3.1圆同步练习2025-2026学年北师大版数学九年级下册

3.1圆 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位长度）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以点A为圆心、r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．平面内，的半径为，若点P在内，则的长可能为（   ） A． B． C． D． 3．如图，的直径与弦的延长线交于点E，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 4．如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，的半径为1，为圆上一动点，为的中点，连接，，则长的最大值为   A．5 B． C．6 D．3 5．已知的半径为7，点在外，则的长可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 6．如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（　　） A．点，均在内 B．点，均在外 C．点在内，点在外 D．以上选项都不正确 7．若的直径长为，点，在上，则的长不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知的半径为，A为线段的中点，当时，点A与的位置关系是（    ） A．点A在内 B．点A在上 C．点A在外 D．不能确定 9．在直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为，圆A的半径为2．下列说法中不正确的是（　　） A．当时，点B在圆A上 B．当时，点B在圆A外 C．当时，点B在圆A内 D．当时，点B在圆A内 10．已知的直径长为6，点A，B在上，则的长不可能是：（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 11．如图，⊙O的直径CD垂直弦于点E，且，则（　　） A．4 B．2 C． D． 12．已知的半径，，则点与的位置关系是（　） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．不能确定 二、填空题 13．已知的半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是 ． 14．如图，在中，，cm，cm，以C为圆心，r为半径作，若A，B两点中只有一个点在内，则半径r的取值范围是 .    15．同一平面内，内一点到圆上的最大距离为，最小距离为，则的半径为 ． 16．已知的面积为，点与在同一平面内，若，则点在 （填写“内”、“上”、“外”）． 17．如图，A，B，C是上的三个点，若四边形为菱形，则 ．    三、解答题 18．在平面直角坐标系内，以原点为圆心，5为半径作，已知三点的坐标分别为，，．试判断三点与的位置关系． 19．如图，在中，C，D分别是半径，的中点，求证：． 20．已知矩形的边，． (1)以点A为圆心、为半径作，求点B，C，D与的位置关系； (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求的半径r的取值范围． 21．如图，矩形纸片一边过圆心O，分别交于E、F，且，求的半径． 22．如图，在平面直角坐标系中，、、是上的三个点，、、．    (1)直接写出圆心的坐标： ； (2)求的半径． 23．综合与实践 动手操作 利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法． 如图1，点为正方形的边上的一个动点，，将正方形对折，使点与点重合，点与点重合，折痕为． 思考探索 （1）将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为，连接，如图2． ①点在以点为圆心，_________的长为半径的圆上； ②_________； ③为_______三角形，请证明你的结论． 拓展延伸 （2）当时，正方形沿过点的直线（不过点）折叠后，点的对应点落在正方形内部或边上． ①面积的最大值为____________； ②连接，点为的中点，点在上，连接，则的最小值为 ． 24．如图，的两条直角边，，斜边上的高为．若以为圆心，分别以，，为半径作圆，试判断点与这三个圆的位置关系．    《3.1圆》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B D D C D A C D 题号 11 12 答案 C C 1．B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用勾股定理求出各格点到点的距离是解题的关键． 利用勾股定理求出各格点到点的距离，结合点与圆的位置关系，即可得出结论． 【详解】解：给各点标上字母，如图所示．   ，，，，， 时，以为圆心，为半径画圆，选取的格点中除点外恰好有3个在圆内． 故选：B． 2．D 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：∵的半径为．点P在内， ∴， ∴的长可以是． 故选：D． 3．B 【分析】连接，易得，利用三角形外角的性质得到，，进行求解即可； 【详解】解：连接，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查圆的认识，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质．熟练掌握圆内半径均相等，得到等腰三角形，是解题的关键． 4．D 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的中位线，点与圆的位置关系．掌握三角形的中位线定理，点与圆的位置关系是解题的关键．由点、点的坐标得是的中点，则是的中位线，，当的长最大时，的长最大，根据点与圆的位置关系可得长的最大值为，求出，即可求解． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， 是的中点， 为的中点， 是的中位线， ， 当的长最大时，的长最大，如图， 点的坐标为，点的坐标为， ， 长的最大值为， 长的最大值为， 故选：D． 5．D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系得出即可，熟记点与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵的半径为7，点在外， ∴， ∴5、6、7都不符合，只有8符合题意， 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，点与圆的位置关系的判定，掌握根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断是解题的关键．先利用勾股定理求得的长，再根据面积公式求出的长，根据勾股定理求出的长，根据中线的定义求出的长，然后由点、到点的距离判断点、与圆的位置关系即可． 【详解】解：在中，，，， ， 、分别是上的高和中线， ，， 即， ， ， ，， 点在内、点在外， 故选：． 7．D 【分析】本题主要考查了圆的弦长范围，熟练掌握“圆上两点间的弦长最大值为直径”是解题的关键． 根据圆的直径明确圆上弦的长度范围，从而判断选项． 【详解】解：∵ 的直径长为4，点A，B在上 ∴ 弦的长满足，选项A、B、C都满足条件， ∵ 选项D中， ∴ 选项D不符合条件． 故选：D． 8．A 【分析】根据中点得到，结合点与圆的关系直接判断即可得到答案； 【详解】解：∵A为线段的中点，， ∴， ∴点A在内， 故选A； 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，掌握利用点与圆心的距离d与圆的半径r的大小关系来判断点与圆的位置关系是解题的关键．点与圆的位置关系：点到圆心的距离小于半径在圆内，等于半径在圆上，大于半径在圆外． 9．C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系和坐标与图形性质的应用，当时，点在圆上，当时，点在圆外，当时，点在圆内．画出图形，根据的坐标和圆的半径求出圆与轴的交点坐标，根据已知和交点坐标即可求出答案． 【详解】解：如图： ，的半径是2， ， ，， A、当时，点在上，即在上，正确，故本选项不合题意； B、当时，，即说点在圆外正确，故本选项不合题意； C、当时，在外，即说当时，点在圆内错误，故本选项符合题意； D、当时，在内正确，故本选项不合题意； 故选：C． 10．D 【分析】根据圆的弦长小于等于直径长即可判断； 【详解】解：∵圆的弦长小于等于直径长， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查圆的性质，掌握圆的性质是解题的关键． 11．C 【分析】连接，根据题意先求出半径，在中，利用勾股定理求解． 【详解】解：连接，如图所示． ，， ，， 在中，． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，勾股定理，熟练运用相关定理是解题的关键． 12．C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，即点到圆心的距离，即圆的半径）． 【详解】解：， 点与的位置关系是点在圆外． 故选：C． 13． 【分析】本题考查了圆的相关知识，明确圆中最长的弦是直径是解题的关键． 利用直径是圆内最长的弦即可求解． 【详解】解：的半径为5， 的弦的长度的取值范围为：， 故答案为：． 14． 【分析】因为A、B两点中只有一个点在⊙C内，所以半径比大．点A在圆上或者圆外，所以半径小于或等于． 【详解】解：因为A、B两点中只有一个点在⊙C内， 只有点B在圆内，点A可以在圆上或圆外． 因为点B在圆内，所以cm． 当点A在圆上时，cm． 当点A在圆外时，cm． 因此：． 故答案是：． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据点A和点B与圆的位置，确定⊙C的半径． 15．4 【分析】本题考查了点与圆上各点的距离的最大值与最小值的含义． 【详解】解：∵点P在圆内时，的直径长为，半径为； 的半径长为 ． 故答案为：4． 16．内 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．根据面积求半径，比较半径与点到圆心的距离的大小，然后作答即可． 【详解】解：∵的面积为， ∴的半径为5， ∵， ∴点P在内， 故答案为：内． 17．/度 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 如图：连接，易得，再根据菱形的性质可得，即是等边三角形可得，同理可得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：如图：连接，    ∵A，B，C是上的三个点， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得：， ∴． 故答案为：． 18．点在上，点在内，点在外 【分析】本题考查了平面内两点之间的距离、点与圆的位置关系，先根据平面内两点之间的距离公式求出、、的长度，再与半径进行比较，即可得出答案． 【详解】解：∵ ，，， ∴点在上，点在内，点在外． 19．见解析 【分析】本题考查了圆的基本概念，全等三角形的判定与性质，先判断出，然后根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵C，D分别是半径，的中点， ∴，， 又， ∴， 又， ∴， ∴． 20．(1)点B在内，点C在外，点D在上 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 21．圆的半径为． 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． 如图：过F作于H，连接，则，由，得出，设圆的半径为，则，在直角中，由勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图：过F作于H，连接，则， ∵， ∴， 设圆的半径为，则， 在直角中，由勾股定理得： ，解得． ∴圆的半径为． 22．(1) (2)的半径为 【分析】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，勾股定理的运用． （1）连接，，作直线，的垂直平分线，其交点即为圆心； （2）根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）连接，，作直线，的垂直平分线，其交点即为圆心 ∴圆心的坐标为：，    （2）连接， ∵，， ∴，， ∴， ∴的半径为． 23．（1）①；②；③等边（2）①3② 【分析】（1）①利用圆的基本性质，即可求解； ②根据折叠的性质，利用勾股定理，即可求解； ③利用勾股定理，求得，即可求解； （2）①由题意知点在以点E为圆心，半径长为2的圆上，的面积要最大，只要以为底的高最长即可，此时当时，的面积最大； ②当E、、C三点共线时，取得最小值，即取得最小值，且最小值为的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）①点在以点E为圆心，的长为半径的圆上； ②根据折叠的性质知：，，， ， ； ③， ∴为等边三角形； 故答案为：①，②，③等边； （2）①∵， ∴， 故点在以点E为圆心，半径长为2的圆上， ∴的面积要最大，只要以为底的高最长即可， ∴当时，的面积最大，如图： 的面积最大值； ②∵， ∴， ∴， ∵P为的中点， ∴Q为的中点， ∴为的中位线， ∴，即， ∴， 当E、、C三点共线时，取得最小值，即取得最小值，且最小值为的长， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：①；②． 【点睛】本题考查了圆的性质，矩形的性质、图形的折叠、等腰三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中，其中（2）①当时，△ABB'的面积最大；②当E、、C三点共线时，取得最小值是解本题的关键． 24．当以为半径作圆时，点在这个圆的外部；当以为半径作圆时，点在这个圆上；当以为半径作圆时，点在这个圆的内部 【分析】根据勾股定理得到，再由等面积法求出，结合点与圆的位置关系判断即可得到答案． 【详解】解：∵的两条直角边，， ∴由勾股定理可得， ∵， ∴， 当以为半径作圆时，点在这个圆的外部； 当以为半径作圆时，点在这个圆上； 当以为半径作圆时，点在这个圆的内部． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，涉及勾股定理及等面积法求线段长，熟记点与圆的位置关系的判断方法是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $