9.2 库仑定律 专题1 库仑定律的应用 讲义-2025-2026学年高二上学期物理人教版必修第三册

本高中物理讲义聚焦库仑定律的应用模型这一核心知识点，系统梳理同一直线上三个点电荷的平衡问题、非共线力作用下带电体的平衡或动力学问题、动态平衡问题，形成递进的学习支架，帮助学生掌握不同情境下的平衡分析方法。 该资料通过题型分类构建清晰知识框架，结合“两同夹异”“近小远大”等规律总结和典型例题，培养学生模型建构与科学推理能力。课中辅助教师高效授课，课后学生可通过例题巩固，查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

专题1 库仑定律的应用模型 题型1 同一直线上三个点电荷的平衡问题 1 题型2 非共线力作用下带电体的平衡或动力学问题 3 题型3 库仑定律作用下的动态平衡问题 6 题型1 同一直线上三个点电荷的平衡问题 1.两个电荷固定，第三个电荷平衡问题 只需要确定第三个电荷位置即可，对其电性和所带电荷量没有要求。 2.三个自由电荷的平衡问题 （1）同一直线上的三个自由点电荷都处于平衡状态时，每个电荷受到的合力均为零。根据平衡条件可得，电荷间的关系为： “三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上； “两同夹异”——正、负电荷相互间隔； “两大夹小”——中间电荷的电荷量最小； “近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。 （2）对于三个自由电荷的平衡问题，只需对其中两个电荷列平衡方程，不必再对第三个电荷列平衡方程。 【例题精讲】 1．（2026•天水校级开学）如图所示，两个点电荷，电荷量分别为q1＝4×10﹣9C和q2＝﹣9×10﹣9C，分别固定于相距20cm的a、b两点，有一个点电荷q放在a、b所在直线上且静止不动，该点电荷所处的位置是（　　） A．在a点左侧40cm处 B．在a点右侧8cm处 C．在b点右侧20cm处 D．无法确定 2．（2025秋•海珠区校级月考）如图，光滑绝缘的水平桌面的同一直线上，放置三个可视为点电荷的小球M、N和P，其中M和N固定，带电量分别为+q1和﹣q2，若小球P能保持静止，则（　　） A．P一定带正电，q1＝q2 B．P一定带正电，q1＞q2 C．P可能带负电，q1＝q2 D．P可能带负电，q1＞q2 3．（2025秋•和平区校级月考）如图所示，在真空中同一直线上的三个点电荷A、B、C恰好都处于平衡状态，所带电荷量的绝对值分别为q1、q2、q3。已知A、B之间距离与B、C之间距离之比是3：2，除相互作用的静电力外不受其他外力作用，下列说法正确的是（　　） A．若A、B带正电，则C带负电 B．q1：q3＝25：4 C．q2：q3＝9：25 D．q1：q2＝9：4 4．（2025秋•重庆月考）真空中有两个点电荷，Q1为4.0×10﹣8C、Q2为﹣1.0×10﹣8C，分别固定在x轴上坐标为0和6cm的位置上，则（　　） A．坐标为12cm处的合电场强度为0 B．坐标为3cm处的合电场强度为0 C．坐标为3cm处的合电场强度方向指向x轴的负方向 D．只考虑电场力，引入第三个电荷可以在坐标为5cm处平衡 5．（2025秋•成都期中）在光滑绝缘的水平面上有A、B两个带电小球，电荷量分别为QA＝+9q和QB＝+q，A、B两个小球间的距离为L。现将第三个带电小球C放在A、B之间的直线上，三个小球在彼此之间库仑力的作用下均能处于静止状态，带电小球可视为点电荷。下列说法正确的是（　　） A．小球C带负电 B．小球C带正电 C．小球C到小球A的距离为 D．小球C到小球A的距离为 （多选）6．（2025秋•武清区月考）如图所示，光滑绝缘水平面上有三个带电小球A、B、C（均可视为点电荷），三球沿一条直线摆放，仅受它们相互之间的静电力，三球均处于静止状态，AB和BC小球间的距离分别是r1、r2，则以下判断正确的是（　　） A．A、C两个小球可能带异种电荷 B．三个小球的电荷量大小为QC＞QA＞QB C．摆放这三个小球时，可以先固定C球，摆放A、B使其能处于静止状态，再释放C球 D． （多选）7．（2025秋•东湖区校级期中）如图所示，光滑水平面上有A、B两个带电点电荷，质量均为m，电荷量分别为4Q和﹣36Q，在真空中相距4l。已知静电力常量为k。现引进第三个点电荷C，正好使三个点电荷均处于平衡状态，则点电荷C（　　） A．应放在A的左侧2l处 B．应放在A的左侧3l处 C．电荷量为﹣9Q D．电荷量为16Q 题型2 非共线力作用下带电体的平衡或动力学问题 分析静电力作用下点电荷的平衡或动力学问题，步骤如下： 1.确定研究对象：适当采用“整体法”或“隔离法”； 2.对研究对象进行受力分析，画示意图（受力和运动过程）； 3.根据平衡条件或牛顿第二定律列方程； 4.解方程求出待求量。 【例题精讲】 8．（2025秋•巩义市期末）如图所示，小球A、C均带正电，B球带负电，A球在绝缘的粗糙水平地面上，B球由绝缘的细线拉着，C球处在与B球等高的位置，A、B、C三球均静止且三者所在位置构成一个等边三角形。若细线与竖直方向的夹角为60°，mC＝6mB，则A，B，C三球所带电荷量qA：qB：qC大小之比为（　　） A．1：1：1 B．2：1：4 C．4：2：1 D． 9．（2025秋•思明区校级期中）如图所示，两个相同的小球A和B，质量均为m，现用长度相同的三根细线连接两小球，并把两球悬挂在水平天花板上的同一点O。若只让A球带上+q的电荷，且加一水平向右的匀强电场，当两小球均处于静止状态时，三根细线均处于直线状态，且OB线恰好处于竖直方向。不考虑静电感应，则所加匀强电场的场强的大小为（　　） A．0 B． C． D． 10．（2025•广西开学）如图所示，A、B、C是三个相同的金属球（可视为质点），分别位于边长为l的正三角形的三个顶点上，其中A球带正电荷，B球带负电荷，C球不带电，A球带电荷量为Q，B球带电荷量为﹣3Q。现将B球先后与A、C接触再放回原处，静电力常量为k，则A球受到的静电力大小为（　　） A． B． C． D． 11．（2025•成都校级模拟）如图，a、b、c三个带电小球用绝缘细线悬挂在同一点O，平衡时三者恰好处于同一竖直平面内且构成一个等边三角形，a、b等高。下列说法正确的是（　　） A．a、b小球的质量一定相等 B．a、b小球的带电量不一定相等 C．若c球的质量是a球的2倍，那么c球的电荷量应为a球的2倍 D．若c球的质量是a球的2倍，那么Oc段绳的拉力是Oa段绳拉力的2倍 12．（2025•昌黎县校级模拟）如图所示，在竖直平面内建立xOy直角坐标系，边长为L的正三角形ABC各边均为绝缘细杆，且各边均匀带有等量正电荷，其几何中心恰在O点，AB边水平，a、b、c三点的连线也恰能构成边长为L的正三角形，其几何中心也在O点，a点在y轴上。现在a点放一质量为m、带电荷量为+q的小球，静止释放后瞬间，小球加速度大小等于重力加速度g，方向沿y轴正方向，若该小球在b点静止释放，则释放瞬间加速度大小为（　　） A． B． C．g D． （多选）13．（2025秋•垫江县校级月考）在某装置中的光滑绝缘水平面上，三个完全相同的带电小球，通过不可伸长的绝缘轻质细线，连接成边长为d的正三角形，如图甲所示。小球质量为m，带电量为+q，可视为点电荷。初始时，小球均静止，细线拉直。现将球1和球2间的细线剪断，当三个小球运动到同一条直线上时，速度大小分别为v1、v2、v3，如图乙所示。该过程中三个小球组成的系统电势能减少了，k为静电力常量，不计空气阻力。则（　　） A．该过程中小球3受到的合力大小始终不变 B．该过程中小球3一定向左做直线运动 C．从图甲到图乙位置，小球3向左运动 D．在图乙位置， （多选）14．（2025•沧州一模）如图所示，将质量均为m，带电荷量分别为qA、qB、qC的三个带电小球A、B、C放置在光滑水平面上，所构成的三角形边长分别为a、b、c。初态由静止释放后，在库仑力的作用下，之后的运动过程中三个小球所构成的三角形各边一直保持与初态平行，小球半径较小，小球之间库仑力始终遵守库仑定律。下列说法正确的有（　　） A．当三角形面积变为初态的9倍时，A球的加速度变为初态的 B．三个小球的加速度矢量和一直为零 C．三个小球的电荷量与三角形边长的关系应符合 D．三个小球的电荷量与三角形边长的关系应符合 题型3 库仑定律作用下的动态平衡问题 【必备知识】 1. 动态平衡是指处于平衡状态的物体所受的某个力（或者几个力）的大小或方向缓慢变化，是动态力， 但变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态。 2. 做题流程 分析先化“动”为“静”， 构造矢量三角形 【例题精讲】 15．（2026春•天宁区校级期中）如图所示，a、b是两个带有同种电荷的小球，用绝缘丝线悬挂于同一点，两球静止时，它们距水平面的高度相等，绳与竖直方向的夹角分别为α、β，且β＞α。若同时剪断两根细线，空气阻力不计，两球带电荷量不变，则（　　） A．a球的质量比b球的大 B．b球先落地 C．a球的电荷量一定比b球的大 D．a球飞行的水平距离等于b小球 16．（2026•全国统招•一模拟）如图所示，电荷量相同的两个正点电荷分别固定在A、B两点，O为A、B连线的中点，P为A、B连线的中垂线上的点，其中PA、PB、AB的长度均为L。一电子由P点以大小为v的速度垂直于纸面向外射出，电子恰好绕O点做匀速圆周运动。已知静电力常量为k，电子的比荷为η。则两点电荷的电荷量均为（　　） A． B． C． D． 17．（2026春•郑州期中）如图所示，在天花板上O点通过两根长度分别为l、2l的细绳悬挂两个带电小球P、Q，静止时两根细绳与竖直方向之间的夹角分别为53°和37°，已知sin37°＝0.6，sin53°＝0.8，则P、Q质量之比为（　　） A．3：2 B．2：3 C．9：4 D．4：9 18．（2026•合肥模拟）如图所示，固定在竖直面内半径为R的光滑绝缘半圆形轨道内部有A、B两带电小球，质量均为m，A球锁定在轨道最低点，B球可沿轨道滑动。初始时，A、B两球间距为R，由于缓慢漏电，B球逐渐下滑靠近A球，两球可视为质点，重力加速度为g，以下说法正确的是（　　） A．初始时，A、B两球间的库仑力大小为mg B．初始时，B球对轨道的压力大小为2mg C．漏电过程中，B球受轨道的支持力逐渐变大 D．漏电过程中，A、B两球间的库仑力逐渐变小 19．（2026•合肥模拟）如图，距离为2l的a、b两点连线水平，MN是ab的竖直中垂线，带电量为Q的正点电荷固定在a点，另一点电荷固定在b点，质量为m的带电小球恰好静止在MN上的c点，ac与ab间的夹角为30°，重力加速度大小为g，静电力常量为k，则（　　） A．固定在b点的电荷带电量为2Q B．固定在b点的电荷可能带负电 C．带电小球的带电量为 D．将带电小球沿MN向上移动一段距离后释放，小球可能静止 （多选）20．（2026春•天山区校级期中）如图所示，一带电小球N用绝缘柄固定不动，将一个质量为m，电荷量为qM的带正电小球M用一根不可伸长的轻质绝缘丝悬挂起来，悬点O在小球N的正上方，当小球M静止时，丝线与竖直方向夹角θ＝30°，M、N两球连线刚好水平。丝线长度为L，重力加速度大小为g，静电力常量为k，两球均可视为点电荷，下列说法正确的是（　　） A．小球M受到的丝线拉力的大小为2mg B．小球M受到的库仑力的大小为 C．小球M所在处的电场强度的大小为 D．小球N的电荷量为 （多选）21．（2026春•蜀山区校级月考）在某光滑绝缘水平面上，三个完全相同的带电小球A、B、C，通过不可伸长的绝缘轻质细线相连，小球A、B间细绳的长度为2L，其他两个细绳的长度均为，如图甲所示。球质量为m，带电量为+q，可视为点电荷。初始时，小球均静止，细线拉直，现用一方向不变、大小变化的水平力作用在小球A、B间细绳的中点，方向与两球连线垂直。当水平力做功为W时，其大小为F1，A、B两球第一次相距，且A球的加速度方向与F1相同，如图乙所示，这段时间每条细绳处于绷直状态。已知两个带电量分别为q1、q2的点电荷相距为r时，它们的电势能为，其中k为静电力常量。则当F做的功为W时，下列说法正确的是（　　） A．B、C两球之间的细绳拉力大小为 B．B、C两球之间的细绳拉力大小为 C．小球A、B、C系统的动能为 D．小球A、B、C系统的动能为 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1 库仑定律的应用模型 题型1 同一直线上三个点电荷的平衡问题 1 题型2 非共线力作用下带电体的平衡或动力学问题 5 题型3 库仑定律作用下的动态平衡问题 12 题型1 同一直线上三个点电荷的平衡问题 1.两个电荷固定，第三个电荷平衡问题 只需要确定第三个电荷位置即可，对其电性和所带电荷量没有要求。 2.三个自由电荷的平衡问题 （1）同一直线上的三个自由点电荷都处于平衡状态时，每个电荷受到的合力均为零。根据平衡条件可得，电荷间的关系为： “三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上； “两同夹异”——正、负电荷相互间隔； “两大夹小”——中间电荷的电荷量最小； “近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。 （2）对于三个自由电荷的平衡问题，只需对其中两个电荷列平衡方程，不必再对第三个电荷列平衡方程。 【例题精讲】 1．（2026•天水校级开学）如图所示，两个点电荷，电荷量分别为q1＝4×10﹣9C和q2＝﹣9×10﹣9C，分别固定于相距20cm的a、b两点，有一个点电荷q放在a、b所在直线上且静止不动，该点电荷所处的位置是（　　） A．在a点左侧40cm处 B．在a点右侧8cm处 C．在b点右侧20cm处 D．无法确定 【答案】A 【详解】q1的电量比q2电量小，所以第三个电荷不论正负，只有放在q1的左侧才能处于平衡，且q1与q2对该点电荷的电场力大小应相等，所以设q距q1的距离为r，则 代入数据得r＝0.4m 即在ab连线上，a的左侧40cm处，故A正确，BCD错误。 故选：A。 2．（2025秋•海珠区校级月考）如图，光滑绝缘的水平桌面的同一直线上，放置三个可视为点电荷的小球M、N和P，其中M和N固定，带电量分别为+q1和﹣q2，若小球P能保持静止，则（　　） A．P一定带正电，q1＝q2 B．P一定带正电，q1＞q2 C．P可能带负电，q1＝q2 D．P可能带负电，q1＞q2 【答案】D 【详解】根据题意可知，若小球P能保持静止，则小球M、N对P的作用力等大、反向，由同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引可知，由于小球M、N带异种电荷，无论P带何种电荷，小球M、N对P的作用力方向都相反，则P带电的种类不确定，设小球P的带电量为q，P与M的距离为r1，P与N的距离为r2，由库仑定律有，由于r1＞r2，可得q1＞q2，故D正确，ABC错误。 故选：D。 3．（2025秋•和平区校级月考）如图所示，在真空中同一直线上的三个点电荷A、B、C恰好都处于平衡状态，所带电荷量的绝对值分别为q1、q2、q3。已知A、B之间距离与B、C之间距离之比是3：2，除相互作用的静电力外不受其他外力作用，下列说法正确的是（　　） A．若A、B带正电，则C带负电 B．q1：q3＝25：4 C．q2：q3＝9：25 D．q1：q2＝9：4 【答案】C 【详解】A．三个点电荷都处于平衡状态，根据平衡条件可知A、C电性相同且与B相反，故A错误； B．由题意可知A、B与B、C之间的距离之比 根据库仑定律和B受力平衡可得 可得 故B错误； C．根据库仑定律和A受力平衡可得 可得 故C正确； D．根据C受力平衡可得 可得 故D错误。 故选：C。 4．（2025秋•重庆月考）真空中有两个点电荷，Q1为4.0×10﹣8C、Q2为﹣1.0×10﹣8C，分别固定在x轴上坐标为0和6cm的位置上，则（　　） A．坐标为12cm处的合电场强度为0 B．坐标为3cm处的合电场强度为0 C．坐标为3cm处的合电场强度方向指向x轴的负方向 D．只考虑电场力，引入第三个电荷可以在坐标为5cm处平衡 【答案】A 【详解】A.由于正电荷的电荷量大于负电荷的电荷量，因此电场强度为0的点一定在负电荷右侧，设其坐标为x，则有， 代入数据解得x＝12cm，故A正确； BC.由点电荷电场强度公式以及单个点电荷的电场强度方向可知，坐标为2cm、3cm、5cm处的合电场强度方向均指向x轴的正方向，故BC错误； D.根据库仑定律可知，第三个电荷在坐标为5cm处所受的两个库仑力大小不相等，方向不相反，无法平衡，故D错误。 故选：A。 5．（2025秋•成都期中）在光滑绝缘的水平面上有A、B两个带电小球，电荷量分别为QA＝+9q和QB＝+q，A、B两个小球间的距离为L。现将第三个带电小球C放在A、B之间的直线上，三个小球在彼此之间库仑力的作用下均能处于静止状态，带电小球可视为点电荷。下列说法正确的是（　　） A．小球C带负电 B．小球C带正电 C．小球C到小球A的距离为 D．小球C到小球A的距离为 【答案】A 【详解】AB.若小球C带正电，小球C放在A、B之间，则A或B受到另外两电荷的库仑力均为排斥力，无法静止，所以小球C不能带正电；若小球C带负电，A和B对小球C的库仑力均为吸引力，方向相反，通过平衡条件可确定小球C的位置，且此时A和B的受力也能平衡，故A正确，B错误。 CD.设小球C到A的距离为x，到B的距离为L﹣x，根据库仑力平衡条件，可得，故CD错误。 故选：A。 （多选）6．（2025秋•武清区月考）如图所示，光滑绝缘水平面上有三个带电小球A、B、C（均可视为点电荷），三球沿一条直线摆放，仅受它们相互之间的静电力，三球均处于静止状态，AB和BC小球间的距离分别是r1、r2，则以下判断正确的是（　　） A．A、C两个小球可能带异种电荷 B．三个小球的电荷量大小为QC＞QA＞QB C．摆放这三个小球时，可以先固定C球，摆放A、B使其能处于静止状态，再释放C球 D． 【答案】BC 【详解】A．三球均处于静止状态，根据“两同夹异”原则判断，A、C必定带同种电荷，故A错误； B．根据“两大夹小、近小远大”原则，判断可得QC＞QA＞QB，故B正确； C．摆放这三个小球时，可以先固定C球，摆放A、B使其能处于静止状态，再释放C球，故C正确； D．对B受力分析，左右两个方向的库仑力大小相等，根据库仑定律可得 解得 故D错误。 故选：BC。 （多选）7．（2025秋•东湖区校级期中）如图所示，光滑水平面上有A、B两个带电点电荷，质量均为m，电荷量分别为4Q和﹣36Q，在真空中相距4l。已知静电力常量为k。现引进第三个点电荷C，正好使三个点电荷均处于平衡状态，则点电荷C（　　） A．应放在A的左侧2l处 B．应放在A的左侧3l处 C．电荷量为﹣9Q D．电荷量为16Q 【答案】AC 【详解】由“两大夹小，两同夹异”可知点电荷C应带负电，且位于A的左侧，假设点电荷C的电荷量大小为q，距A的距离为x。 对点电荷C，根据平衡条件得 kk 解得x＝2l 即点电荷C应放在A的左侧2l处； 对点电荷A，根据平衡条件得 kk 解得q＝9Q，故点电荷C的电荷量为﹣9Q，故AC正确，BD错误。 故选：AC。 题型2 非共线力作用下带电体的平衡或动力学问题 分析静电力作用下点电荷的平衡或动力学问题，步骤如下： 1.确定研究对象：适当采用“整体法”或“隔离法”； 2.对研究对象进行受力分析，画示意图（受力和运动过程）； 3.根据平衡条件或牛顿第二定律列方程； 4.解方程求出待求量。 【例题精讲】 8．（2025秋•巩义市期末）如图所示，小球A、C均带正电，B球带负电，A球在绝缘的粗糙水平地面上，B球由绝缘的细线拉着，C球处在与B球等高的位置，A、B、C三球均静止且三者所在位置构成一个等边三角形。若细线与竖直方向的夹角为60°，mC＝6mB，则A，B，C三球所带电荷量qA：qB：qC大小之比为（　　） A．1：1：1 B．2：1：4 C．4：2：1 D． 【答案】B 【详解】对B、C两球进行受力分析，如图所示， 对C球，由力的平衡条件可得，对B球，由力的平衡条件有FT•sin60°＝FAB·，FT•cos60°＝FAB•cos30°+mBg 由题设条件有 联立各式解得 由上述结论，FABFBC， 以及库仑定律F 代入数据得qA：qB：qC＝2：1：4，故ACD错误，B正确。 故选：B。 9．（2025秋•思明区校级期中）如图所示，两个相同的小球A和B，质量均为m，现用长度相同的三根细线连接两小球，并把两球悬挂在水平天花板上的同一点O。若只让A球带上+q的电荷，且加一水平向右的匀强电场，当两小球均处于静止状态时，三根细线均处于直线状态，且OB线恰好处于竖直方向。不考虑静电感应，则所加匀强电场的场强的大小为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】OB线竖直，说明B球水平方向不受力，因此A、B间的细线对B无作用力，否则B会偏离竖直方向。 A球受三个力：重力mg（竖直向下）、匀强电场的电场力qE（水平向右）、OA线的拉力T，如图所示： 由于三根细线长度相同，OA与A、B间细线构成等边三角形，OA线与竖直方向夹角为60°。 根据平衡条件，水平方向有qE＝Tsin60°，竖直方向有mg＝Tcos60° 联立两式可得qE＝mgtan60°，解得。故ABC错误，D正确。 故选：D。 10．（2025•广西开学）如图所示，A、B、C是三个相同的金属球（可视为质点），分别位于边长为l的正三角形的三个顶点上，其中A球带正电荷，B球带负电荷，C球不带电，A球带电荷量为Q，B球带电荷量为﹣3Q。现将B球先后与A、C接触再放回原处，静电力常量为k，则A球受到的静电力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】完全相同的金属球接触后，电荷量先中和再平分，所以将B球先后与A、C接触后，A、B、C各带电量为﹣Q、、 放回原处后，B、C对A的斥力均为，夹角为60°，则A受静电力的合力为，故B正确，ACD错误。 故选：B。 11．（2025•成都校级模拟）如图，a、b、c三个带电小球用绝缘细线悬挂在同一点O，平衡时三者恰好处于同一竖直平面内且构成一个等边三角形，a、b等高。下列说法正确的是（　　） A．a、b小球的质量一定相等 B．a、b小球的带电量不一定相等 C．若c球的质量是a球的2倍，那么c球的电荷量应为a球的2倍 D．若c球的质量是a球的2倍，那么Oc段绳的拉力是Oa段绳拉力的2倍 【答案】A 【详解】B、受力分析如图 先对c球分析，若a、b两球给予c的为斥力，且斥力的水平分量必然相等，考虑到对称性，Fac＝Fbc，故a、b带电量相等；若a、b两球给予c的为引力，且引力的水平分量必然相等，同样可得a、b带电量相等，故B错误； A、再分别对a、b球做受力分析，不难发现二者的受力是对称的，故a、b两球质量一定相等，故A正确； CD、由于Tc与c球重力mcg之间的关系无法从对称性获得，所以c球质量与电荷量以及c球所受拉力之间的关系无法判定，故CD错误。 故选：A。 12．（2025•昌黎县校级模拟）如图所示，在竖直平面内建立xOy直角坐标系，边长为L的正三角形ABC各边均为绝缘细杆，且各边均匀带有等量正电荷，其几何中心恰在O点，AB边水平，a、b、c三点的连线也恰能构成边长为L的正三角形，其几何中心也在O点，a点在y轴上。现在a点放一质量为m、带电荷量为+q的小球，静止释放后瞬间，小球加速度大小等于重力加速度g，方向沿y轴正方向，若该小球在b点静止释放，则释放瞬间加速度大小为（　　） A． B． C．g D． 【答案】B 【详解】设三根绝缘细杆对a点放置的小球施加的力大小为F，则由牛顿第二定律可得：F﹣mg＝mg，解得：F＝2mg，当小球放在b点时，根据图形关系可知，三根绝缘细杆对b点放置的小球施加的力大小也为F，方向沿∠abc的角平分线，指向左下方，受力分析如图所示： 则此时b点放置的小球受到的力为F和重力mg，夹角为60°，所以合力大小为：，由牛顿第二定律可得：F'＝ma' 解得：，故ACD错误，B正确。 故选：B。 （多选）13．（2025秋•垫江县校级月考）在某装置中的光滑绝缘水平面上，三个完全相同的带电小球，通过不可伸长的绝缘轻质细线，连接成边长为d的正三角形，如图甲所示。小球质量为m，带电量为+q，可视为点电荷。初始时，小球均静止，细线拉直。现将球1和球2间的细线剪断，当三个小球运动到同一条直线上时，速度大小分别为v1、v2、v3，如图乙所示。该过程中三个小球组成的系统电势能减少了，k为静电力常量，不计空气阻力。则（　　） A．该过程中小球3受到的合力大小始终不变 B．该过程中小球3一定向左做直线运动 C．从图甲到图乙位置，小球3向左运动 D．在图乙位置， 【答案】BD 【详解】A．剪断细线之前，三个小球处于静止状态，所受的合力为零；将球1和球2间的细线剪断瞬间，小球1和3，小球2和3之间细线上的弹力发生突变，小球3受到水平向左的合力作用；当小球3运动到图乙位置时，小球3所受的合力为零，即整个过程中小球3受到的合力大小先增加后减小，故A错误； B．小球3受两边细绳的拉力总是大小相等且是对称的，则小球3向左做直线运动，故B正确； C．由于三个小球组成系统所受外力之和为零，满足动量守恒的条件，取水平向左为正方向，根据动量守恒定律mv3﹣mv1﹣mv2＝0 由于小球1、2的受力情况相同，故v1＝v2，化简得v3＝2v1＝2v2 即 代入数据得，故C错误； D．三个小球组成系统能量守恒，能量守恒定律ΔEp减＝ΔEk增 即 代入数据得，故D正确。 故选：BD。 （多选）14．（2025•沧州一模）如图所示，将质量均为m，带电荷量分别为qA、qB、qC的三个带电小球A、B、C放置在光滑水平面上，所构成的三角形边长分别为a、b、c。初态由静止释放后，在库仑力的作用下，之后的运动过程中三个小球所构成的三角形各边一直保持与初态平行，小球半径较小，小球之间库仑力始终遵守库仑定律。下列说法正确的有（　　） A．当三角形面积变为初态的9倍时，A球的加速度变为初态的 B．三个小球的加速度矢量和一直为零 C．三个小球的电荷量与三角形边长的关系应符合 D．三个小球的电荷量与三角形边长的关系应符合 【答案】BC 【详解】A.三个小球所构成的三角形各边一直保持与初态平行，当三角形面积变为9倍时，边长均为刚开始的3倍，根据库仑定律可知小球之间的库仑力均变为之前的，所以每个小球的加速度都将变成之前的，故A错误； B．将三个小球组成的系统看作一个整体系统所受外力矢量和为0，库仑力为系统内力，由于质量相等，故三个小球的加速度矢量和一直为零，故B正确； CD．对小球A、B分析，如图所示 由于小球所构成的三角形各边一直保持与初态平行，且小球质量相等，所以FCA、FCB在垂直AB方向上的分力必相等，则有 由几何关系得， 代入数据得 同理可得 代入数据 故C正确，D错误。 故选：BC。 题型3 库仑定律作用下的动态平衡问题 【必备知识】 1. 动态平衡是指处于平衡状态的物体所受的某个力（或者几个力）的大小或方向缓慢变化，是动态力， 但变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态。 2. 做题流程 分析先化“动”为“静”， 构造矢量三角形 【例题精讲】 15．（2026春•天宁区校级期中）如图所示，a、b是两个带有同种电荷的小球，用绝缘丝线悬挂于同一点，两球静止时，它们距水平面的高度相等，绳与竖直方向的夹角分别为α、β，且β＞α。若同时剪断两根细线，空气阻力不计，两球带电荷量不变，则（　　） A．a球的质量比b球的大 B．b球先落地 C．a球的电荷量一定比b球的大 D．a球飞行的水平距离等于b小球 【答案】A 【详解】A．两球静止时，所受库仑力大小相等，分别对两球进行受力分析，如图所示 则有 magtanα＝F，mbgtanβ＝F 解得 ， 由于β＞α，可知，a球的质量比b球的大，故A正确； B．同时剪断两根细线，两球体竖直方向仅仅受到重力作用，因此竖直方向做自由落体运动，由于两球的竖直高度相等，所以两球同时落地，故B错误； C．根据库仑定律，只能确定两球体间的库仑力大小相等，不能确定两球体电荷量的大小关系，故C错误； D．同时剪断两根细线，两球体水平方向仅受到库仑力作用，根据牛顿运动定律，a球的质量比b球的大，则a球的加速度小于b球。在细线断开，球体向下运动过程中，两球水平间距增大，加速度均减小，但a球水平方向上的加速度始终比b球的小，即a球在水平方向上的平均加速度比b球的小，根据可知，时间相等，则a球飞行的水平距离小于b小球，故D错误。 故选：A。 16．（2026•全国统招•一模拟）如图所示，电荷量相同的两个正点电荷分别固定在A、B两点，O为A、B连线的中点，P为A、B连线的中垂线上的点，其中PA、PB、AB的长度均为L。一电子由P点以大小为v的速度垂直于纸面向外射出，电子恰好绕O点做匀速圆周运动。已知静电力常量为k，电子的比荷为η。则两点电荷的电荷量均为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分析几何关系：已知PA＝PB＝AB＝L，O为AB中点，因此 △APO为直角三角形，可得圆周运动半径（即OP长度）： 计算P点合场强：设每个点电荷电荷量为Q，单个点电荷在P点产生的场强大小为： 两个场强方向分别沿A→P、B→P，两场强夹角为60°，由矢量合成规律（平行四边形定则），可知合场强沿OP背离O向上，大小为： 电子比荷，电子带负电，所受电场力指向O，提供匀速圆周运动的向心力，即 代入E合和，可得 整理解得：，故ABC错误，D正确。 故选：D。 17．（2026春•郑州期中）如图所示，在天花板上O点通过两根长度分别为l、2l的细绳悬挂两个带电小球P、Q，静止时两根细绳与竖直方向之间的夹角分别为53°和37°，已知sin37°＝0.6，sin53°＝0.8，则P、Q质量之比为（　　） A．3：2 B．2：3 C．9：4 D．4：9 【答案】A 【详解】设两个电荷间的库仑力为Fc，对P受力分析，根据几何关系，可得 同理，对物体Q分析，有 且sin∠OPQ＝2sin∠OQP，解得，故A正确，BCD错误。 故选：A。 18．（2026•合肥模拟）如图所示，固定在竖直面内半径为R的光滑绝缘半圆形轨道内部有A、B两带电小球，质量均为m，A球锁定在轨道最低点，B球可沿轨道滑动。初始时，A、B两球间距为R，由于缓慢漏电，B球逐渐下滑靠近A球，两球可视为质点，重力加速度为g，以下说法正确的是（　　） A．初始时，A、B两球间的库仑力大小为mg B．初始时，B球对轨道的压力大小为2mg C．漏电过程中，B球受轨道的支持力逐渐变大 D．漏电过程中，A、B两球间的库仑力逐渐变小 【答案】D 【详解】以B球为研究对象，其受重力G、A球对它的库仑力F库和光滑半球对它的弹力FN三力作用，作出力的矢量三角形，如图所示 由几何关系可知该矢量三角形和△ABO相似，则有 当B球静止时AB＝R 有F库＝FN＝mg，当B球缓慢向A球靠近时，由于G、R不变，AB减小，故FN不变、F库减小，故D正确，ABC错误。 故选：D。 19．（2026•合肥模拟）如图，距离为2l的a、b两点连线水平，MN是ab的竖直中垂线，带电量为Q的正点电荷固定在a点，另一点电荷固定在b点，质量为m的带电小球恰好静止在MN上的c点，ac与ab间的夹角为30°，重力加速度大小为g，静电力常量为k，则（　　） A．固定在b点的电荷带电量为2Q B．固定在b点的电荷可能带负电 C．带电小球的带电量为 D．将带电小球沿MN向上移动一段距离后释放，小球可能静止 【答案】D 【详解】AB、小球在c点受到重力mg、电荷a的静电力Fa和电荷b的静电力Fb作用而处于静止状态。 依据对称性与水平方向受力平衡条件，Fa与Fb在水平方向的分力必须等大反向，因为ac＝bc，所以两点电荷在c点产生的场强在水平分量相互抵消，可得Qa＝Qb＝Q。 如果电荷b带负电，则其对小球的水平作用力与a相同，小球无法在MN上维持平衡；同时，为了平衡重力，合电场力方向需向上，由于a为正电荷，因此小球必须带正电，且b也需为正电荷，故AB错误； C、根据几何关系，AO＝l，在三角形aOc中，。在竖直方向应用平衡条件，有，代入数据解得小球电荷量，故C错误； D、依据等量同种正点电荷连线中垂线的场强分布规律，场强从O点沿MN向上先增大后减小，在处达到最大值。 当前位置，而场强最大值位置约为0.707l，表明c点位于场强上升阶段。 由于c点为平衡点，在该点上方电场力先增后减，在最大场强点上方必然存在另一点c'，使得该处电场力再次等于重力，所以将小球向上移动一段距离后释放，它有可能在更高位置保持静止，故D正确。 故选：D。 （多选）20．（2026春•天山区校级期中）如图所示，一带电小球N用绝缘柄固定不动，将一个质量为m，电荷量为qM的带正电小球M用一根不可伸长的轻质绝缘丝悬挂起来，悬点O在小球N的正上方，当小球M静止时，丝线与竖直方向夹角θ＝30°，M、N两球连线刚好水平。丝线长度为L，重力加速度大小为g，静电力常量为k，两球均可视为点电荷，下列说法正确的是（　　） A．小球M受到的丝线拉力的大小为2mg B．小球M受到的库仑力的大小为 C．小球M所在处的电场强度的大小为 D．小球N的电荷量为 【答案】BD 【详解】AB．小球M受力如下 根据平衡条件可知库仑力F库＝mgtanθ＝mgtan30°mg， 丝线拉力Fmg，故A错误，B正确； C．小球M所在处的电场强度的大小为，故C错误； D．MN间库仑力 联立解得，故D正确。 故选：BD。 （多选）21．（2026春•蜀山区校级月考）在某光滑绝缘水平面上，三个完全相同的带电小球A、B、C，通过不可伸长的绝缘轻质细线相连，小球A、B间细绳的长度为2L，其他两个细绳的长度均为，如图甲所示。球质量为m，带电量为+q，可视为点电荷。初始时，小球均静止，细线拉直，现用一方向不变、大小变化的水平力作用在小球A、B间细绳的中点，方向与两球连线垂直。当水平力做功为W时，其大小为F1，A、B两球第一次相距，且A球的加速度方向与F1相同，如图乙所示，这段时间每条细绳处于绷直状态。已知两个带电量分别为q1、q2的点电荷相距为r时，它们的电势能为，其中k为静电力常量。则当F做的功为W时，下列说法正确的是（　　） A．B、C两球之间的细绳拉力大小为 B．B、C两球之间的细绳拉力大小为 C．小球A、B、C系统的动能为 D．小球A、B、C系统的动能为 【答案】AC 【详解】AB.则当F做的功为W时，A、B两球第一次相距，则A、B间的绳子中点两侧绳子的夹角为120°；对A、B间的绳子中点分析，因为其质量为0，由牛顿第二定律知其合力为0，则有 2Tcos60°＝F1 可以得到绳子对中点的拉力大小为 T＝F1 再对B受力分析，在水平面内其受两个绳子的拉力和其他两个球的静电力，因其在A、B连线方向上的合力为0，则有 解得B、C两球之间的细绳拉力大小为 故A正确，B错误； CD.对整个系统运用功能关系，F做的功等于系统电势能的增加量与动能增加量之和，即 W＝ΔEk+ΔEp 其中 则 故C正确，D错误。 故选：AC。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1 库仑定律的应用模型 题型1 同一直线上三个点电荷的平衡问题 1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】A 6．【答案】BC 7．【答案】AC 题型2 非共线力作用下带电体的平衡或动力学问题 8．【答案】B 9．【答案】D 10．【答案】B 11．【答案】A 12．【答案】B 13．【答案】BD 14．【答案】BC 题型3 库仑定律作用下的动态平衡问题 15．【答案】A 16．【答案】D 17．【答案】A 18．【答案】D 19．【答案】D 20．【答案】BD 21．【答案】AC 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $