2025-2026学年人教版（五四制）八年级数学下册解答题专项突破之一元二次方程

解答题专项突破之一元二次方程2025-2026 人教版（五四制）八年级下册 板块一：解一元二次方程 1.解方程：（y+2）2＝（3y﹣1）2． 2．解下列方程： （1）3（x﹣1）2﹣12＝0； （2）2x2﹣4x﹣7＝0． 3.用因式分解法解一元二次方程： （1）（4x+1）（5x﹣7）＝0； （2）（2x+3）2＝4（2x+3）． 4．解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0． 5．请用合适的方法解下列方程： （1）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）； （2）2x2﹣3x﹣14＝0． 板块二：一元二次方程的解与根判别式，根与系数的关系 1.关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x﹣m＝0． （1）不解方程，判断该方程的根的情况； （2）设x1，x2是方程的两根，其中有一根不大于0，若y＝x1•x2﹣m+2，求y的最大值． 2.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足x1x2+x1+x2＝m2+6，求m的值． 3．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0． （1）求证：无论m为何实数，方程总有两个实数根； （2）若方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0，的两个实数根α、β满足α2+β2＝9，求m的值． 4.阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2； 则x1+x2＝﹣，x1•x2＝； 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n； ∴m+n＝1，mn＝﹣1； 则m2n+mm2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　 　，x1•x2＝　 　； （2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求+的值． 板块三：一元二次方程应用（变化率问题） 1.受各方面因素的影响，最近两年来某市平均房价由40000元/平方米，下降到32400元/平方米． （1）求房价年平均下降率； （2）按照这个年平均下降率，预计下一年该市的平均房价每平方米多少元？ 2.某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？ 3．随旅游旺季的到来，北湖湿地公园的游客人数逐月增加，3月份游客人数为8万人，5月份游客人数为12.5万人． （1）求这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率； （2）预计6月份北湖湿地公园游客人数会继续增长，但增长率不超过前两个月的月平均增长率．已知北湖湿地公园6月1日至6月10日已接待游客6.625万人，则6月份后20天日均接待游客人数最多是多少万人？ 板块四：一元二次方程应用（几何问题） 1.如图，矩形ABCD中，，． （1）矩形ABCD的周长为______； （2）若一正方形的面积与矩形ABCD的面积相等，则这个正方形的边长为______． 2.如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，墙可利用的最大长度为，篱笆长为，设平行于墙的边长为． (1)若围成的花圃面积为时，求的长； (2)如图，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为，请你判断能否围成花圃，如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 3.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t． (1)根据题意知：CQ＝　 　，CP＝　 　；（用含t的代数式表示） (2)t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？ (3)运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？ 板块五：一元二次方程应用（销售问题） 1．“杭州亚运•三人制篮球”赛将于4月25﹣5月1日在我县举行，我县某商店抓住商机，销售某款篮球服．4月份平均每天售出100件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，5月份该店准备采取降价措施，经过市场调研，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出10件． （1）若降价5元，求平均每天的销售数量； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为6000元？ 2.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45． （1）求一次函数y=kx+b的表达式； （2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围． 3．昆明湖中学提醒学生，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售某名牌头盔，进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，设售价在40元/个的基础上涨价x元． （1）用含有x的代数式表示月销售量y； （2）为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】 解答题专项突破之一元二次方程2025-2026 人教版（五四制）八年级下册 板块一：解一元二次方程 1.解方程：（y+2）2＝（3y﹣1）2． 【答案】解：直接开平方，得y+2＝±（3y﹣1） 即y+2＝3y﹣1或y+2＝﹣（3y﹣1）， 解得：y1＝，y2＝﹣． 2．解下列方程： （1）3（x﹣1）2﹣12＝0； （2）2x2﹣4x﹣7＝0． 【答案】解：（1）3（x﹣1）2﹣12＝0， （x﹣1）2＝4， x﹣1＝±2， 所以x1＝3，x2＝﹣1； （2）2x2﹣4x﹣7＝0， x2﹣2x＝， x2﹣2x+1＝， （x﹣1）2＝， x﹣1＝±， 所以x1＝1+，x2＝1﹣． 3.用因式分解法解一元二次方程： （1）（4x+1）（5x﹣7）＝0； （2）（2x+3）2＝4（2x+3）． 【答案】解：（1）（4x+1）（5x﹣7）＝0， ∴4x+1＝0或5x﹣7＝0， ∴，； （2）（2x+3）2＝4（2x+3）， （2x+3）2﹣4（2x+3）＝0， （2x+3）（2x+3﹣4）＝0， ∴2x+3＝0或2x﹣1＝0， ∴，． 4．解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0． 【答案】解：设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0， 解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，即x2﹣1＝1， 解得x＝±； 当y＝4时，即x2﹣1＝4， 解得x＝±， 所以原方程的解为：x1＝±，x2＝±． 5．请用合适的方法解下列方程： （1）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）； （2）2x2﹣3x﹣14＝0． 【答案】解：（1）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）， 3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0， （x﹣2）（3x﹣2）＝0， x﹣2＝0或3x﹣2＝0， 所以x1＝2，x2＝； （2）2x2﹣3x﹣14＝0， （2x﹣7）（x+2）＝0， 2x﹣7＝0或x+2＝0， 所以x1＝，x2＝﹣2． 板块二：一元二次方程的解与根判别式，根与系数的关系 1.关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x﹣m＝0． （1）不解方程，判断该方程的根的情况； （2）设x1，x2是方程的两根，其中有一根不大于0，若y＝x1•x2﹣m+2，求y的最大值． 【答案】解：（1）∵a＝1，b＝m﹣1，c＝﹣m， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（m﹣1）2﹣4（﹣m）＝m2+2m+1＝（m+1）2， ∵（m+1）2≥0， ∴该方程一定有实数根； （2）由原方程可得：（x+m）（x﹣1）＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣m． ∵方程其中一根不大于0， ∴﹣m≤0． 又∵x1⋅x2＝﹣m， ∴y＝﹣m﹣m+2＝﹣2m+2， ∴y≤2， ∴y的最大值为2． 2.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足x1x2+x1+x2＝m2+6，求m的值． 【答案】解：（1）∵x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac≥0， ∴（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）＞0， ∴m≥； （2）∵x1，x2是该方程的两个根， ∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5， ∵x1x2+x1+x2＝m2+6， ∴﹣2m+5+4＝m2+6， ∴m＝﹣3或1． ∵m≥； ∴m＝1． 3．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0． （1）求证：无论m为何实数，方程总有两个实数根； （2）若方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0，的两个实数根α、β满足α2+β2＝9，求m的值． 【答案】（1）证明：Δ＝9﹣4（2﹣m2﹣m）＝4m2+4m+1＝（2m+1）2， ∵无论m为何实数，总有（2m+1）2≥0，即Δ≥0， ∴无论m为何实数，方程总有两个实数根； （2）解：∵方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0，的两个实数根α、β， ∴α+β＝3，αβ＝2﹣m2﹣m， ∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝9﹣2（2﹣m2﹣m）＝5+2m2+2m＝9， 解得m＝1或﹣2． 4.阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2； 则x1+x2＝﹣，x1•x2＝； 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n； ∴m+n＝1，mn＝﹣1； 则m2n+mm2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　 　，x1•x2＝　 　； （2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求+的值． 【答案】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣＝，x1x2＝＝﹣， 故答案为：，﹣； （2）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m，n， ∴m+n＝，mn＝﹣， ∴+＝＝＝﹣3． 板块三：一元二次方程应用（变化率问题） 1.受各方面因素的影响，最近两年来某市平均房价由40000元/平方米，下降到32400元/平方米． （1）求房价年平均下降率； （2）按照这个年平均下降率，预计下一年该市的平均房价每平方米多少元？ 【答案】解：（1）设房价年平均下降率为x， 依题意得：40000（1﹣x）2＝32400， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）． 答：房价年平均下降率为10%． （2）32400×（1﹣10%）＝32400×90%＝29160（元）． 答：下一年该市的平均房价约为每平方米29160元． 2.某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？ 【答案】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%， 依题意得：400×（1﹣x%）2=324， 解得：x=10，或x=190（舍去）． 答：该种商品每次降价的百分率为10%． （2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件， 第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）； 第二次降价后的单件利润为：324﹣300=24（元/件）． 依题意得：60m+24×（100﹣m）=36m+2400≥3210， 解得：m≥22.5． ∴m≥23． 答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元．第一次降价后至少要售出该种商品23件． 3．随旅游旺季的到来，北湖湿地公园的游客人数逐月增加，3月份游客人数为8万人，5月份游客人数为12.5万人． （1）求这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率； （2）预计6月份北湖湿地公园游客人数会继续增长，但增长率不超过前两个月的月平均增长率．已知北湖湿地公园6月1日至6月10日已接待游客6.625万人，则6月份后20天日均接待游客人数最多是多少万人？ 【答案】解：（1）设这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率为x， 根据题意得：8（1+x）2＝12.5， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）． 答：这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率为25%； （2）设6月份后20天日均接待游客人数是y万人， 根据题意得：6.625+20y≤12.5×（1+25%）， 解得：y≤0.45， ∴y的最大值为0.45． 答：6月份后20天日均接待游客人数最多是0.45万人． 板块四：一元二次方程应用（几何问题） 1.如图，矩形ABCD中，，． （1）矩形ABCD的周长为______； （2）若一正方形的面积与矩形ABCD的面积相等，则这个正方形的边长为______． 【答案】          【详解】解：（1）∵矩形ABCD中，，， ∴矩形ABCD的周长为， 故答案为：， （2）设正方形的边长为x， 由题意得， ∴（负值已舍去）， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 2.如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，墙可利用的最大长度为，篱笆长为，设平行于墙的边长为． (1)若围成的花圃面积为时，求的长； (2)如图，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为，请你判断能否围成花圃，如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)的长为米； (2)不能围成花圃，理由见解析． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 则， ∴， 因为， 所以舍去， 所以， 答：的长为米； （2）解：不能围成花圃，理由如下： 根据题意得， ， 方程可化为， ∴， ∴方程无实数解， ∴不能围成花圃； 3.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t． (1)根据题意知：CQ＝　 　，CP＝　 　；（用含t的代数式表示） (2)t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？ (3)运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？ 【答案】(1)t，4﹣2t (2)或 (3)或秒 （1） 解：AC=3cm，BC=4cm， 根据题意得：经过t秒后，BP=t，PC=4-2t，CQ=t， 故答案为：t，4-2t； （2） 解：当△CPQ的面积等于△ABC面积的时， 即（4-2t）•t=××3×4， 解得；t=或t=； 答：经过或秒后，△CPQ的面积等于△ABC面积的； （3） 解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解， ①若Rt△ABC∽Rt△QPC则，即，解得t=； ②若Rt△ABC∽Rt△PQC则，即，解得t=； 由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2， 验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件． 答：要使△CPQ与△CBA相似，运动的时间为1.2或秒． 板块五：一元二次方程应用（销售问题） 1．“杭州亚运•三人制篮球”赛将于4月25﹣5月1日在我县举行，我县某商店抓住商机，销售某款篮球服．4月份平均每天售出100件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，5月份该店准备采取降价措施，经过市场调研，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出10件． （1）若降价5元，求平均每天的销售数量； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为6000元？ 【答案】解：（1）平均每天的销售数量为：100+10×5＝150（件）， 答：平均每天的销售数量150件； （2）设每件商品降价x元， 根据题意，得：（100+10x）（40﹣x）＝6000， 解得：x1＝10，x2＝20， 答：当每件商品降价10元或20元时，该商店每天销售利润为6000元． 2.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45． （1）求一次函数y=kx+b的表达式； （2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围． 【答案】解：（1）根据题意得 解得k=﹣1，b=120． 所求一次函数的表达式为y=﹣x+120． （2）W=（x﹣60）•（﹣x+120） =﹣x2+180x﹣7200 =﹣（x﹣90）2+900， ∵抛物线的开口向下， ∴当x＜90时，W随x的增大而增大， 而销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%， 即60≤x≤60×（1+45%）， ∴60≤x≤87， ∴当x=87时，W=﹣（87﹣90）2+900=891． ∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元． （3）由W≥500，得500≤﹣x2+180x﹣7200， 整理得，x2﹣180x+7700≤0， 而方程x2﹣180x+7700=0的解为 x1=70，x2=110． 即x1=70，x2=110时利润为500元，而函数y=﹣x2+180x﹣7200的开口向下，所以要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间， 而60元/件≤x≤87元/件，所以，销售单价x的范围是70元/件≤x≤87元/件． 3．昆明湖中学提醒学生，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售某名牌头盔，进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，设售价在40元/个的基础上涨价x元． （1）用含有x的代数式表示月销售量y； （2）为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】解：（1）根据题意得：y＝600﹣10x； （2）根据题意得：（40+x﹣30）（600﹣10x）＝10000， 整理得：x2﹣50x+400＝0， 解得：x1＝10，x2＝40， 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴x＝10， ∴40+x＝40+10＝50． 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 学科网（北京）股份有限公司 $