精品解析：吉林省吉林市第二中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

吉林二中2025-2026学年度下学期期中考试 高二数学试卷 第Ⅰ卷 说明：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分； 2、满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的运算结果等于（ ） A. 720 B. 70 C. 120 D. 107 2. 从5人中选出4人分别到吉林、沈阳、大连、哈尔滨四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去沈阳游览，则不同的选择方案共有（ ） A. 48种 B. 72种 C. 96种 D. 120种 3. 若函数在上可导，其导函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 函数有极大值，无极小值 B. 函数有极小值，无极大值 C. 函数有极大值和极小值 D. 函数有极大值和极小值 4. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 6. 某校男女生人数之比为9：11，其中男生近视率为0.4，女生近视率为0.6，则该校学生的近视率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在处有极小值，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 若定义在区间D上的函数，，都有成立，则称为区间D上的“M函数”，若是区间上的“M函数”，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列式子求导正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 在单调递增 B. 有两个零点 C. 曲线在点处切线的斜率为0 D. 是偶函数 11. 下列说法正确的是（ ） A. 某街道只有4个不同的邮筒，现将5封信投入邮筒寄走，共有种投法 B. 7个人计划同时去A，B，C，D四个城市旅游，有一个城市去1个人，其余城市各去2个人，则不同的旅行方案共有2520种 C. 从6名男生和4名女生中选4人参加比赛，若4人中必须既有男生又有女生，共有194种选法 D. 把5个不同颜色的小球投入4个不同的盒子里，每个盒子至少投1个球，不同的投法共有240种 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中的常数项为_____．（用数字作答） 13. 函数在上是增函数，则的取值范围是______． 14. 从数字1，2，3，4，5中一次随机选取两个不同的数，在至少有一个为奇数的条件下，这两个数为一奇一偶的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 7名同学站成一排照相，求满足下列条件的排法数：（用数字作答） （1）甲乙两人都不站在排头． （2）甲不站在排头且乙不站在排尾． （3）甲与乙相邻，且都不与丙相邻． 16. 已知函数在处取得极值为. （1）求，的值； （2）求在点处的切线方程. 17. 已知． （1）求的值． （2）求的值． （3）求的值． 18. 一个不透明的袋子中有8个大小和形状完全一致的小球，其中标记数字1，2的小球各有3个，标记数字3的小球有2个，一次性从袋子中随机摸出3个小球． （1）求摸出的小球中，没有标记数字3的小球的概率； （2）记摸出的小球上标记的最大数字为X，求X的分布列及数学期望． 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围． （3）对任意，恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林二中2025-2026学年度下学期期中考试 高二数学试卷 第Ⅰ卷 说明：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分； 2、满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的运算结果等于（ ） A. 720 B. 70 C. 120 D. 107 【答案】C 【解析】 【详解】. 2. 从5人中选出4人分别到吉林、沈阳、大连、哈尔滨四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去沈阳游览，则不同的选择方案共有（ ） A. 48种 B. 72种 C. 96种 D. 120种 【答案】B 【解析】 【分析】先确定去沈阳游览的人，再确定剩下三个城市游览的人，即可求解． 【详解】先从除甲、乙两人之外的3人中选1人去沈阳游览，共有种， 再从剩余4人中选3人到其他三个城市游览，共有种， 所以不同的选择方案共有种． 故选：B 3. 若函数在上可导，其导函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 函数有极大值，无极小值 B. 函数有极小值，无极大值 C. 函数有极大值和极小值 D. 函数有极大值和极小值 【答案】C 【解析】 【分析】先根据图像分析出导函数的增减区间，进而分析出极值即可选出答案. 【详解】由函数的图象可得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以函数有极大值，和极小值，C正确. 4. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，令导函数为负，求解不等式即可确定函数的单调减区间. 【详解】因为函数，求导得， 令，因此，函数的单调减区间是，故A正确. 5. 若函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以， 则， 解得. 6. 某校男女生人数之比为9：11，其中男生近视率为0.4，女生近视率为0.6，则该校学生的近视率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全概率的公式进行求解即可. 【详解】设该校总学生人数为，则根据题意得 . 故选：D. 7. 已知函数在处有极小值，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得， 由题可知，解得或． 当时，， 当时，或，当时，， 即在和上单调递增，在上单调递减. 此时在处取得极大值，不符合题意； 当时，， 当时，或，当时，， 即在和上单调递增，在上单调递减.， 此时在处取得极小值，符合题意. 8. 若定义在区间D上的函数，，都有成立，则称为区间D上的“M函数”，若是区间上的“M函数”，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数新定义推得在区间上恒成立，设，求导判断其单调性求出其最大值即得a的最小值. 【详解】因是区间上的“M函数”，则在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 设，则，当时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 则在时取得极大值，也是最大值，故a的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列式子求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】，所以A正确； 是常数，所以，所以B不正确； ，所以C不正确； ，所以D正确. 10. 已知函数，则（ ） A. 在单调递增 B. 有两个零点 C. 曲线在点处切线的斜率为0 D. 是偶函数 【答案】AC 【解析】 【分析】通过对函数求导，即可得出结论. 【详解】由题意，， 在中，， ∴当时，， ∴曲线在点处切线的斜率为，C正确； A项，当时，， 故在单调递增，A正确； B项，当时，， 当时，，所以只有0一个零点，B错误； D项，函数的定义域为，不关于原点对称，∴不是偶函数，D错误. 故选：AC. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 某街道只有4个不同的邮筒，现将5封信投入邮筒寄走，共有种投法 B. 7个人计划同时去A，B，C，D四个城市旅游，有一个城市去1个人，其余城市各去2个人，则不同的旅行方案共有2520种 C. 从6名男生和4名女生中选4人参加比赛，若4人中必须既有男生又有女生，共有194种选法 D. 把5个不同颜色的小球投入4个不同的盒子里，每个盒子至少投1个球，不同的投法共有240种 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，只需考虑依次将5封信投入4个不同的邮筒即得；对于B，先确定去1个人的城市和那个人，再进行部分平均分组，最后全排即得；对于C，用方法总数减去对立事件方法数即得；对于D，可采用先分组分配再全排的方法即可. 【详解】对于A，将5封信投入4个不同的邮筒，每封信都有4种选择，故投法有种，故A错误； 对于B，依题意，可在7个人中确定1个人，在A，B，C，D四个城市中确定1个城市，再将剩下的6个人平均分成3组， 在剩下的3个城市进行全排，故不同的旅行方案共有种，故B正确； 对于C，由题意，可考虑其对立事件，即4人中全是男生或者全是女生，有种选法， 而从6名男生和4名女生中选出4人的方法数有种， 故4人中必须既有男生又有女生的方法数为种，故C正确； 对于D，依题意，应先将5个不同颜色的小球按照分组，再投入4个不同的盒子，故不同的投法有种，故D正确. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中的常数项为_____．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得二项展开式的通项，结合通项，进而求得展开式中的常数项. 【详解】由二项式展开式的通项为， 令，可得，故展开式中的常数项为． 13. 函数在上是增函数，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件得在上恒成立，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为，则， 由题知在上恒成立，所以， 解得，所以的取值范围是. 14. 从数字1，2，3，4，5中一次随机选取两个不同的数，在至少有一个为奇数的条件下，这两个数为一奇一偶的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用条件概率公式计算即可. 【详解】设选取两个不同的数，其中至少有一个为奇数为事件，这两个数为一奇一偶为事件， 则，， 则在至少有一个为奇数的条件下，这两个数为一奇一偶的概率为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 7名同学站成一排照相，求满足下列条件的排法数：（用数字作答） （1）甲乙两人都不站在排头． （2）甲不站在排头且乙不站在排尾． （3）甲与乙相邻，且都不与丙相邻． 【答案】（1） （2）3720 （3）960 【解析】 【分析】（1）根据特殊位置优先法先安排甲和乙，再考虑其他同学即可； （2）依题意将情况分成“甲站在排尾”或“甲不站在排头且不站在排尾”两类情况，先考虑甲与乙的站位，再排其他同学即可； （3）利用相邻元素“捆绑法”与不相邻元素“插空法”即可求得. 【小问1详解】 依题意，只需在除了排头外的6个位置中选2个给甲和乙，然后让另外5人在剩下的5个位置上进行全排， 则排法数为种； 【小问2详解】 将情况分成两类：① 甲站在排尾，有种排法； ② 甲不站在排头且不站在排尾，则先在中间5个位置选1个给甲，然后在除去甲的站位与排尾两个站位外的5个位置选1个给乙， 最后让另外5人在剩下的5个位置上进行全排，故有种排法. 由分类加法计数原理，可得排法数为种； 【小问3详解】 先将甲与乙“捆绑”，考虑内部排序，再将这个大元素与丙在另外4人留下的5个空位上进行排列， 最后让这4人在预留的4个位置上进行全排，故有种排法. 16. 已知函数在处取得极值为. （1）求，的值； （2）求在点处的切线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导后结合极值定义计算即可得； （2）利用导数的几何意义计算即可得. 【小问1详解】 ，依题意，，， 解得； 检验：当时，，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故是该函数的极值点，符合题意， 故； 【小问2详解】 ， ， ，， 故切线方程为：，整理得：. 17. 已知． （1）求的值． （2）求的值． （3）求的值． 【答案】（1） （2）0 （3）12 【解析】 【分析】（1）根据二项展开式的结构即求的系数； （2）分别对二项式赋值，联立两式，计算即得； （3）对二项展开式两边求导，再代值计算即得. 【小问1详解】 由题意，可知为展开式中的系数，即， 故； 【小问2详解】 在中， 令，得；再令，可得， 两式相减，得； 【小问3详解】 由两边求导， 可得， 令，得. 18. 一个不透明的袋子中有8个大小和形状完全一致的小球，其中标记数字1，2的小球各有3个，标记数字3的小球有2个，一次性从袋子中随机摸出3个小球． （1）求摸出的小球中，没有标记数字3的小球的概率； （2）记摸出的小球上标记的最大数字为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2） 1 2 3 【解析】 【分析】（1）利用古典概型概率公式与组合数公式计算即得； （2）首先确定的所有可能取值，然后分别计算取每个值时的概率，根据计算结果列出分布列，并计算出数学期望即可. 【小问1详解】 在8个小球中，有2个标记数字为3的小球. 则摸出的3个小球中没有标记数字3的小球的概率为. 【小问2详解】 依题意，的可能取值为1，2，3. 若，则必须摸出3个标记数字为1的小球，则； 若，则摸出小球的情况有3种： ① 摸出3个标记数字为2的小球，此时； ② 摸出2个标记数字为2的小球与1个标记数字为1的小球，此时； ③ 摸出1个标记数字为2的小球与2个标记数字为1的小球，此时； 则. 由（1）可得. 综上，的分布列见下表： 1 2 3 则. 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围． （3）对任意，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求函数的导函数，由求函数的单调递增区间，由求函数的单调递减区间； （2）由可得，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. （3）由不等式整理得到，再通过分析的单调性，得到，再求解即可. 【小问1详解】 因为，， 则，当时，，所以在上单调递增； 当时，由，得， 若，则；若，则． 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上所述，当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 当时，由可得， 令，其中，则直线与函数在上的图象有两个交点. ，当时，，此时函数单调递增. 当时，，此时函数单调递减． 所以函数的极大值为， 且，，在的图象如图所示． 由图可知，当时， 直线与函数在上的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是． 【小问3详解】 由，得恒成立，移项， 得恒成立. 构造函数，所以恒成立. 又∵在定义域内单调递增， ∴有在内恒成立， ∴恒成立，即. 由（2）可知最大值为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $