“奔驰定理”与三角形四心向量式课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

奔驰定理 四心问题 1 在三角形内部取一点，分别连接该点与三个顶点， 原三角形被分成三个小三角形，在涉及三角形面积 的计算时，可以利用“奔驰定理”来求解. 三角形的四心指的是三角形的重心、垂心、内心、外心 （等边三角形四心合一，称为中心）， 当在选择、填空题中出现四心时， 可以利用对应的性质公式解题. 2 1.“奔驰定理”的内容及证明 如图，设是内一点，记，， ， 则 . 【证明】如图②,延长与相交于点,则 , . , ， 3 1.“奔驰定理”的内容及证明 如图，设是内一点，记，， ， 则 . ， . 心中有数——在大题中如果要用“奔驰定理”解题需给出证明步骤.不过此类题一般多出现在选择或填空题中，不需要证明，直接使用结论即可. 4 2.三角形的重心——三角形三条中线的交点 （1）重心的基本性质 ①顶点与重心的连线平分该顶点的对边（或者说过对边的中点）. ②重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为， 即重心将中线分成长度比为 的两段. ③重心和三角形三个顶点的连线组成的三个小三角形面积相等. ④在平面直角坐标系中，重心的坐标为， 其中, , . 5 （2）重心常见的向量表达式 设是的重心， 为平面内任意一点，则有以下结论： （若已知该表达式，则可推出是 的重心）； ； ③若动点满足或，， 则动点的轨迹一定经过 的重心 ；（,和向量一定过 的中点） ④若动点满足或，， 则动点 的轨迹一定经过的重心 . 6 3.三角形的垂心——三角形三条高线的交点 （1）垂心的基本性质 ①位置：锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外. ②顶点与垂心的连线与顶点的对边垂直. 7 （2）垂心常见的向量表达式 设为的垂心， 为平面内任意一点，则有以下结论： ① ；（ ） ② ； ③若动点满足或 ，， 则动点 的轨迹一定经过的垂心 . 8 4.三角形的内心——角平分线的交点（或内切圆的圆心） 设是的内心，，，分别是内角，，的对边， 为平面内任意一点，则有以下结论： （1） ； （2）若动点满足或，， 则动点 的轨迹一定经过的内心 . 9 5.三角形的外心——三角形三边的垂直平分线的交点 设是 的外心，则有以下结论： （1） ； （三角形外心到三个顶点的距离相等） （2） ； （3）,, . 10 6.“奔驰定理”与三角形的四心（四心在三角形内部时） （1）当是 的重心（三角形三条中线的交点）时， . （2）当是 的内心（三角形三条角平分线的交点）时， . （3）当是 的外心（三角形三条垂直平分线的交点）时， . （4）当是 的垂心（三角形三条高线的交点）时， . 11 示例1 已知是内部的一点，， 则的面积与 的面积之比是( ) C A. B. C. D. 解析（方法一）取的中点，连接，如图，则 . 因为，所以，即， 所以 .设以为底边时，和的高分别为，，则 . 所以，即的面积与的面积之比为 . （方法二）由“奔驰定理”得，所以 . 13 示例2 在所在平面内有两点，，满足， ，则点的轨迹一定经过 的( ) A A. 重心 B. 垂心 C. 内心 D. 外心 解析 （方法一） ， ,结合三角形重心的向量表达式， 可知点的轨迹一定经过 的重心. （方法二）设线段的中点为 ，， ， ， ，又,有相同的起点，,, 三点共线. 是的中线， 点的轨迹一定经过 的重心. 14 The End 37 $