11.2一元一次不等式（第2课时 解一元一次不等式）（教学设计）数学新教材人教版七年级下册

11.2 一元一次不等式（第2课时 解一元一次不等式） （教学设计） 1. 教学内容 本节课为人教2024版七年级数学下册第十一章《不等式与不等式组》11.2一元一次不等式第2课解一元一次不等式.本节课核心内容包括：回顾一元一次不等式的基础解法，学习含分母、含括号的复杂一元一次不等式的解题步骤；规范完整的解一元一次不等式的流程，重点突破去分母、系数化为1的易错环节；熟练掌握一元一次不等式求解并在数轴上表示解集，对比解一元一次方程与一元一次不等式的异同. 2.内容解析 本节课是在学生掌握一元一次不等式概念、简单不等式解法基础上，对复杂题型求解的深化学习，是一元一次不等式解法的完整收尾.教材通过梯度化例题，从含括号到含分母的不等式，逐步梳理完整解题步骤，依托不等式的性质，实现复杂不等式向最简形式的化归，渗透化归、类比的数学思想.本节课承接第1课时简单不等式求解，完善一元一次不等式的完整解法体系，是后续学习一元一次不等式组、不等式实际应用的核心基础，让学生掌握初中阶段一元一次不等式的标准解题方法，提升代数运算与逻辑推理能力，完善方程与不等式的知识框架. 基于以上分析，本节课的教学重点是含括号、分母的一元一次不等式的完整解题步骤；规范求解并准确在数轴上表示解集. 1.教学目标 (1)熟练掌握解含括号、分母的一元一次不等式的完整步骤；能规范、准确求解复杂一元一次不等式，并在数轴上表示解集；能清晰区分解一元一次方程与一元一次不等式的区别. (2)经历复杂一元一次不等式的求解过程，提升代数变形、运算的严谨性；通过步骤梳理与易错辨析，培养逻辑推理与规范解题能力；体会化归思想在不等式求解中的应用. (3)通过攻克复杂不等式求解难点，增强数学学习自信心；养成严谨细致、规范书写的解题习惯；感受数学知识的系统性，提升代数运算的核心素养. 2.目标解析 目标1聚焦复杂一元一次不等式求解，要求学生掌握去括号、去分母、移项、合并同类项、系数化为1的完整步骤，能规避各类运算错误，熟练完成求解与数轴表示，落实完整解题技能. 目标2通过例题探究、步骤归纳、易错纠错，让学生自主梳理解题逻辑，提升代数变形的严谨性，借助化归思想，将复杂问题转化为简单问题，培养数学运算与推理能力. 目标3通过循序渐进的解题训练，帮助学生突破解题难点，消除畏难情绪；强化解题规范性，培养认真细致的学习态度，提升学生对代数知识的学习兴趣. 学生已掌握一元一次不等式概念、简单不等式（不含分母、仅含括号）的解法，熟悉不等式的三条基本性质，具备基础的代数变形能力.但面对含分母的复杂不等式，学生极易出现漏乘常数项、忽略分子整体括号、去分母、系数化1时忘变不等号方向等错误.七年级学生运算细心度不足，对多步骤代数变形的把控力较弱，容易混淆去分母的规则，且步骤越多失误率越高.同时，学生对解题步骤的逻辑性理解不深，需要通过分步拆解、例题示范、易错纠错，逐步规范解题流程，突破运算难点. 基于以上分析，确定本节课的教学难点是去分母时不漏乘不含分母的项，正确处理分子的括号；去分母、系数化为1时，准确把握不等号方向的变化；避免解题过程中的符号、漏乘等运算错误. 创设情景，引入新课 1. 复习回顾：解简单一元一次不等式的步骤是什么？不等式的性质3内容是什么？ 2. 基础练习：解不等式2(x-3)-5<3x，学生板演，回顾去括号、移项、系数化为1的基础步骤，纠错巩固. (设计意图：快速复习上节课简单不等式解法与核心性质，夯实基础运算能力，为复杂不等式求解做好知识铺垫，帮助学生快速衔接新旧知识，进入解题学习状态.) 探究点1：复习巩固完整解法 问题：解含分母的一元一次不等式 师生重点分析去分母步骤： ①去分母：两边同乘分母最小公倍数6，不漏乘常数项，2(2x-1)≤6-3(x-2)； ②后续步骤：去括号→移项→合并同类项→系数化为1，全程规范板书，标注每一步依据. 师生共同总结解一元一次不等式的完整步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1→数轴表示解集. （设计意图：由含括号到含分母的例题，循序渐进拆解解题步骤，重点突破去分母、变号两大难点，规范解题书写格式，让学生明确每一步操作依据，梳理完整解题逻辑，掌握复杂不等式解法.） 探究点2：用不等式表示实际问题中的不等关系并求解 与用一元一次方程解决实际问题类似，通过用不等式表示实际问题中的不等关系，可以把实际问题转化为数学问题、进而通过解不等式得到实际问题的答案. 问题1：七年级举办占诗闻知识竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不容都扣5分，如果规定初赛成绩超过90分晋级决赛，那么至少要答对多少道题才能成功晋级? 分析:追问1：“初赛成绩超过90分”表示什么意思？ 追问2：“初赛成绩超过90分”是问题中蕴含的不等关系，可以根据这个不等关系列出什么不等式？ 解:设初赛答对了道题.根据“初赛成绩超过90分”晋级决赛，列得不等式 去括号，得 移项，合并同类项、得 系数化为1，得 由应为正整数、可得至少为13. 答:初赛至少要答对13道题才能成功晋级. 问题2：某市去年万元地区生产总值能耗为0.320t标准煤，如果计划使今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%，那么这个市今年万元地区生产总值能耗至多为多少? 说明：万元地区生产总值能耗是指每万元地区生产总值所消费的能源总量(折算为标准煤)，其下降率是街量一个地区节能减排成效的重要指标. 分析:“今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%”是问题中蕴含的不等关系，即（去年万元地区生产总值能耗）/（今年万元地区生产总值能耗）×100%≥5%.去年万元地区生产总值能耗. 解:设这个市今年万元地区生产总值能耗为xt标准煤.根据题意，列得不等式 去分母，得. 移项，合并同类项，得 系数化为1，得x≤0.304. 答:这个市今年万元地区生产总值能耗至多为0.304t标准煤. （设计意图：让学生通过观察、讨论、归纳，自主提炼一元一次不等式的解法，通过用不等式表示实际问题中的不等关系，可以把实际问题转化为数学问题、进而通过解不等式得到实际问题的答案.） 典型例题 例1. 有学生若干人，住若干间宿舍．若每间住4人，则有20人无法安排住宿；若每间住8人，则有一间宿舍不满也不空，问宿舍间数是多少？ 【详解】解：设宿舍间数为，学生人数为．根据题意，得，解得．∵是正整数，． 答：宿舍间数有6间． 例2．黄星年级欲购买甲、乙两种奖品以鼓励在本学期有进步的学生，甲种奖品每件15元，乙种奖品每件3元．现要购买甲、乙两种奖品共100件，总费用不超过800元，那么甲种奖品最多购买多少件？ 【分析】设甲种奖品购买了m件，则乙种奖品购买了件，根据“总价=单价×数量”结合总费用不超过800元，建立一元一次不等式求解，再根据实际意义取最大值即可． 【详解】解：设甲种奖品购买了m件，则乙种奖品购买了件， 根据题意可得， 解得 ∵m是正整数， ∴m的最大值为41． ∴甲种奖品最多购买41件． (设计意图：巩固本节课核心知识，突破易错点和难点，提升学生知识应用能力，强化解题规范性.) 课本课堂P134练习. 参考答案：1.设该工程队以后几天内平均每天修路x km，则(10-2-2)x≥6-1.2,解得.x≥0.8. 所以该工程队以后几天内平均每天至少要修路0.8 km. 2.设这时已售出x辆自行车，则，解得..由x应为正整数，可得x至少为 114. 所以这时至少已售出114辆自行车.. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.“双11”期间，某个体户在淘宝网上购买某品牌A、B两款羽绒服来销售，若购买3件A，4件B，需支付2400元，若购买2件A，2件B，则需支付1400元． (1)求A、B两款羽绒服在网上的售价分别是多少元？ (2)若个体户从淘宝网上购买A款羽绒服25件，按每件600元进行零售，销售一段时间后，把剩下的羽绒服全部6折销售完，若总获利不低于3800元，求个体户让利销售的羽绒服最多是多少件？ 【详解】（1）解：设A款羽绒服在网上的售价a元，B款羽绒服在网上的售价b元，可得： ， 解得：， 答：A款羽绒服在网上的售价是400元，B款羽绒服在网上的售价是300元； （2）解：设让利的羽绒服有x件，则已售出的有件，根据题意可得： ， 解得：， 的最大整数解是5， 答：个体户让利销售的羽绒服最多是5件． (设计意图:强化解一元一次不等式与方程等的综合应用．) 1．（2025•宜宾）某校举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　） A．14道 B．13道 C．12道 D．11道 【解答】解：设小明要答对x道题，则答错或不答（20﹣x）道题， 根据题意得：10x﹣5（20﹣x）≥80， 解得：x≥12， ∴x的最小值为12， ∴他至少要答对的题数是12道．故选：C． 2．（2025•台湾）如图为金银河影城的价目表．某社团16人去此影城看电影，打算以比赛奖金6000元购买电影票、爆米花与饮料．若要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，则最多可买多少盒爆米花？（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：设可以买x盒爆米花， 根据题意得：320×16+35（16﹣x）+90x≤6000， 解得：x， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为5， ∴最多可买5盒爆米花． 故选：C． 3.（2025.淮南校考）解不等式：，并把解集表示在数轴上． 【解答】解：， 去分母，得3（3x﹣1）≤2（2x+1）， 去括号，得9x﹣3≤4x+2， 移项，得9x﹣4x≤2+3， 合并同类项，得5x≤5， 系数化为1，得x≤1， ∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示： （ 设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识总结：本节课完善了一元一次不等式的完整解题步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，最后在数轴上表示解集；掌握了含分母、括号的复杂不等式求解方法；明确了一元一次方程与一元一次不等式解法的核心区别.通过用不等式表示实际问题中的不等关系，可以把实际问题转化为数学问题、进而通过解不等式得到实际问题的答案. 方法总结：解复杂一元一次不等式遵循化归思想，逐步将复杂不等式化为x>a（或x≥a、x<a、x≤a）的最简形式；解题时按步骤有序操作，每一步紧盯符号、不等号方向、是否漏乘；去分母时牢记“两边同乘、各项都乘”的原则.根据实际问题中的不等关系，把实际问题转化为实际问题中的不等关系，可以把实际问题转化为不等式的数学问题、进而通过解得到实际问题的答案. 易错提醒：（1）去分母时，常数项也要乘分母的最小公倍数，严禁漏乘；分子是多项式时，去分母后要加括号.（2）去括号、移项时，注意符号变化，避免符号出错.（3）去分母、系数化为1时，乘除负数必须改变不等号方向.（4）数轴表示解集，区分好空心圆圈和实心圆点，避免画错方向. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：习题11.2第5、6题. 探究性作业：习题11.2第7题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 11.2 一元一次不等式（第2课时） 探究点1：复习巩固完整解法 探究点2：用不等式表示实际问题中的不等关系并求解 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $