11.1.2不等式的性质（第1课时 不等式的性质）（导学案）数学新教材人教版七年级下册

11.1.2 不等式的性质（第1课时 不等式的性质） （导学案） （1）理解并掌握不等式的三条基本性质，能准确表述性质内容；能运用不等式的性质对简单不等式进行变形，区分不等式性质2与性质3的不同之处. （2）经历类比等式性质、通过计算探究不等式性质的过程，提升观察、猜想、归纳、验证的数学思维能力；在运用性质变形的过程中，体会代数变形的逻辑严谨性. （3）通过自主探究获取知识，感受数学规律的严谨性，激发数学学习兴趣；通过对比等式与不等式性质，体会数学知识的内在联系，养成严谨细致的解题习惯. 重点:探究并理解不等式的三条基本性质；运用不等式的性质对简单不等式进行变形. 难点:准确理解并掌握不等式性质3，明确不等式两边乘（或除以）负数时，不等号方向必须改变；区分等式性质与不等式性质的异同，避免性质应用时出现符号与不等号方向错误. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 提问复习：等式有哪些基本性质？用符号语言如何表示？ 学生回顾后，提出问题：不等式是否也有类似的性质？如果在不等式两边加、减、乘、除同一个数，不等号方向会发生变化吗？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第123-125页的内容 【学法指导】自研课本P123-125页内容 (一)不等式性质1 给出不等式7>4，引导学生完成计算： 两边同时加5：7+54+5；两边同时减2：7-24-2； 再换一组不等式-1<9，重复上述操作，观察不等号方向是否改变. 学生计算、小组讨论后，归纳得出： 性质1:不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变. 用符号语言表示：如果a>b，那么a±c>b±c. （二）不等式性质2、3 分组探究：以不等式6>2为例， 第一组：两边同时乘3、除以2，观察不等号方向； 第二组：两边同时乘-3、除以-2，观察不等号方向； 更换多组不等式（含负数不等式）重复验证，对比两组探究结果. 师生共同总结： 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 符号语言：如果a>b，c>0，那么ac>bc（或）； 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变； 符号语言：如果a>b，c<0，ac<bc（或）. （三）对比辨析，深化理解 学生讨论：等式性质与不等式性质的异同，强调不等式性质3的特殊性，明确性质应用的前提条件. 等式的性质有两条，它们表明了等式两边进行同样的加（减）、乘（除）运算时、相等关系不变、不等式的性质有三条、它们表明了不等式两边进行同样的加（减）、乘（除）运算时、大小关系有时不变、有时改变、对于乘法和除法运算、不等式的性质要分两种情况论述. 【自研自探】 自研课本P123-125页内容 典型例题 例1已知a>b，比较下列两个式子的大小、并说明依据. (1)a+3与b十3; (2) 一2a与一2b. 【分析】根据不等式的性质进行比较. 【详解】解：(1) 因为a>b，所以a+3>b十3(不等式的性质1). (2) 因为 a>b、所以一2a<一2b(不等式的性质3). 例2．（2025•广西）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，a＞b．都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（　　） A．a+c＞b+c B．a+c＝b+c C．a+c＜b+c D．a﹣c＜b﹣c 【分析】根据不等式的性质即可得出答案． 【解答】解：∵a＞b， ∴a+c＞b+c． 故选：A． 第二环节 合作探究 1.讨论不等式什么性质？ 2.讨论不等式性质与等式性质的区别与联系？ 3.讨论不等式性质3的特殊性，明确性质应用的前提条件？ 拓展提升：1．若不等式的解是，则不等式的解是 【详解】解：解不等式得， ∵该不等式的解是， ∴该不等式的解为，且， ∴，则， ∵， ∴，则， ∴不等式可化为， 即， ∴， 解得， 故答案为：． 课本课堂P125练习. 参考答案：1.（1） > 不等式的性质1:（2）> 不等式的性质1；（3）> 不等式的性质1； （4） < 不等式的性质3；(5)> 不等式的性质2；(6)> 不等式的性质2和性质1. 2.(1) m+5>8； (2) ； (3)-2m<-6； （4）. 1．（2025.南陵校考）若，则下列不等式中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，当时，则，故本选项符合题意； 故选：D 2．（2025.东营统考）下列不等式的变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【详解】解：A. 当时，，，故选项错误，不符合题意；     B. 当，，，故选项错误，不符合题意； C. 当，由，得，故选项错误，不符合题意；     D. 由，得，故选项正确，符合题意． 故选：D． 3．（2025.新余质检）由，得，则的值可能是（    ） A． B． C．0 D．2 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 知识总结：本节课学习了不等式的三条基本性质：性质1是不等式两边加减同一个数或式子，不等号方向不变；性质2是不等式两边乘除同一个正数，不等号方向不变；性质3是不等式两边乘除同一个负数，不等号方向改变；掌握了利用不等式性质将简单不等式变形为x>a或x<a的形式的方法. 方法总结：学习不等式性质采用类比等式性质的方法，快速把握知识规律；探究性质时通过计算、猜想、验证、归纳的步骤，得出数学结论；运用性质变形时，先判断乘除的数是正数还是负数，再确定不等号方向是否改变. 易错提醒：（1）不等式两边乘（或除以）负数时，务必改变不等号方向，这是最易出错的点.（2）注意不等式性质与等式性质的区别，等式变形无需考虑符号，不等式变形要关注乘除的数的正负.（3）运用性质变形时，要保证两边运算完全一致，避免漏算、错算. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.1.2 不等式的性质（第1课时 不等式的性质） （导学案） （1）理解并掌握不等式的三条基本性质，能准确表述性质内容；能运用不等式的性质对简单不等式进行变形，区分不等式性质2与性质3的不同之处. （2）经历类比等式性质、通过计算探究不等式性质的过程，提升观察、猜想、归纳、验证的数学思维能力；在运用性质变形的过程中，体会代数变形的逻辑严谨性. （3）通过自主探究获取知识，感受数学规律的严谨性，激发数学学习兴趣；通过对比等式与不等式性质，体会数学知识的内在联系，养成严谨细致的解题习惯. 重点:探究并理解不等式的三条基本性质；运用不等式的性质对简单不等式进行变形. 难点:准确理解并掌握不等式性质3，明确不等式两边乘（或除以）负数时，不等号方向必须改变；区分等式性质与不等式性质的异同，避免性质应用时出现符号与不等号方向错误. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 提问复习：等式有哪些基本性质？用符号语言如何表示？ 学生回顾后，提出问题：不等式是否也有类似的性质？如果在不等式两边加、减、乘、除同一个数，不等号方向会发生变化吗？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第123-125页的内容 【学法指导】自研课本P123-125页内容 (一)不等式性质1 给出不等式7>4，引导学生完成计算： 两边同时加5：7+54+5；两边同时减2：7-24-2； 再换一组不等式-1<9，重复上述操作，观察不等号方向是否改变. 学生计算、小组讨论后，归纳得出： 性质1:不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变. 用符号语言表示：如果a>b，那么a±c>b±c. （二）不等式性质2、3 分组探究：以不等式6>2为例， 第一组：两边同时乘3、除以2，观察不等号方向； 第二组：两边同时乘-3、除以-2，观察不等号方向； 更换多组不等式（含负数不等式）重复验证，对比两组探究结果. 师生共同总结： 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 符号语言：如果a>b，c>0，那么ac>bc（或）； 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变； 符号语言：如果a>b，c<0，ac<bc（或）. （三）对比辨析，深化理解 学生讨论：等式性质与不等式性质的异同，强调不等式性质3的特殊性，明确性质应用的前提条件. 等式的性质有两条，它们表明了等式两边进行同样的加（减）、乘（除）运算时、相等关系不变、不等式的性质有三条、它们表明了不等式两边进行同样的加（减）、乘（除）运算时、大小关系有时不变、有时改变、对于乘法和除法运算、不等式的性质要分两种情况论述. 【自研自探】 自研课本P123-125页内容 典型例题 例1已知a>b，比较下列两个式子的大小、并说明依据. (1)a+3与b十3; (2) 一2a与一2b. 【分析】根据不等式的性质进行比较. 【详解】解：(1) 因为a>b，所以a+3>b十3(不等式的性质1). (2) 因为 a>b、所以一2a<一2b(不等式的性质3). 例2．（2025•广西）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，a＞b．都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（　　） A．a+c＞b+c B．a+c＝b+c C．a+c＜b+c D．a﹣c＜b﹣c 【分析】根据不等式的性质即可得出答案． 【解答】解：∵a＞b， ∴a+c＞b+c． 故选：A． 第二环节 合作探究 1.讨论不等式什么性质？ 2.讨论不等式性质与等式性质的区别与联系？ 3.讨论不等式性质3的特殊性，明确性质应用的前提条件？ 拓展提升：1．若不等式的解是，则不等式的解是 【详解】解：解不等式得， ∵该不等式的解是， ∴该不等式的解为，且， ∴，则， ∵， ∴，则， ∴不等式可化为， 即， ∴， 解得， 故答案为：． 课本课堂P125练习. 参考答案：1.（1） > 不等式的性质1:（2）> 不等式的性质1；（3）> 不等式的性质1； （4） < 不等式的性质3；(5)> 不等式的性质2；(6)> 不等式的性质2和性质1. 2.(1) m+5>8； (2) ； (3)-2m<-6； （4）. 1．（2025.南陵校考）若，则下列不等式中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，当时，则，故本选项符合题意； 故选：D 2．（2025.东营统考）下列不等式的变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【详解】解：A. 当时，，，故选项错误，不符合题意；     B. 当，，，故选项错误，不符合题意； C. 当，由，得，故选项错误，不符合题意；     D. 由，得，故选项正确，符合题意． 故选：D． 3．（2025.新余质检）由，得，则的值可能是（    ） A． B． C．0 D．2 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 知识总结：本节课学习了不等式的三条基本性质：性质1是不等式两边加减同一个数或式子，不等号方向不变；性质2是不等式两边乘除同一个正数，不等号方向不变；性质3是不等式两边乘除同一个负数，不等号方向改变；掌握了利用不等式性质将简单不等式变形为x>a或x<a的形式的方法. 方法总结：学习不等式性质采用类比等式性质的方法，快速把握知识规律；探究性质时通过计算、猜想、验证、归纳的步骤，得出数学结论；运用性质变形时，先判断乘除的数是正数还是负数，再确定不等号方向是否改变. 易错提醒：（1）不等式两边乘（或除以）负数时，务必改变不等号方向，这是最易出错的点.（2）注意不等式性质与等式性质的区别，等式变形无需考虑符号，不等式变形要关注乘除的数的正负.（3）运用性质变形时，要保证两边运算完全一致，避免漏算、错算. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $