江西吉安市五所县二中2025-2026学年高二下学期期中联考数学试卷

**基本信息** 高二期中数学联考卷聚焦数列、导数、统计等核心模块，通过基础题巩固概念，综合题融合现实情境（如篮球运动调查）与创新方法（如牛顿切线法），考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|等差数列、导数图像、等比数列|基础概念辨析，如第2题由导函数图像判断原函数单调性| |多选题|3/18|导数运算、散点图相关系数、新定义“优值”|批判性思维，如第10题比较两图相关程度| |填空题|3/15|导数计算、等差数列绝对值项、牛顿切线法|创新应用，如第14题迭代求解零点近似值| |解答题|5/77|数列证明、导数单调性、统计与概率、极值范围|综合能力，如第18题结合独立性检验与概率递推，第19题讨论含参函数极值|

江西吉安市五所县二中2025-2026学年下学期高二期中考试联考数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知数列等差数列，，则（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 16 2. 是的导函数，若的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 3. 在等比数列中，若，前3项和，则公比的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.已知随机变量，若，则（   ） A．88 B．90 C．92 D．94 7. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. 12 D. 21 8. 数列为等比数列，其中，，，为函数的导函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列求导运算错误的是（   ） A． B． C． D． 10.以下是不同成对样本数据的散点图，则下列说法正确的是（    ） A．图（1）中成对样本数据呈负相关 B．图（1）中成对样本数据的线性相关程度比图（2）中强 C．图（1）中成对样本数据的相关系数大于图（2）中成对样本数据的相关系数 D．若从图（2）样本中抽取一部分，则这部分的相关系数不变 11.定义为数列的“优值”，已知某数列的“优值”，数列的前项和，则（   ） A．为等差数列 B．为递减数列 C． D．成等差数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则_______. 13. 已知等差数列{}的前n项和是，，，则数列{||}中值最小的项为第___项． 14.如图，在求解一些函数零点的近似值时，常用牛顿切线法进行求解．牛顿切线法的计算过程如下：设函数的一个零点，先取定一个初值，曲线在处的切线为，记与x轴的交点横坐标为，曲线在处的切线为，记与x轴的交点横坐标为，以此类推，每进行一次切线求解，我们就称之为进行了一次迭代，若进行足够多的迭代次数，就可以得到的近似值，设函数，令．进行三次迭代得到的________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，若（1）求数列的通项公式； （2）证明:数列为等差数列. 16. 已知函数，．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性． 17.已知数列的首项，的前项和为，且. (1)证明数列是等比数列；(2)令，求函数在点处的导数. 18.生活中运动对人体健康非常重要，为了了解不同年龄人群篮球运动的情况，随机调查了人，得到如下数据： 年龄 篮球运动情况 合计 经常运动 不经常运动 及以上 以下 合计 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为篮球运动的情况与年龄有关？ (2)某同学进行投篮训练，假设他第一次投中的概率是，后续如果前一次投中，则本次投中的概率为；如果前一次没有投中，则本次投中的概率为.记该同学第次投中的概率为，问：①求；②求证：数列为等比数列,并求出的通项公式. 附：. 19．已知函数，其中．(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)若存在两个极值点的取值范围为，求的取值范围． 期中联考答案与解析 一、单选题 1.A 在等差数列中，所以，所以； 故选：A. 2.C 由的图象可得，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；当时，，则单调递增.则仅有选项C符合以上要求.故选：C. 3.C 设等比数列的首项为，公比为，所以有方程组，解得或.故选：C． 4.B 因为，.所以对函数求导得：. 令，则，解得.又，所以.所以函数的单调递增区间为.故选：B. 5.C 因为函数，所以，又函数在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，则在上，，则.当时，不恒为零，也符合题意，所以实数的取值范围是.故选：C. 6.B 因为，所以，所以,故选：B. 7.A 正项数列满足，，所以，可得，所以是等差数列，首项为，公差为，所以，所以，故选：A． 8.D 由于数列为等比数列,,,则.由， 得， 则．故选：D. 二、多选题 9.ABD 对于选项A，是常数，，知A错误；对于选项B，，知B错误；对于选项C，，知C正确； 对于选项D，，知D错误.综上，故选ABD. 10.AB 对于选项A：图（1）中，随着增大，整体呈减小趋势，因此成对样本数据呈负相关，知A正确；对于选项B：图（1）中数据点更贴近直线，线性相关程度比图（2）（数据点分散）强，知B正确；对于选项C：图（1）的线性相关性强，负相关的相关系数接近−1；图（2）线性相关性弱，相关系数绝对值小（接近 0），因此图（1）的相关系数（负数，绝对值大）小于图（2）的相关系数（接近 0），知C错误；对于选项D：从图（2）中抽取部分样本，数据分布会改变，相关系数会变化，知D错误.综上,故选：AB. 11.AC 由．得①，所以当时，②，①-②得当时，，即当时，，当时，由①知，满足，所以， 数列是首项为2，公差为1的等差数列，知A正确，B错误．又，所以，知C正确．因为，，，所以 ，所以不构成等差数列，知D错误， 综上，故选：AC． 3、 填空题 12./ ，.故答案为：. 13.10 由题意得：，∴，，∴，，∴，故等差数列{}为递减数列，即公差为负数，因此的前9项依次递减，从第10项开始依次递增，由于，∴{||}最小的项是第10项.故答案为：10. 14. ,，,；， 曲线在处的切线方程为，化简得，令，即，解得，即，，，曲线在处的切线方程为，化简得；令，即，解得，即，，, 曲线在处的切线方程为，化简得令，即，解得，即；进行三次迭代得到的的值为.故填. 四、解答题 15.（1）；（2）证明见解析. 解:（1）设等差数列的公差为，由题意得，解得， 有，所以等差数列的通项公式为. （2）由(1)知，，所以，又，故数列是以2为首项，1为公差的等差数列. 16.（1）；（2）答案见解析. 解:（1）当时，，则，，又，在点处的切线方程为：，即. （2）由题意得：定义域为，；当时，，在上单调递增；当时，若，则；若，则；在上单调递增，在上单调递减；当时，若，则；若，则； 在上单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，上单调递增，在上单调递减. 17.解:（1）因为,所以,所以 ,又，,即，得恒成立,所以数列是公比和首项均为2的等比数列. （2）由（1）易得，所以， 所以， 所以；设, 所以， 所以， 则，又，所以. 18.（1）可认为篮球运动的情况与年龄有关；（2）①；②证明见解析,. 解：（1）零假设为：篮球运动情况与年龄无关， 由列联表数据可得， 因为，，， 所以根据小概率值的独立性检验，认为不成立， 即认为篮球运动与年龄有关，此推断犯错误的概率不超过. （2）①； ②第一次投中的概率，如果前一次投中，则投中的概率为；如果前一次没有投中，则投中的概率为.所以第次投中的概率. 化简得到，所以，计算首项，所以数列为首项是，公比为的等比数列.所以， 的通项公式是. 19.(1)；(2)答案见解析；(3). 解：（1）当时，，定义域为，所以， 所以，又，所以函数在处的切线方程为，即. （2）的定义域是，，， 令，则．①当或，即时，恒成立，所以在上单调递增．②当，即时，由，得或；由，得，所以在和上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）当时，在上单调递增，此时函数无极值； 当时，有两个极值点，即方程有两个正根， 所以，则在上是减函数．所以， 因为，所以 ，令，则， ，所以在上单调递减， 又，且， 所以，由，又在上单调递减，所以且，所以实数的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $