23.4实际问题与一次函数 同步练习题 2025-2026学年人教版八年级数学下册

2025-2026学年人教版八年级数学下册《23.4实际问题与一次函数》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．一款纯电家用汽车电池容量为，电池的剩余电量与行驶路程之间满足一次函数关系．已知该汽车行驶时，电池的剩余电量为，行驶时，电池的剩余电量为．若该纯电家用汽车充满电，能行驶的最远路程为（    ） A． B． C． D． 2．弹簧原长（不挂重物），弹簧总长与重物质量的关系如表所示： 弹簧总长 11 12 13 14 重物重量 0.5 1.0 1.5 2.0 当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧总长是（　　） A．17 B．17.5 C．18 D．18.5 3．如图，若直线的解析式为，且点，，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．某超市从批发市场购进若干千克西瓜销售，在销售了40千克之后，余下的每千克降价0.5元全部售完，西瓜售完后超市获利62元．销售金额（元）与售出西瓜的千克数（千克）之间的关系如图所示，下列结论正确的是（    ） A．降价后西瓜的单价为1.6元/千克 B．超市共购进了50千克西瓜 C．降价后超市获得的利润为16元 D．西瓜的进价为0.8元/千克 5．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段的中点，点P为上一动点，当的值最小时，点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．某通信公司提供了A，B两种方案的通信费用y（元）与通话时间x（分钟）之间的关系，如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．若通话时间少于100分钟，则A方案比B方案便宜 B．若通话时间超过160分钟，则B方案比A方案便宜 C．若通信费用为80元，则A方案比B方案的通话时间多 D．若两种方案的通话时间相同，则通信费用相差20元 7．小强将一长方体石块从玻璃器皿的上方向下缓慢移动浸入水里做浮力实验，如图①，在此过程中拉力与石块下降的高度之间的关系如图②（提示：当石块位于水面上方时，当石块入水后，），则以下说法正确的是（    ） A．当石块下降时，石块在水里 B．当时，与之间的函数关系式为 C．石块下降时，石块所受的浮力是 D．当弹簧测力计的示数为时，石块距离水底 二、填空题 8．摩托车油箱中有升油，行驶时每小时耗油升，在不加油的情况下，剩余油量（升）与行驶时间（小时）之间的函数关系式为______，自变量的取值范围为______． 9．一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与两坐标轴围成的三角形的面积等于，则的值等于___________． 10．下表列出了一项实验的统计数据（单位： cm）； x 50 100 150 200 y 30 55 80 105 它表示皮球从一定高度落下时，弹跳高度y是下落高度x的一次函数，那么变量y与x之间的关系式为________． 11．如图，一条直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线，与两坐标轴围成的长方形的周长为8，则该直线的函数表达式是____________． 12．如图，平面直角坐标系中，正方形（边分别与坐标轴平行）顶点A，C坐标分别为，．若直线与正方形有公共点，则的取值范围为_____． 13．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在一次函数的图象上运动，求的最大值_________． 14．如图1，公路上有、、三个车站，一辆汽车从站以速度匀速驶向站，到达站后不停留，以速度匀速驶向站，汽车行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图象如图2所示．若汽车在某一段路程内刚好用50分钟行驶了60千米，则这段路程开始时的值为______． 三、解答题 15．根据教育部印发的《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，从2022年秋季学期起，劳动课正式成为中小学的一门独立课程．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆种菜苗的价格是菜苗基地的2倍，用200元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少5捆． (1)求菜苗基地每捆种菜苗的价格． (2)菜苗基地每捆种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买两种菜苗共100捆，且种菜苗的捆数不超过种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱． 16．某快递站每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分钟）之间的函数图象如图所示． (1)请求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分钟）之间的函数关系式． (2)从开始，经过几分钟两仓库的快递件数相同？有多少件？ 17．2025年4月30日13时08分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功．航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售．该店先花费6500元购进了30个“神舟”模型和20个“天宫”模型，很快销售一空；后又花费8500元以同样的价格购进了40个“神舟”模型和25个“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的售价为180元，每个“天宫”模型的售价为150元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价； (2)该店计划继续购进这两种模型共200个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的3倍，且航模店购进总金额不超过25000元．设购进“神舟”模型x个，销售这批模型的利润为w元．当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？ (3)实际进货时，模型厂家对“神舟”模型出厂价下调了a元，且限定航模店最多购“神舟”模型80个．在（2）的条件下，为让航模店最终获得的最大利润是10800元，直接写出a的值为_____． 18．如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，，点在轴正半轴上，，过点作轴的垂线，点为直线上一动点． (1)求的值； (2)设的面积为，请对应写出与之间的关系式； 当点在轴上方时，______（）；当点在轴下方时，______（______）； (3)作的平分线交轴正半轴于点，是否存在这样的值，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求的值，并直接写出使得四边形为平行四边形的点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．端午节前夕，某超市打算购进甲、乙两种畅销的粽子，已知购进2箱甲种粽子和1箱乙种粽子需用128元；购进1箱甲种粽子和4箱乙种粽子需用176元． (1)求甲种粽子每箱的进价和乙种粽子每箱的进价各是多少元； (2)超市计划用不超过7680元的资金购进甲、乙两种粽子共200箱，其中甲种粽子的数量不低于乙种粽子数量的，则超市共有几种购进方案？当购进两种粽子各多少箱时，所需资金最少？最少资金是多少元？ (3)该超市租用大、小两辆货车运输粽子，两车同时出发，途经休息区时大货车休息1小时后加速行驶，而小货车没有休息继续原速行驶，结果大货车比小货车早到达超市0.5小时，大、小两车离出发地的路程（单位：千米）与小货车出发的时间（单位：小时）的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题： ①大货车休息前的速度为__________千米∕时；小货车的速度为__________千米∕时； ②请直接写出小货车出发多少小时两车相距30千米． 20．除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，我们约定：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)如图1，在正方形中，点分别在边上，连接，，线段相交于点O，若， 证明：四边形为“双直四边形”； (2)如图2，在平面直角坐标系中，已知点，，点B在线段上，且． ①求的长； ②在第一象限内，是否存在点D，使得四边形为“双直四边形”？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．解：设电池的剩余电量与行驶路程之间的关系式为 根据题意得， 解得 ∴ 当时， 解得 ∴该纯电家用汽车充满电，能行驶的最远路程为． 故选：B． 2．解：设L与x的关系式为：， 把，代入解析式得， 解得， ∴L与x的关系式为， 当时，， 故选：C． 3．解：如图，过点作轴于点， 将代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 将代入得：，解得， ∴， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， 又∵，轴， ∴， ∴， ∴点的坐标是， 故选：C． 4．解：设售价为元，根据题意可得出函数解析式 根据图可知销售40千克时，销售金额为80元， ∴ 解得：，即降价前的售价是每千克2元， ∵余下的每千克降价0.5元全部售完， ∴ 即降价后西瓜的单价为元/千克 故A选项不符合题意 结合函数图象得（千克） ∴（千克） ∴超市共购进了60千克西瓜 故B选项不符合题意； 设西瓜的进价为元/千克 则 ∴ ∴ ∴ 即西瓜的进价为0.8元/千克 故D选项符合题意； 则， ∴降价后超市获得的利润为14元 故C选项不符合题意； 故选D． 5．解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，最小值为，如图． 令中，则， 点的坐标为； 令中，则，解得：， 点的坐标为． 点、分别为线段、的中点， 点，点． 点和点关于轴对称， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 直线过点，， ，解得：， 直线的解析式为． 令，则，解得：， 点的坐标为． 故选：D． 6．解：A、由图象可知：通话时间少于100分钟，则B方案比A方案便宜，原说法错误，不符合题意； B、由图象可知：若通话时间超过160分钟，则方案比方案便宜，原说法错误，不符合题意； C、由图象可知：若通信费用为80元，则方案比方案的通话时间多，原说法正确，符合题意； D、由图象可知：若两种方案的通话时间相同，通话时间小于100分钟时，通信费用相差20元，原说法不准确，不符合题意； 故选：C． 7．解：A、由题图可知，石块下降到时，石块正好接触水面，故选项A说法错误，不符合题意； B．当时，设所在直线的函数表达式为：， 则， 解得， ∴，故选项B说法错误，不符合题意； C．当石块下降的高度为时，即时，， 此时石块所受浮力是，故选项C说法错误，不符合题意； D．当弹簧测力计的示数为时，， 解得， 石块距离水底的距离为，故选项D说法正确，符合题意； 故选：D． 8．解：根据题意，在不加油的情况下，剩余油量（升）与行驶时间（小时）之间的函数关系式为：，自变量取值范围为：． 故答案为：；． 9．解：在中，当时，，当时，， ∴一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点， ∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴一次函数的图象与x轴的交点在x轴的负半轴上， ∴， ∵一次函数与两坐标轴围成的三角形的面积等于， ∴， ∴（已检验是原方程的解）， 故答案为：． 10．解：设变量与之间的关系式为， 由表格可得，当时，；当时，； ∴，解得：， ∴变量与之间的关系式为． 故答案为：． 11．解：根据题意，设点， 则, 则, 所以, 故答案为：． 12．解：∵轴，轴， ∴， ∵点A，C坐标分别为，， ∴， ∴点B的坐标为，即； ∵， ∴一次函数经过定点； 当一次函数恰好经过点A时，则，解得， 当一次函数恰好经过点B时，则，解得， ∴当或时，直线与正方形有公共点， 故答案为：或． 13．解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接． ，， 直线的解析式为：． 联立解得 ． ， ． ． 当点在的延长线上时，的值最大，最大值为4． 故答案为：4． 14．解：当汽车从A站以速度匀速驶向B站时，设， 由图象可知：时，， ∴， ∴， 当时，， ∴； 当汽车以速度匀速驶向C站时，设， 把，代入，得： ，解得：， ∴； ∴； ∴汽车在段上的速度为千米/小时，在段上的速度为千米/小时， ∴当汽车从到时，50分钟行驶的路程为：， 当汽车从到时，50分钟行驶的路程为：， ∵汽车在某一段路程内刚好用50分钟行驶了60千米， ∴汽车一段时间在上，一段时间在上， ∴设汽车在段行驶了分钟，则在段上行驶了分钟， 则：， 解得：， ∴． 故答案为：． 15．（1）解：设菜苗基地每捆种菜苗的价格是元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：菜苗基地每捆种菜苗的价格是20元； （2）设购买种菜苗捆，总花费为元，则购买种菜苗捆， 由题意得，， 种菜苗的捆数不超过种菜苗的捆数， ， ， ， 随增大而减小， 当时，最小，最小值为， 本次购买最少花费2250元． 16．（1）解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分钟）之间的函数关系式为． 根据图象可得：， 解得：， ， 设乙仓库的快件数量（件）与时间（分钟）之间的函数关系式为， 根据图象可得：， 解得：， ； （2）解：联立， 解得：， 经过分钟时，甲、乙两仓库的快递件数相同，有件． 17．（1）解：设每个“神舟”模型的进价为m元，每个“天宫”模型的进价为n元． 由题意得，， 解得， 答：每个“神舟”模型的进价为150元，每个“天宫”模型的进价为100元； （2）解：由题意得， ， ∵购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的3倍，且航模店购进总金额不超过25000元， ∴， 解得， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w有最大值，最大值为， 此时， 答：购进“神舟”模型50个，“天宫”模型150个时，可获得最大利润，最大利润为9000元； （3）解：由题意得， ， 由（2）和（3）可得， 当时，，不符合题意； 当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴， ∴． 18．（1）解：由题意：， ∴； 在中，由勾股定理： ∴； （2）解：作直线于点， ， 当点在轴上方时，此时，即：， ， 当点在轴下方时，此时，即：， ； （3）解：存在， 当时，如图，作于，直线于点，则 ∵是以为底边的等腰三角形，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∴， ∴根据勾股定理：， ∵， ∴， ∴，即：， ∴四边形为平行四边形的点的坐标； 当时，如图，作于，直线于点， ∵是以为底边的等腰三角形，， ∴， ∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴根据勾股定理：， ∵， ∴， ∴，即：， ∴四边形为平行四边形的点的坐标， 综上：当或时，是以为底边的等腰三角形；分别对应或． 19．（1）解：设甲种粽子每箱的进价是x元，则乙种粽子每箱的进价是y元． ， 解得， 答：甲种粽子每箱的进价是48元，乙种粽子每箱的进价是32元； （2）解：设购进甲种粽子m箱，则购进乙种粽子箱， ， 解得， 又∵m为正整数， ∴m可以取75，76，77，78，79，80， ∴该商店有6种进货方案； 设所需资金为W元，根据题意得： ， ∵， ∴时，所需资金W最小， 此时，， 答：购进甲种粽子75箱，乙种粽子125箱时，所需资金最少为元； （3）解：①根据题意，得： 大货车休息前的速度为千米/时； 小货车的速度为千米/时； ②当时，大货车开始休息； 当时，大货车休息后再次出发； 小货车到达超市时间，大货车到达超市时间， ∴大货车休息后的速度为千米/时； 大货车休息前： ∵两车相距30千米， ∴， 解得：； 大货车休息后再次出发前： ， 解得：； 大货车再次出发后，大货车行驶与起点的距离 ∴， 解得：或； 即出发2小时或3小时或小时两车相距30千米． 20．（1）解：证明：四边形是正方形， ， ， 在和中 ， ， ， 四边形为“双直四边形”； （2）解： ， 设为， 则， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得 ． ②假设存在点D在第一象限，使得四边形为“双直四边形”． 如图，设的交点为， 是的中点， ． 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得， 直线的解析式为， 设， （i）当时，， 点的坐标为； （ii）当时， ，， 是的垂直平分线， ， ， ， 此时点的坐标为； （iii）当时， 是等腰直角三角形， ， ， ， 解得或12， 当时，，此时在第四象限，不符合题意． 当时，，此时在第一象限，符合题意． 综上，存在点，使得四边形为“双直四边形”；点的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $