4.1因式分解（导学案）数学新教材北师大版八年级下册

4.1因式分解 导学案 1.理解并掌握因式分解的概念，会判断变形是否为因式分解. 2.理解因式分解与整式乘法的互逆关系，并能运用其解决问题. 学习重点：因式分解的概念认知与形式判断. 学习难点：准确运用互逆原理进行灵活转化. 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： ①你能把-99化成几个整数乘积的形式吗？类似地，你能把-a化成几个整式的乘积的形式吗？ 我们已经学习过整式的乘法运算. 本章将学习如何把一个多项式化为几个整式乘积的形式. 你将体会这一过程与整式乘法的联系，感受这种变形对解决相关问题的意义，进一步提升思维品质和运算能力. ②某中学决定购买m台电脑和m套桌椅，现在知道每台电脑的单价是a元，每套桌椅的价格是b元，小明说：“总共需要(ma+mb)元.”小华说：“总共需要m(a+b)元”. 新知自研：自研课本第111--112页的内容． 【学法指导】 自研课本自研课本第111--112页的内容，思考： ●探究一：因式分解的定义 ◆1.问题思考 -99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴进行交流. 小明是这样做的： 所以，-99能被100整除. 在这里，解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式. 思考：-99还能被哪些正整数整除? ◆2.尝试交流 你能把-a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流. 在这里，解决问题的关键是把一个整式化成了几个整式的积的形式. ◆3.观察思考 观察下列拼图过程，写出相应的代数式. 解：ma+mb+mc=m(a+b+c) 解：+2x+1= ◆4.交流讨论 观察上面得到的等式，等号两边的代数式有什么不同？ 学生思考：等式左边都是多项式，等式右边都是整式的积 像这样的变形叫做因式分解，你能总结出因式分解的定义吗？ ◆5.练一练 下列各式由左到右的变形中,属于因式分解的是(　　) A.a(m+n)=am+an B.--=(a-b)(a+b)- C.10-5x=5x(2x-1) D.-xy+= 解：C ◆6.知识归纳 ①因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式. 其中，每个整式都叫做这个多项式的因式. ②判定一个变形是因式分解的条件： (1)等式左边是多项式； (2)等式右边是积的形式； (3)等式右边的因式全是整式. ●探究二：因式分解与整式乘法的关系 ◆1.操作思考 ①计算下列各式: (1)3x(x-1)= , (2) m(a+b+c) = , (3)(m+4)(m-4)= , (4)= . 解：（1）3-3x，（2）ma+mb+mc，（3） -16，（4）-6y+9 发现：上面的计算是整式乘法 ②根据左面的算式进行因式分解: (1) 3-3x=_________; (2) ma+mb+mc=_________; (3) -16=__________; (4) -6y+9=________. 解：（1）3x(x-1),（2）m(a+b+c)，（3）(m+4)(m-4)，（4） 发现：上面的变形是因式分解 ③因式分解与整式乘法有什么关系？请举例说明. 例如:如图，一块草坪被分成三部分，用不同的方式表示这块草坪的面积。 ◆2.知识归纳 因式分解与整式乘法的关系： 因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式.因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式. ◆3.练一练 对于:①x-3xy=x(1-3y),②(x+3)(x-1)=+2x-3从左到右的变形,下列表述正确的是(　　) A.都是因式分解 B.都是乘法运算 C.①是因式分解,②是乘法运算 D.①是乘法运算,②是因式分解 解：C 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 例1 下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　) ①--1＝(x+y)(x-y)-1； ②+x＝x(+1)； ③＝-2xy+； ④-9＝(x+3y)(x-3y). A.1个 　　　　 B.2个 　　　　C.3个 　　　　　 D.4个 【解析】①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解.故选B. 例2 若多项式+ax+b分解因式的结果为a(x﹣2)(x+3)，求a，b的值. 【分析】根据多项式+ax+b分解因式的结果为a(x﹣2)(x+3)，可得公因式是 a ，常数项的积是 b . 【解答】解：∵+ax+b=a(x﹣2)(x+3) =a+ax-6a. ∴a=1，b=﹣6a=﹣6. 方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较即可. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨因式分解的定义，以及因式分解与整式乘法的关系； B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，强调易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．下列各式，从左到右的变形是因式分解的是( ) A.3x+3y−5＝3(x+y)−5 B.(x+1)(x−1)＝−1 C.−＝ (x+)(x−) D.x+y＝x(1+) (x≠0) 解：C． 2. −(3a+b)(3a−b)是下列某个多项式因式分解的结果，这个多项式是( ) A.9−　　　　　　　B.+9 C.−9　　　　　　　D.−9− 解：C 3. 把−x因式分解，正确的结果是( ) A.+xy(x−y)　　　　 　　　B.x(−) C.x(x−)　　　　　　　　　　D.x(x+y)(x−y) 解：D 4.如果多项式-mx-35可因式分解为(x-5)(x+7),那么m的值是(　　) A.2 B.-2 C.12 D.-12 解：B 5.利用因式分解简便计算57×99+44×99-99,正确的是 (　　) A.99×(57+44)=99×101=9999 B.99×(57+44-1)=99×100=9900 C.99×(57+44+1)=99×102=10098 D.99×(57+44-99)=99×2=198 解：B 6.对于(a-b)(x-y)=ax-ay-bx+by从左到右的变形是______，从右到左的变形是______. 解：整式乘法 ,因式分解 7.如图所示，将两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形(它的直角边等于前两个直角三角形的斜边)拼接成一个梯形,请根据拼接前后图形面积的关系写出一个多项式的因式分解:_______________. 解：ab+(a2+b2)=(a+b)2 8.完成下列题目： （1）x(x-2)＝_______， （2）(x+y)(x-y)＝_______， （3）＝________. 解：-2x,-,+2x+1 根据上面的填空，解决下列问题： （1）-2x＝(    )(          ), （2）-＝(          )(           ), （3）+2x+1＝. 解：x,x-2;x+y,x-y;x+1 9.小明在解答“因式分解:(1)3-9x+3;(2)9-4.”这道题目时,是这样做的: 解:(1)3-9x+3=3(-6x+1). (2)9-4=(3x+2)(3x-2). 请你利用因式分解与整式乘法的关系,判断小明分解得对不对. 解: (1)因为3(-6x+1)=3-18x+3≠3-9x+3, 所以小明分解得不对. (2)因为(3x+2)(3x-2)=-4=9-4, 所以小明分解得对. 10. 通过计算说明+能否被30整除. 解: 原式=+=+5× =6× =6×5×59 =30×59. ∵30×59能被30整除, ∴+能被30整除. 11.若多项式-mx+4可分解为(x-2)(x+n)，求mn的值. 解: 因为-mx+4=(x-2)(x+n)=+(n-2)x-2n, 所以-m=n-2，-2n=4, 解得m=4，n=-2, 则mn=-8. 题型一：因式分解的意义 1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各项进行判断即可． 【详解】解：A、 ，是因式分解，但与D选项相比，D选项的因式分解更为彻底，是最佳选项，故A不符合题意； B、右边结果不是积的形式，不符合题意； C、是多项式与多项式的乘法运算，不符合题意； D、属于因式分解，符合题意． 故选：D． 2．下列从左到右的变形中是因式分解的是（　　） A． B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2 C．x2﹣16y2＝（x+4y）（x﹣4y） D．x2﹣y2﹣1＝（x+y）（x﹣y）﹣1 【答案】C. 【分析】把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，就是因式分解，通过分析各项中，哪项等式右边为乘积的形式，即可解答题目． 【详解】解：A、，等式的右边不是几个最简整式的乘积的形式，不是因式分解，不符合题意 B、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； C、x2﹣16y2＝（x+4y）（x﹣4y），是因式分解，符合题意； D、x2﹣y2﹣1＝（x+y）（x﹣y）﹣1，等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查因式分解的定义，解题关键在于需要掌握因式分解的定义． 3．下列变形中是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了因式分解的定义，理解定义“将一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做因式分解．”是解题的关键． 【详解】解：A、是整式运算，故不符合题意； B、是因式分解，故符合题意； C、不能进行因式分解，故不符合题意； D、不能进行因式分解，故不符合题意； 故选：B． 4．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．x2+2x+2＝x（x+2）+2 B．2xy2＝2x⋅y C．（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1 D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） 【答案】D 【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．x2+2x+2＝x（x+2）+2，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； B．2xy2＝2x⋅y，等式的左边不是多项式，不是因式分解，故本选项不符合题意； C．（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1，从左到右的变形是整式乘法运算，不是因式分解，故本选项不符合题意； D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了分解因式的定义，能熟记分解因式的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式． 5．下列各恒等变形属于因式分解的是（　　） A．（x﹣3）（x+3）＝x2﹣9 B．a2+2ab+b2＝（a+b）2 C．3x2﹣5x+1＝x（x﹣5）+1 D．x2﹣9+x＝（x+3）（x﹣3）+x 【答案】B 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积，可得答案． 【详解】解：A、是整式的乘法，故A错误； B、把一个多项式转化成几个整式乘积，故B正确； C、没把一个多项式转化成几个整式乘积，故C错误； D、没把一个多项式转化成几个整式乘积，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积． 题型二：利用因式分解求值 6．将因式分解后得，那么n等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】先求出，根据将因式分解后得，即可得出，即可得出答案． 【详解】解：∵ ， 又∵将因式分解后得， ∴， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，多项式乘法，解题的关键是求出． 7．多项式x2+mx﹣8因式分解可得（x﹣2）（x+4），则m＝　 　． 【答案】2． 【分析】利用十字相乘法的结果特征判断即可求出m的值． 【详解】解：∵多项式x2+mx﹣8因式分解的结果为（x+4）（x﹣2）， 而（x+4）（x﹣2）＝x2+2x﹣8， ∴m＝2， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了十字相乘法和整式的乘法，熟练掌握十字相乘法和整式的乘法是解本题的关键． 8．若能分解成两个一次因式的积，则整数k= . 【答案】 【分析】根据题意设多项式可以分解为：（x+ay+c）（2x+by+d），则2c+d=k，根据cd=6，求出所有符合条件的c、d的值，然后再代入ad+bc=0求出a、b的值，与2a+b=1联立求出a、b的值，a、b是整数则符合，否则不符合，最后把符合条件的值代入k进行计算即可． 【详解】解：设能分解成：(x＋ay＋c)（2x＋by＋d)， 即2x2+aby2＋（2a＋b）xy＋（2c＋d)x＋（ad＋bc)y＋cd， ∴cd=6， 9．把多项式分解因式得，求a、b的值． 【答案】 【分析】根据整式的乘法运算将化为，根据可知，，求出a、b的值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查分解因式的知识及整式的乘法，正确计算出整式乘法的式子得出，是解答本题的关键． 10．已知三次四项式分解因式后有一个因式是，试求的值及另一个因式． 【答案】， 【分析】根据题意，当时，代数式的值为0，进而求得的值，然后因式分解即可求解． 【详解】解：依题意，三次四项式分解因式后有一个因式是， ∴时，原式 ∴， ∵ ∴另一个因式为 【点睛】本题考查了因式分解的意义，解题时要根据分组分解法、提公因式法、公式法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组，要考虑分组后还能进行下一步分解，注意分解因式要彻底，直到不能再分解为止． 11．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干信息把代入求解即可； （2）根据题干信息把和分别代入得到关于m，n的二元一次方程组，进而求解即可． 【详解】（1）解：依题意，把代入得 解得：； （2）解：把和分别代入， 即 解得： 12．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 【答案】(1)，5； (2)． 【分析】（1）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于a，n的方程组，解方程组求出答案即可； （2）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于n，b的方程组，解方程组求出答案即可． 【详解】（1）解：设另一个因式为，得 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴另一个因式是，a的值为5； （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴． ▲1、①因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式. 其中，每个整式都叫做这个多项式的因式. ②判定一个变形是因式分解的条件： (1)等式左边是多项式； (2)等式右边是积的形式； (3)等式右边的因式全是整式. ▲２、因式分解与整式乘法的关系： 因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1因式分解 导学案 1.理解并掌握因式分解的概念，会判断变形是否为因式分解. 2.理解因式分解与整式乘法的互逆关系，并能运用其解决问题. 学习重点：因式分解的概念认知与形式判断. 学习难点：准确运用互逆原理进行灵活转化. 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： ①你能把-99化成几个整数乘积的形式吗？类似地，你能把-a化成几个整式的乘积的形式吗？ 我们已经学习过整式的乘法运算. 本章将学习如何把一个多项式化为几个整式乘积的形式. 你将体会这一过程与整式乘法的联系，感受这种变形对解决相关问题的意义，进一步提升思维品质和运算能力. ②某中学决定购买m台电脑和m套桌椅，现在知道每台电脑的单价是a元，每套桌椅的价格是b元，小明说：“总共需要(ma+mb)元.”小华说：“总共需要m(a+b)元”. 新知自研：自研课本第111--112页的内容． 【学法指导】 自研课本自研课本第111--112页的内容，思考： ●探究一：因式分解的定义 ◆1.问题思考 -99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴进行交流. 小明是这样做的： 所以，-99能被100整除. 在这里，解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式. 思考：-99还能被哪些正整数整除? ◆2.尝试交流 你能把-a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流. 在这里，解决问题的关键是把一个整式化成了几个整式的积的形式. ◆3.观察思考 观察下列拼图过程，写出相应的代数式. ◆4.交流讨论 观察上面得到的等式，等号两边的代数式有什么不同？ 学生思考：等式左边都是 ，等式右边都是 的积 像这样的变形叫做因式分解，你能总结出因式分解的定义吗？ ◆5.练一练 下列各式由左到右的变形中,属于因式分解的是(　　) A.a(m+n)=am+an B.--=(a-b)(a+b)- C.10-5x=5x(2x-1) D.-xy+= ◆6.知识归纳 ①因式分解的定义 把一个多项式化成 的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为 . 其中，每个整式都叫做这个多项式的 . ②判定一个变形是因式分解的条件： (1)等式左边是 ； (2)等式右边是 的形式； (3)等式右边的因式全是 . ●探究二：因式分解与整式乘法的关系 ◆1.操作思考 ①计算下列各式: (1)3x(x-1)= , (2) m(a+b+c) = , (3)(m+4)(m-4)= , (4)= . 发现：上面的计算是 ②根据左面的算式进行因式分解: (1) 3-3x=_________; (2) ma+mb+mc=_________; (3) -16=__________; (4) -6y+9=________. 发现：上面的变形是 ③因式分解与整式乘法有什么关系？请举例说明. 例如:如图，一块草坪被分成三部分，用不同的方式表示这块草坪的面积。 ◆2.知识归纳 因式分解与整式乘法的关系： 因式分解与整式乘法是 的变形，即 ，二者是一个式子的不同表现形式.因式分解是两个或 的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式. ◆3.练一练 对于:①x-3xy=x(1-3y),②(x+3)(x-1)=+2x-3从左到右的变形,下列表述正确的是(　　) A.都是因式分解 B.都是乘法运算 C.①是因式分解,②是乘法运算 D.①是乘法运算,②是因式分解 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 例1 下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　) ①--1＝(x+y)(x-y)-1； ②+x＝x(+1)； ③＝-2xy+； ④-9＝(x+3y)(x-3y). A.1个 　　　　 B.2个 　　　　C.3个 　　　　　 D.4个 例2 若多项式+ax+b分解因式的结果为a(x﹣2)(x+3)，求a，b的值. 【分析】根据多项式+ax+b分解因式的结果为a(x﹣2)(x+3)，可得公因式是 ，常数项的积是 . 方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较即可. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨因式分解的定义，以及因式分解与整式乘法的关系； B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，强调易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．下列各式，从左到右的变形是因式分解的是( ) A.3x+3y−5＝3(x+y)−5 B.(x+1)(x−1)＝−1 C.−＝ (x+)(x−) D.x+y＝x(1+) (x≠0) 2. −(3a+b)(3a−b)是下列某个多项式因式分解的结果，这个多项式是( ) A.9−　　　　　　　B.+9 C.−9　　　　　　　D.−9− 3. 把−x因式分解，正确的结果是( ) A.+xy(x−y)　　　　 　　　B.x(−) C.x(x−)　　　　　　　　　　D.x(x+y)(x−y) 4.如果多项式-mx-35可因式分解为(x-5)(x+7),那么m的值是(　　) A.2 B.-2 C.12 D.-12 5.利用因式分解简便计算57×99+44×99-99,正确的是 (　　) A.99×(57+44)=99×101=9999 B.99×(57+44-1)=99×100=9900 C.99×(57+44+1)=99×102=10098 D.99×(57+44-99)=99×2=198 6.对于(a-b)(x-y)=ax-ay-bx+by从左到右的变形是______，从右到左的变形是______. 7.如图所示，将两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形(它的直角边等于前两个直角三角形的斜边)拼接成一个梯形,请根据拼接前后图形面积的关系写出一个多项式的因式分解:_______________. 8.完成下列题目： （1）x(x-2)＝_______， （2）(x+y)(x-y)＝_______， （3）＝________. 根据上面的填空，解决下列问题： （1）-2x＝(    )(          ), （2）-＝(          )(           ), （3）+2x+1＝. 9.小明在解答“因式分解:(1)3-9x+3;(2)9-4.”这道题目时,是这样做的: 解:(1)3-9x+3=3(-6x+1). (2)9-4=(3x+2)(3x-2). 请你利用因式分解与整式乘法的关系,判断小明分解得对不对. 10. 通过计算说明+能否被30整除. 11.若多项式-mx+4可分解为(x-2)(x+n)，求mn的值. 题型一：因式分解的意义 1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列从左到右的变形中是因式分解的是（　　） A． B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2 C．x2﹣16y2＝（x+4y）（x﹣4y） D．x2﹣y2﹣1＝（x+y）（x﹣y）﹣1 3．下列变形中是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．x2+2x+2＝x（x+2）+2 B．2xy2＝2x⋅y C．（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1 D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） 5．下列各恒等变形属于因式分解的是（　　） A．（x﹣3）（x+3）＝x2﹣9 B．a2+2ab+b2＝（a+b）2 C．3x2﹣5x+1＝x（x﹣5）+1 D．x2﹣9+x＝（x+3）（x﹣3）+x 题型二：利用因式分解求值 6．将因式分解后得，那么n等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．多项式x2+mx﹣8因式分解可得（x﹣2）（x+4），则m＝　 　． 8．若能分解成两个一次因式的积，则整数k= . 9．把多项式分解因式得，求a、b的值． 10．已知三次四项式分解因式后有一个因式是，试求的值及另一个因式． 11．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； 12．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． ▲1、①因式分解的定义 把一个多项式化成 的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为 . 其中，每个整式都叫做这个多项式的 . ②判定一个变形是因式分解的条件： (1)等式左边是 ； (2)等式右边是 的形式； (3)等式右边的因式全是 . ▲２、因式分解与整式乘法的关系： 因式分解与整式乘法是 的变形，即 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $