北京市房山区2025-2026学年高三年级第二次综合练习数学试题

**基本信息** 房山区2026高三二模数学卷以青铜峡一百零八塔、古代粮仓等文化素材及世界读书日调研为情境，融合函数、几何、概率等核心知识，通过新定义向量等创新题型，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析能力，适配高考二模综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|集合、复数、函数性质等|第5题以西夏塔群为背景考查数列求和，体现文化传承| |填空题|5/25|抛物线、解三角形、导数应用等|第13题古代粮仓容积最值问题，强化数学建模| |解答题|6/85|三角函数、概率统计、立体几何等|第17题结合读书日调研考分布列，第21题新定义向量考查创新思维，梯度符合高考命题趋势|

房山区2026年高三年级第二次综合练习 数学 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知全集，集合，则 （A） （B） （C） （D） （2）已知复数满足，则的共轭复数 （A） （B） （C） （D） （3）在的展开式中，的系数为 （A） （B） （C） （D） （4）下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是 （A） （B） （C） （D） （5）宁夏青铜峡一百零八塔，始建于西夏．塔群依山而建，共行，总数恰为座，自上而下每行的塔数构成数列．已知的前项和，从第项到第项构成等差数列，，则 （A） （B） （C） （D） （6）已知，，点满足，为坐标原点，则直线的斜率的取值范围是 （A） （B） （C） （D） （7）在中，“”是“”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （8）设点，若在圆上存在点，使得，则的最大值为 （A） （B） （C） （D） （9）已知函数 若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是 （A） （B） （C） （D） （10）设，数列满足，，，则 （A）当时， （B）当时， （C）当时， （D）当时， 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）抛物线的准线方程为 ． （12）在中，，则=_______；若，为钝角，则边的一个取值为 ． （13） 我国古代圆柱形粮仓设计精巧，充分体现了古人的工程智慧．某仿古粮仓设计要求 圆柱底面直径与高之和为12，若不计壁厚，则该粮仓容积的最大值为 ． （14） 已知矩形中，，．若点为中点，则 ； 若点满足（），则的取值范围是 ． （15） 设集合，， 给出下列四个结论： ① 且 ； ② 且 ； ③ 若，则且； ④ 若且，则． 其中正确结论的序号是 ． 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题13分） 已知函数． （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ） 从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，使得函数存在，求的单调 递增区间． 条件①：函数的最大值为； 条件②：函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为； 条件③：函数满足． 注：如果选择的条件不符合要求,第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． （17）（本小题13分） 4月23日是世界读书日．某市调研小学生阅读状况，得到男生、女生最喜爱的一种阅读内容的频率分布如下图： 假设不同学生的选择相互独立．用频率估计概率． （Ⅰ）从该市小学生中随机抽取名男生，估计他最喜爱的阅读内容为科学类（包括自然科学和社会科学）的概率； （Ⅱ） 从该市小学生中随机抽取名男生和名女生，记这人中最喜爱的阅读内容为漫画的人数为，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）从该市小学生中随机抽取名男生，用“”表示他最喜爱的阅读内容为科学类，“”表示他最喜爱的阅读内容不是科学类；从该市小学生中随机抽取名女生，用“”表示她最喜爱的阅读内容为科学类，“”表示她最喜爱的阅读内容不是科学类．判断方差与的大小．（结论不要求证明） （18）（本小题14分） 如图，三棱柱中，，，平面平面． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求平面与平面的夹角的余弦值； （Ⅲ）设点为线段上任意一点（且不与点，重合）， 求证：直线与平面相交． (19)（本小题15分） 已知椭圆的左、右顶点分别为，，直线与椭圆交于点， ． （Ⅰ）求椭圆的标准方程与离心率； （Ⅱ）若直线与圆交于点，，直线，与椭圆的另一个交点分别为点，，求证：对任意，直线过定点． （20）（本小题15分） 已知函数,． （Ⅰ）若曲线与直线相切，求切点的坐标和实数的值； （Ⅱ）若对任意实数，都存在实数，使得，求的取值范围； （Ⅲ） 对给定的，任意，直线与曲线，的交点 分别为，求的最小值． （21）（本小题15分） 由个实数组成的有序数组称为维向量．维向量，，当且仅当时，．对任意，定义：；． 设集合为偶数． 令集合存在，使得，． （Ⅰ）写出集合的所有元素； （Ⅱ）判断与是否属于集合， 并说明理由； （Ⅲ）若，求证：“”的充要条件为 “为偶数，且”． 女生 文学 自然科学 社会科学 艺术生活 漫画 0.3 0.17 0.18 0.15 0.2 男生 文学 自然科学 社会科学 艺术生活 漫画 0.15 0.23 0.22 0.1 0.3 高三数学第 1 页 （共 11 页） 学科网（北京）股份有限公司 $房山区2026年高三年级第二次综合练习 数学参考答案 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分) (1)D (2)B (3)A (4)C (5)B (6)B (7)C (8)A (9)D (10)A 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） (11)y=-1 (12)3 2(答案不唯一) (13)64元 (14)2[0,1] (15)②③ 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题13分) 1 解：(1)因为f0)=sin(-乃)+acos0=a- 6 2' 3 所以由f(0)=1,得a= 2 (II)f(x)=sinoxcos-cosoxsin+acosox 6 6 =V sinx+(a--)cosox 2 选①②： 因为f的最大值为1，所以)+a-=1,解得a=0或a=1. 又因为a>0,所以a=1.所以=5、 inox+cos@x=sin(x+). 6 因为函数田图象的两个相邻对称中心之间的距离为，所以=，所以7 所以2江=元.又因为0>0，所以0=2. @/ 、 所以f(x)=sin(2x+). 6 高三数学第1页（共7页） 由2x-≤2x+君≤26x+keZ,解得红-智≤x≤红+名keZ. 2 6 6 所以的单调递增区间为红-子红+keZ. 选②③： 因为f(x)满足f(x)+f(-x)=0, 所以nar+a-oom+5am+a-oa=0, 1、 2 即a-分cos0x=0恒成立，所以a=片所以f= sinox. 2 为函数了()图象的两个相邻对称中心乙间的距离为所以：，所以了一 因为7=2红，所以2江=元， 因为0>0，所以0=2. 所以f)= -sin 2x. 2 由2-受≤2x≤2红+受keZ.解得红-子5≤红+行keZ 所以代)的单调递塔区间为k红-子k红+孕，kcZ. (17)(本小题13分) 解：(I)记事件B为“从该市小学生中随机抽取1名男生，他最喜爱的阅读内容为自然科学”， 记事件C为“从该市小学生中随机抽取1名男生，他最喜爱的阅读内容为社会科学”， 由图可知，P(B)=0.23,P(C)=0.22. 记事件A为“从该市小学生中随机抽取1名男生，他最喜爱的阅读内容为科学类”， 则P(4)=P(B)+P(C)=0.23+0.22=0.45. (Ⅱ)5的取值范围为0,1,2,3}. “从该市小学生中随机抽取1名男生，他最喜爱的阅读内容为漫画”的概率为0.3， “从该市小学生中随机抽取1名女生，她最喜爱的阅读内容为漫画”的概率为02. P(5=0)=(1-0.3)1-0.2)1-0.2)=0.448: 高三数学第2页（共7页） P5=1)=0.3×0.8×0.8+0.7×0.2×0.8+0.7×0.8×0.2=0.416; P(ξ=2)=0.3×0.2×0.8×2+0.7×0.2×0.2=0.124； P(5=3)=0.3×0.2×0.2=0.012. 所以专的分布列为： 0 1 2 3 0.448 0.416 0.124 0.012 数学期望E5=0×0.448+1×0.416+2×0.124+3×0.012=0.7. 法二：E5=1×0.3+2×0.2=0.7. (II)DX>DY. (18)(本小题14分) 解：(I)因为平面ABC⊥平面AA1B1B,面ABC面AA,B,B=AB,AB⊥BC,BCC面ABC, 所以BC⊥平面AAB,B. 又因为AA1C平面AAB,B,所以A1A⊥BC. (Ⅱ)取AB的中点O.又因为AA=AB=AB, 所以AO⊥AB. 又因为平面ABC⊥平面AA,B:B,所以A,O⊥平面ABC. 如图建立坐标系O-z,则BC1x轴. 则A(0,-1,0),B(0,1,0),C(2,1,0), A1(0,0,√3)，B1(0,2,√3)，C1(2,2,V3), AB=(0,1,-V5),AC1=(2,2,0). 因为A1O⊥平面ABC,所以平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1). 设平面4CB的一个法向量为n=(K,y,),则”上4A,所以-5：=0， n⊥AC: 2x+2y=0. 令z=1,得n=(-√5,3,1). 高三数学第3页（共7页） 设平面ACB与平面4BC的夹角为0，则cos0=cos<m,n=mm-,1。-5 |mln|1xV万7 ()设E(0,y,0),-1<y<1,则CE=(-2,y-1,0). 由（Ⅱ）知平面AC,B的法向量为n=(-√3，√3,1). 因为nCE=-√5×(-2)+√5×(y-1)+0=3(y+1)≠0， 所以直线CE与平面A,C,B相交. (19)(本小题15分) 解：）由题意得a=2,+1,所以62=4 3 所以椭圆E的标准方程为：+3少 4*41 因为2=a-分-所以离心率e=名-石 a 3 y=x, (Ⅱ)由 +=得x=y=2 ,或x=y=2, 2 2 不妨设F(m,m),G(-m,-m),因为0<r<b,所以m≠0，m≠-2. m+2 n=-2m 设直线AF的方程为y=kx+n,则k=m m+2 由y=+,得k2+x2+6+3n2-4=0. x2+3y2=4, 6知=-m+2m+2.所以xw-6n+2+6-m+2m+2 所以-2+xw=3k2+13k2+1 3k2+1m2+m+1 所以yM=kxM+n= m2+2m m2+m+1 m2+2m-2 设点P2,2),则kpw=-2-m2+m+1 m2+2 xw-2-m2+2m+2-2 3m2。 m2+m+1 同理kN=m)+2_m+2.所以太p=kpr 3(-m)23m2 所以P,M,N三点共线. 所以对任意r∈(0，b),直线MN过定点P(2,2). 高三数学第4页（共7页） (20)(本小题15分) 解：(I)设切点P(xo,yo),则yo=lnx,yo=kx 由f)=1,得切线斜率k=fx)=1。 xo yo=Inxo, 由=kxo,得y,=1,x0=e,k= kx0=1 所以切点P的坐标为(e,1),k=I e (IⅡ)设F(x)=f(x)-g(x)=lnx-kx, 则F=-g=-k=r+,xe0,+m列). 当k≤0时，-kx+1>0,F'(x)>0,Fx)的单调递增区间为(0，+o). 对任意实数M,都存在实数x。=eM+,使得f(xo)-g(xo)=lnx。-kx。≥M+1>M, 当k>0时， 由F)≥0解得0<x<安，F)的单词端蜡区间为0，之. 由F()<0解得x>F心)的单调递减区间为(，+o), 所以在(0，+∞)上，F()≤F()=-lhk-1. 存在M=-lnk-1,对任意x∈(0，+o),f(x)-g(x)=F(x)≤M，不符合题意. 所以k的取值范围为(-0,0]. (I)因为y=t与y=lnx,y=kx的交点分别为A,B, 所以可设A(x1,),B(x2,t),则t=lnx1,t=kx2: 所以=--=-x=n-n-1G>0. 由()知当k>。时，F(=hx-c在(0，上单调递增，在(+)上单调递减. 所以在区间(0，+o)上，F(x)=lnx-kx≤F(白)=-lnk-1. 高三数学第5页（共7页） 因为k>,所以-nk-1<0. 所以nx-kx≥lnk+1. 所以8。之h≥血，当且仅当专时取等马。 k 所以当=。，即1=-n长时，48的最小值为H)=h长 k (21)（本小题15分) 解：(I)集合A的所有元素： a1=(0,0,0,0,1,1,1,1),0g=(1,1,1,1,0,0,0,0), a2=(1,1,0,0,1,1,0,0),a7=(0,0,1,1,0,0,1,1), a3=1,0,1,0,1,0,1,0),6=(0,1,0,1,0,1,0,1), a4=(1,0,0,1,0,1,1,0),a5=(0,1,1,0,1,0,0,1). (IⅡ)B∈B,YEB. 因为B=-a1+a2+a3+(-a5), 所以BeB. 记a,=(x1x2…x8）∈A,i=1,2,…,8, 假设存在k∈Z,i=1,2,…,8,使得y=ka1+ka2+…+kag,则 10=k1x1+k2x21++kgx81, 9=kx12+k2x22++kgx82, 7=kx13+k2x23++kgxg3, 5=k1x14+k2x24++kgxg4. 相加，得 31=k1(x1+x12+x13+x14)+k2(x21+x2+x23+x24)++kg(x81+x82+x83+x84). 因为x1+x2+x3+x4(i=1,2,…,8)为偶数，等式左右两端奇偶性相反，矛盾. 所以y生B. (Ⅲ)必要性 高三数学第6页（共7页） 因为Q=伯，b,eB,所以存在6∈Z使得a=》ka,=∑】 所以6=∑n=12…8. 所以6+6+6+b-∑+22+立k+24-立+2++x). 又因为x1+x2+x3+x4为偶数，k∈Z(i=1,2,,8),所以b+b+b+b4为偶数.。 因为么+6=立+立。=立k(+)=立k,同理6+么=立k,m=2,3,4. 所以b+b=b2+b,=b+b。=b+b. 充分性： 因为b+b2+b+b,为偶数，且b+b=b2+b,=b+b。=b,+b,b,∈N,i=1,2,…,8, 设b+b,+b+b4=2S,S∈Z,b+b=b2+b,=b+b。=b,+b=K,K∈Z. 因为a=(K-S)a1+(S-b3-b4)a2+(S-b2-b4)a3+b4a4+(S-b)a5, 且K-S,S-b3-b4,S-b2-b4,b4,(S-b)∈Z, 所以a∈B. 高三数学第7页（共7页）