专题3.1 圆 同步练-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

圆 同步练习 好 题 冲 关 基础达标 一、选择题 1．一个圆形花坛，周长是，在距花坛边的外面围上一圈栏杆，栏杆的长（取）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的周长公式，先根据花坛周长求出花坛半径，再得到栏杆围成圆的半径，最后计算栏杆周长． 【详解】解：设花坛半径为，栏杆围成圆的半径为， ∵， ∴， ∵栏杆在距花坛边的外侧， ∴， ∴栏杆周长． 2．已知的直径为，点M不在内，则的长（   ） A．大于 B．不小于 C．大于 D．不小于 【答案】B 【分析】先根据圆的直径求出半径，再结合点与圆的位置关系判断的长度范围，点不在圆内包含点在圆上和点在圆外两种情况． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径， ∵点不在内， ∴点在上或外， ∴，即的长不小于． 3．如图，小明和小刚分别沿着室内环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，已知内圈跑道的半径为10米，外圈跑道的半径为12米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．2米 B．10米 C．20米 D．25米 【答案】D 【分析】求出即可得到答案． 【详解】解：当两人在同一条半径上时，， 当两人在同一条直径的两端时，， 故， 慢跑过程中两人的距离不可能是25米． 4．点与的位置关系如图所示，若，，则的半径可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系即可求解，解题的关键是正确理解当点到圆心的距离小于圆的半径时，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外． 【详解】解：设的半径为， ∵点在圆外且， ∴， ∵点在圆内且， ∴， ∴的半径是， ∴选项符合题意， 故选：． 5．如图，已知的半径为是外一点，是上的动点，线段的中点为，连结，，则线段的最小值是（    ） A．0 B．0.5 C．1 D．1.5 【答案】C 【分析】取的中点，连接，利用三角形中位线定理求出的长度，从而确定点的轨迹是以为圆心，长为半径的圆，最后根据点与圆的位置关系求出的最小值． 【详解】解：取的中点，连接，， 为的中点，为的中点 ， 为的中位线 ， ， 的半径为，即 ， ， 点在以为圆心，为半径的圆上 ， ，为的中点， ， 当点在线段上时，取得最小值， 的最小值为． 6．如图，已知线段为的中点，在平面内运动，且始终保持不变，将绕点逆时针旋转到，连接，则的最大值是（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及点圆最值问题，关键是通过构造辅助线，利用相似三角形确定点的运动轨迹为圆，再结合三角形三边关系求出的最大值． 【详解】解：已知，为的中点， ∴， ∵， ∴点在以为圆心、1为半径的圆上运动． 过点作，且，连接、、． ∵和均为等腰直角三角形， ∴，且． ∵，， ∴， ∴． ∴， ∴，即点到定点的距离恒为， 故点在以为圆心、为半径的圆上． 在中，，，， ∴． 根据三角形三边关系，，当、、三点共线且在、之间时，等号成立． ∴的最大值为． 故选：B． 7．如图，在矩形中，，点是边上一点，连接，将沿直线折叠得到，连接交于点，连接，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目主要考查矩形的性质，折叠的性质，圆周角定理，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线是解题关键． 根据题意得出点F在以为直径的半圆O上运动，确定当点在一条直线上时，CF的长度最小，即，然后利用勾股定理结合图形求解即可． 【详解】解：如图所示： 由沿折叠得到， ， ， ∴点F在以为直径的半圆O上运动， ∴当点在一条直线上时，CF的长度最小，即， ∵矩形，， ， ∴在中，， ． 故选：A． 8．如图，的半径为4，圆心的坐标为，是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点．若点、关于原点对称，则长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆的性质、坐标与图形，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是作出辅助线，找出取得最大值的位置．连接，延长交于，得出当点与点重合时，取得最大值，根据圆心坐标求出，的最大值为，根据点、关于原点对称得出，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长交于， ∵是上的任意一点， ∴当点与点重合时，取得最大值， ∵圆心的坐标为， ∴， ∵的半径为4， ∴的最大值为， ∵点、关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∴长的最大值为． 故选：C． 二、填空题 9．一个正方形的周长和一个圆的周长相等，正方形的边长是厘米，那么圆的直径是___________厘米（取）． 【答案】16 【分析】本题考查了正方形周长公式和圆的周长公式，解题的关键是根据题意建立等量关系．先根据正方形周长公式求出正方形的周长， 由题意得正方形周长等于圆的周长，再利用圆的周长公式计算出圆的直径即可． 【详解】解：正方形的周长为：， 因此圆的周长为厘米，设圆的直径为，根据圆的周长公式，可得： ， 故答案为：． 10．已知图1、图2中两个半圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是______． 【答案】 【分析】设两个圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r，图2中三角形的底为，高为r，图1中阴影部分的面积为长方形的面积减去半圆的面积，图2中阴影部分的面积为半圆的面积减去三角形的面积，再进行比较所得面积的大小． 【详解】解:设两个半圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r， 图2中三角形的底为，高为r， ∴ ． 11．圆是最美的对称图形之一，将圆竖直位置的直径向左移动，水平位置的直径向下移动，把圆分成如图所示的四个部分，其中①②③④的面积分别记为，，，．则________． 【答案】80 【分析】利用中心对称的性质将圆分成9个部分，再利用各部分之间面积的和差关系将所求的面积转化为规则图形的面积即可． 【详解】解：作圆竖直位置的直径向右移动，水平位置的直径向上移动， 如图所示： 由对称性可知：、、， 则 ． 12．园林中设计的各种样式的门是造景的一种方法．如图是一面墙和墙中间一个圆拱门的示意图，墙高2.5m，长6m，门为圆形的一部分，圆的半径为1m，圆与地面的交界处AB宽m，则墙的面积为________． 【答案】 【分析】设圆心为，连接，过点作于点，求得，得到是等腰直角三角形，得出，再通过面积法求解即可． 【详解】解：设圆心为，连接，过点作于点，如图： ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴大扇形的面积为：， ， ∴墙的面积为：． 三、解答题 13．如图是由三个同心圆构成的图形，分为A，B，C三个区域（A，B两区域为圆环，C区域为小），其中． (1)写出三个区域的面积： ， ， ． (2)随机往图中扔一粒豆子，估算豆子落在A区域的概率； (3)随机往图中扔240粒豆子，估算大约有多少粒豆子落在B区域． 【答案】(1)，， (2) (3)粒 【分析】（1）根据圆面积公式计算即可； （2）根据面积比估算概率即可； （3）求出概率，估算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ， ； （2）解：； （3）解：， （粒）， 答：大约有多少粒豆子落在B区域80粒． 14．如图①是某商家的充气拱门广告牌，图②是该广告牌的示意图，拱门可看作同心圆的一部分，其中内跨度米，拱门内部分圆高度米，求该拱门内圆所在圆的半径． 【答案】米 【分析】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握垂径定理，勾股定理，进行解答，连接，设圆的半径为，米根据勾股定理，则，即可． 【详解】连接， ∵， ∴米， 设圆的半径为， ∴米， 在中，， ∴，解得：， ∴的半径为米． 15．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示（取3）． (1)圆形团扇的半径为________，正方形团扇的边长为_______； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆形扇面所用的包边长度更短，理由见解析 【分析】（1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可； （2）求出两种形状的扇子的周长即可． 【详解】（1）设圆形团扇的半径为，正方形的边长为， 由题意得：，， ， ，， ； （2）圆形扇的周长为：， 正方形扇的周长为：， ， ， ， 圆的周长较小，即圆形扇面所用的包边长度更短． 能力提升 1、 选择题 1．如图，在的正方形网格中，点，，，均在格点上，一条圆弧经过，，三点，那么点与这条圆弧所在圆的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆内或圆上 【答案】A 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，先确定圆心的位置，再求出圆的半径，进而根据点到圆心的距离和圆的半径的大小关系进行判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵圆心到三点距离相等， ∴圆心在线段的垂直平分线上， 如图，线段和的垂直平分线相交于点，点即为圆心， ∴圆的半径， ∵， ∴点在圆内， 故选：． 2．如图，在正方形中，点、分别是、边上的动点，且，垂足为，连接．若正方形的边长为1．则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，首先根据得到点P的轨迹，从而得到最小时点P的位置，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵交于点P，且，则点P的轨迹为以为直径的半圆上，连接，交于点，此时，的值最小， ∵， ∴， ∴， 当、、三点共线时，最小， ∴CP的最小值， 故选：B． 3．点在半径为的内，则的长度不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了点与圆的位置关系，熟知当该点在圆内时，半径大于点到圆心的距离是解题的关键．根据点与圆的位置关系即可作答． 【详解】解：点在内，的半径为， ， 只有不符合题意， 故选：B． 4．如图，在边长为4的正方形中，对角线，相交于点．点在线段上，连接，作于点，交于点．对于下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点与点之间距离的最小值为． 其中，正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可得，结合，可得，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；当时，，可得，，可得，故③不符合题意；如图，取的中点，连接，，可得在以为圆心，为直径的圆上，当A，F，R共线时，最小，再进一步可判断④． 【详解】解：正方形， ， ， ， ， ，故①符合题意； ， ， ，故②符合题意； 当时，， ， ，故③不符合题意； 如图，取的中点，连接，， ， 在以为圆心，为直径的圆上， 当A，F，R共线时，最小， ， ， ， ， 点与点之间的距离的最小值为．故④符合题意． 综上所述，正确的个数有3个． 5．如图，在等腰直角中，，．点为的中点，，其两边分别与，交于点，（不与，，重合）．取的中点，连接并延长交于点，连接，．则下列结论中正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为 D．四边形面积的最小值为 【答案】B 【分析】根据勾股定理可得，即得，连接、，由直角三角形的性质得，进而根据得，即可判断；由得点在线段的垂直平分线上，可知点在边所对中位线上移动，作点关于直线的对称点，连接，则，，利用勾股定理求出即可判断；由得，，，四点共圆，即得，得到，即得到，得，即可判断；证明四边形为矩形，可得，即得是等腰直角三角形，设，则，得，即可判断，综上即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 如图，连接、， ，点为的中点， ， ， ，故选项错误； 如图，∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴点在边所对中位线上移动， 作点关于直线的对称点，连接，则，， ∵， ∴， ∴的最小值为，故选项正确； 如图，， ，，，四点共圆， ∵，，点为的中点， ∴， ， ， ∴， ∴， ，故选项错误； ∵， ， ∵，点为的中点， ∴， ， ， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ， ∴四边形为矩形， ， ∵， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ， ∴四边形的面积最大值为，故选项错误． 2、 填空题 6．如图，已知圆心和正方形的中心都是点O，正方形的边长，P是圆上的动点，若的最小值为3，则的面积为________． 【答案】 【分析】连接交正方形于点M，连接并延长，交于点，过点作，先求出，再确定 当点M与点B重合时，取得最大值，此时点P与点重合，即可解答． 【详解】解：连接交正方形于点M，连接并延长，交于点，过点作，如图，    由题意可得： ， 由勾股定理可得：， 即 或（不符合题意，舍去）， ∵为的半径，的最小值为3，， ∴当取得最大值时，取得最小值， ∵点M在正方形的边上， ∴当点M与点B重合时，取得最大值，此时点P与点重合， ∴， ∴为的面积为． 7．如图，在平面直角坐标系中，，，半径为4，为上任意一点，是的中点，则的最小值是______． 【答案】3 【分析】连接，取的中点H，连接．利用三角形的中位线定理可得，推出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为2的圆，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接，取的中点H，连接． ∵，， ∴， ∴点E的运动轨迹是以H为圆心半径为2的圆， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 3、 解答题 8．如图所示，大圆的周长为18.84厘米，在圆中有两个小圆，已知两个小圆的面积比为，求阴影部分的周长与面积． 【答案】6.28厘米；3.14平方厘米 【分析】根据大圆周长和圆的周长公式求出大圆的直径，根据两个小圆的面积比为，结合圆的面积公式求出这两个圆的半径比为，则可求阴影部分圆的半径，最后根据圆的周长和面积公式求解即可． 【详解】解：（厘米）， 设两个小圆的半径依次是， 则， ， （厘米）， 周长：（厘米），面积：（平方厘米）， 答：阴影部分的周长是6.28厘米，面积是3.14平方厘米． 9．将正面分别写有数字，，，的四张卡片（除数字外卡片完全相同）反面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张卡片记下数字后反面朝上放回洗匀．洗匀后再抽取一张．若将第一次抽取的卡片数字记为点的横坐标，第二次抽取的卡片数字记为点的纵坐标． (1)请用列表法表示两次抽取卡片后所有可能的点的坐标． (2)小明和小亮玩一个游戏，规则如下：如图，在平面直角坐标系中，这些点若落在以原点为圆心，半径为的圆内，则小明获胜：若落在圆上或圆外，则小亮获胜．这个游戏公平吗？判断并说明理由． 【答案】(1)列表见解析； (2)这个游戏不公平，理由见解析． 【分析】（）通过列表列举两次抽卡的所有组合，得到种可能的点坐标； （）先根据点到原点的距离判断点与圆的位置，统计圆内、圆上、圆外的结果数，计算两人获胜概率，比较概率是否相等来判断游戏公平性． 【详解】（1）解：列表如下， 第二次第一次 （2）解：这个游戏不公平，理由， 如图， 由（）得一共有种等可能结果，点落在圆内有种，则小明获胜的概率为；点落在圆上或圆外有种，则小亮获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏不公平． 10．综合与实践 【问题背景】数学学习中，很多特殊图形具有共同的结构特征．某数学小组对角平分线定理、线段垂直平分线定理、垂径定理、切线长定理的基础图形进行研究，发现它们都包含一种特殊四边形模型，如图所示． 【归纳总结】 (1)定义：四边形中，若，则称该四边形为筝形．请写出筝形的两条性质（不需证明）： ①_____； ②_____． 【知识迁移】 (2)如图1，将正方形绕点A逆时针旋转任意角度，得到正方形，边与交于点E．求证：四边形是筝形； (3)若将（2）中“正方形”改为“菱形”，其余条件不变，如图2，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出关于四边形正确结论． 【拓展延伸】 (4)如图3，在（2）的正方形旋转图形中，连接、交于点O．若正方形边长为6，求的最小值． 【答案】(1)①筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线；②筝形的面积等于对角线乘积的一半（本题答案不唯一，只要正确即可） (2)证明见详解 (3)四边形是筝形，理由见详解 (4) 【分析】（1）利用筝形的定义解答即可； （2）连接，利用正方形的性质得到，，利用全等三角形的判定与性质得到，依据筝形的定义解答即可； （3）连接，由旋转知，，得，，进而得，进而得，故可得结论； （4）利用筝形的性质和圆的有关性质得到点O在以为直径的半圆上运动，的中点M为该半圆的圆心，连接，结合图形得到当点M，O，C三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为，利用正方形的性质和勾股定理解答即可得出结论． 【详解】（1）解：由筝形的定义可得：①筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线；②筝形的面积等于对角线乘积的一半；③筝形是轴对称图形等；（本题答案不唯一，只要正确即可） （2）证明：如图1，连接， 由旋转知四边形和四边形为全等的正方形， ，， 在和中， ， ， ， ∴四边形是筝形． （3）解：四边形是筝形， 理由：如图2，连接， 由旋转知四边形和四边形为全等的菱形， ，， ， ， ， ， ∴四边形是筝形． （4）解：如图3， 由（2）知四边形是筝形， ，， 点A、E在线段的垂直平分线上， ， ， ∴点O在以线段为直径的半圆上运动， 取的中点M，则点M为该半圆的圆心，连接，， ， 当点M，O，C三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为， ∵正方形的边长为6， ∴， ，且M为的中点， ， ∴， ． 拓展培优 一、选择题 1．如图，矩形中，，，以为圆心，半径分别为和画圆，分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为轴作点的对称点以及的对称圆，连接交、于点、，则就是最小值，再利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，以为轴作点的对称点以及的对称圆，连接交、于点、，则就是最小值， ∵矩形中，，的半径为， ∴，，， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∴最小值为． 2．如图，点P为正方形内或边上一动点，，M为的中点，分别连接，则下列结论错误的是（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】A 【分析】取的中点N，连接，则为的中位线，，当C，M，N在同一条直线上时，最小，根据可得P在以A为圆心，长为半径的圆弧上，当A，P，C在同一条直线上时，取最小值，当P与D重合时，最大，由此逐项判断即可． 【详解】解：如图，取的中点N，连接， 四边形为正方形， ，，， ， M为的中点，N为的中点， 为的中位线， 在点P的运动过程中，的值不变，且， ∵，当C，M，N在同一条直线上时，最小， 此时，即的最小值为， ∴A选项结论错误； 当P与D重合时，最大，最大值为， ∴的最大值， ∴B选项结论正确； ∵P在以A为圆心，长为半径的圆弧上， ∴当A，P，C在同一条直线上时，取最小值， ∴C选项结论正确； 当P与D重合时，和均取最大值，即取最大值为， ∴D选项结论正确． 3．如图（1），在中，，点从边上一点出发，经过的内部运动到边上停止，在点运动过程中，始终满足．设点运动的路程为，，图（2）是点在运动时，随变化的关系图象，其中为图象的最低点，则在点运动过程中，的最大值（    ） A．8.4 B．9.6 C．7.2 D．9 【答案】B 【分析】根据题意知点P在以为直径的圆上运动，点P运动轨迹是一段圆弧，设该圆的圆心为O，半径为r，连接，当O，P，C三点共线时，最小，据此计算即可求解． 【详解】解：由点P运动过程中始终满足可知， 点P在以为直径的圆上运动． 由题意可知，点P在内部(含在或边上)， 故其运动轨迹是一段圆弧，如图(1)． 设该圆的圆心为O，半径为r，连接， 根据“点圆最值”模型可知，当O，P，C三点共线时，最小，如图(2)， 根据函数图象知，则． ∵，O是的中点， ∴． 在中，，即， 解得， (舍去)， ∴，． 当点P在边上时，最大，如图(3)， 此时为边上的高， ∴， ∴， 即在点P运动过程中，的最大值为． 二、填空题 4．如图，在边长为4的正方形中，点为边上一动点，为中点，为上一点，且满足，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得和，结合直角三角形的性质和等腰三角形的性质判定，则点F在以为直径的圆上，的中点O为圆心的圆上，连接，交圆O于点，此时取得最小值，结合勾股定理和圆的性质即可求得最小值． 【详解】解；∵四边形是边长为4的正方形， ∴，， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， 连接，如图， 则，， ∵ ， ∴ ， ∴点F在以为直径，的中点O为圆心的圆上， 连接，交圆O于点，此时取得最小值， ∵点O是的中点，， ∴，圆O的半径， 在中，， 则的最小值为， 5．如图，在正方形中，，是平面内一点，，连接．过点作的垂线交直线于点．下列结论：①；②当时，；③；④的最小值为．其中正确的结论是__________． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质与判定等等，可证明是等腰直角三角形，得到，，则，由正方形的性质得到，，则可证明，得到，进而得到，据此可判断①③；过点作，当时，则，可得，据此可判断②；作的外接圆，设该外接圆圆心为，在优弧上取一点，连接、、、，可证明，过点作交延长线于，连接、，根据，可得当点在直线上时，有最小值，最小值为的值，据此可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∴， 即，故③正确； 如图所示，过点作， 当时，则， ∴，故②错误； 作的外接圆，设该外接圆圆心为，在优弧上取一点，连接、、、， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作交延长线于，连接、， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当点在直线上时，有最小值，最小值为的值，即最小值为，故④正确； 综上，正确的结论有①③④． 三、解答题 6．在平面直角坐标系中，的半径为2，是等腰直角三角形，，对于点和，给出如下定义：若存在点在内（包含圆周），则称是的关联三角形． (1)如图1，若点， ①已知点，则______的关联三角形（填“是”或“不是”）； 已知点，则______的关联三角形（填“是”或“不是”）； ②是轴上的动点，且为的关联三角形，则点横坐标的取值范围是______； (2)如图2，若点，直线上存在点使得为的关联三角形，则点横坐标的取值范围是______． 【答案】(1)①是，不是；② (2) 【分析】（1）①Q点是由P点绕着A点顺时针或者逆时针旋转所得到的，根据旋转性质、等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质，可分别求出、的坐标，计算与圆心的距离可确定是否在圆内；②P是x轴上的动点只有逆时针旋转Q点才会出现在内，求出Q点坐标，利用来求出m的范围； （2）求出对应的Q点的坐标，然后利用勾股定理计算出与圆心的距离，让这个距离小于等于2即可． 【详解】（1）解：由题意得： ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴Q点是由P点绕着A点顺时针或者逆时针旋转所得到的， ①∵在x轴上， ∴， ∴点的坐标为， ∵圆心为O的坐标为，圆的半径为2， ∴小于半径， ∴在的内部，符合关联三角形的定义， 即是的关联三角形； 如图所示，过A作直线轴，过作于点B，过作于点C，过A作轴于点D， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∴在的外部，不符合关联三角形的定义， ∴不是的关联三角形； ②如图所示：P是x轴上的动点只有逆时针旋转Q点才会出现在⊙O内（包含圆周） ∵P是x轴上的动点，点P横坐标m， ∴， 由①得， ∴，， ∵， ∴点Q的横坐标为0，纵坐标为， ∴Q点坐标为， ∵Q点在⊙O内（包含圆周）， ∴， 即，即在数轴上m到的距离小于等于2， ∴； （2）解：根据题意得：P点坐标为， 如图，过点A作轴，过P，Q作，垂足分别为点E，F， 同理（1）得， ∴，， ∴点Q的横坐标为，纵坐标为， ∴Q点坐标为， 由勾股定理的， ∵Q点在⊙O内（包含圆周）， ∴， 即， 解得：； 7．在矩形中，，，点在上，点在上，连接，将矩形沿折叠，点的对应点分别为点． (1)如图，当点落在边上时，连接． ①求的值； ②若，求的长； (2)如图，若保持，点在上移动（可与点重合），试确定的长度范围． 【答案】(1)①；②的长为； (2)． 【分析】（1）①过点作，交于点，交于点，结合矩形的性质推导出四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质推导出，再运用相似的性质即可求解； ②连接，，根据折叠求出，，根据矩形性质求出，，，再根据勾股定理求出的值，最后设，根据，列出方程求解即可； （2）由（定值），将的运动转化为“圆上的动点”问题，根据当点在一条直线上时，最小求解，根据当点与点重合时，最大求解． 【详解】（1）①如图，过点作，交于点，交于点． ∵四边形为矩形， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵点关于直线对称， ∴． ∴． ∴． ∵． ∴． 又∵， ∴． ∴，即． ②如图，连接，． ∵点关于直线对称， ∴，． ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴． ∴． ∴． 设，则． 由，得． 解得． ∴的长为． （2）当点在上移动时，点在以点为圆心，的长为半径的圆弧上． 如图，当点在一条直线上时，最小． ∴． 如图，当点与点重合时，最大． ∵点关于直线对称， ∴． ∴． ∴的长度范围是． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆 同步练习 好 题 冲 关 基础达标 一、选择题 1．一个圆形花坛，周长是，在距花坛边的外面围上一圈栏杆，栏杆的长（取）（    ） A． B． C． D． 2．已知的直径为，点M不在内，则的长（   ） A．大于 B．不小于 C．大于 D．不小于 3．如图，小明和小刚分别沿着室内环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，已知内圈跑道的半径为10米，外圈跑道的半径为12米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．2米 B．10米 C．20米 D．25米 4．点与的位置关系如图所示，若，，则的半径可能是（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知的半径为是外一点，是上的动点，线段的中点为，连结，，则线段的最小值是（    ） A．0 B．0.5 C．1 D．1.5 6．如图，已知线段为的中点，在平面内运动，且始终保持不变，将绕点逆时针旋转到，连接，则的最大值是（   ） A． B． C．4 D． 7．如图，在矩形中，，点是边上一点，连接，将沿直线折叠得到，连接交于点，连接，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，的半径为4，圆心的坐标为，是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点．若点、关于原点对称，则长的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．一个正方形的周长和一个圆的周长相等，正方形的边长是厘米，那么圆的直径是___________厘米（取）． 10．已知图1、图2中两个半圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是______． 11．圆是最美的对称图形之一，将圆竖直位置的直径向左移动，水平位置的直径向下移动，把圆分成如图所示的四个部分，其中①②③④的面积分别记为，，，．则________． 12．园林中设计的各种样式的门是造景的一种方法．如图是一面墙和墙中间一个圆拱门的示意图，墙高2.5m，长6m，门为圆形的一部分，圆的半径为1m，圆与地面的交界处AB宽m，则墙的面积为________． 三、解答题 13．如图是由三个同心圆构成的图形，分为A，B，C三个区域（A，B两区域为圆环，C区域为小），其中． (1)写出三个区域的面积： ， ， ． (2)随机往图中扔一粒豆子，估算豆子落在A区域的概率； (3)随机往图中扔240粒豆子，估算大约有多少粒豆子落在B区域． 14．如图①是某商家的充气拱门广告牌，图②是该广告牌的示意图，拱门可看作同心圆的一部分，其中内跨度米，拱门内部分圆高度米，求该拱门内圆所在圆的半径． 15．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示（取3）． (1)圆形团扇的半径为________，正方形团扇的边长为_______； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 能力提升 1、 选择题 1．如图，在的正方形网格中，点，，，均在格点上，一条圆弧经过，，三点，那么点与这条圆弧所在圆的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆内或圆上 2．如图，在正方形中，点、分别是、边上的动点，且，垂足为，连接．若正方形的边长为1．则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．点在半径为的内，则的长度不可能是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在边长为4的正方形中，对角线，相交于点．点在线段上，连接，作于点，交于点．对于下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点与点之间距离的最小值为． 其中，正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在等腰直角中，，．点为的中点，，其两边分别与，交于点，（不与，，重合）．取的中点，连接并延长交于点，连接，．则下列结论中正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为 D．四边形面积的最小值为 2、 填空题 6．如图，已知圆心和正方形的中心都是点O，正方形的边长，P是圆上的动点，若的最小值为3，则的面积为________． 7．如图，在平面直角坐标系中，，，半径为4，为上任意一点，是的中点，则的最小值是______． 3、 解答题 8．如图所示，大圆的周长为18.84厘米，在圆中有两个小圆，已知两个小圆的面积比为，求阴影部分的周长与面积． 9．将正面分别写有数字，，，的四张卡片（除数字外卡片完全相同）反面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张卡片记下数字后反面朝上放回洗匀．洗匀后再抽取一张．若将第一次抽取的卡片数字记为点的横坐标，第二次抽取的卡片数字记为点的纵坐标． (1)请用列表法表示两次抽取卡片后所有可能的点的坐标． (2)小明和小亮玩一个游戏，规则如下：如图，在平面直角坐标系中，这些点若落在以原点为圆心，半径为的圆内，则小明获胜：若落在圆上或圆外，则小亮获胜．这个游戏公平吗？判断并说明理由． 10．综合与实践 【问题背景】数学学习中，很多特殊图形具有共同的结构特征．某数学小组对角平分线定理、线段垂直平分线定理、垂径定理、切线长定理的基础图形进行研究，发现它们都包含一种特殊四边形模型，如图所示． 【归纳总结】 (1)定义：四边形中，若，则称该四边形为筝形．请写出筝形的两条性质（不需证明）： ①_____； ②_____． 【知识迁移】 (2)如图1，将正方形绕点A逆时针旋转任意角度，得到正方形，边与交于点E．求证：四边形是筝形； (3)若将（2）中“正方形”改为“菱形”，其余条件不变，如图2，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出关于四边形正确结论． 【拓展延伸】 (4)如图3，在（2）的正方形旋转图形中，连接、交于点O．若正方形边长为6，求的最小值． 拓展培优 一、选择题 1．如图，矩形中，，，以为圆心，半径分别为和画圆，分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点P为正方形内或边上一动点，，M为的中点，分别连接，则下列结论错误的是（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 3．如图（1），在中，，点从边上一点出发，经过的内部运动到边上停止，在点运动过程中，始终满足．设点运动的路程为，，图（2）是点在运动时，随变化的关系图象，其中为图象的最低点，则在点运动过程中，的最大值（    ） A．8.4 B．9.6 C．7.2 D．9 二、填空题 4．如图，在边长为4的正方形中，点为边上一动点，为中点，为上一点，且满足，则的最小值为___________． 5．如图，在正方形中，，是平面内一点，，连接．过点作的垂线交直线于点．下列结论：①；②当时，；③；④的最小值为．其中正确的结论是__________． 三、解答题 6．在平面直角坐标系中，的半径为2，是等腰直角三角形，，对于点和，给出如下定义：若存在点在内（包含圆周），则称是的关联三角形． (1)如图1，若点， ①已知点，则______的关联三角形（填“是”或“不是”）； 已知点，则______的关联三角形（填“是”或“不是”）； ②是轴上的动点，且为的关联三角形，则点横坐标的取值范围是______； (2)如图2，若点，直线上存在点使得为的关联三角形，则点横坐标的取值范围是______． 7．在矩形中，，，点在上，点在上，连接，将矩形沿折叠，点的对应点分别为点． (1)如图，当点落在边上时，连接． ①求的值； ②若，求的长； (2)如图，若保持，点在上移动（可与点重合），试确定的长度范围． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $