11.2一元一次不等式（第3课时 利用一元一次不等式解决实际问题）（导学案）数学新教材人教版七年级下册

11.2 一元一次不等式（第3课时 利用一元一次不等式解决实际问题）（导学案） (1)掌握从实际问题中寻找不等关系、列一元一次不等式的方法；熟练运用一元一次不等式解决实际问题，能根据实际意义检验解集的合理性；总结列一元一次不等式解实际问题的一般步骤. (2)经历实际问题→抽象不等关系→建立不等式模型→求解→检验作答的全过程，提升审题、分析、建模能力；在解决不同类型实际问题中，培养逻辑推理和知识综合应用能力. (3)感受一元一次不等式在生活中的广泛应用，体会数学的实用性；通过解决实际问题，增强数学应用意识，激发学习兴趣；养成认真审题、规范作答、检验结果的良好解题习惯. 重点是从实际问题中找出不等关系，列一元一次不等式解决实际问题；掌握列不等式解实际问题的一般步骤. 难点是准确挖掘实际问题中的隐含不等关系，区分“至多”“至少”“不超过”“不低于”等关键词对应的不等号；根据实际问题的实际意义，确定不等式解集的合理取值（如整数解）. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习回顾：快速求解一元一次不等式，回顾解题步骤，为本节课求解不等式做好铺垫。 情境导入：呈现生活实际问题：某商店文具套装每套定价20元，老师购买超过10套，超出部分打8折，老师计划用不超过400元购买文具套装，最多能买多少套？ 提问引导：本题中的关键条件是什么？存在怎样的数量关系？和方程解决的问题有什么不同？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第134-135页的内容 【学法指导】自研课本P134-135页内容 (一)探究利用一元一次不等式解决实际问题解题步骤 问题：某工程队计划在10天内整修河堤600米，施工2天后，又增加了设备，每天能多整修河堤30米，结果提前完成任务，问增加设备后每天至少整修河堤多少米？ 教师引导学生分步分析： ①审题：找出已知量、未知量，圈画关键词“提前完成”“至少”； ②设未知数：设增加设备后每天整修河堤x米； ③找不等关系：前2天整修长度+后几天整修长度＞600米； ④列一元一次不等式：2×60+(10-2-1)x＞600； ⑤解不等式； ⑥检验并作答：结合实际意义，确定结果为正整数. 师生共同总结利用一元一次不等式解决实际问题的步骤： 审题→设未知数→找不等关系→列不等式→解不等式→检验（实际意义）→作答. 同时梳理常见不等关键词：至少（≥）、至多（≤）、不超过（≤）、不低于（≥）、不足（＜）、超过（＞）. （二）强化建模，巩固思路 让学生自主找不等关系、列不等式，不求解，重点训练建模能力，教师针对性纠错，强化不等关系分析思路. 问题： 甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案:在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费;在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费.顾客到哪家超市购物花费较少? 分析:在甲超市购物超过100元后享受优惠，在乙超市购物超过50元后享受优惠.因此，需要分三种情况讨论: (1)累计购物不超过50元: (2)累计购物超过50元而不超过100元; (3)累计购物超过100元. 解:设累计购物花费元. (1)当累计购物不超过50元，即时，在甲、乙两超市购物都不享受优惠，而两家超市以同样价格出售同样的商品，因此到两超市购物花费相同. (2)当累计购物超过50元而不超过100元，即时，在甲超市购物不享受优惠，但在乙超市购物能享受优惠，因此到乙超市购物花费较少. (3)当累计购物超过100元，即时，在甲、乙两超市购物都能享受优惠. ①若到甲超市购物花费较少，则 解得 即时，到甲超市购物花费较少. ②若到乙超市购物花费较少，则 解得 即时，到乙超市购物花费较少. ③若到两超市购物花费相同.则 解得x=150. 即x=150时，到甲、乙两超市购物花费相同. 答:当累计购物花费不超过50元或等于150元时，到两家超市购物花费相同:当累计购物超过50元而不到150元时，到乙超市购物花费较少;当累计购物超过150元时，到甲超市购物花费较少. 【自研自探】 自研课本P134-135页内容 典型例题 例1. 某商店决定购进一批单价为元/本的笔记本，到批发店后发现批发店现在搞促销活动，且有两种方案可供选择． 方案一：一律按8折优惠． 方案二：总费用超过1000元，则超过的部分按6折优惠． (1)若该商店准备购进300本笔记本，则需要花费多少元? (2)若该商店预计购进800本笔记本，则应选择哪种方案更优惠? (3)该商店先在批发店购买a本笔记本，由于笔记本的质量好，决定再购买一批笔记本．若两次购进总计1000本笔记本，且第一次购买时按方案二进行购买更优惠，则第二次购买花费多少钱?（用含a的代数式表示） 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，一元一次不等式的应用，列代数式，根据方案一和方案二的不同优惠方案，列出算式、不等式及代数式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴（元）， 答：需要花费600元； （2）解：方案一费用为：（元）， 方案二费用为：（元）， 所以选择方案一和方案二一样优惠； （3）解：由题意得：， 解得：， 所以第二次购买的数量小于本，只能选择方案一， 所以第二次购买花费（元）． 第二环节 合作探究 1.讨论利用一元一次不等式解决实际问题解题步骤，并类比一元一次方程解决实际问题的一般步骤. 2.讨论建立一元一次不等式模型解决实际问题的方法？ 拓展提升：1．“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进4个甲型头盔和3个乙型头盔需要315元，购进3个甲型头盔和4个乙型头盔需要350元． (1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ (2)若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，则最多可购进乙型头盔多少个？ (3)在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙两种型号的头盔200个，能否实现利润不少于6190元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【详解】（1）解：设购进1个甲型头盔需要元，购进1个乙型头盔需要元. 根据题意，得， 解得，； 答：购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元； （2）解：设购进乙型头盔个，则购进甲型头盔个， 根据题意，得：， 解得：， 的最大值为120； 答：最多可购进乙型头盔120个； （3）解：能，理由如下： 根据题意，得：； 解得：； ； 为整数， 可取118，119或120，对应的的值分别为82，81或80； 因此能实现利润不少于6190元的目标，该商场有三种采购方案： ①采购甲型头盔82个，采购乙型头盔118个； ②采购甲型头盔81个，采购乙型头盔119个； ③采购甲型头盔80个，采购乙型头盔120个． 课本课堂P136练习. 参考答案：1.设学校购买x个笔记本，则16x+4(100-x)≤900，解得 ,由x应为正整数，可得x最大为 41.所以学校最多能买41个笔记本. 2.设大樱桃的售价应定为x元/kg，则200×(1-20%) x+200×29-10 000≥(200×39+200×29-10000)×90%，解得x≥46.5.所以大樱桃的售价至少要定为每千克46.5元. 1．（2025•内蒙古）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均a秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个． （1）求a的值； （2）现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个？ 【解答】解：（1）根据题意得：25a＝800﹣600， 解得：a＝8． 答：a的值为8； （2）设需要x个这样的机器人， 根据题意得：4x≥10000， 解得：x， 又∵x为正整数， ∴x的最小值为6． 答：至少需要6个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个． 2．(2025.淮安统测)“蓉宝”是第31届世界大学生夏季运动会吉祥物，以熊猫为原型创作，手中握有“31”字样火焰的大运火炬．为纪念2023年第31届世界大学生夏季运动会在成都大学大运村成功举办，金堂某公司决定购买甲，乙两种造型“蓉宝”共100个发放给公司员工，已知购买2个甲种造型“蓉宝”和1个乙种造型“蓉宝”共需85元；购买3个甲种造型“蓉宝”和2个乙种造型“蓉宝”共需140元． (1)求甲，乙两种造型“蓉宝”的单价分别为多少元； (2)若该公司决定购买以上两种造型“蓉宝”的总费用不超过2600元，那么该公司最多可以购买甲造型“蓉宝”多少个？ 【详解】（1）解：设甲种造型“蓉宝”的单价为元，乙种造型“蓉宝”的单价为元， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种造型“蓉宝”的单价为元，乙种造型“蓉宝”的单价为元； （2）设该公司可以购买甲种造型“蓉宝”个，则购买乙种造型“蓉宝”(个， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为． 答：该公司最多可以购买甲种造型“蓉宝”个． 知识总结：本节课学习了利用一元一次不等式解决实际问题，掌握了完整解题步骤：审题、设未知数、找不等关系、列不等式、解不等式、检验、作答；梳理了常见不等关系关键词与对应不等号；学会根据实际意义确定不等式的合理解集. 方法总结：解决实际问题的核心是建立一元一次不等式数学模型，将实际问题转化为数学问题；解题关键是抓准不等关键词、挖掘隐含不等关系；解题后一定要检验结果是否符合实际意义，这是实际应用的重要环节. 易错提醒：（1）混淆不等关键词，用错不等号，尤其区分“至少（≥）”“至多（≤）”；（2）忽略实际问题中的隐含条件，如人数、件数必须为正整数；（3）解完不等式后，不检验结果合理性，直接作答导致错误；（4）审题不清，找错不等关系，将不等关系当成等量关系列方程. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.2 一元一次不等式（第3课时 利用一元一次不等式解决实际问题）（导学案） (1)掌握从实际问题中寻找不等关系、列一元一次不等式的方法；熟练运用一元一次不等式解决实际问题，能根据实际意义检验解集的合理性；总结列一元一次不等式解实际问题的一般步骤. (2)经历实际问题→抽象不等关系→建立不等式模型→求解→检验作答的全过程，提升审题、分析、建模能力；在解决不同类型实际问题中，培养逻辑推理和知识综合应用能力. (3)感受一元一次不等式在生活中的广泛应用，体会数学的实用性；通过解决实际问题，增强数学应用意识，激发学习兴趣；养成认真审题、规范作答、检验结果的良好解题习惯. 重点是从实际问题中找出不等关系，列一元一次不等式解决实际问题；掌握列不等式解实际问题的一般步骤. 难点是准确挖掘实际问题中的隐含不等关系，区分“至多”“至少”“不超过”“不低于”等关键词对应的不等号；根据实际问题的实际意义，确定不等式解集的合理取值（如整数解）. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习回顾：快速求解一元一次不等式，回顾解题步骤，为本节课求解不等式做好铺垫。 情境导入：呈现生活实际问题：某商店文具套装每套定价20元，老师购买超过10套，超出部分打8折，老师计划用不超过400元购买文具套装，最多能买多少套？ 提问引导：本题中的关键条件是什么？存在怎样的数量关系？和方程解决的问题有什么不同？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第134-135页的内容 【学法指导】自研课本P134-135页内容 (一)探究利用一元一次不等式解决实际问题解题步骤 问题：某工程队计划在10天内整修河堤600米，施工2天后，又增加了设备，每天能多整修河堤30米，结果提前完成任务，问增加设备后每天至少整修河堤多少米？ 教师引导学生分步分析： ①审题：找出已知量、未知量，圈画关键词“提前完成”“至少”； ②设未知数：设增加设备后每天整修河堤x米； ③找不等关系：前2天整修长度+后几天整修长度＞600米； ④列一元一次不等式：2×60+(10-2-1)x＞600； ⑤解不等式； ⑥检验并作答：结合实际意义，确定结果为正整数. 师生共同总结利用一元一次不等式解决实际问题的步骤： 审题→设未知数→找不等关系→列不等式→解不等式→检验（实际意义）→作答. 同时梳理常见不等关键词：至少（≥）、至多（≤）、不超过（≤）、不低于（≥）、不足（＜）、超过（＞）. （二）强化建模，巩固思路 让学生自主找不等关系、列不等式，不求解，重点训练建模能力，教师针对性纠错，强化不等关系分析思路. 问题： 甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案:在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费;在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费.顾客到哪家超市购物花费较少? 【自研自探】 自研课本P134-135页内容 典型例题 例1. 某商店决定购进一批单价为元/本的笔记本，到批发店后发现批发店现在搞促销活动，且有两种方案可供选择． 方案一：一律按8折优惠． 方案二：总费用超过1000元，则超过的部分按6折优惠． (1)若该商店准备购进300本笔记本，则需要花费多少元? (2)若该商店预计购进800本笔记本，则应选择哪种方案更优惠? (3)该商店先在批发店购买a本笔记本，由于笔记本的质量好，决定再购买一批笔记本．若两次购进总计1000本笔记本，且第一次购买时按方案二进行购买更优惠，则第二次购买花费多少钱?（用含a的代数式表示） 第二环节 合作探究 1.讨论利用一元一次不等式解决实际问题解题步骤，并类比一元一次方程解决实际问题的一般步骤. 2.讨论建立一元一次不等式模型解决实际问题的方法？ 拓展提升：1．“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进4个甲型头盔和3个乙型头盔需要315元，购进3个甲型头盔和4个乙型头盔需要350元． (1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ (2)若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，则最多可购进乙型头盔多少个？ (3)在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙两种型号的头盔200个，能否实现利润不少于6190元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 课本课堂P136练习. 1．（2025•内蒙古）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均a秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个． （1）求a的值； （2）现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个？ 2．(2025.淮安统测)“蓉宝”是第31届世界大学生夏季运动会吉祥物，以熊猫为原型创作，手中握有“31”字样火焰的大运火炬．为纪念2023年第31届世界大学生夏季运动会在成都大学大运村成功举办，金堂某公司决定购买甲，乙两种造型“蓉宝”共100个发放给公司员工，已知购买2个甲种造型“蓉宝”和1个乙种造型“蓉宝”共需85元；购买3个甲种造型“蓉宝”和2个乙种造型“蓉宝”共需140元． (1)求甲，乙两种造型“蓉宝”的单价分别为多少元； (2)若该公司决定购买以上两种造型“蓉宝”的总费用不超过2600元，那么该公司最多可以购买甲造型“蓉宝”多少个？ 知识总结：本节课学习了利用一元一次不等式解决实际问题，掌握了完整解题步骤: 、 、 、 、 、 、 ；梳理了常见不等关系关键词与对应 ；学会根据实际意义确定 . 方法总结：解决实际问题的核心是建立 数学模型，将实际问题转化为 问题；解题关键是抓准 、挖掘 ；解题后 ，这是实际应用的重要环节. 易错提醒：（1）混淆不等关键词，用错不等号，尤其区分“至少 （ ） ”“至多（ ）”；（2）忽略实际问题中的隐含条件，如人数、件数必须为 ；（3）解完不等式后， 性，直接作答导致错误；（4）审题不清，找错 ，将不等关系当成 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $