精品解析：陕西韩城市象山中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试题

象山中学2025～2026学年度第二学期期中考试 高二数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知数列为等差数列，且，则（ ） A. 11 B. 22 C. 44 D. 88 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质求解. 【详解】根据等差数列的性质可得，所以． 2. 在等比数列中，，，则公比（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列通项公式结合题设可得答案. 【详解】由题，则，故D正确． 3. 已知数列的首项，对任意，都有，则当时， (　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】令得到，故数列是等比数列， ， 故答案为：A． 4. 数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的通项公式为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用观察归纳法求出通项公式. 【详解】依题意，， ，…， 所以所求通项公式为. 故选：C 5. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，令导函数为负，求解不等式即可确定函数的单调减区间. 【详解】因为函数，求导得， 令，因此，函数的单调减区间是，故A正确. 6. 已知函数的导函数为，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，. 7. 2025年哈尔滨亚洲冬季运动会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示，综合考虑安全性和趣味性，在滑道最陡处点处的切线方程是，则（ ） A. －1 B. －2 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】因为切线方程为，故且， 故. 8. 行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（ ） A. 31 B. 63 C. 127 D. 255 【答案】C 【解析】 【分析】根据行列式定义及等比数列的通项公式求出公比，再由求和公式得解. 【详解】根据题意可得：， 因为数列是等比数列，，则化简得， 因为，所以. 所以. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B. 等比数列是递增数列，则的公比 C. 若数列的前项和为，则数列是等差数列 D. 若为等比数列，为其前项和，则，，，仍为等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数列中特殊常数列的性质，等比数列单调性的判断方法，利用前项和求出通项证明等差数列，和等比数列前项和的性质，判断各选项正误. 【详解】非零常数列，后一项减前一项是0， 后一项除前一项是1，所以A正确. 等比数列单调递增则由或，所以B错误. 由可知当时， 且，符合等式，所以数列通项为，则，所以是等差数列，所以C正确. 当，为偶数时， 可知不满足等比数列各项不为0的要求，所以D错误. 故选：AC. 10. 已知函数，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【详解】已知函数，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时等号成立，所以函数在上为增函数； 由，得. 因为函数在上为增函数，由可得. 故不等式的解集为，ACD都对，B错. 11. 已知，则下列说法正确的有（ ）． A. 函数有唯一零点 B. 函数的单调递减区间为 C. 函数有极大值 D. 若关于x的方程有三个不同的根，则实数a的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【详解】，定义域为，则 A选项，令，得，则当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，当，；当，， 所以函数只有1个零点，且此时，所以A选项正确； B选项，由A选项解析可知，函数的单调递减区间为，所以B选项错误； C选项，由A选项解析可知，函数有极大值，所以C选项正确； D选项，由A选项解析可知，关于x的方程不可能有三个根，所以D选项错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列满足，，则______． 【答案】6 【解析】 【详解】，故，所以， 所以 13. 若直线与曲线相切，则实数的值为___________. 【答案】5 【解析】 【分析】设直线与曲线相切于点，进而结合导数几何意义求得切点为，再代入直线方程求解即可. 【详解】设直线与曲线相切于点， 由得， 所以，整理得，解得或（舍去）， 所以，即切点为 所以将代入直线方程得，解得． 14. 某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为________.（参考数据：） 【答案】3937万元 【解析】 【分析】由题意写出数列递推公式，利用构造法求得数列的通项公式，利用等比数列的求和公式，可得答案. 【详解】设该公司在2024年，2025年，...，2033年的销售额（单位：万元）分别为. 依题意可得，则， 所以数列是首项为90，公比为1.3的等比数列， 则，即， 则， 故从2024年到2033年该产品的销售总额约为3937万元. 故答案为：万元. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用降序相减求解即可； （2）利用裂项相消法即可得解. 【小问1详解】 ①， 当时②， ①-②得， 当时，，符合上式， 综上：，. 【小问2详解】 ， 则 . 16. 已知数列的前n项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前n项和，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知递推关系得出递推关系，进而求出，从而求出数列通项公式； （2）先求出，再利用错位相减法即可． 【小问1详解】 已知， 当时，有， 两式相减得， 又， 对任意，都有，即是以2为公差的等差数列， ． 【小问2详解】 由（1）得，则， 两边同乘以得， 两式错位相减得： ， ． 17. 已知函数． （1）求函数的单调区间． （2）求函数的极值. 【答案】（1）函数的增区间为和，减区间为 （2）极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）利用导数的正负性研究函数单调性； （2）利用函数单调性求极值. 【小问1详解】 因为， 则， 令，可得或，列表如下： 3 0 0 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为和，减区间为； 【小问2详解】 由（1）可知， 函数的极大值为， 极小值为. 18. 已知函数． （1）求函数在上的最大值和最小值． （2）过点作曲线的切线，求此切线的方程． 【答案】（1）的最小值是，的最大值是；（2）或 【解析】 【分析】（1）利用导数，通过导数的符号判断原函数的单调性，然后根据单调性进行求最值，可得结果. （2）假设切点，根据曲线在某点处导数的几何意义，可得切线的斜率，然后利用点斜式求出切线方程，最后代点求值，可得结果. 【详解】（1）， ， 令，解得：或， 令，解得：， 故在递增，在递减， 而，，， 的最小值是，的最大值是； （2）， 设切点坐标为， 则切线方程为， ∵切线过点， ∴， 化简得， ∴或． ∴切线的方程：或． 【点睛】本题考查利用导数求函数在区间的最值，以及过某点曲线的切线方程，理解曲线在某点处导数的几何意义，属基础题. 19. 已知函数，． （1）证明：对任意，均有． （2）若曲线与直线有3个不同的交点，求实数c的取值范围． 【答案】（1），， 令 则，令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，所以，即：. （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 令，解得：或 ，令，解得：， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 由函数单调性可知：在处取得极大值，且极大值为， 在处取得极小值，且极小值为， 又 时，，时,， 若曲线与直线有3个不同的交点，则需介于极大值和极小值之间， 所以，即的取值范围是： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 象山中学2025～2026学年度第二学期期中考试 高二数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知数列为等差数列，且，则（ ） A. 11 B. 22 C. 44 D. 88 2. 在等比数列中，，，则公比（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列的首项，对任意，都有，则当时， (　　) A. B. C. D. 4. 数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的通项公式为（ ）. A. B. C. D. 5. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的导函数为，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 7. 2025年哈尔滨亚洲冬季运动会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示，综合考虑安全性和趣味性，在滑道最陡处点处的切线方程是，则（ ） A. －1 B. －2 C. 1 D. 2 8. 行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（ ） A. 31 B. 63 C. 127 D. 255 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B. 等比数列是递增数列，则的公比 C. 若数列的前项和为，则数列是等差数列 D. 若为等比数列，为其前项和，则，，，仍为等比数列 10. 已知函数，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 不等式的解集为 11. 已知，则下列说法正确的有（ ）． A. 函数有唯一零点 B. 函数的单调递减区间为 C. 函数有极大值 D. 若关于x的方程有三个不同的根，则实数a的取值范围是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列满足，，则______． 13. 若直线与曲线相切，则实数的值为___________. 14. 某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为________.（参考数据：） 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和. 16. 已知数列的前n项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前n项和，求． 17. 已知函数． （1）求函数的单调区间． （2）求函数的极值. 18. 已知函数． （1）求函数在上的最大值和最小值． （2）过点作曲线的切线，求此切线的方程． 19. 已知函数，． （1）证明：对任意，均有． （2）若曲线与直线有3个不同的交点，求实数c的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $