第2节　两条直线的位置关系 课件——2027届高三数学一轮复习

第2节　两条直线的位置关系 课标解读　1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. 1.两条直线的位置关系 直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l3:A1x+B1y+C1=0(≠0), l4:A2x+B2y+C2=0(≠0)(其中l1与l3是同一条直线,l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表: 位置关系 l1,l2满足的条件 l3,l4满足的条件 平行 　　　　　　　  　　 　　　　　  垂直 　　　　　　　  　　　　　　　  相交 　　　　　　　  　　　　　　　  k1=k2且b1≠b2　 A1B2-A2B1=0,且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0)　 k1k2=-1 A1A2+B1B2=0 k1≠k2 A1B2-A2B1≠0 2.直线的交点与方程组解的关系 (1)两直线的交点 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0,也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标是方程组的解,解这个方程组就可以得到这两条直线的　　　　　坐标.  交点 (2)两直线的位置关系与方程组解的关系 方程组的解 唯一解 无数解 　　　  直线l1与l2的公共点的个数 一个 　　　  零个 直线l1与l2的位置关系 　　　  重合 　　　  无解 无数个 相交 平行 3.三种距离公式 (1)两点间的距离公式 ①条件:点P1(x1,y1),P2(x2,y2). ②结论:|P1P2|=. ③特例:点P(x,y)到原点O(0,0)的距离|OP|=. (2)点到直线的距离 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的距离d=. (3)两条平行直线间的距离 两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(A2+B2≠0,C1≠C2)间的距离d=. [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两条直线的斜率都存在且不相等,则两条直线相交.(　　) (2)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定为-1.(　　) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.(　　) (4)已知直线l1:x=x1,l2:x=x2,则直线l1,l2间的距离为|x2-x1|.(　　) √ × 解析 当一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,两直线也垂直,故错误. √ √ 2.(人A选一教材习题改编)已知直线l过点(-1,2),且与直线2x-3y+4=0垂直,则l的方程是(　　) A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0 C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0 A 解析 由题意可得直线l的斜率k=-,所以l:y-2=-(x+1),即3x+2y-1=0.故选A. 3.(人A选一教材习题改编)已知直线l经过原点,且经过直线2x-2y-1=0与直线6x-4y+1=0的交点,则直线l的方程是(　　) A.4x-3y=0 B.4x+3y=0 C.3x-4y=0 D.3x+4y=0 A 解析 经过直线2x-2y-1=0与直线6x-4y+1=0的交点的直线l的方程可设为 2x-2y-1+λ(6x-4y+1)=0,将原点O(0,0)代入,得-1+λ=0,解得λ=1,所以直线l的方程为4x-3y=0.故选A. 4.(人B选一教材习题改编)已知直线l1:ax+2y+1=0,l2:(3-a)x-y+a=0,则条件“a=1”是“l1⊥l2”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要的条件 B 解析 若l1⊥l2,则a(3-a)-2=0,解得a=1或a=2.故“a=1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.故选B. 5.(苏教选一教材习题改编)以点A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形 是(　　) A.锐角三角形　　 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 B 解析 由题得kAB==-,kBC==-5,kAC=,从而kAB·kAC=-1,即AB⊥AC,A为直角.故选B. 6.(人B选一教材习题改编)已知点B(m,6)到直线y=3x+6的距离为3,则实数m的值为　　　　.  ± 解析 直线化为3x-y+6=0,点B到该直线的距离d==3,解得m=± 7.(人A选一教材例题改编)若直线2x-y-3=0与4x-2y+a=0之间的距离为,则实数a=　　　　.  4或-16 解析 将直线2x-y-3=0化为4x-2y-6=0,则直线2x-y-3=0与直线4x-2y+a=0之间的距离d=,根据题意可得,即|a+6|=10,解得a=4或a=-16. 考点一　两条直线的位置关系 例1　(1)(2026·河南商丘模拟)已知直线l1:(2a+1)x+ay+1=0, l2:(a+2)x+ay+2=0,则“a=1”是“l1∥l2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 C 考点一 考点二 考点三 解析 直线l1,l2平行或重合的充要条件是(2a+1)a=(a+2)a,所以a=0或a=1. 将a=1代入直线l1,l2的方程,得l1:3x+y+1=0,l2:3x+y+2=0,易知l1∥l2; 将a=0代入直线l1,l2的方程,得l1:x+1=0,l2:2x+2=0,直线l1,l2重合,故a=0舍去. 综上,“a=1”是“l1∥l2”的充要条件. 故选C. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·河北石家庄模拟)已知直线l1:(1-m)x+2y+m-2=0与直线l2:mx+y+3=0垂直,则m=　　　　　.  2或-1 解析 因为直线l1:(1-m)x+2y+m-2=0与直线l2:mx+y+3=0垂直, 所以(1-m)m+2=0,即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1. 考点一 考点二 考点三 规律方法　当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件. 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](原创题)(多选题)已知直线l1:x+ay-a=0和直线l2:ax-(2a-3)y-1=0,下列说法正确的是(　　) A.l2过定点() B.l1∥l2的充要条件为a=-3 C.当a<0时,l1不过第三象限 D.若l1⊥l2,则a=0或a=2 ABD 考点一 考点二 考点三 解析 对于A,由l2:ax-(2a-3)y-1=0可得a(x-2y)+3y-1=0,由解得所以l2过定点(),故A正确; 对于B,若l1∥l2,则有解得a=-3,故B正确; 对于C,l1:y=-x+1恒过(0,1),因为a<0,所以该直线斜率->0,过第三象限,故C错误; 对于D,若l1⊥l2,则有1×a+a×(3-2a)=0,得a=0或a=2,故D正确.故选ABD. 考点一 考点二 考点三 考点二　两直线的交点与距离问题 例2　(1)已知经过点P(2,2)的直线l与直线ax-y+1=0垂直,若点M(1,0)到直线l的距离等于,则a的值是(　　) A.- B.1 C.2 D. C 解析 依题意,设直线l的方程为x+ay+c=0,c∈R.因为点P(2,2)在l上,且点M(1,0)到直线l的距离等于,所以消去c,得a=2.故选C. 考点一 考点二 考点三 (2)(2026·江苏连云港模拟)经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0平行的直线l的方程为　　　　　　　　.  3x-4y+8=0 解析 设与l3平行的直线l方程为3x-4y+C=0,C≠5, 联立解得P(0,2). 又因为点P在直线l上,即3×0-4×2+C=0,解得C=8. 所以直线l的方程为3x-4y+8=0. 考点一 考点二 考点三 规律方法　使用距离公式时应注意:(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;(2)应用两平行线间的距离公式时,要把两直线方程中x,y的对应项系数化为对应相等. 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](原创题)(多选题)已知直线l1:3x+2y-6=0,l2:3x+2y+4=0,动点P在l1上,动点Q在l2上,M为线段PQ的中点,下列说法正确的有(　　) A.中点M的轨迹方程为3x+2y+1=0 B.M到原点的距离的最小值为 C.过点M轨迹上点(1,-1)且与l1垂直的直线方程为2x-3y-5=0 D.若直线6x+4y+3=0与l1平行,则这两条直线间的距离为3 BC 考点一 考点二 考点三 解析 选项A,设M(x,y),P(x1,y1),Q(x2,y2),由中点坐标公式得x1+x2=2x,y1+y2=2y. 结合3x1+2y1=6,3x2+2y2=-4,两式相加得3(x1+x2)+2(y1+y2)=2,代入化简得M的轨迹方程为3x+2y-1=0,故A错误; 选项B,M的轨迹为直线3x+2y-1=0,原点到该直线的距离为,即M到原点的最小距离,故B正确; 选项C,直线l1的斜率为-,与l1垂直的直线斜率为经验证,(1,-1)在轨迹上,故所求直线方程为y+1=(x-1),整理得2x-3y-5=0,故C正确; 选项D,将l1化为6x+4y-12=0,与6x+4y+3=0的距离为3,故D错误. 故选BC. 考点一 考点二 考点三 考点三　对称问题 例3　(2025·福建龙岩模拟)已知直线l:x+2y-2=0,试求 (1)点P(-2,-1)关于直线l的对称点坐标; (2)直线l1:y=x-2关于直线l对称的直线l2的方程; (3)直线l关于点A(1,1)对称的直线方程. 解 (1)设点P的对称点为Q(x,y), 则解得 所以所求对称点坐标为(). 考点一 考点二 考点三 (2)由解得即直线l与l1的交点为A(2,0),点E(0,-2)是直线l1上的一点,设它关于直线l的对称点为B(x,y), 则解得即B(),则kAB==7,所以直线l2的方程为y=7(x-2),即7x-y-14=0. (3)设直线l关于点A(1,1)对称的直线方程为x+2y+m=0(m≠-2), 由,解得m=-2(舍去)或m=-4, 所以所求对称直线方程为x+2y-4=0. 考点一 考点二 考点三 规律方法　对称问题的求解策略 (1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解. (2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题,两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题. 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](原创题)(多选题)已知点A(1,2),B(3,4)在x轴同侧,x轴上有一点P使得|PA|+|PB|最小;另有直线l1:x+2y-3=0,其关于点A(1,0)对称的直线为l2:ax+4y+b=0.下列说法正确的是(　　) A.使|PA|+|PB|最小的点P的坐标为(,0) B.直线PA,PB的斜率k1,k2满足k1+k2=0 C.直线l2对应的参数a=2,b=4 D.点B(3,4)关于直线l1的对称点在直线l2的下方 ABD 考点一 考点二 考点三 解析 取A(1,2)关于x轴的对称点A'(1,-2),则直线A'B的方程为y=3x-5,令y=0,解得x=,故P(,0),A正确; k1==-3,k2==3,因此k1+k2=0,B正确; 设l2上任意点(x,y),其关于A(1,0)的对称点(2-x,-y)在l1上,代入化简得l2:2x+4y+2=0,故a=2,b=2,C错误; 设点B(3,4)关于l1的对称点为B″(s,t),由BB″中点在l1上,且BB″⊥l1,联立解得B″(-,-). 直线l2的方程为2x+4y+2=0,将x=-代入l2得对应y=-,而B″的纵坐标 y=-=-2.4<-,故B″在l2下方,D正确. 故选ABD. 考点一 考点二 考点三 $