山西祁县中学校2025-2026学年高一下学期4月月考数学试卷

**基本信息** 高一4月月考数学卷聚焦复数、向量、立体几何、解三角形核心内容，解答题融入救援情境（第17题）与布洛卡点文化（第19题），体现数学眼光观察现实、思维分析问题的素养，适配高一阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数象限、向量基底、线面关系|基础概念辨析，如第3题向量共线判定| |多选|3/18|复数性质、面面平行、锐角三角形|第10题结合图形考查空间想象，分层赋分| |填空|3/15|圆锥侧面积、解三角形、向量旋转|第14题向量旋转创新，关联数形结合| |解答|5/77|复数几何意义、向量共线、实际应用、面面平行、数学文化|第17题救援情境应用，第19题布洛卡点融合文化与推理，体现综合能力

2026年祁县中学高一4月份月考数学试题 时长：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设，则在复平面内对应的点位于(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.在下列各组向量中，可以做基底的是（ ） A. B. C. D. 3.已知是不共线的向量，且，则（ ） A. A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线 C. B,C,D 三点共线 D. A,C,D三点共线 4.以的虚部为实部、的实部为虚部的复数是(    ) A. B. C. D. 5.已知正三棱台的体积为，其上下底面边长分别为2和4，则这个正三棱台的高为(    ) A. B. C. 3 D. 6 6.已知三条互不相同的直线，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题：(1)若与m为异面直线，，则α∥β； (2)若α∥β，，则∥m； (3)若，，，∥，则m∥n． 其中真命题的个数为  (    ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 7.已知∆ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么∆ABC是(    ) A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 8.在中，已知AB=2,AC=5,∠BAC=60º,BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠NPM的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.设复数z满足(其中i是虚数单位)，则下列说法正确的是(    ) A. z的虚部为 B. z在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 10.如图，平面α∥平面β，A，C是平面α内不同的两点，B，D是平面β内不同的两点，E，F分别是线段AB，CD的中点，则下列说法正确的是(    ) A. 当AB，CD共面时，AC∥BD B. 当AB∥CD时，AC=BD C. 当AB=2CD时，E，F两点不可能重合 D. 当，CD是异面直线时，EF∥α 11.在锐角∆ABC中，角A,B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有( ) A. A=2B B. B的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是    ． 13.在∆ABC中，A=120º，AB=5，BC=7，则的值为           14.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P。已知平面内点A(1,2)，点B。把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到的点P的坐标为           四、解答题：本题共5小题，共77分。请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）当实数m取什么值时， 复平面内表示复数的点分别满足下列条件？ （1）位于第二象限 （2）位于第一象限或第三象限 （3）位于直线y=x上 16.（15分）已知向量，，，且向量与共线． （1）证明：； （2）求与夹角的余弦值； （3）若，求t的值． 17.（15分）海岸上建有相距海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为，，，． (1)救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少? (2)若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援? 18.（17分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E，F，G分别是PD，AC，PA的中点，平面平面证明： (1)EF∥ (2)平面EFG∥平面PBC． 19.（17分）布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利▪布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是∆ABC内一点，若∠PAB=∠PBC=∠PCA，则称点P为∆ABC的布洛卡点，角θ为∆ABC的布洛卡角。如图，在∆ABC中，记它的三个内角分别是∠CAB，∠ABC，∠BCA其对边分别为a，b，c，∆ABC的面积为S，点P为∆ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ，请完成以下问题： （1）若,AC=2,AB=1，求∠APC的大小及tanθ的值 （1） 在的条件下，解下列两个问题： ①若∆ABC的面积S=，求的值 ②若a=2，求∆ABC的面积S 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一四月月考数学答案 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D B A A C C B A BC ABD AC 填空题 12. 1 13. 14. （0，-1） 15.(1)复数在复平面内对应点为，因为在第二象限，所以横坐标小于0，纵坐标大于0 即 所以 ........5分 (2) 因为第一象限的点的横坐标大于0，纵坐标大于0；第三象限的点横坐标与纵坐标都小于0，所以可得 所以 .........5分 （3） 位于直线y=x上 所以解得 .........3分 16.(1)证明：因为向量，，与共线， 所以， 则，解得 所以，，............2分 因为， 所以．.................5分 解：由得， 所以， 即与夹角的余弦值为．......10分 解：因为，， 所以， 解得． ..........15分 17.解：解：(1)在∆ADC中，因为， 所以, 又，.........2分 所以由正弦定理可得，.......4分 即，解得AC=120， ......6分 所以A船距离雷达站C距离为120海里；............7分 (2)在∆DBC中，根据正弦定理可得，.........8分 即，解得，.......12分 在∆ABC中，由余弦定理可得，解得， ...... 14分 因为A船以30海里每小时的速度前往B处，而， 所以能在3小时内赶到救援． .......15分 18. 在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形， 可得是的中点．....1分 而是的中点，则，.....3分 又平面，平面，则平面，...5分 而平面平面，平面，所以.........8分 由G，F分别是PA，AC的中点，得， .....10分 又平面，平面，则平面．.....12分 由知，又平面，平面，则平面，......14分 又，，平面，............15分 所以平面平面．...........17分 19. 解：(1)因为在∆ABC中，,AC=2,AB=1，所以cos∠CAB= 又因为∠CAB为锐角，所以∠CAB=，所以∠ACB=......1分 由题意,∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ.............2分 所以∠PAC=,故∠APC= 又因为∠ABP=,故∠APB=.............3分 在∆APC中,由正弦定理得,所以 ......4分 在∆APB中,由正弦定理得,所以.......5分 所以,=,故tanθ=...........6分 (2) S= 因为,所以 即............8分 ①因为S=,所以........9分 在∆APB中, 在∆BPC中, 在∆APC中, 三式相加整理得 即............11分 ②...........12分 由①得 所以...........14分 故 整理得 即 所以，即a=b=c=2所以∠ABC= 所以.........17分 学科网（北京）股份有限公司 $