QR的最小值为√61， BO=AB=6,BF=4, 第31页共50页 BF 4 1 BR 3 1 BC82'B62 BF BR BC BO :∠QBR=∠CBF, ∴△BORABCF, ..OR_BR 3 CF BF4' 3 ..OR=-CF, 4 .DO+ 3CF的最小值为v61. D Q 中 6.(1)某学校“学习落实"数学兴趣小组遇到这样一个题目，如图，在ABC中，点O在线段BC上， ∠BA0=30°，∠0AC=75°，A0=√5，B0:C0=2:1,求AB的长.经过数学小组成员讨论发现，过点B 作BD∥AC,交AO的延长线于点D,通过构造△ABD就可以解决问题（如图2） B O D 图1 图2 请回答：∠ADB= AB= (2)请参考以上解决思路，解决问题： 第32页共50页 如图3在四边形ABCD中对角线AC与BD相交于点O,AC⊥AD,AO=V3,∠ABC=∠ACB=75°， B0:0D=2:1,求DC的长 B 图3 【答案】(1)75,35：(2)cD=3 2 【分析】(1)根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75。,结合∠B0D=∠COA可得出△BOD∽△COA, 利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出 ∠ABD=75°=∠ADB,由等角对等边可得出AB=AD即可求解； (2)过点B作BE∥AD交AC于点E,同(1)可得出AE=3√5，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出 BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理即可求出DC的长 【详解】解：(1)如图2中，过点B作BD∥AC,交A0的延长线于点D, D 图2 :BD∥AC, .∠ADB=∠0AC=759. :∠BOD=∠COA, .△BODm△COA, 第33页共50页 :0D-08=2, OA OC 又：A0=V3, .0D=2A0=25, .AD=A0+OD=33. :∠BAD=30°，∠ADB=75°， ∠ABD=180-∠BAD-∠ADB=759=∠ADB, .AB=AD=33; 故答案为：75,3√5. 在四边形ABCD中对角线AC与BD相交于点O,AC⊥AD,AO=√3，∠ABC=LACB=75°， B0:OD=2:1,求DC的长 (2)如图3中，过点B作BE∥AD交AC于点E. 图3 :AC⊥AD,BE∥AD, ∴.∠DAC=∠BEA=90°. :∠AOD=∠EOB, △AOD∽△EOB, 第34页共50页 .EO-BE-BO-2. AO AD OD :A0=V3, E0=25, :AE =33. :∠ABC=∠ACB=75°， ∠BAC=30°，AB=AC, .AB=2BE. 在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2 ·BE2+33=(2BE)2, 解得：BE=3(负值舍去)， 六AB=AC=6,AD=3 在RtACAD中，AC2+AD2=CD2, 62+ =CD2, 2 解得：CD=37(负值舍去). 2 【点晴】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解一元二次方程等 知识，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键. 7.如图1，在四边形ABDE中，∠ABC=LBDE,点C在边BD上，且AC∥DE,AB∥CE,点F在边AC 上，且AF=CE,连接BF,DF,DF交CE于点G. 第35页共50页 C C C 图1 图2 图3 (1)求证：BF=DF; (2)如图2，若LACE=∠CDF,求证：CE·CF=BF·DG; (3)如图3，若延长BF恰好经过点E,求 D的值. BC 【答案】(1)见解析 (2)见解析 B)+5 2 【分析】(1)证明△ABF≌aCAE,得出BF=AE,证明四边形AFDE为平行四边形，得出AE=DF,则可 得出结，论2)亚明△Pc6△DC,得出8品答，证明，FCGE,为8E-9 ,则得出结论： DG DE 3》证明△4F△CEF,得出是仁，设B=写F=CE=m,解方程求出X,则阿得出答案 【详解】(1)：ACI DE,AB‖CE ∴.∠BDE=∠ACB,∠ABC=∠DCE,∠BAC=∠ACE 'LABC=∠BDE ∠ABC=LBDE=∠ACB=∠DCE .AB=AC,CE=DE 在△ABF和△CAE中， 第36页共50页 AF=CE 又：{∠BAC=∠ACE AB=AC ∴△ABF≌ACAE(SAS) :BF=AE .CE=DE,AF=CE .AF=DE .:AF=DE,ACI‖DE :四边形AFDE为平行四边形 .AE=DF .BF DF ∠CFG=∠CFD (2) ∠ACE=∠CDF ∴△FCG∽aFDC CF GF DF CF 又：AC∥DE △FCG∽△DEG DG0E,即GFDc GF CF CFDE CF DG DEDE 又：DE=CE,DF=BF .CF_DG BF CE ,即CE,CF=BF,DG 第37页共50页 (3) I∠ABC=∠DCE ∠ACB=∠EDC △ABC∽△ECD BCAB CD CE AB∥CE, ,.△ABF∽△CEF :AB、AF CE CF .AB.CF AF.CE. 设AB=x,AF=CE=m,则有x(x-m)=m2 解得x=1+ 2m(负值舍去) 2 BC AB 1+5 CD CE 2 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，利用相似 三角形的判定和性质是本题解题的关键， 8.正方形ABCD中，AB=2,点E是对角线BD上的一动点，LDAE=a(a≠45).将ADE沿AE翻折得到 △AFE,直线BF交射线DC于点G. A D D B (备用图) C B (备用图) (1)当0°<a<45°时，求∠DBG的度数（用含a的式子表示）； 第38页共50页 (2)点E在运动过程中，试探究D 二的值是否发生变化？若不变，求出它的值若变化，请说明理由； D (3)若BF=FG,求O的值， 【答案】(1)∠DBG=a 2)DC=√2，是定值 DE (3)30 【分析】(I)根据翻变换的性质可以得到LADE=∠AFE=45°，∠DAE=∠EAF,加上对顶角相等得到的 ∠A0B=∠E0F,从而得到。A0B口áE0F(44,进而得到对应边成比例，再根据比例的性质得到40_EO BO FO' 加上对顶角相等得到的∠AOE=∠BOF证明出：△AOE·△BOF(SAS),最终得到对应角相等得出结果. 2)如图2中，连接EG,EC·证明△DEG是等腰直角三角形，可得结论； (3)证明△EFG是等边三角形，可得结论 【详解】(1)如图1中，设AF交BD于点O, D :四边形ABCD是正方形， G 图1 AB=AD,∠BAD=90°， ∠ABD=∠ADB=45°， 由翻折变换的性质可知，∠ADE=∠AFE=45°，∠DAE=∠EAF, .∠ABE=∠AFE=45°， 第39页共50页 :∠AOB=∠EOF, :△A0B~△E0FAA), AO BO EO FO ∴.AO.F0=E0.B0, AO EO BO FO :∠AOE=∠BOF, △A0E~aB0F(SAS), ∠DBG=∠EAF=∠DAE=a. (2) DC=√2，是定值， D 理由：如图2中，连接EG,EC. D :四边形ABCD是正方形， G B 图2 DA=DC,∠ADE=∠CDE=45°， DEDE △ADE≌CDE(SAS, .∠DAE=∠DCE, :∠EBG=∠DAE, 第40页共50页 ∴.∠EBG=∠ECG, 同法可证，∠CEG=∠CBG, :∠CBG+∠CGB=90°，∠CGB=∠BEC, .∠CEG+∠BEC=90°， ∠BEG=∠DEG=90°， :∠EDG=45°， .∠EGD=∠EDG=45°， .DG=√2DE, 0G=2, DE (3)如图2中，当BF=FG时， .∠BEG=90°， :EF FB=FG, DE EF EG, :EF =EG=FG, .∠FGE=60°， .∠EBG=30°， a=∠DAE=∠EBG=30°. 【点晴】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三 角形解决问题，属于中考压轴题 9.如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A-2,0,B(3,0)两点，交y轴于点C,P是第一象限内抛物线 第41页共50页 上的一点且横坐标为m. 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： 2如图1，连接4P,交线段BC于点D,若PD=, FDA5,求m的值。 (3)如图2，已知抛物线的对称轴交x轴于点H,与直线AP,BP分别交于E、F两点.试问EH+FH是否 为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由， 2 2 【答案】(1)y=-二x2+二x+4 3 3 (2)m=1或2 )EH+FH为定值， 3 【分析】(1)利用待定系数法，将A,B两点坐标代入解析式求解即可； (2)构造相似三角形△DMA和aDNP,利用直线BC的解析式求出点M坐标以及点N关于m的代数式， 利用相似三角形的性质列方程求解即可； (3)通过辅助线构造直角三角形并用含有m的代数式表示出tan∠PAB和tan∠PBA,再分别用两个三角函 数表示EH,FH,代入EH+FH中，最后化简即可. 【详解】(1)抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(-2,0)，,B(3,0)两点 [4a-2b+4=0 9a+3b+4=0' 第42页共50页 a=- 2 解得： 3 2 b23 抛物线的表达式为：y=-2x+名x+4. 2 3 3 (2)如图1，过点A作AM∥y轴，交BC的延长线于点M,过点P作PN∥y轴交BC于点N,则 PN∥AM, LPND=LAMD,∠NPD=∠MAD ∴.△DMA∽△DNP PD PN 1 DA AM5 令x=0,则y=4, .C0,4 :直线BC过点C0,4和B(3,0) 设直线BC:y=kc+b 3k+b=0 b=4 k、4 3 b=4 :直线BC的解析式为：y=-4 x+4. 3 :A-2,0),AM∥y轴 当=2时=到2列+4 3， 第43页共50页 AM=20 3 P号+号m+小则vm音知+4 2 3 3x3 PN=-2m +4-(+小号+2 PD_PN 1 DA AM 5 3m+2m 2 1 20 5 3 解得m1=1,m2=2. 当m=1或2时，PD=1 DA 5 M D N A B 图1 C3)EH+FH为定值，EH+FH= 3 理由如下： 如图2，过点P作PG⊥x轴交x轴于点G. :A-2,0),B3,0),对称轴是x= 第44页共50页 ·AH=BH=S 2 设Pm,3m+m+4 3 则PG=- 2 3m +4,AG=m+2,BG=3-m 3 在RtAAPG中， tan∠I=PG、PG AG m+2' .EH=AH×tan∠I= 5 PG 2m+2 在Rt△BPG中， tan∠2= PGPG BG 3-m FH=BHxtan∠2=5xPG 23-m nm-93-+ 2 S5一222+n+4 3 51025 2 (m+2)3-m)233 2X HGB 10 图2 【点睛】本题主要考查二次函数，相似三角形的判定及性质以及三角函数，熟练掌握待定系数法求解析式， 第45页共50页 相似三角形的判定和性质以及运用三角函数解直角边是解决本题的关键 10.如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，点A、B分别在坐标轴上. D OM B A 图1 图2 图3 (1)如图①，若C点的横坐标为5，求B点的坐标； 2如图②，若x轴恰好平分∠BAC,BC交x轴于点M,过C点作CD1x轴于D点，求CD 的值； AM (3)如图③，若点A的坐标为-4,0)，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为边在第一、第二象 限作等腰RtOBF,等腰RIABE,连接EF交y轴于P点，当点B在y轴上移动时，PB的长度是否发生改 变？若不变，求出PB的值，若变化，求PB的取值范围. 【答案】(1)B点坐标(0,5) 2号 (3)2 【分析】(1)作CD⊥y轴于D,证明△ABO≌△BCD(AAS),得到CD=B0=5,即可求出B点坐标； (2)延长CD交AB的延长线于点T,证明△ADT≌△ADC(ASA),得到DT=CD,再证明 △ABM≌△CBT(ASA),AM=CT=2CD,即可求出 CD的值： A (3)作EG⊥y轴于G,根据等腰直角三角形性质，证明△BAO≌△EBG(AAS),得到BG=A0,EG=OB, 再证明△EGP≌△FBP(AAS),得到PB=PG,即可求出PB的长. 第46页共50页 【详解】(1)解：如图1，作CD⊥y轴于D, :∠CBD+LAB0=90°，∠AB0+∠BA0=90°， ∠CBD=∠BAO, :ABC是等腰直角三角形， .AB=BC, 在△ABO和△BCD中， ∠BOA=∠BDC ∠CBD=∠BAO, AB=BC △ABO≌△BCD(AAS), CD=B0=5, B点坐标(0,5)； y B D--- 图1 (2)解：延长CD交AB的延长线于点T, CD⊥AD, .∠ADT=∠ADC=90°， :MA(即x轴)平分∠BAC, 第47页共50页 .∠TAD=∠CAD, 在△ADT和△ADC中， ∠ADT=∠ADC AD=AD ∠TAD=∠CAD .△ADT≌△ADC(ASA), .DT=CD, :∠TAD+∠T=90°，∠BCT+∠T=90°， .∠TAD=∠BCT, 在△ABM和△CBT中， ∠TAD=∠BCT AB=CB ∠ABM=∠CBT .△ABM≌△CBT(ASA), .AM =CT=2CD, :M1 CD2' 木y B T D OM 图2 第48页共50页 (3)解：如图3，作EG⊥y轴于G, :△ABE是等腰直角三角形， ∠EBA=90°，AB=BE, ∴.∠0BA+∠EBG=90°， ∠BA0+∠OBA=90°， ∴∠BAO=∠EBG, 在△BAO和△EBG中， ∠AOB=∠BGE ∠BAO=∠EBG, AB=BE .△BAO≌△EBG(AAS), .BG=AO,EG=OB, :aOBF是等腰直角三角形， .0B=BF,∠0BF=90°， :BF EG, 在△EGP和△FBP中， ∠EPG=∠FPB ∠EGP=FBP, EG=BF .△EGP≌△FBP(AAS), .PB=PG PB=BG=40, 2 第49页共50页 “点A的坐标为(-4,0)， .A0=4, PB=2. G B A 0 图3 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题 关键. 第50页共50页